Historia de las transformaciones de Lorentz - History of Lorentz transformations

La historia de las transformaciones de Lorentz comprende el desarrollo de transformaciones lineales que forman el grupo de Lorentz o el grupo de Poincaré preservando el intervalo de Lorentz y el producto interno de Minkowski . ${\ Displaystyle -x_ {0} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2}}$ ${\ Displaystyle -x_ {0} y_ {0} + \ cdots + x_ {n} y_ {n}}$

En matemáticas , en el siglo XIX se discutieron transformaciones equivalentes a lo que luego se conoció como transformaciones de Lorentz en varias dimensiones en relación con la teoría de las formas cuadráticas , la geometría hiperbólica , la geometría de Möbius y la geometría de la esfera , lo cual está relacionado con el hecho de que el grupo de movimientos en el espacio hiperbólico , el grupo de Möbius o grupo lineal especial proyectivo , y el grupo de Laguerre son isomorfos al grupo de Lorentz .

En física , las transformaciones de Lorentz se dieron a conocer a principios del siglo XX, cuando se descubrió que exhibían la simetría de las ecuaciones de Maxwell . Posteriormente, se volvieron fundamentales para toda la física, porque formaron la base de la relatividad especial en la que exhiben la simetría del espacio-tiempo de Minkowski , haciendo que la velocidad de la luz sea invariante entre diferentes marcos inerciales. Relacionan las coordenadas del espacio-tiempo de dos marcos de referencia inerciales arbitrarios con velocidad relativa constante v . En un marco, la posición de un evento está dada por x, y, zy el tiempo t , mientras que en el otro marco el mismo evento tiene las coordenadas x ′, y ′, z ′ y t ′ .

Transformaciones de Lorentz más generales

La forma cuadrática general q (x) con coeficientes de una matriz simétrica A , la forma bilineal asociada b (x, y) , y las transformaciones lineales de q (x) y b (x, y) en q (x ′) y b (x ′, y ′) usando la matriz de transformación g , se puede escribir como

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} {\ begin {alineado} {\ begin {alineado} q = \ sum _ {0} ^ {n} A_ {ij} x_ {i} x_ {j} = \ mathbf {x } ^ {\ mathrm {T}} \ cdot \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {x} \ end {alineado}} & = q '= \ mathbf {x} ^ {\ mathrm {\ prime T}} \ cdot \ mathbf {A} '\ cdot \ mathbf {x}' \\ b = \ sum _ {0} ^ {n} A_ {ij} x_ {i} y_ {j} = \ mathbf {x} ^ {\ mathrm {T}} \ cdot \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {y} & = b '= \ mathbf {x} ^ {\ mathrm {\ prime T}} \ cdot \ mathbf {A}' \ cdot \ mathbf {y} '\ end {alineado}} \ quad \ left (A_ {ij} = A_ {ji} \ right) \\\ hline \ left. {\ begin {alineado} x_ {i} ^ {\ prime} & = \ sum _ {j = 0} ^ {n} g_ {ij} x_ {j} = \ mathbf {g} \ cdot \ mathbf {x} \\ x_ {i} & = \ sum _ {j = 0 } ^ {n} g_ {ij} ^ {(- 1)} x_ {j} ^ {\ prime} = \ mathbf {g} ^ {- 1} \ cdot \ mathbf {x} '\ end {alineado}} \ right | \ mathbf {g} ^ {\ rm {T}} \ cdot \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {g} = \ mathbf {A} '\ end {matriz}}}$

( Q1 )

en cuyo caso n = 1 es la forma cuadrática binaria , n = 2 es la forma cuadrática ternaria, n = 3 es la forma cuadrática cuaternaria.

Materiales de aprendizaje de Wikiversity: La forma cuadrática binaria fue introducida por Lagrange (1773) y Gauss (1798/1801) , y la forma cuadrática ternaria por Gauss (1798/1801) .

La transformación de Lorentz general se deriva de ( Q1 ) estableciendo A = A ′ = diag (-1,1, ..., 1) y det g = ± 1. Forma un grupo ortogonal indefinido llamado grupo de Lorentz O (1, n), mientras que el caso det g = + 1 forma el grupo de Lorentz restringido SO (1, n). La forma cuadrática q (x) se convierte en el intervalo de Lorentz en términos de una forma cuadrática indefinida del espacio de Minkowski (siendo un caso especial de espacio pseudo-euclidiano ), y la forma bilineal asociada b (x) se convierte en el producto interno de Minkowski :

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} {\ begin {alineado} -x_ {0} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2} & = - x_ {0} ^ {\ prime 2} + \ dots + x_ {n} ^ {\ prime 2} \\ - x_ {0} y_ {0} + \ cdots + x_ {n} y_ {n} & = - x_ {0} ^ {\ prime} y_ { 0} ^ {\ prime} + \ cdots + x_ {n} ^ {\ prime} y_ {n} ^ {\ prime} \ end {alineado}} \\\ hline \ left. {\ Begin {matrix} \ mathbf {x} '= \ mathbf {g} \ cdot \ mathbf {x} \\\ flecha hacia abajo \\ {\ begin {alineado} x_ {0} ^ {\ prime} & = x_ {0} g_ {00} + x_ {1} g_ {01} + \ dots + x_ {n} g_ {0n} \\ x_ {1} ^ {\ prime} & = x_ {0} g_ {10} + x_ {1} g_ {11} + \ dots + x_ {n} g_ {1n} \\ & \ dots \\ x_ {n} ^ {\ prime} & = x_ {0} g_ {n0} + x_ {1} g_ {n1} + \ dots + x_ {n} g_ {nn} \ end {alineado}} \\\\\ mathbf {x} = \ mathbf {g} ^ {- 1} \ cdot \ mathbf {x} '\\\ flecha hacia abajo \\ {\ comenzar {alineado} x_ {0} & = x_ {0} ^ {\ prime} g_ {00} -x_ {1} ^ {\ prime} g_ {10} - \ dots -x_ {n} ^ {\ prime} g_ {n0} \\ x_ {1} & = - x_ {0} ^ {\ prime} g_ {01} + x_ {1} ^ {\ prime} g_ {11} + \ dots + x_ {n} ^ { \ prime} g_ {n1} \\ & \ dots \\ x_ {n} & = - x_ {0} ^ {\ prime} g_ {0n} + x_ {1} ^ {\ prime} g_ {1n} + \ puntos + x_ {n} ^ {\ prime} g_ {nn} \ end {alineado}} \ end {matriz}} \ right | {\ begin {matriz} {\ begin {alineado} \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {g} ^ {\ mathrm {T}} \ cdot \ mat hbf {A} & = \ mathbf {g} ^ {- 1} \\\ mathbf {g} ^ {\ rm {T}} \ cdot \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {g} & = \ mathbf { A} \\\ mathbf {g} \ cdot \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {g} ^ {\ mathrm {T}} & = \ mathbf {A} \\\\\ end {alineado}} \\ {\ begin {alineado} \ sum _ {i = 1} ^ {n} g_ {ij} g_ {ik} -g_ {0j} g_ {0k} & = \ left \ {{\ begin {alineado} -1 \ quad & (j = k = 0) \\ 1 \ quad & (j = k> 0) \\ 0 \ quad & (j \ neq k) \ end {alineado}} \ right. \\\ sum _ {j = 1} ^ {n} g_ {ij} g_ {kj} -g_ {i0} g_ {k0} & = \ left \ {{\ begin {alineado} -1 \ quad & (i = k = 0) \\ 1 \ quad & (i = k> 0) \\ 0 \ quad & (i \ neq k) \ end {alineado}} \ right. \ End {alineado}} \ end {matriz}} \ end {matriz}} }$

( 1a )

Materiales de aprendizaje de Wikiversity: Tales transformaciones generales de Lorentz ( 1a ) para varias dimensiones fueron utilizadas por Gauss (1818) , Jacobi (1827, 1833) , Lebesgue (1837) , Bour (1856) , Somov (1863) , Hill (1882) en para simplificar los cálculos de funciones elípticas e integrales. También fueron utilizados por Poincaré (1881) , Cox (1881/82) , Picard (1882, 1884) , Killing (1885, 1893) , Gérard (1892) , Hausdorff (1899) , Woods (1901, 1903) , Liebmann ( 1904/05) para describir movimientos hiperbólicos (es decir, movimientos rígidos en el plano hiperbólico o espacio hiperbólico ), que se expresaron en términos de coordenadas de Weierstrass del modelo hiperboloide que satisface la relación o en términos de la métrica Cayley-Klein de geometría proyectiva usando la forma "absoluta" . Además, las transformaciones infinitesimales relacionadas con el álgebra de Lie del grupo de movimientos hiperbólicos fueron dadas en términos de coordenadas de Weierstrass por Killing (1888-1897) .${\ Displaystyle -x_ {0} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2} = - 1}$${\ Displaystyle -x_ {0} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2} = 0}$${\ Displaystyle -x_ {0} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2} = - 1}$

Si en ( 1a ) se interpretan como coordenadas homogéneas , entonces las coordenadas no homogéneas correspondientes siguen de ${\ Displaystyle x_ {i}, \ x_ {i} ^ {\ prime}}$${\ Displaystyle u_ {s}, \ u_ {s} ^ {\ prime}}$

${\ Displaystyle \ left [{\ frac {x_ {0}} {x_ {0}}}, \ {\ frac {x_ {s}} {x_ {0}}} \ right] = \ left [1, \ u_ {s} \ right], \ \ left [{\ frac {x_ {0} ^ {\ prime}} {x_ {0} ^ {\ prime}}}, \ {\ frac {x_ {s} ^ { \ prime}} {x_ {0} ^ {\ prime}}} \ right] = \ left [1, \ u_ {s} ^ {\ prime} \ right], \ (s = 1,2 \ dots n) }$

de modo que la transformación de Lorentz se convierte en una homografía dejando invariante la ecuación de la esfera unitaria , que John Lighton Synge llamó "la fórmula más general para la composición de velocidades" en términos de relatividad especial (la matriz de transformación g permanece igual que en ( 1a )):

