Formas diferenciales cerradas y exactas - Closed and exact differential forms

En matemáticas , especialmente en cálculo vectorial y topología diferencial , una forma cerrada es una forma diferencial α cuya derivada exterior es cero ( dα = 0 ), y una forma exacta es una forma diferencial, α , que es la derivada exterior de otra forma diferencial β . Por tanto, una forma exacta está en la imagen de d , y una forma cerrada está en el núcleo de d .

Para una forma exacta α , α = dβ para alguna forma diferencial β de grado uno menor que la de α . La forma β se denomina "forma potencial" o "primitiva" para α . Dado que la derivada exterior de una forma cerrada es cero, β no es única, pero puede modificarse mediante la adición de cualquier forma cerrada de grado uno menor que la de α .

Como d ² = 0 , todas las formas exactas están necesariamente cerradas. La cuestión de si cada forma cerrada es exacta depende de la topología del dominio de interés. En un dominio contráctil , cada forma cerrada es exacta por el lema de Poincaré . Preguntas más generales de este tipo sobre una variedad diferenciable arbitraria son el tema de la cohomología de De Rham , que permite obtener información puramente topológica utilizando métodos diferenciales.

Ejemplos de

Un ejemplo simple de una forma que es cerrada pero no exacta es la forma 1 dada por la derivada del argumento en el plano perforado . Dado que en realidad no es una función (ver el párrafo siguiente) no es una forma exacta. Aún así, tiene una derivada que se desvanece y, por lo tanto, está cerrada. ${\ Displaystyle d \ theta}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {2} \ setminus \ {0 \}}$${\ Displaystyle \ theta}$${\ Displaystyle d \ theta}$${\ Displaystyle d \ theta}$

Tenga en cuenta que el argumento sólo está definido hasta un múltiplo entero de desde un solo punto se le puede asignar diferentes argumentos , , etc Podemos asignar argumentos de una manera consistente alrededor localmente , pero no de una manera coherente a nivel mundial. Esto se debe a que si trazamos un bucle desde la izquierda alrededor del origen y hacia atrás , el argumento aumenta en . Generalmente, el argumento cambia por ${\ Displaystyle \ theta}$${\ Displaystyle 2 \ pi}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle r}$ ${\ Displaystyle r + 2 \ pi}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle 2 \ pi}$${\ Displaystyle \ theta}$

${\ Displaystyle \ oint _ {S ^ {1}} d \ theta}$

sobre un bucle orientado en sentido antihorario .${\ Displaystyle S ^ {1}}$

Aunque el argumento no es técnicamente una función, las diferentes definiciones locales de en un punto difieren entre sí por constantes. Dado que la derivada en solo usa datos locales, y dado que las funciones que difieren por una constante tienen la misma derivada, el argumento tiene una derivada globalmente bien definida " ".${\ Displaystyle \ theta}$${\ Displaystyle \ theta}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle d \ theta}$

El resultado es que es una forma única que en realidad no es la derivada de ninguna función bien definida . Decimos que no es exacto . Explícitamente, se da como: ${\ Displaystyle d \ theta}$${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {2} \ setminus \ {0 \}}$${\ Displaystyle \ theta}$${\ Displaystyle d \ theta}$${\ Displaystyle d \ theta}$

${\ Displaystyle d \ theta = {\ frac {-y \, dx + x \, dy} {x ^ {2} + y ^ {2}}},}$

que por inspección tiene derivada cero. Debido a que tiene una derivada que se desvanece, decimos que está cerrada . ${\ Displaystyle d \ theta}$