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} {\ begin {matrix} -x_ {0} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2} = - x_ {0} ^ {\ prime 2} + \ puntos + x_ {n} ^ {\ prime 2} & \ rightarrow & {\ begin {align} -1 + u_ {1} ^ {2} + \ cdots + u_ {n} ^ {2} & = {\ scriptstyle {\ frac {-1 + u_ {1} ^ {\ prime 2} + \ cdots + u_ {n} ^ {\ prime 2}} {\ left (g_ {00} + g_ {01} u_ {1} ^ {\ prime} + \ dots + g_ {0n} u_ {n} ^ {\ prime} \ right) ^ {2}}}} \\ {\ scriptstyle {\ frac {-1 + u_ {1} ^ {2 } + \ cdots + u_ {n} ^ {2}} {\ left (g_ {00} -g_ {10} u_ {1} - \ dots -g_ {n0} u_ {n} \ right) ^ {2} }}} & = - 1 + u_ {1} ^ {\ prime 2} + \ cdots + u_ {n} ^ {\ prime 2} \ end {alineado}} \\\ hline -x_ {0} ^ {2 } + \ cdots + x_ {n} ^ {2} = - x_ {0} ^ {\ prime 2} + \ dots + x_ {n} ^ {\ prime 2} = 0 & \ rightarrow & -1 + u_ {1 } ^ {2} + \ cdots + u_ {n} ^ {2} = - 1 + u_ {1} ^ {\ prime 2} + \ cdots + u_ {n} ^ {\ prime 2} = 0 \ end { matriz}} \\\ hline {\ begin {alineado} u_ {s} ^ {\ prime} & = {\ frac {g_ {s0} + g_ {s1} u_ {1} + \ dots + g_ {sn} u_ {n}} {g_ {00} + g_ {01} u_ {1} + \ dots + g_ {0n} u_ {n}}} \\\\ u_ {s} & = {\ frac {-g_ {0s } + g_ {1s} u_ {1} ^ {\ prime} + \ dots + g_ {ns} u_ {n} ^ {\ prime}} {g_ {00} -g_ {10} u_ {1} ^ {\ prime} - \ dots -g_ {n0} u_ {n} ^ {\ prime}}} \ end {alineado}} \ left | {\ begin {alineado} \ sum _ {i = 1} ^ {n} g_ { ij} g_ {ik} -g_ {0j} g_ {0k} & = \ left \ {{\ begin {alineado} -1 \ quad & (j = k = 0) \\ 1 \ quad & (j = k> 0) \\ 0 \ quad & (j \ neq k) \ end {alineado}} \ right. \\\ sum _ {j = 1} ^ {n} g_ {ij} g_ {kj} -g_ {i0} g_ {k0} & = \ left \ {{\ begin {alineado} -1 \ quad & (i = k = 0) \\ 1 \ quad & (i = k> 0) \\ 0 \ quad & (i \ neq k) \ end {alineado}} \ right. \ end {alineado}} \ right. \ end {matriz}}}$

( 1b )

Materiales de aprendizaje de Wikiversity: Gauss (1818) , Jacobi (1827-1833) , Lebesgue (1837) , Bour (1856) , Somov (1863) , Hill (1882) , Callandreau (1885) utilizaron estas transformaciones de Lorentz para diversas dimensiones . para simplificar los cálculos de funciones elípticas e integrales, por Picard (1882-1884) en relación con las formas cuadráticas hermitianas , o por Woods (1901, 1903) en términos del modelo Beltrami-Klein de geometría hiperbólica. Además, las transformaciones infinitesimales en términos del álgebra de Lie del grupo de movimientos hiperbólicos dejando invariante la esfera unitaria fueron dadas por Lie (1885-1893) y Werner (1889) y Killing (1888-1897) .${\ Displaystyle -1 + u_ {1} ^ {\ prime 2} + \ cdots + u_ {n} ^ {\ prime 2} = 0}$

Transformación de Lorentz mediante transformación ortogonal imaginaria

Al usar las cantidades imaginarias en x así como (s = 1,2 ... n) en g , la transformación de Lorentz ( 1a ) asume la forma de una transformación ortogonal del espacio euclidiano que forma el grupo ortogonal O (n) si det g = ± 1 o el grupo ortogonal especial SO (n) si det g = + 1, el intervalo de Lorentz se convierte en la norma euclidiana y el producto interno de Minkowski se convierte en el producto escalar : ${\ Displaystyle [{\ mathfrak {x}} _ {0}, \ {\ mathfrak {x}} '_ {0}] = \ left [ix_ {0}, \ ix_ {0} ^ {\ prime} \ derecho]}$${\ displaystyle [{\ mathfrak {g}} _ {0s}, \ {\ mathfrak {g}} _ {s0}] = \ left [ig_ {0s}, \ ig_ {s0} \ right]}$

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} {\ begin {alineado} {\ mathfrak {x}} _ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2 } & = {\ mathfrak {x}} _ {0} ^ {\ prime 2} + x_ {1} ^ {\ prime 2} + \ dots + x_ {n} ^ {\ prime 2} \\ {\ mathfrak {x}} _ {0} {\ mathfrak {y}} _ {0} + x_ {1} y_ {1} + \ cdots + x_ {n} y_ {n} & = {\ mathfrak {x}} _ {0} ^ {\ prime} {\ mathfrak {y}} _ {0} ^ {\ prime} + x_ {1} ^ {\ prime} y_ {1} ^ {\ prime} + \ cdots + x_ {n } ^ {\ prime} y_ {n} ^ {\ prime} \ end {alineado}} \\\ hline {\ begin {matrix} \ mathbf {x} '= \ mathbf {g} \ cdot \ mathbf {x} \\\ mathbf {x} = \ mathbf {\ mathbf {g} ^ {- 1}} \ cdot \ mathbf {x} '\ end {matriz}} \ left | {\ begin {alineado} \ sum _ {i = 0} ^ {n} g_ {ij} g_ {ik} & = \ left \ {{\ begin {alineado} 1 \ quad & (j = k) \\ 0 \ quad & (j \ neq k) \ end {alineado}} \ derecha. \\\ suma _ {j = 0} ^ {n} g_ {ij} g_ {kj} & = \ left \ {{\ begin {alineado} 1 \ quad & (i = k) \\ 0 \ quad & (i \ neq k) \ end {alineado}} \ right. \ End {alineado}} \ right. \ End {matriz}}}$

( 2a )

Materiales de aprendizaje de Wikiversity: Los casos n = 1,2,3,4 de transformaciones ortogonales en términos de coordenadas reales fueron discutidos por Euler (1771) y en n dimensiones por Cauchy (1829) . El caso en el que una de estas coordenadas es imaginaria y las otras permanecen reales fue aludido por Lie (1871) en términos de esferas con radio imaginario, mientras que la interpretación de la coordenada imaginaria como relacionada con la dimensión del tiempo y la la formulación explícita de las transformaciones de Lorentz con n = 3 fue dada por Minkowski (1907) y Sommerfeld (1909) .

Un ejemplo bien conocido de esta transformación ortogonal es la rotación espacial en términos de funciones trigonométricas , que se convierten en transformaciones de Lorentz usando un ángulo imaginario , de modo que las funciones trigonométricas se vuelven equivalentes a funciones hiperbólicas : ${\ Displaystyle \ phi = i \ eta}$

${\ Displaystyle {\ begin {array} {c | c | cc} {\ mathfrak {x}} _ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = {\ mathfrak {x}} _ {0} ^ {\ prime 2} + x_ {1} ^ {\ prime 2} + x_ {2} ^ {\ prime 2} & \ left (ix_ {0} \ right) {} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = \ left (ix_ {0} ^ {\ prime} \ right) ^ {2} + x_ {1} ^ {\ prime 2} + x_ {2} ^ {\ prime 2} && - x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = - x_ {0} ^ {\ prime 2} + x_ {1} ^ {\ prime 2} + x_ {2} ^ {\ prime 2} \\\ hline (1) {\ begin {alineado} {\ mathfrak {x}} _ { 0} ^ {\ prime} & = {\ mathfrak {x}} _ {0} \ cos \ phi -x_ {1} \ sin \ phi \\ x_ {1} ^ {\ prime} & = {\ mathfrak { x}} _ {0} \ sin \ phi + x_ {1} \ cos \ phi \\ x_ {2} ^ {\ prime} & = x_ {2} \\\\ {\ mathfrak {x}} _ { 0} & = {\ mathfrak {x}} _ {0} ^ {\ prime} \ cos \ phi + x_ {1} ^ {\ prime} \ sin \ phi \\ x_ {1} & = - {\ mathfrak {x}} _ {0} ^ {\ prime} \ sin \ phi + x_ {1} ^ {\ prime} \ cos \ phi \\ x_ {2} & = x_ {2} ^ {\ prime} \ end {alineado}} & (2) {\ begin {alineado} ix_ {0} ^ {\ prime} & = ix_ {0} \ cos i \ eta -x_ {1} \ sin i \ eta \\ x_ {1} ^ {\ prime} & = ix_ {0} \ sin i \ eta + x_ {1} \ cos i \ eta \\ x_ {2} ^ {\ prime} & = x_ {2} \\\\ ix_ {0 } & = ix_ {0} ^ {\ prime} \ cos i \ eta + x_ {1} ^ {\ prime} \ sin i \ eta \\ x_ {1} & = - ix_ {0} ^ {\ prime} \ sin i \ eta + x_ {1} ^ {\ p rime} \ cos i \ eta \\ x_ {2} & = x_ {2} ^ {\ prime} \ end {alineado}} & \ rightarrow & {\ begin {alineado} x_ {0} ^ {\ prime} & = x_ {0} \ cosh \ eta -x_ {1} \ sinh \ eta \\ x_ {1} ^ {\ prime} & = - x_ {0} \ sinh \ eta + x_ {1} \ cosh \ eta \ \ x_ {2} ^ {\ prime} & = x_ {2} \\\\ x_ {0} & = x_ {0} ^ {\ prime} \ cosh \ eta + x_ {1} ^ {\ prime} \ sinh \ eta \\ x_ {1} & = x_ {0} ^ {\ prime} \ sinh \ eta + x_ {1} ^ {\ prime} \ cosh \ eta \\ x_ {2} & = x_ {2} ^ {\ prime} \ end {alineado}} \ end {matriz}}}$

( 2b )

o en forma exponencial usando la fórmula de Euler : ${\ Displaystyle e ^ {i \ phi} = \ cos \ phi + i \ sin \ phi}$

${\ Displaystyle {\ begin {array} {c | c | cc} {\ mathfrak {x}} _ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = {\ mathfrak {x}} _ {0} ^ {\ prime 2} + x_ {1} ^ {\ prime 2} + x_ {2} ^ {\ prime 2} & \ left (ix_ {0} \ right) {} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = \ left (ix_ {0} ^ {\ prime} \ right) ^ {2} + x_ {1} ^ {\ prime 2} + x_ {2} ^ {\ prime 2} && - x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = - x_ {0} ^ {\ prime 2} + x_ {1} ^ {\ prime 2} + x_ {2} ^ {\ prime 2} \\\ hline (1) {\ begin {alineado} x_ {1} ^ {\ prime} + i {\ mathfrak {x}} _ {0} ^ {\ prime} & = e ^ {- i \ phi} \ left (x_ {1} + i {\ mathfrak {x}} _ {0} \ right ) \\ x_ {1} ^ {\ prime} -i {\ mathfrak {x}} _ {0} ^ {\ prime} & = e ^ {i \ phi} \ left (x_ {1} -i {\ mathfrak {x}} _ {0} \ right) \\ x_ {2} ^ {\ prime} & = x_ {2} \\\\ x_ {1} + i {\ mathfrak {x}} _ {0} & = e ^ {i \ phi} \ left (x_ {1} ^ {\ prime} + i {\ mathfrak {x}} _ {0} ^ {\ prime} \ right) \\ x_ {1} -i {\ mathfrak {x}} _ {0} & = e ^ {- i \ phi} \ left (x_ {1} ^ {\ prime} -i {\ mathfrak {x}} _ {0} ^ {\ prime } \ right) \\ x_ {2} & = x_ {2} ^ {\ prime} \ end {alineado}} & (2) {\ begin {alineado} x_ {1} ^ {\ prime} + i \ left (ix_ {0} ^ {\ prime} \ right) & = e ^ {- i (i \ eta)} \ left (x_ {1} + i \ left (ix_ {0} \ right) \ right) \\ x_ {1} ^ {\ prime} -i \ left (ix_ {0} ^ {\ prime} \ right) & = e ^ {i (i \ eta)} \ left (x_ {1} -i \ left (ix_ {0} \ right) \ right) \\ x_ {2} ^ {\ prime} & = x_ {2 } \\\\ x_ {1} + i \ left (ix_ {0} \ right) & = e ^ {i (i \ eta)} \ left (x_ {1} ^ {\ prime} + i \ left ( ix_ {0} ^ {\ prime} \ right) \ right) \\ x_ {1} -i \ left (ix_ {0} \ right) & = e ^ {- i (i \ eta)} \ left (x_ {1} ^ {\ prime} -i \ left (ix_ {0} ^ {\ prime} \ right) \ right) \\ x_ {2} & = x_ {2} ^ {\ prime} \ end {alineado} } & \ rightarrow & {\ begin {align} x_ {1} ^ {\ prime} -x_ {0} ^ {\ prime} & = e ^ {\ eta} \ left (x_ {1} -x_ {0} \ right) \\ x_ {1} ^ {\ prime} + x_ {0} ^ {\ prime} & = e ^ {- \ eta} \ left (x_ {1} + x_ {0} \ right) \\ x_ {2} ^ {\ prime} & = x_ {2} \\\\ x_ {1} -x_ {0} & = e ^ {- \ eta} \ left (x_ {1} ^ {\ prime} - x_ {0} ^ {\ prime} \ right) \\ x_ {1} + x_ {0} & = e ^ {\ eta} \ left (x_ {1} ^ {\ prime} + x_ {0} ^ { \ prime} \ right) \\ x_ {2} & = x_ {2} ^ {\ prime} \ end {alineado}} \ end {array}}}$

( 2c )

Materiales de aprendizaje de Wikiversity: Definiendo como real, la rotación espacial en la forma ( 2b -1) fue introducida por Euler (1771) y en la forma ( 2c -1) por Wessel (1799) . La interpretación de ( 2b ) como impulso de Lorentz (es decir, transformación de Lorentz sin rotación espacial) en la que corresponden a las cantidades imaginarias fue dada por Minkowski (1907) y Sommerfeld (1909) . Como se muestra en la siguiente sección usando funciones hiperbólicas, ( 2b ) se convierte en ( 3b ) mientras que ( 2c ) se convierte en ( 3d ).${\ Displaystyle [{\ mathfrak {x}} _ {0}, \ {\ mathfrak {x}} '_ {0}, \ \ phi]}$${\ Displaystyle [{\ mathfrak {x}} _ {0}, \ {\ mathfrak {x}} '_ {0}, \ \ phi]}$${\ Displaystyle [ix_ {0}, \ ix '_ {0}, \ i \ eta]}$

Transformación de Lorentz mediante funciones hiperbólicas

El caso de una transformación de Lorentz sin rotación espacial se denomina impulso de Lorentz . El caso más simple se puede dar, por ejemplo, estableciendo n = 1 en ( 1a ):

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} -x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} = - x_ {0} ^ {\ prime 2} + x_ {1} ^ {\ prime 2} \\\ hline {\ begin {align} x_ {0} ^ {\ prime} & = x_ {0} g_ {00} + x_ {1} g_ {01} \\ x_ {1} ^ {\ prime} & = x_ {0} g_ {10} + x_ {1} g_ {11} \\\\ x_ {0} & = x_ {0} ^ {\ prime} g_ {00} -x_ {1} ^ {\ prime } g_ {10} \\ x_ {1} & = - x_ {0} ^ {\ prime} g_ {01} + x_ {1} ^ {\ prime} g_ {11} \ end {alineado}} \ left | {\ begin {alineado} g_ {01} ^ {2} -g_ {00} ^ {2} & = - 1 \\ g_ {11} ^ {2} -g_ {10} ^ {2} & = 1 \ \ g_ {01} g_ {11} -g_ {00} g_ {10} & = 0 \\ g_ {10} ^ {2} -g_ {00} ^ {2} & = - 1 \\ g_ {11} ^ {2} -g_ {01} ^ {2} & = 1 \\ g_ {10} g_ {11} -g_ {00} g_ {01} & = 0 \ end {alineado}} \ rightarrow {\ begin { alineado} g_ {00} ^ {2} & = g_ {11} ^ {2} \\ g_ {01} ^ {2} & = g_ {10} ^ {2} \ end {alineado}} \ derecha. \ final {matriz}}}$ o en notación matricial ${\ Displaystyle {\ begin {matrix} -x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} = - x_ {0} ^ {\ prime 2} + x_ {1} ^ {\ prime 2} \\\ hline \ left. {\ begin {alineado} \ mathbf {x} '& = {\ begin {bmatrix} g_ {00} & g_ {01} \\ g_ {10} & g_ {11} \ end {bmatrix} } \ cdot \ mathbf {x} \\\ mathbf {x} & = {\ begin {bmatrix} g_ {00} & - g_ {10} \\ - g_ {01} & g_ {11} \ end {bmatrix}} \ cdot \ mathbf {x} '\ end {alineado}} \ right | \ det {\ begin {bmatrix} g_ {00} & g_ {01} \\ g_ {10} & g_ {11} \ end {bmatrix}} = 1 \ end {matriz}}}$

( 3a )

que se asemeja precisamente a las relaciones de las funciones hiperbólicas en términos de ángulo hiperbólico . Por lo tanto, al agregar un eje sin cambios , un impulso de Lorentz o una rotación hiperbólica para n = 2 (que es lo mismo que una rotación alrededor de un ángulo imaginario en ( 2b ) o una traslación en el plano hiperbólico en términos del modelo hiperboloide) viene dada por ${\ Displaystyle \ eta}$${\ Displaystyle x_ {2}}$${\ Displaystyle i \ eta = \ phi}$

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} -x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = - x_ {0} ^ {\ prime 2} + x_ {1} ^ {\ prime 2} + x_ {2} ^ {\ prime 2} \\\ hline g_ {00} = g_ {11} = \ cosh \ eta, \ g_ {01} = g_ {10} = - \ sinh \ eta \\\ hline \ left. {\ begin {alineado} x_ {0} ^ {\ prime} & = x_ {0} \ cosh \ eta -x_ {1} \ sinh \ eta \\ x_ { 1} ^ {\ prime} & = - x_ {0} \ sinh \ eta + x_ {1} \ cosh \ eta \\ x_ {2} ^ {\ prime} & = x_ {2} \\\\ x_ { 0} & = x_ {0} ^ {\ prime} \ cosh \ eta + x_ {1} ^ {\ prime} \ sinh \ eta \\ x_ {1} & = x_ {0} ^ {\ prime} \ sinh \ eta + x_ {1} ^ {\ prime} \ cosh \ eta \\ x_ {2} & = x_ {2} ^ {\ prime} \ end {alineado}} \ right | {\ scriptstyle {\ begin {alineado } \ sinh ^ {2} \ eta - \ cosh ^ {2} \ eta & = - 1 & (a) \\\ cosh ^ {2} \ eta - \ sinh ^ {2} \ eta & = 1 & (b) \\ {\ frac {\ sinh \ eta} {\ cosh \ eta}} & = \ tanh \ eta & (c) \\ {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ tanh ^ {2} \ eta }}} & = \ cosh \ eta & (d) \\ {\ frac {\ tanh \ eta} {\ sqrt {1- \ tanh ^ {2} \ eta}}} & = \ sinh \ eta & (e ) \\ {\ frac {\ tanh q \ pm \ tanh \ eta} {1 \ pm \ tanh q \ tanh \ eta}} & = \ tanh \ left (q \ pm \ eta \ right) & (f) \ fin {alineado}}} \ end {matriz}}}$ o en notación matricial ${\ Displaystyle {\ begin {matrix} -x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} = - x_ {0} ^ {\ prime 2} + x_ {1} ^ {\ prime 2} \\\ hline \ left. {\ begin {alineado} \ mathbf {x} '& = {\ begin {bmatrix} \ cosh \ eta & - \ sinh \ eta \\ - \ sinh \ eta & \ cosh \ eta \ end {bmatrix}} \ cdot \ mathbf {x} \\\ mathbf {x} & = {\ begin {bmatrix} \ cosh \ eta & \ sinh \ eta \\\ sinh \ eta & \ cosh \ eta \ end { bmatrix}} \ cdot \ mathbf {x} '\ end {alineado}} \ right | \ det {\ begin {bmatrix} \ cosh \ eta & - \ sinh \ eta \\ - \ sinh \ eta & \ cosh \ eta \ end {bmatrix}} = 1 \ end {matriz}}}$

( 3b )

en el que la rapidez puede estar compuesta de muchas rapidez arbitrarias según las leyes de suma de ángulos de senos y cosenos hiperbólicos , de modo que una rotación hiperbólica puede representar la suma de muchas otras rotaciones hiperbólicas, análoga a la relación entre las leyes de suma de ángulos de trigonometría circular y rotaciones espaciales. Alternativamente, las leyes de la suma de ángulos hiperbólicos en sí pueden interpretarse como aumentos de Lorentz, como se demuestra al usar la parametrización de la hipérbola unitaria : ${\ Displaystyle \ eta _ {1}, \ eta _ {2} \ dots}$

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} -x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} = - x_ {0} ^ {\ prime 2} + x_ {1} ^ {\ prime 2} = 1 \\\ hline \ left [\ eta = \ eta _ {2} - \ eta _ {1} \ right] \\ {\ begin {alineado} x_ {0} ^ {\ prime} & = \ sinh \ eta _ {1} && = \ sinh \ left (\ eta _ {2} - \ eta \ right) && = \ sinh \ eta _ {2} \ cosh \ eta - \ cosh \ eta _ {2} \ sinh \ eta && = x_ {0} \ cosh \ eta -x_ {1} \ sinh \ eta \\ x_ {1} ^ {\ prime} & = \ cosh \ eta _ {1} && = \ cosh \ left (\ eta _ {2} - \ eta \ derecha) && = - \ sinh \ eta _ {2} \ sinh \ eta + \ cosh \ eta _ {2} \ cosh \ eta && = - x_ {0} \ sinh \ eta + x_ {1} \ cosh \ eta \\\\ x_ {0} & = \ sinh \ eta _ {2} && = \ sinh \ left (\ eta _ {1} + \ eta \ right) && = \ sinh \ eta _ {1} \ cosh \ eta + \ cosh \ eta _ {1} \ sinh \ eta && = x_ {0} ^ {\ prime} \ cosh \ eta + x_ {1} ^ {\ prime} \ sinh \ eta \\ x_ {1} & = \ cosh \ eta _ {2} && = \ cosh \ left (\ eta _ {1} + \ eta \ right) && = \ sinh \ eta _ {1} \ sinh \ eta + \ cosh \ eta _ {1} \ cosh \ eta && = x_ {0} ^ {\ prime} \ sinh \ eta + x_ {1} ^ {\ prime} \ cosh \ eta \ end {alineado}} \ end {matriz}}}$ o en notación matricial ${\ Displaystyle {\ begin {matrix} -x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} = - x_ {0} ^ {\ prime 2} + x_ {1} ^ {\ prime 2} = 1 \\\ hline {\ begin {alineado} & {\ begin {bmatrix} x_ {0} ^ {\ prime} \\ x_ {1} ^ {\ prime} \ end {bmatrix}} = {\ begin { bmatrix} \ sinh \ eta _ {1} \\\ cosh \ eta _ {1} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ sinh \ left (\ eta _ {2} - \ eta \ right) \\\ cosh \ left (\ eta _ {2} - \ eta \ right) \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ cosh \ eta & - \ sinh \ eta \\ - \ sinh \ eta & \ cosh \ eta \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} \ sinh \ eta _ {2} \\\ cosh \ eta _ {2} \ end {bmatrix}} && = {\ begin {bmatrix} \ cosh \ eta & - \ sinh \ eta \\ - \ sinh \ eta & \ cosh \ eta \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} x_ {0} \\ x_ {1} \ end {bmatrix }} \\ & {\ begin {bmatrix} x_ {0} \\ x_ {1} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ sinh \ eta _ {2} \\\ cosh \ eta _ { 2} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ sinh \ left (\ eta _ {1} + \ eta \ right) \\\ cosh \ left (\ eta _ {1} + \ eta \ right ) \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ cosh \ eta & \ sinh \ eta \\\ sinh \ eta & \ cosh \ eta \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} \ sinh \ eta _ {1} \\\ cosh \ eta _ {1} \ end {bmatrix}} && = {\ begin {bmatrix} \ cosh \ eta & \ sinh \ eta \\\ sinh \ eta & \ cosh \ eta \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} x_ {0} ^ {\ prime} \\ x_ {1} ^ {\ prime} \ end {bmatrix}} \ end {alineado}} \ end {matriz}}}$