Esta forma genera el de grupo cohomology Rham lo que significa que cualquier forma cerrada es la suma de una forma exacta y un múltiplo de : , donde cuentas para una integral de contorno no trivial alrededor del origen, que es la única obstrucción a una forma cerrada en la plano perforado (localmente la derivada de una función potencial ) es la derivada de una función definida globalmente. ${\ Displaystyle H_ {dR} ^ {1} (\ mathbf {R} ^ {2} \ setminus \ {0 \}) \ cong \ mathbf {R},}$${\ Displaystyle \ omega}$${\ displaystyle df}$${\ Displaystyle d \ theta}$ ${\ Displaystyle \ omega = df + k \ d \ theta}$${\ textstyle k = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ oint _ {S ^ {1}} \ omega}$

Ejemplos en dimensiones reducidas

Las formas diferenciales en R ² y R ³ eran bien conocidas en la física matemática del siglo XIX. En el plano, las formas 0 son solo funciones y las formas 2 son funciones multiplicadas por el elemento de área básico dx ∧ dy , de modo que son las formas 1

${\ Displaystyle \ alpha = f (x, y) \, dx + g (x, y) \, dy}$

que son de verdadero interés. La fórmula para la derivada exterior d aquí es

${\ Displaystyle d \ alpha = (g_ {x} -f_ {y}) \, dx \ wedge dy}$

donde los subíndices denotan derivadas parciales . Por lo tanto, la condición para estar cerrado es ${\ Displaystyle \ alpha}$

${\ Displaystyle f_ {y} = g_ {x}.}$

En este caso, si h ( x , y ) es una función, entonces

${\ Displaystyle dh = h_ {x} \, dx + h_ {y} \, dy.}$

La implicación de 'exacta' a 'cerrada' es entonces una consecuencia de la simetría de las segundas derivadas , con respecto a x e y .

El teorema del gradiente afirma que una forma 1 es exacta si y solo si la integral de línea de la forma depende solo de los puntos finales de la curva, o de manera equivalente, si la integral alrededor de cualquier curva cerrada suave es cero.

Analogías de campos vectoriales

En una variedad de Riemann , o más generalmente una variedad pseudo-Riemanniana , las formas k corresponden a los campos de k- vectores (por dualidad a través de la métrica ), por lo que existe una noción de un campo vectorial que corresponde a una forma cerrada o exacta.

En 3 dimensiones, un campo vectorial exacto (considerado como una forma 1) se llama campo vectorial conservador , lo que significa que es la derivada ( gradiente ) de una forma 0 (campo escalar suave), llamado potencial escalar . Un campo vectorial cerrado (pensado como una forma 1) es aquel cuya derivada ( rizo ) desaparece y se denomina campo vectorial irrotacional .

En cambio, si se piensa en un campo vectorial como una forma 2, un campo vectorial cerrado es aquel cuya derivada ( divergencia ) desaparece y se denomina flujo incompresible (a veces, campo vectorial solenoide ). El término incompresible se utiliza porque una divergencia distinta de cero corresponde a la presencia de fuentes y sumideros en analogía con un fluido.

Los conceptos de campos vectoriales conservadores e incompresibles se generalizan en n dimensiones, porque el gradiente y la divergencia se generalizan en n dimensiones; curl se define solo en tres dimensiones, por lo que el concepto de campo vectorial irrotacional no se generaliza de esta manera.

Lema de Poincaré

El Poincaré lema establece que si B es una bola abierta en R ⁿ , cualquier suavizar cerrado p -form ω definido en B es exacto, para cualquier número entero p con 1 ≤ p ≤ n .

Traduciendo si es necesario, se puede suponer que la bola B tiene el centro 0. Sea α _s el flujo en R ⁿ definido por α _s x = e ^{- s} x . Para s ≥ 0 lleva a B en sí mismo e induce una acción sobre funciones y formas diferenciales. La derivada del flujo es el campo vectorial X definido en las funciones f por Xf = d ( α _s f ) / ds | _{s = 0} : es el campo vectorial radial - r ∂/∂ r= −Σ x _yo ∂/∂ x _i. La derivada del flujo de formas define la derivada de Lie con respecto a X dada por . En particular ${\ textstyle L_ {X} \ omega = \ left. {\ frac {d (\ alpha _ {s} \ omega)} {ds}} \ right | _ {s = 0}}$