( 3c )

Finalmente, Lorentz boost ( 3b ) asume una forma simple usando mapeos de compresión en analogía con la fórmula de Euler en ( 2c ):

${\ displaystyle (1) {\ begin {matrix} -x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = - x_ {0} ^ {\ prime 2 } + x_ {1} ^ {\ prime 2} + x_ {2} ^ {\ prime 2} \\\ hline {\ begin {alineado} x_ {1} ^ {\ prime} -x_ {0} ^ {\ prime} & = e ^ {\ eta} \ left (x_ {1} -x_ {0} \ right) \\ x_ {1} ^ {\ prime} + x_ {0} ^ {\ prime} & = e ^ {- \ eta} \ left (x_ {1} + x_ {0} \ right) \\ x_ {2} ^ {\ prime} & = x_ {2} \\\\ x_ {1} -x_ {0} & = e ^ {- \ eta} \ left (x_ {1} ^ {\ prime} -x_ {0} ^ {\ prime} \ right) \\ x_ {1} + x_ {0} & = e ^ { \ eta} \ left (x_ {1} ^ {\ prime} + x_ {0} ^ {\ prime} \ right) \\ x_ {2} & = x_ {2} ^ {\ prime} \ end {alineado} } \ end {matriz}} \ left | {\ scriptstyle {\ begin {alineado} X_ {1} & = x_ {1} + x_ {0} \\ X_ {2} & = x_ {2} \\ X_ { 3} & = x_ {1} -x_ {0} \\\\ a_ {1} & = e ^ {- \ eta} \\ a_ {2} & = 1 \\ a_ {3} & = e ^ { \ eta} = a_ {1} ^ {- 1} \ end {alineado}}} (2) {\ begin {matrix} X_ {2} ^ {\ prime 2} -X_ {1} ^ {\ prime} X_ {3} ^ {\ prime} = X_ {2} ^ {2} -X_ {1} X_ {3} \\\ hline {\ begin {alineado} X_ {1} ^ {\ prime} & = a_ {1 } X_ {1} \\ X_ {2} ^ {\ prime} & = a_ {2} X_ {2} \\ X_ {3} ^ {\ prime} & = a_ {3} X_ {3} \\\ \ X_ {1} & = a_ {3} X_ {1} ^ {\ prime} \\ X_ {2} & = a_ {2} X_ {2} ^ {\ prime} \\ X_ {3} & = a_ {1} X_ {3} ^ {\ prime} \ end {alineado}} \\\ izquierda (a_ {1} a_ {3} -a_ {2} ^ {2} = 0 \ right) \ end {matriz} }\derecho.}$

( 3d )

Materiales de aprendizaje de Wikiversity: Las relaciones hiperbólicas (a, b) a la derecha de ( 3b ) fueron dadas por Riccati (1757) , las relaciones (a, b, c, d, e, f) por Lambert (1768-1770) . Las transformaciones de Lorentz ( 3b ) fueron dadas por Laisant (1874) , Cox (1882) , Lindemann (1890/91) , Gérard (1892) , Killing (1893, 1897/98) , Whitehead (1897/98) , Woods (1903 / 05) y Liebmann (1904/05) en términos de coordenadas de Weierstrass del modelo hiperboloide . Riccati (1757) y Lambert (1768-1770) dieron las leyes de suma de ángulos hiperbólicos equivalentes al impulso de Lorentz ( 3c ) , mientras que Glaisher (1878) y Günther (1880/81) dieron la representación matricial . Las transformaciones de Lorentz ( 3d -1) fueron dadas por Lindemann (1890/91) y Herglotz (1909) , mientras que las fórmulas equivalentes a ( 3d -2) por Klein (1871) .

De acuerdo con la ecuación ( 1b ) se pueden usar coordenadas dentro del círculo unitario , por lo que las correspondientes transformaciones de Lorentz ( 3b ) obtienen la forma: ${\ Displaystyle [u_ {1}, \ u_ {2}, \ 1] = \ left [{\ tfrac {x_ {1}} {x_ {0}}}, \ {\ tfrac {x_ {2}} { x_ {0}}}, \ {\ tfrac {x_ {0}} {x_ {0}}} \ right]}$ ${\ Displaystyle u_ {1} ^ {2} + u_ {2} ^ {2} = 1}$

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} {\ begin {matrix} -x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = - x_ {0} ^ { \ prime 2} + x_ {1} ^ {\ prime 2} + x_ {2} ^ {\ prime 2} & \ rightarrow & {\ begin {align} -1 + u_ {1} ^ {2} + u_ { 2} ^ {2} & = {\ frac {-1 + u_ {1} ^ {\ prime 2} + u_ {2} ^ {\ prime 2}} {\ left (\ cosh \ eta + u_ {1} ^ {\ prime} \ sinh \ eta \ right) ^ {2}}} \\ {\ frac {-1 + u_ {1} ^ {2} + u_ {2} ^ {2}} {\ left (\ cosh \ eta -u_ {1} \ sinh \ eta \ right) ^ {2}}} & = - 1 + u_ {1} ^ {\ prime 2} + u_ {2} ^ {\ prime 2} \ end { alineado}} \\\ hline -x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = - x_ {0} ^ {\ prime 2} + x_ {1 } ^ {\ prime 2} + x_ {2} ^ {\ prime 2} = 0 & \ rightarrow & -1 + u_ {x} ^ {2} + u_ {y} ^ {2} = - 1 + u_ {x } ^ {\ prime 2} + u_ {y} ^ {\ prime 2} = 0 \ end {matriz}} \\\ hline {\ scriptstyle {\ begin {alineado} {\ frac {\ sinh \ eta} {\ cosh \ eta}} & = \ tanh \ eta = v \\\ cosh \ eta & = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ tanh ^ {2} \ eta}}} \ end {alineado}} } \ left | {\ begin {alineado} & (a) && (b) && (c) \\ u_ {1} ^ {\ prime} & = {\ frac {- \ sinh \ eta + u_ {1} \ cosh \ eta} {\ cosh \ eta -u_ {1} \ sinh \ eta}} && = {\ frac {u_ {1} - \ tanh \ eta} {1-u_ {1} \ tanh \ eta}} && = {\ frac {u_ {1} -v} {1-u_ {1} v}} \\ u_ {2} ^ {\ prime} & = {\ frac {u_ {2}} {\ cosh \ e ta -u_ {1} \ sinh \ eta}} && = {\ frac {u_ {2} {\ sqrt {1- \ tanh ^ {2} \ eta}}} {1-u_ {1} \ tanh \ eta }} && = {\ frac {u_ {2} {\ sqrt {1-v ^ {2}}}} {1-u_ {1} v}} \\\\ u_ {1} & = {\ frac { \ sinh \ eta + u_ {1} ^ {\ prime} \ cosh \ eta} {\ cosh \ eta + u_ {1} ^ {\ prime} \ sinh \ eta}} && = {\ frac {u_ {1} ^ {\ prime} + \ tanh \ eta} {1 + u_ {1} ^ {\ prime} \ tanh \ eta}} && = {\ frac {u_ {1} ^ {\ prime} + v} {1+ u_ {1} ^ {\ prime} v}} \\ u_ {2} & = {\ frac {u_ {2} ^ {\ prime}} {\ cosh \ eta + u_ {1} ^ {\ prime} \ sinh \ eta}} && = {\ frac {u_ {2} ^ {\ prime} {\ sqrt {1- \ tanh ^ {2} \ eta}}} {1 + u_ {1} ^ {\ prime} \ tanh \ eta}} && = {\ frac {u_ {2} ^ {\ prime} {\ sqrt {1-v ^ {2}}}} {1 + u_ {1} ^ {\ prime} v}} \ end {alineado}} \ right. \ end {matriz}}}$

( 3e )

Materiales de aprendizaje de Wikiversity: Estas transformaciones de Lorentz fueron dadas por Escherich (1874) y Killing (1898) (a la izquierda), así como Beltrami (1868) y Schur (1885/86, 1900/02) (a la derecha) en términos de las coordenadas de Beltrami de la geometría hiperbólica.

Al usar el producto escalar de , la transformación de Lorentz resultante puede verse como equivalente a la ley hiperbólica de los cosenos : ${\ Displaystyle \ left [u_ {1}, u_ {2} \ right]}$

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} & {\ begin {matrix} u ^ {2} = u_ {1} ^ {2} + u_ {2} ^ {2} \\ u '^ {2} = u_ { 1} ^ {\ prime 2} + u_ {2} ^ {\ prime 2} \ end {matriz}} \ left | {\ begin {matriz} u_ {1} = u \ cos \ alpha \\ u_ {2} = u \ sin \ alpha \\\\ u_ {1} ^ {\ prime} = u '\ cos \ alpha' \\ u_ {2} ^ {\ prime} = u '\ sin \ alpha' \ end {matriz }} \ right | {\ begin {alineado} u \ cos \ alpha & = {\ frac {u '\ cos \ alpha' + v} {1 + vu '\ cos \ alpha'}}, & u '\ cos \ alpha '& = {\ frac {u \ cos \ alpha -v} {1-vu \ cos \ alpha}} \\ u \ sin \ alpha & = {\ frac {u' \ sin \ alpha '{\ sqrt { 1-v ^ {2}}}} {1 + vu '\ cos \ alpha'}}, & u '\ sin \ alpha' & = {\ frac {u \ sin \ alpha {\ sqrt {1-v ^ { 2}}}} {1-vu \ cos \ alpha}} \\\ tan \ alpha & = {\ frac {u '\ sin \ alpha' {\ sqrt {1-v ^ {2}}}} {u '\ cos \ alpha' + v}}, & \ tan \ alpha '& = {\ frac {u \ sin \ alpha {\ sqrt {1-v ^ {2}}}} {u \ cos \ alpha -v }} \ end {alineado}} \\\ Flecha derecha & u = {\ frac {\ sqrt {v ^ {2} + u ^ {\ prime 2} + 2vu '\ cos \ alpha' - \ left (vu '\ sin \ alpha '\ right) {} ^ {2}}} {1 + vu' \ cos \ alpha '}}, \ quad u' = {\ frac {\ sqrt {-v ^ {2} -u ^ {2 } + 2vu \ cos \ alpha + \ left (vu \ sin \ alpha \ right) {} ^ {2}}} {1-vu \ cos \ alpha}} \\\ Rightarrow & {\ frac {1} {\ sq rt {1-u ^ {\ prime 2}}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1-v ^ {2}}}} {\ frac {1} {\ sqrt {1-u ^ { 2}}}} - {\ frac {v} {\ sqrt {1-v ^ {2}}}} {\ frac {u} {\ sqrt {1-u ^ {2}}}} \ cos \ alpha & (b) \\\ Flecha derecha & {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ tanh ^ {2} \ xi}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ tanh ^ {2 } \ eta}}} {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ tanh ^ {2} \ zeta}}} - {\ frac {\ tanh \ eta} {\ sqrt {1- \ tanh ^ {2 } \ eta}}} {\ frac {\ tanh \ zeta} {\ sqrt {1- \ tanh ^ {2} \ zeta}}} \ cos \ alpha \\\ Flecha derecha & \ cosh \ xi = \ cosh \ eta \ cosh \ zeta - \ sinh \ eta \ sinh \ zeta \ cos \ alpha & (a) \ end {matriz}}}$

( 3f )

Materiales de aprendizaje de Wikiversity: La ley hiperbólica de los cosenos (a) fue dada por Taurinus (1826) y Lobachevsky (1829/30) y otros, mientras que la variante (b) fue dada por Schur (1900/02) .

Transformación de Lorentz a través de la velocidad

En la teoría de la relatividad , las transformaciones de Lorentz exhiben la simetría del espacio-tiempo de Minkowski usando una constante c como la velocidad de la luz y un parámetro v como la velocidad relativa entre dos marcos de referencia inerciales . En particular, el ángulo hiperbólico en ( 3b ) se puede interpretar como la rapidez relacionada con la velocidad , por lo que es el factor de Lorentz , la velocidad adecuada , la velocidad de otro objeto, la fórmula de velocidad-adición , por lo que ( 3b ) se convierte en: ${\ Displaystyle \ eta}$ ${\ Displaystyle \ tanh \ eta = \ beta = v / c}$${\ Displaystyle \ gamma = \ cosh \ eta}$${\ Displaystyle \ beta \ gamma = \ sinh \ eta}$${\ Displaystyle u '= do \ tanh q}$${\ Displaystyle u = c \ tanh (q + \ eta)}$

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} -x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = - x_ {0} ^ {\ prime 2} + x_ {1} ^ {\ prime 2} + x_ {2} ^ {\ prime 2} \\\ hline {\ begin {align} x_ {0} ^ {\ prime} & = x_ {0} \ gamma -x_ { 1} \ beta \ gamma \\ x_ {1} ^ {\ prime} & = - x_ {0} \ beta \ gamma + x_ {1} \ gamma \\ x_ {2} ^ {\ prime} & = x_ { 2} \\\\ x_ {0} & = x_ {0} ^ {\ prime} \ gamma + x_ {1} ^ {\ prime} \ beta \ gamma \\ x_ {1} & = x_ {0} ^ {\ prime} \ beta \ gamma + x_ {1} ^ {\ prime} \ gamma \\ x_ {2} & = x_ {2} ^ {\ prime} \ end {alineado}} \ left | {\ scriptstyle { \ begin {alineado} \ beta ^ {2} \ gamma ^ {2} - \ gamma ^ {2} & = - 1 & (a) \\\ gamma ^ {2} - \ beta ^ {2} \ gamma ^ { 2} & = 1 & (b) \\ {\ frac {\ beta \ gamma} {\ gamma}} & = \ beta & (c) \\ {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ { 2}}}} & = \ gamma & (d) \\ {\ frac {\ beta} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}} & = \ beta \ gamma & (e) \\ { \ frac {u '+ v} {1 + {\ frac {u'v} {c ^ {2}}}}} & = u & (f) \ end {alineado}}} \ right. \ end {matriz} }}$

( 4a )

O en cuatro dimensiones y estableciendo y agregando una z sin cambios , sigue la forma familiar, usando como factor Doppler: ${\ Displaystyle x_ {0} = ct, \ x_ {1} = x, \ x_ {2} = y}$${\ Displaystyle {\ sqrt {\ tfrac {c + v} {cv}}}}$

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} -c ^ {2} t ^ {2} + x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = - c ^ {2} t ^ {\ prime 2} + x ^ {\ prime 2} + y ^ {\ prime 2} + z ^ {\ prime 2} \\\ hline \ left. {\ Begin {alineado} t '& = \ gamma \ left (tx { \ frac {v} {c ^ {2}}} \ right) \\ x '& = \ gamma (x-vt) \\ y' & = y \\ z '& = z \ end {alineado}} \ derecha | {\ begin {alineado} t & = \ gamma \ left (t '+ x {\ frac {v} {c ^ {2}}} \ right) \\ x & = \ gamma (x' + vt ') \ \ y & = y '\\ z & = z' \ end {alineado}} \ end {matriz}} \ Flecha derecha {\ begin {alineado} (ct '+ x') & = (ct + x) {\ sqrt {\ frac {c + v} {cv}}} \\ (ct'-x ') & = (ct-x) {\ sqrt {\ frac {cv} {c + v}}} \ end {alineado}}}$

( 4b )

En física, transformaciones análogas han sido introducidos por Voigt (1887) y por Lorentz (1892, 1895) que analiza las ecuaciones de Maxwell , que fueron completados por Larmor (1897, 1900) y de Lorentz (1899, 1904) , y son llevados a su forma moderna por Poincaré (1905) quien dio a la transformación el nombre de Lorentz. Finalmente, Einstein (1905) demostró en su desarrollo de la relatividad especial que las transformaciones se derivan del principio de relatividad y la velocidad constante de la luz solo mediante la modificación de los conceptos tradicionales de espacio y tiempo, sin requerir un éter mecánico a diferencia de Lorentz y Poincaré. Minkowski (1907-1908) los utilizó para argumentar que el espacio y el tiempo están conectados inseparablemente como espacio-tiempo . Minkowski (1907-1908) y Varićak (1910) mostraron la relación con las funciones imaginarias e hiperbólicas. Otros autores como Herglotz (1909/10) , Ignatowski (1910) , Noether (1910) y Klein (1910) , Borel (1913–14) también hicieron importantes contribuciones a la comprensión matemática de la transformación de Lorentz .

Materiales de aprendizaje de Wikiversity: en matemáticas puras, Lipschitz (1885/86) ha utilizado transformaciones similares .

Además, los aumentos de Lorentz para direcciones arbitrarias en línea con ( 1a ) se pueden dar como:

${\ Displaystyle \ mathbf {x} '= {\ begin {bmatrix} \ gamma & - \ gamma \ beta n_ {x} & - \ gamma \ beta n_ {y} & - \ gamma \ beta n_ {z} \\ - \ gamma \ beta n_ {x} & 1 + (\ gamma -1) n_ {x} ^ {2} & (\ gamma -1) n_ {x} n_ {y} & (\ gamma -1) n_ {x} n_ {z} \\ - \ gamma \ beta n_ {y} & (\ gamma -1) n_ {y} n_ {x} & 1 + (\ gamma -1) n_ {y} ^ {2} & (\ gamma - 1) n_ {y} n_ {z} \\ - \ gamma \ beta n_ {z} & (\ gamma -1) n_ {z} n_ {x} & (\ gamma -1) n_ {z} n_ {y } & 1 + (\ gamma -1) n_ {z} ^ {2} \ end {bmatrix}} \ cdot \ mathbf {x}, \ quad \ left [\ mathbf {n} = {\ frac {\ mathbf {v} } {v}} \ right]}$

o en notación vectorial

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} t '& = \ gamma \ left (t - {\ frac {v \ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {r}} {c ^ {2}}} \ right) \ \\ mathbf {r} '& = \ mathbf {r} + (\ gamma -1) (\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {n}) \ mathbf {n} - \ gamma tv \ mathbf {n} \ final {alineado}}}$

( 4c )

Estas transformaciones fueron formuladas por Herglotz (1911) y Silberstein (1911) y otros.

De acuerdo con la ecuación ( 1b ), se puede sustituir en ( 3b ) o ( 4a ), produciendo la transformación de Lorentz de velocidades (o fórmula de adición de velocidades ) en analogía con las coordenadas de Beltrami de ( 3e ): ${\ Displaystyle \ left [{\ tfrac {u_ {x}} {c}}, \ {\ tfrac {u_ {y}} {c}}, \ 1 \ right] = \ left [{\ tfrac {x} {ct}}, \ {\ tfrac {y} {ct}}, \ {\ tfrac {ct} {ct}} \ right]}$

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} {\ begin {matrix} -c ^ {2} t ^ {2} + x ^ {2} + y ^ {2} = - c ^ {2} t ^ {\ prime 2} + x ^ {\ prime 2} + y ^ {\ prime 2} & \ rightarrow & {\ begin {align} -c ^ {2} + u_ {x} ^ {2} + u_ {y} ^ { 2} & = {\ frac {-c ^ {2} + u_ {x} ^ {\ prime 2} + u_ {y} ^ {\ prime 2}} {\ gamma ^ {2} \ left (1+ { \ frac {v} {c ^ {2}}} u_ {x} ^ {\ prime} \ right) ^ {2}}} \\ {\ frac {-c ^ {2} + u_ {x} ^ { 2} + u_ {y} ^ {2}} {\ gamma ^ {2} \ left (1 - {\ frac {v} {c ^ {2}}} u_ {x} \ right) ^ {2}} } & = - c ^ {2} + u_ {x} ^ {\ prime 2} + u_ {y} ^ {\ prime 2} \ end {alineado}} \\\ hline -c ^ {2} t ^ { 2} + x ^ {2} + y ^ {2} = - c ^ {2} t ^ {\ prime 2} + x ^ {\ prime 2} + y ^ {\ prime 2} = 0 & \ rightarrow & - c ^ {2} + u_ {x} ^ {2} + u_ {y} ^ {2} = - c ^ {2} + u_ {x} ^ {\ prime 2} + u_ {y} ^ {\ prime 2} = 0 \ end {matriz}} \\\ hline {\ scriptstyle {\ begin {alineado} {\ frac {\ sinh \ eta} {\ cosh \ eta}} & = \ tanh \ eta = {\ frac { v} {c}} \\\ cosh \ eta & = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ tanh ^ {2} \ eta}}} \ end {alineado}}} \ left | {\ begin {alineado} u_ {x} ^ {\ prime} & = {\ frac {-c ^ {2} \ sinh \ eta + u_ {x} c \ cosh \ eta} {c \ cosh \ eta -u_ {x} \ sinh \ eta}} && = {\ frac {u_ {x} -c \ tanh \ eta} {1 - {\ frac {u_ {x}} {c}} \ tanh \ eta}} && = {\ frac {u_ {x} -v} {1 - {\ frac {v} {c ^ {2}}} u { } _ {x}}} \\ u_ {y} ^ {\ prime} & = {\ frac {cu_ {y}} {c \ cosh \ eta -u_ {x} \ sinh \ eta}} && = {\ frac {u_ {y} {\ sqrt {1- \ tanh ^ {2} \ eta}}} {1 - {\ frac {u_ {x}} {c}} \ tanh \ eta}} && = {\ frac {u_ {y} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} {1 - {\ frac {v} {c ^ {2}}} u {} _ {x}}} \\\\ u_ {x} & = {\ frac {c ^ {2} \ sinh \ eta + u_ {x} ^ {\ prime} c \ cosh \ eta} {c \ cosh \ eta + u_ {x} ^ {\ prime} \ sinh \ eta}} && = {\ frac {u_ {x} ^ {\ prime} + c \ tanh \ eta} {1 + {\ frac {u_ { x} ^ {\ prime}} {c}} \ tanh \ eta}} && = {\ frac {u_ {x} ^ {\ prime} + v} {1 + {\ frac {v} {c ^ {2 }}} u_ {x} ^ {\ prime}}} \\ u_ {y} & = {\ frac {cy '} {c \ cosh \ eta + u_ {x} ^ {\ prime} \ sinh \ eta} } && = {\ frac {u_ {y} ^ {\ prime} {\ sqrt {1- \ tanh ^ {2} \ eta}}} {1 + {\ frac {u_ {x} ^ {\ prime}} {c}} \ tanh \ eta}} && = {\ frac {u_ {y} ^ {\ prime} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}} }} {1 + {\ frac {v} {c ^ {2}}} u_ {x} ^ {\ prime}}} \ end {alineado}} \ right. \ End {matriz}}}$