${\ Displaystyle {\ frac {d} {ds}} \ alpha _ {s} \ omega = \ alpha _ {s} L_ {X} \ omega,}$

Ahora define

${\ Displaystyle h \, \ omega = - \ int _ {0} ^ {\ infty} \ alpha _ {t} \ omega \, dt.}$

Por el teorema fundamental del cálculo tenemos que

${\ Displaystyle L_ {X} h \, \ omega = - \ int _ {0} ^ {\ infty} \ alpha _ {t} L_ {X} \ omega \, dt = - \ int _ {0} ^ { \ infty} {d \ over dt} (\ alpha _ {t} \ omega) \, dt = - [\ alpha _ {t} \ omega] _ {0} ^ {\ infty} = \ omega.}$

Con ser la multiplicación interior o contracción por el campo de vector X , la fórmula de Cartan estados que ${\ Displaystyle \ iota _ {X}}$

${\ Displaystyle L_ {X} = d \ iota _ {X} + \ iota _ {X} d.}$

Usando el hecho de que d conmuta con L _X , y h , obtenemos: ${\ Displaystyle \ alpha _ {s}}$

${\ Displaystyle \ omega = L_ {X} h \, \ omega = (d \ iota _ {X} + \ iota _ {X} d) h \ omega = d (\ iota _ {X} h \ omega) + \ iota _ {X} hd \ omega.}$

Configuración

${\ Displaystyle g (\ omega) = \ iota _ {X} h (\ omega),}$

conduce a la identidad

${\ Displaystyle (dg + gd) \, \ omega = \ omega.}$

Ahora se deduce que si ω es cerrado, es decir, dω = 0 , entonces d ( g ω ) = ω , de modo que ω es exacto y se demuestra el lema de Poincaré.

(En el lenguaje del álgebra homológica , g es una "homotopía en contracción".)

El mismo método se aplica a cualquier conjunto abierto en R ⁿ que tenga forma de estrella alrededor de 0, es decir, cualquier conjunto abierto que contenga 0 e invariante bajo α _t para . ${\ Displaystyle 1 <t <\ infty}$

Otra prueba estándar del lema de Poincaré usa la fórmula de invariancia de homotopía y se puede encontrar en Singer & Thorpe (1976 , pp. 128-132), Lee (2012) , Tu (2011) y Bott & Tu (1982) . La forma local del operador de homotopía se describe en Edelen (2005) y la conexión del lema con la forma de Maurer-Cartan se explica en Sharpe (1997) .

Esta formulación puede expresarse en términos de homotopías entre dominios abiertos U en R ^m y V en R ⁿ . Si F ( t , x ) es una homotopía de [0,1] × U a V , establezca F _t ( x ) = F ( t , x ). Para una forma p en V , defina ${\ Displaystyle \ omega}$

${\ Displaystyle g (\ omega) = \ int _ {0} ^ {1} \ iota _ {\ partial _ {t}} (F_ {t} ^ {*} (\ omega)) \, dt}$

Luego

${\ Displaystyle (dg + gd) \, \ omega = \ int _ {0} ^ {1} (d \ iota _ {\ partial _ {t}} + \ iota _ {\ partial _ {t}} d) F_ {t} ^ {*} (\ omega) \, dt = \ int _ {0} ^ {1} L _ {\ partial _ {t}} F_ {t} ^ {*} (\ omega) \, dt = \ int _ {0} ^ {1} \ parcial _ {t} F_ {t} ^ {*} (\ omega) \, dt = F_ {1} ^ {*} (\ omega) -F_ {0} ^ {*} (\ omega).}$

Ejemplo : En dos dimensiones, el lema de Poincaré se puede probar directamente para formas 1 y formas 2 cerradas de la siguiente manera.