( 4d )

o usando identidades trigonométricas e hiperbólicas se convierte en la ley hiperbólica de los cosenos en términos de ( 3f ):

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} & {\ begin {matrix} u ^ {2} = u_ {x} ^ {2} + u_ {y} ^ {2} \\ u '^ {2} = u_ { x} ^ {\ prime 2} + u_ {y} ^ {\ prime 2} \ end {matriz}} \ left | {\ begin {matriz} u_ {x} = u \ cos \ alpha \\ u_ {y} = u \ sin \ alpha \\\\ u_ {x} ^ {\ prime} = u '\ cos \ alpha' \\ u_ {y} ^ {\ prime} = u '\ sin \ alpha' \ end {matriz }} \ right | {\ begin {alineado} u \ cos \ alpha & = {\ frac {u '\ cos \ alpha' + v} {1 + {\ frac {v} {c ^ {2}}} u '\ cos \ alpha'}}, & u '\ cos \ alpha' & = {\ frac {u \ cos \ alpha -v} {1 - {\ frac {v} {c ^ {2}}} u \ cos \ alpha}} \\ u \ sin \ alpha & = {\ frac {u '\ sin \ alpha' {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}} } {1 + {\ frac {v} {c ^ {2}}} u '\ cos \ alpha'}}, & u '\ sin \ alpha' & = {\ frac {u \ sin \ alpha {\ sqrt { 1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} {1 - {\ frac {v} {c ^ {2}}} u \ cos \ alpha}} \\\ tan \ alpha & = {\ frac {u '\ sin \ alpha' {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} {u '\ cos \ alpha '+ v}}, & \ tan \ alpha' & = {\ frac {u \ sin \ alpha {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} {u \ cos \ alpha -v}} \ end {alineado}} \\\ Flecha derecha & u = {\ frac {\ sqrt {v ^ {2} + u ^ {\ prime 2} + 2vu '\ cos \ alpha' - \ left ({\ frac {vu '\ sin \ alpha'} {c}} \ right) {} ^ {2}}} {1 + {\ frac {v} {c ^ {2}}} u '\ cos \ alpha'}}, \ quad u '= {\ frac {\ sqrt {-v ^ {2} -u ^ {2} + 2vu \ cos \ alpha + \ left ({\ frac {vu \ sin \ alpha} {c}} \ right) {} ^ {2}}} {1 - {\ frac {v} {c ^ {2}}} u \ cos \ alpha}} \\\ Flecha derecha & {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {u ^ {\ prime 2}} {c ^ {2}}}}}} = {\ frac {1 } {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} - {\ frac {v / c} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} {\ frac {u / c} {\ sqrt {1 - {\ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} \ cos \ alpha \\\ Flecha derecha & {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ tanh ^ {2} \ xi}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ tanh ^ {2} \ eta}}} {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ tanh ^ {2} \ zeta}}} - {\ frac {\ tanh \ eta} {\ sqrt {1- \ tanh ^ {2} \ eta}}} {\ frac {\ tanh \ zeta} {\ sqrt {1- \ tanh ^ {2} \ zeta}}} \ cos \ alpha \\\ Flecha derecha & \ cosh \ xi = \ cosh \ eta \ cosh \ zeta - \ sinh \ eta \ sinh \ zeta \ cos \ alpha \ final {matriz}}}$

( 4e )

y al establecer aún más u = u ′ = c, sigue la aberración relativista de la luz :

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} \ cos \ alpha = {\ frac {\ cos \ alpha '+ {\ frac {v} {c}}} {1 + {\ frac {v} {c}} \ cos \ alpha '}}, \ \ sin \ alpha = {\ frac {\ sin \ alpha' {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} {1 + {\ frac {v} {c}} \ cos \ alpha '}}, \ \ tan \ alpha = {\ frac {\ sin \ alpha' {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} {\ cos \ alpha '+ {\ frac {v} {c}}}}, \ \ tan {\ frac {\ alpha} {2}} = {\ sqrt { \ frac {cv} {c + v}}} \ tan {\ frac {\ alpha '} {2}} \\\ cos \ alpha' = {\ frac {\ cos \ alpha - {\ frac {v} { c}}} {1 - {\ frac {v} {c}} \ cos \ alpha}}, \ \ sin \ alpha '= {\ frac {\ sin \ alpha {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} {1 - {\ frac {v} {c}} \ cos \ alpha}}, \ \ tan \ alpha '= {\ frac {\ sin \ alpha {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} {\ cos \ alpha - {\ frac {v} {c}}}}, \ \ tan {\ frac {\ alpha '} {2}} = {\ sqrt {\ frac {c + v} {cv}}} \ tan {\ frac {\ alpha} {2}} \ end {matriz}}}$

( 4f )

Las fórmulas de adición de velocidades fueron dadas por Einstein (1905) y Poincaré (1905/06) , la fórmula de aberración para cos (α) de Einstein (1905) , mientras que las relaciones con la ley esférica e hiperbólica de los cosenos fueron dadas por Sommerfeld (1909). ) y Varićak (1910) .

Materiales de aprendizaje de Wikiversity: Estas fórmulas se asemejan a las ecuaciones de una elipse de excentricidad v / c , anomalía excéntrica α 'y anomalía verdadera α, formuladas por primera vez geométricamente por Kepler (1609) y escritas explícitamente por Euler (1735, 1748), Lagrange ( 1770) y muchos otros en relación con los movimientos planetarios.

Transformación de Lorentz mediante transformación conformal, esférica y de Laguerre

Si solo se requiere la invariancia del cono de luz representado por la ecuación diferencial , que es lo mismo que pedir la transformación más general que cambia esferas en esferas, el grupo de Lorentz se puede ampliar agregando dilataciones representadas por el factor λ. El resultado es el grupo Con (1, p) de transformaciones conformes del espacio-tiempo en términos de transformaciones e inversiones conformes especiales que producen la relación ${\ Displaystyle -dx_ {0} ^ {2} + \ dots + dx_ {n} ^ {2} = 0}$

${\ Displaystyle -dx_ {0} ^ {2} + \ dots + dx_ {n} ^ {2} = \ lambda \ left (-dx_ {0} ^ {\ prime 2} + \ dots + dx_ {n} ^ {\ prime 2} \ right)}$.

Se puede cambiar entre dos representaciones de este grupo usando una coordenada de radio de esfera imaginaria x ₀ = iR con el intervalo relacionado con las transformaciones conformes, o usando una coordenada de radio real x ₀ = R con el intervalo relacionado con las transformaciones de onda esférica en términos de transformaciones de contacto conservando círculos y esferas. Resulta que Con (1,3) es isomorfo al grupo ortogonal especial SO (2,4), y contiene el grupo de Lorentz SO (1,3) como un subgrupo estableciendo λ = 1. De manera más general, Con (q, p) es isomorfo a SO (q + 1, p + 1) y contiene SO (q, p) como subgrupo. Esto implica que Con (0, p) es isomorfo al grupo de Lorentz de dimensiones arbitrarias SO (1, p + 1). En consecuencia, el grupo conforme en el plano Con (0,2), conocido como el grupo de transformaciones de Möbius , es isomorfo al grupo de Lorentz SO (1,3). Esto se puede ver usando coordenadas tetracíclicas que satisfacen la forma . ${\ Displaystyle dx_ {0} ^ {2} + \ dots + dx_ {n} ^ {2}}$${\ Displaystyle -dx_ {0} ^ {2} + \ dots + dx_ {n} ^ {2}}$${\ Displaystyle -x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} = 0}$

Un caso especial de la geometría de esferas orientadas de Lie es el grupo de Laguerre , que transforma planos y líneas orientadas entre sí. Se genera por la inversión de Laguerre que deja invariante con R como radio, por lo que el grupo de Laguerre es isomorfo al grupo de Lorentz. ${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -R ^ {2}}$

Materiales de aprendizaje de Wikiversity: Lie (1871) y otros estudiaron tanto las representaciones de la geometría de la esfera de Lie como las transformaciones conformes . Bateman y Cunningham (1909-1910) demostraron que el grupo Con (1,3) es el más general, dejando invariantes las ecuaciones de la electrodinámica de Maxwell. Las coordenadas tetracíclicas fueron discutidas por Pockels (1891), Klein (1893), Bôcher (1894) . La relación entre Con (1,3) y el grupo de Lorentz fue notada por Bateman & Cunningham (1909-1910) y otros. La inversión de Laguerre fue introducida por Laguerre (1882) y discutida por Darboux (1887) y Smith (1900) . Scheffers (1899) estudió un concepto similar en términos de transformaciones de contacto. Stephanos (1883) argumentó que la geometría de Lie de las esferas orientadas en términos de transformaciones de contacto, así como el caso especial de las transformaciones de planos orientados entre sí (como por Laguerre), proporciona una interpretación geométrica de los biquaternions de Hamilton . El isomorfismo de grupo entre el grupo de Laguerre y el grupo de Lorentz fue señalado por Bateman (1910), Cartan (1912, 1915/55), Poincaré (1912/21) y otros.

Transformación de Lorentz a través de la transformación Cayley-Hermite

La transformación general ( Q1 ) de cualquier forma cuadrática en sí misma también se puede dar usando parámetros arbitrarios basados ​​en la transformada de Cayley ( I - T ) ⁻¹ · ( I + T ), donde I es la matriz identidad , T una matriz antisimétrica arbitraria , y agregando A como matriz simétrica que define la forma cuadrática (no hay A ' primado porque se supone que los coeficientes son los mismos en ambos lados):

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} q = \ mathbf {x} ^ {\ mathrm {T}} \ cdot \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {x} = q '= \ mathbf {x} ^ {\ mathrm {\ prime T}} \ cdot \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {x} '\\\ hline \\\ mathbf {x} = (\ mathbf {I} - \ mathbf {T} \ cdot \ mathbf {A}) ^ {- 1} \ cdot (\ mathbf {I} + \ mathbf {T} \ cdot \ mathbf {A}) \ cdot \ mathbf {x} '\\ {\ text {o}} \\ \ mathbf {x} = \ mathbf {A} ^ {- 1} \ cdot (\ mathbf {A} - \ mathbf {T}) \ cdot (\ mathbf {A} + \ mathbf {T}) ^ {- 1 } \ cdot \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {x} '\ end {matriz}}}$

( Q2 )

Por ejemplo, la elección A = diag (1,1,1) da una transformación ortogonal que se puede utilizar para describir las rotaciones espaciales correspondientes a los parámetros de Euler-Rodrigues [a, b, c, d] que se pueden interpretar como los coeficientes de cuaterniones . Estableciendo d = 1 , las ecuaciones tienen la forma:

${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ mathbf {A} = \ operatorname {diag} (1,1,1), \ quad \ mathbf {T} = {\ scriptstyle {\ begin {vmatrix} 0 & a & -b \\ -a & 0 & c \\ b & -c & 0 \ end {vmatrix}}} \\\ hline x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = x_ {0} ^ {\ prime 2} + x_ {1} ^ {\ prime 2} + x_ {2} ^ {\ prime 2} \\\ hline \ mathbf {x} '= {\ frac {1} {\ kappa}} \ izquierda [{\ begin {matrix} 1-a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2} & 2 (bc-a) & 2 (ac + b) \\ 2 (bc + a) & 1-a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} & 2 (ab-c) \\ 2 (ac-b) & 2 (ab + c) & 1 + a ^ {2} -b ^ {2} - c ^ {2} \ end {matriz}} \ right] \ cdot \ mathbf {x} \\\ left (\ kappa = 1 + a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} \ right ) \ end {matriz}}}$

( Tercer trimestre )

Materiales de aprendizaje de Wikiversity: Después de que Cayley (1846) introdujo transformaciones relacionadas con sumas de cuadrados positivos, Hermite (1853/54, 1854) derivó transformaciones para formas cuadráticas arbitrarias, cuyo resultado fue reformulado en términos de matrices ( Q2 ) por Cayley (1855a, pág. 1855b) . El parámetro de Euler-Rodrigues fue descubierto por Euler (1771) y Rodrigues (1840) .

Además, el formalismo Cayley-Hermite puede producir el intervalo de Lorentz y la transformación de Lorentz general en cualquier dimensión. Por ejemplo, la transformación de Lorentz ( 1a ) con n = 1 se sigue de ( Q2 ) con:

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} \ mathbf {A} = \ operatorname {diag} (-1,1), \ quad \ mathbf {T} = {\ scriptstyle {\ begin {vmatrix} 0 & a \\ - a & 0 \ end {vmatrix}}} \\\ hline -x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} = - x_ {0} ^ {\ prime 2} + x_ {1} ^ {\ prime 2 } \\\ hline \ mathbf {x} '= {\ frac {1} {1-a ^ {2}}} \ left [{\ begin {matrix} 1 + a ^ {2} & - 2a \\ - 2a & 1 + a ^ {2} \ end {matriz}} \ right] \ cdot \ mathbf {x} \ end {matrix}} \ Rightarrow {\ begin {matrix} -x_ {0} ^ {2} + x_ {1 } ^ {2} = - x_ {0} ^ {\ prime 2} + x_ {1} ^ {\ prime 2} \\\ hline \ left. {\ Begin {alineado} x_ {0} & = x_ {0 } ^ {\ prime} {\ frac {1+ \ beta _ {0} ^ {2}} {1- \ beta _ {0} ^ {2}}} + x_ {1} ^ {\ prime} {\ frac {2 \ beta _ {0}} {1- \ beta _ {0} ^ {2}}} & = & {\ frac {x_ {0} ^ {\ prime} \ left (1+ \ beta _ { 0} ^ {2} \ right) + x_ {1} ^ {\ prime} 2 \ beta _ {0}} {1- \ beta _ {0} ^ {2}}} \\ x_ {1} & = x_ {0} ^ {\ prime} {\ frac {2 \ beta _ {0}} {1- \ beta _ {0} ^ {2}}} + x_ {1} ^ {\ prime} {\ frac { 1+ \ beta _ {0} ^ {2}} {1- \ beta _ {0} ^ {2}}} & = & {\ frac {x_ {0} ^ {\ prime} 2 \ beta _ {0 } + x_ {1} ^ {\ prime} \ left (1+ \ beta _ {0} ^ {2} \ right)} {1- \ beta _ {0} ^ {2}}} \\\\ x_ {0} ^ {\ prime} & = x_ {0} {\ frac {1+ \ beta _ {0} ^ {2}} {1- \ beta _ {0} ^ {2}}} - x_ {1 } {\ frac {2 \ beta _ {0}} {1- \ beta _ {0} ^ {2}}} & = & {\ frac {x_ {0} \ left (1+ \ beta _ {0} ^ {2} \ right) -x_ {1} 2 \ beta _ {0}} {1- \ beta _ {0} ^ {2}}} \\ x_ {1} ^ {\ prime} & = - x_ {0} {\ frac {2 \ beta _ {0}} {1- \ beta _ {0} ^ {2}}} + x_ {1} {\ frac {1+ \ beta _ {0} ^ {2}} {1- \ beta _ { 0} ^ {2}}} & = & {\ frac {-x_ {0} 2 \ beta _ {0} + x_ {1} \ left (1+ \ beta _ {0} ^ {2} \ right) } {1- \ beta _ {0} ^ {2}}} \ end {alineado}} \ right | {\ scriptstyle {\ begin {alineado} {\ frac {2 \ beta _ {0}} {1+ \ beta _ {0} ^ {2}}} & = \ beta \\ {\ frac {1+ \ beta _ {0} ^ {2}} {1- \ beta _ {0} ^ {2}}} & = \ gamma \\ {\ frac {2 \ beta _ {0}} {1- \ beta _ {0} ^ {2}}} & = \ beta \ gamma \ end {alineado}}} \ end {matriz} }}$

( 5a )

Esto se convierte en un impulso de Lorentz ( 4a o 4b ) por configuración , que es equivalente a la relación conocida de los diagramas de Loedel , por lo que ( 5a ) se puede interpretar como un impulso de Lorentz desde el punto de vista de un "marco mediano" en el que otros dos marcos inerciales son moviéndose con la misma velocidad en direcciones opuestas. ${\ displaystyle {\ tfrac {2a} {1 + a ^ {2}}} = {\ tfrac {v} {c}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {2 \ beta _ {0}} {1+ \ beta _ {0} ^ {2}}} = {\ tfrac {v} {c}}}$${\ Displaystyle \ beta _ {0}}$

Además, la transformación de Lorentz ( 1a ) con n = 2 viene dada por:

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} \ mathbf {A} = \ operatorname {diag} (-1,1,1), \ quad \ mathbf {T} = {\ scriptstyle {\ begin {vmatrix} 0 & a & -b \ \ -a & 0 & c \\ b & -c & 0 \ end {vmatrix}}} \\\ hline -x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = - x_ { 0} ^ {\ prime 2} + x_ {1} ^ {\ prime 2} + x_ {2} ^ {\ prime 2} \\\ hline \ mathbf {x} '= {\ frac {1} {\ kappa }} \ left [{\ begin {matrix} 1 + a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} & - 2 (bc-a) & - 2 (ac + b) \\ 2 ( bc + a) & 1 + a ^ {2} -b ^ {2} -c ^ {2} & 2 (ab-c) \\ 2 (ac-b) & - 2 (ab-c) & 1-a ^ { 2} + b ^ {2} -c ^ {2} \ end {matriz}} \ right] \ cdot \ mathbf {x} \\\ izquierda (\ kappa = 1-a ^ {2} -b ^ {2 } + c ^ {2} \ right) \ end {matriz}}}$

( 5b )

o usando n = 3:

${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ mathbf {A} = \ operatorname {diag} (-1,1,1,1), \ quad \ mathbf {T} = {\ scriptstyle {\ begin {vmatrix} 0 & a & - b & c \\ - a & 0 & d & e \\ b & -d & 0 & f \\ - c & -e & -f & 0 \ end {vmatrix}}} \\\ hline -x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ { 2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} = - x_ {0} ^ {\ prime 2} + x_ {1} ^ {\ prime 2} + x_ {2} ^ {\ prime 2} + x_ {3} ^ {\ prime 2} \\\ hline \ mathbf {x} '= {\ frac {1} {\ kappa}} \ left [{\ scriptstyle {\ begin {alineado} & 1 + a ^ {2 } + b ^ {2} + c ^ {2} + && 2 (-bd + a + ec + pf) && 2 (-ad-b + fc-pe) && 2 (pd + fb-ea + c) \\ & \ quad d ^ {2} + e ^ {2} + f ^ {2} + p ^ {2} && 1 + a ^ {2} -b ^ {2} -c ^ {2} && 2 (-d-ab + pc-fe) && 2 (fd + pb + ca-e) \\ & 2 (bd + a-ec + pf) && \ quad -d ^ {2} -e ^ {2} + f ^ {2} + p ^ {2} && 1-a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} && 2 (-ed-cb + pa-f) \\ & 2 (ad-b-fc-pe) && 2 (d-ab -pc-fe) && \ quad -d ^ {2} + e ^ {2} -f ^ {2} + p ^ {2} && 1-a ^ {2} -b ^ {2} + - c ^ { 2} \\ & 2 (pd-fb + ea + c) && 2 (fd-pb + ca + e) ​​&& 2 (-ed-cb-pa + f) && \ quad + d ^ {2} -e ^ {2} -f ^ {2} + p ^ {2} \ end {alineado}}} \ derecha] \ cdot \ mathbf {x} \\\ izquierda ({\ begin {alineado} \ kappa & = 1-a ^ {2 } -b ^ {2} -c ^ {2} + d ^ {2} + e ^ {2} + f ^ {2} -p ^ {2} \\ p & = af + be + cd \ end {alineado }} \ derecha) \ end {matriz}}}$

( 5c )

Materiales de aprendizaje de Wikiversity: Hermite (1854) dio la transformación de una forma cuadrática binaria de la cual la transformación de Lorentz ( 5a ) es un caso especial , las ecuaciones que contienen transformaciones de Lorentz ( 5a , 5b , 5c ) como casos especiales fueron dadas por Cayley ( 1855) , la transformación de Lorentz ( 5a ) fue dada (hasta un cambio de signo) por Laguerre (1882) , Darboux (1887) , Smith (1900) en relación con la geometría de Laguerre, y la transformación de Lorentz ( 5b ) fue dada por Bachmann (1869). ) . En relatividad, las ecuaciones similares a ( 5b , 5c ) fueron empleadas por primera vez por Borel (1913) para representar las transformaciones de Lorentz.