Si ω = p dx + q dy es una forma 1 cerrada en ( a , b ) × ( c , d ) , entonces p _y = q _x . Si ω = df entonces p = f _x y q = f _y . Colocar

${\ Displaystyle g (x, y) = \ int _ {a} ^ {x} p (t, y) \, dt,}$

de modo que g _x = p . Entonces h = f - g debe satisfacer h _x = 0 y h _y = q - g _y . El lado derecho aquí es independiente de x ya que su derivada parcial con respecto a x es 0. Entonces

${\ Displaystyle h (x, y) = \ int _ {c} ^ {y} q (a, s) \, ds-g (a, y) = \ int _ {c} ^ {y} q (a , s) \, ds,}$

y por lo tanto

${\ Displaystyle f (x, y) = \ int _ {a} ^ {x} p (t, y) \, dt + \ int _ {c} ^ {y} q (a, s) \, ds.}$

De manera similar, si Ω = r dx ∧ dy entonces Ω = d ( a dx + b dy ) con b _x - a _y = r . Por tanto, una solución viene dada por a = 0 y

${\ Displaystyle b (x, y) = \ int _ {a} ^ {x} r (t, y) \, dt.}$

Formulación como cohomología

Cuando la diferencia de dos formas cerradas es una forma exacta, se dice que son cohomólogas entre sí. Es decir, si ζ y η son formas cerradas, y se puede encontrar alguna β tal que

${\ Displaystyle \ zeta - \ eta = d \ beta}$

entonces se dice que ζ y η son cohomólogos entre sí. A veces se dice que las formas exactas son cohomólogas a cero . El conjunto de todas las formas cohomólogas a una forma dada (y por lo tanto entre sí) se denomina clase de cohomología de De Rham ; el estudio general de tales clases se conoce como cohomología . No tiene ningún sentido preguntar si una forma 0 (función suave) es exacta, ya que d aumenta el grado en 1; pero las pistas de la topología sugieren que sólo la función cero debería llamarse "exacta". Las clases de cohomología se identifican con funciones locales constantes .

Utilizando homotopías de contracción similares a las utilizadas en la prueba del lema de Poincaré, se puede demostrar que la cohomología de De Rham es invariante en homotopía.

Aplicación en electrodinámica

En electrodinámica, el caso del campo magnético producido por una corriente eléctrica estacionaria es importante. Allí se trata del potencial vectorial de este campo. Este caso corresponde a k = 2 , y la región definitoria es la completa . El vector de densidad de corriente es . Corresponde a las dos formas actuales ${\ Displaystyle {\ vec {B}} (\ mathbf {r})}$ ${\ Displaystyle {\ vec {A}} (\ mathbf {r})}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ Displaystyle {\ vec {j}}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {I}: = j_ {1} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) \, {\ rm {d}} x_ {2} \ wedge {\ rm {d }} x_ {3} + j_ {2} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) \, {\ rm {d}} x_ {3} \ wedge {\ rm {d}} x_ {1} + j_ {3} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) \, {\ rm {d}} x_ {1} \ wedge {\ rm {d}} x_ {2} .}$

Para el campo magnético, uno tiene resultados análogos: corresponde a la inducción de dos formas , y puede derivarse del potencial vectorial , o de la correspondiente forma única , ${\ Displaystyle {\ vec {B}}}$${\ Displaystyle \ Phi _ {B}: = B_ {1} {\ rm {d}} x_ {2} \ wedge {\ rm {d}} x_ {3} + \ cdots}$${\ Displaystyle {\ vec {A}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {A}}$

${\ displaystyle {\ vec {B}} = \ operatorname {curl} {\ vec {A}} = \ left \ {{\ frac {\ parcial A_ {3}} {\ parcial x_ {2}}} - { \ frac {\ parcial A_ {2}} {\ parcial x_ {3}}}, {\ frac {\ parcial A_ {1}} {\ parcial x_ {3}}} - {\ frac {\ parcial A_ {3 }} {\ parciales x_ {1}}}, {\ frac {\ parciales A_ {2}} {\ parciales x_ {1}}} - {\ frac {\ parciales A_ {1}} {\ parciales x_ {2 }}} \ right \}, {\ text {o}} \ Phi _ {B} = {\ rm {d}} \ mathbf {A}.}$

Por lo tanto, el potencial vectorial corresponde al potencial de una forma ${\ Displaystyle {\ vec {A}}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {A}: = A_ {1} \, {\ rm {d}} x_ {1} + A_ {2} \, {\ rm {d}} x_ {2} + A_ {3} \, {\ rm {d}} x_ {3}.}$

El hermetismo de los magnético de la inducción de dos forma corresponde a la propiedad del campo magnético que está libre de fuente: , es decir, que no hay monopolos magnéticos . ${\ Displaystyle \ operatorname {div} {\ vec {B}} \ equiv 0}$

En un calibre especial , esto implica para i = 1, 2, 3${\ Displaystyle \ operatorname {div} {\ vec {A}} {~ {\ stackrel {!} {=}} ~} 0}$

${\ Displaystyle A_ {i} ({\ vec {r}}) = \ int {\ frac {\ mu _ {0} j_ {i} \ left ({\ vec {r}} ^ {\, '} \ derecha) \, \, dx_ {1} 'dx_ {2}' dx_ {3} '} {4 \ pi | {\ vec {r}} - {\ vec {r}} ^ {\,'} |} } \ ,.}$

(Aquí hay una constante, la permeabilidad magnética al vacío). ${\ Displaystyle \ mu _ {0}}$

Esta ecuación es notable, porque corresponde completamente a una fórmula bien conocida para el campo eléctrico , a saber, para el potencial de Coulomb electrostático de una densidad de carga . En este lugar ya se puede adivinar que ${\ Displaystyle {\ vec {E}}}$ ${\ Displaystyle \ phi (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}$ ${\ Displaystyle \ rho (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}$

• ${\ Displaystyle {\ vec {E}}}$ y ${\ Displaystyle {\ vec {B}},}$
• ${\ Displaystyle \ rho}$ y ${\ Displaystyle {\ vec {j}},}$
• ${\ Displaystyle \ phi}$ y ${\ Displaystyle {\ vec {A}}}$

se puede unificar en cantidades con seis rsp. cuatro componentes no triviales, que es la base de la invariancia relativista de las ecuaciones de Maxwell .

Si se deja la condición de estacionariedad, en el lado izquierdo de la ecuación antes mencionada se debe sumar, en las ecuaciones para , a las tres coordenadas espaciales, como cuarta variable también el tiempo t , mientras que en el lado derecho lado, en , el llamado "tiempo retardado", , debe ser utilizado, es decir, que se añade a la discusión de la densidad de corriente. Finalmente, como antes, se integra sobre las tres coordenadas espaciales primarias. (Como es habitual, c es la velocidad de vacío de la luz). ${\ Displaystyle A_ {i}}$${\ Displaystyle j_ {i} '}$${\ Displaystyle t ': = t - {\ frac {| {\ vec {r}} - {\ vec {r}} ^ {\,'} |} {c}}}$

Notas

Notas al pie

Referencias

• Flanders, Harley (1989) [1963]. Formas diferenciales con aplicaciones a las ciencias físicas . Nueva York: Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-66169-8..
• Warner, Frank W. (1983), Fundamentos de variedades diferenciables y grupos de Lie , Textos de posgrado en matemáticas, 94 , Springer, ISBN 0-387-90894-3
• Napier, Terrence; Ramachandran, Mohan (2011), Introducción a las superficies de Riemann , Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-4693-6
• Cantante, MI ; Thorpe, JA (1976), Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry , University of Bangalore Press, ISBN 0721114784