Como se describe en la ecuación ( 3d ), el intervalo de Lorentz está estrechamente relacionado con la forma alternativa , que en términos de los parámetros de Cayley-Hermite es invariante bajo la transformación: ${\ Displaystyle X_ {2} ^ {2} -X_ {1} X_ {3}}$

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} X_ {2} ^ {\ prime 2} -X_ {1} ^ {\ prime} X_ {3} ^ {\ prime} = X_ {2} ^ {2} -X_ { 1} X_ {3} \\\ hline \ mathbf {X} '= {\ frac {1} {\ kappa}} \ left [{\ begin {matrix} (b + 1) ^ {2} & - 2 ( b + 1) c & c ^ {2} \\ a (b + 1) & 1-ac-b ^ {2} & (b-1) c \\ a ^ {2} & - 2a (b-1) & ( b-1) ^ {2} \ end {matriz}} \ derecha] \ cdot \ mathbf {X} \\\ izquierda (\ kappa = 1 + ac-b ^ {2} \ right) \ end {matriz}} }$

( 5d )

Materiales de aprendizaje de Wikiversity: Cayley (1884) dio esta transformación , aunque no la relacionó con el intervalo de Lorentz sino con .${\ Displaystyle x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2}}$

Transformación de Lorentz mediante parámetros de Cayley-Klein, transformaciones de Möbius y de espín

El parámetro de Euler-Rodrigues mencionado anteriormente a, b, c, d (es decir, el parámetro de Cayley-Hermite en la ecuación ( Q3 ) con d = 1 ) están estrechamente relacionados con el parámetro de Cayley-Klein α, β, γ, δ para conectar Möbius transformaciones y rotaciones: ${\ Displaystyle {\ tfrac {\ alpha \ zeta + \ beta} {\ gamma \ zeta + \ delta}}}$

${\ displaystyle {\ begin {alineado} \ alpha & = 1 + ib, & \ beta & = - a + ic, \\\ gamma & = a + ic, & \ delta & = 1-ib. \ end {alineado }}}$

así ( Q3 ) se convierte en:

${\ displaystyle {\ begin {matrix} x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = x_ {0} ^ {\ prime 2} + x_ {1 } ^ {\ prime 2} + x_ {2} ^ {\ prime 2} \\\ hline \ mathbf {x} '= {\ frac {1} {\ kappa}} \ left [{\ begin {matrix} { \ frac {1} {2}} \ left (\ alpha ^ {2} - \ beta ^ {2} - \ gamma ^ {2} + \ delta ^ {2} \ right) & \ beta \ delta - \ alpha \ gamma & {\ frac {i} {2}} \ left (- \ alpha ^ {2} + \ beta ^ {2} - \ gamma ^ {2} + \ delta ^ {2} \ right) \\\ gamma \ delta + \ alpha \ beta & \ alpha \ delta + \ beta \ gamma & i (\ alpha \ beta + \ gamma \ delta) \\ - {\ frac {i} {2}} \ left (- \ alpha ^ {2} - \ beta ^ {2} + \ gamma ^ {2} + \ delta ^ {2} \ right) & - i (\ alpha \ gamma + \ beta \ delta) & {\ frac {1} {2 }} \ left (\ alpha ^ {2} + \ beta ^ {2} + \ gamma ^ {2} + \ delta ^ {2} \ right) \ end {matriz}} \ right] \ cdot \ mathbf {x } \\ (\ kappa = \ alpha \ delta - \ beta \ gamma) \ end {matriz}}}$

( Cuarto trimestre )

Materiales de aprendizaje de Wikiversity: Helmholtz (1866/67), Cayley (1879) y Klein (1884) introdujeron el parámetro Cayley-Klein .

También la transformación de Lorentz se puede expresar con variantes de los parámetros de Cayley-Klein: uno relaciona estos parámetros con una matriz de espín D , las transformaciones de espín de las variables (la línea superior denota conjugado complejo ) y la transformación de Möbius de . Cuando se define en términos de isometrías del espacio hiperbólico (movimientos hiperbólicos), la matriz hermitiana u asociada con estas transformaciones de Möbius produce un determinante invariante idéntico al intervalo de Lorentz. Por lo tanto, estas transformaciones fueron descritas por John Lighton Synge como una "fábrica para la producción en masa de transformaciones de Lorentz". También resulta que el grupo de espín relacionado Spin (3, 1) o el grupo lineal especial SL (2, C) actúa como la doble cobertura del grupo de Lorentz (una transformación de Lorentz corresponde a dos transformaciones de espín de signo diferente), mientras que la El grupo de Möbius Con (0,2) o el grupo lineal especial proyectivo PSL (2, C) es isomorfo tanto para el grupo de Lorentz como para el grupo de isometrías del espacio hiperbólico. ${\ Displaystyle \ xi ', \ eta', {\ bar {\ xi}} ', {\ bar {\ eta}}'}$${\ Displaystyle \ zeta ', {\ bar {\ zeta}}'}$ ${\ Displaystyle \ det \ mathbf {u} = x_ {0} ^ {2} -x_ {1} ^ {2} -x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2}}$

En el espacio, las transformaciones de Möbius / Spin / Lorentz se pueden escribir como:

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} \ zeta = {\ frac {x_ {1} + ix_ {2}} {x_ {0} -x_ {3}}} = {\ frac {x_ {0} + x_ { 3}} {x_ {1} -ix_ {2}}} \ rightarrow \ zeta '= {\ frac {\ alpha \ zeta + \ beta} {\ gamma \ zeta + \ delta}} \ left | \ zeta' = {\ frac {\ xi '} {\ eta'}} \ rightarrow {\ begin {alineado} \ xi '& = \ alpha \ xi + \ beta \ eta \\\ eta' & = \ gamma \ xi + \ delta \ eta \ end {alineado}} \ right. \\\ hline \ left. {\ begin {matriz} \ mathbf {u} = \ left ({\ begin {matriz} X_ {1} & X_ {2} \\ X_ {3} & X_ {4} \ end {matriz}} \ right) = \ left ({\ begin {matrix} {\ bar {\ xi}} \ xi & \ xi {\ bar {\ eta}} \\ { \ bar {\ xi}} \ eta & {\ bar {\ eta}} \ eta \ end {matriz}} \ right) = \ left ({\ begin {matrix} x_ {0} + x_ {3} & x_ { 1} -ix_ {2} \\ x_ {1} + ix_ {2} & x_ {0} -x_ {3} \ end {matrix}} \ right) \\\ det \ mathbf {u} = x_ {0} ^ {2} -x_ {1} ^ {2} -x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2} \ end {matriz}} \ right | {\ begin {matriz} \ mathbf {D } = \ left ({\ begin {matrix} \ alpha & \ beta \\\ gamma & \ delta \ end {matrix}} \ right) \\ {\ begin {alineado} \ det {\ boldsymbol {\ mathbf {D }}} & = 1 \ end {alineado}} \ end {matriz}} \\\ hline \ mathbf {u} '= \ mathbf {D} \ cdot \ mathbf {u} \ cdot {\ bar {\ mathbf { D}}} ^ {\ mathrm { T}} = {\ begin {alineado} X_ {1} ^ {\ prime} & = X_ {1} \ alpha {\ bar {\ alpha}} + X_ {2} \ alpha {\ bar {\ beta}} + X_ {3} {\ bar {\ alpha}} \ beta + X_ {4} \ beta {\ bar {\ beta}} \\ X_ {2} ^ {\ prime} & = X_ {1} {\ bar {\ alpha}} \ gamma + X_ {2} {\ bar {\ alpha}} \ delta + X_ {3} {\ bar {\ beta}} \ gamma + X_ {4} {\ bar {\ beta}} \ delta \\ X_ {3} ^ {\ prime} & = X_ {1} \ alpha {\ bar {\ gamma}} + X_ {2} \ alpha {\ bar {\ delta}} + X_ {3} \ beta {\ bar {\ gamma}} + X_ {4} \ beta {\ bar {\ delta}} \\ X_ {4} ^ {\ prime} & = X_ {1} \ gamma {\ bar {\ gamma} } + X_ {2} \ gamma {\ bar {\ delta}} + X_ {3} {\ bar {\ gamma}} \ delta + X_ {4} \ delta {\ bar {\ delta}} \ end {alineado }} \\\ hline {\ begin {alineado} X_ {3} ^ {\ prime} X_ {2} ^ {\ prime} -X_ {1} ^ {\ prime} X_ {4} ^ {\ prime} & = X_ {3} X_ {2} -X_ {1} X_ {4} = 0 \\\ det \ mathbf {u} '= x_ {0} ^ {\ prime 2} -x_ {1} ^ {\ prime 2} -x_ {2} ^ {\ prime 2} -x_ {3} ^ {\ prime 2} & = \ det \ mathbf {u} = x_ {0} ^ {2} -x_ {1} ^ {2 } -x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2} \ end {alineado}} \ end {matriz}}}$

( 6a )

por lo tanto:

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} -x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} = - x_ {0 } ^ {\ prime 2} + x_ {1} ^ {\ prime 2} + x_ {2} ^ {\ prime 2} + x_ {3} ^ {\ prime 2} \\\ hline \ mathbf {x} ' = {\ frac {1} {2}} \ left [{\ scriptstyle {\ begin {alineado} & \ alpha {\ bar {\ alpha}} + \ beta {\ bar {\ beta}} + \ gamma {\ bar {\ gamma}} + \ delta {\ bar {\ delta}} && \ alpha {\ bar {\ beta}} + \ beta {\ bar {\ alpha}} + \ gamma {\ bar {\ delta}} + \ delta {\ bar {\ gamma}} && i (\ alpha {\ bar {\ beta}} - \ beta {\ bar {\ alpha}} + \ gamma {\ bar {\ delta}} - \ delta {\ bar {\ gamma}}) && \ alpha {\ bar {\ alpha}} - \ beta {\ bar {\ beta}} + \ gamma {\ bar {\ gamma}} - \ delta {\ bar {\ delta} } \\ & \ alpha {\ bar {\ gamma}} + \ gamma {\ bar {\ alpha}} + \ beta {\ bar {\ delta}} + \ delta {\ bar {\ beta}} && \ alpha {\ bar {\ delta}} + \ delta {\ bar {\ alpha}} + \ beta {\ bar {\ gamma}} + \ gamma {\ bar {\ beta}} && i (\ alpha {\ bar {\ delta}} - \ delta {\ bar {\ alpha}} + \ gamma {\ bar {\ beta}} - \ beta {\ bar {\ gamma}}) && \ alpha {\ bar {\ gamma}} + \ gamma {\ bar {\ alpha}} - \ beta {\ bar {\ delta}} - \ delta {\ bar {\ beta}} \\ & i (\ gamma {\ bar {\ al pha}} - \ alpha {\ bar {\ gamma}} + \ delta {\ bar {\ beta}} - \ beta {\ bar {\ delta}}) && i (\ delta {\ bar {\ alpha}} - \ alpha {\ bar {\ delta}} + \ gamma {\ bar {\ beta}} - \ beta {\ bar {\ gamma}}) && \ alpha {\ bar {\ delta}} + \ delta {\ bar {\ alpha}} - \ beta {\ bar {\ gamma}} - \ gamma {\ bar {\ beta}} && i (\ gamma {\ bar {\ alpha}} - \ alpha {\ bar {\ gamma}} + \ beta {\ bar {\ delta}} - \ delta {\ bar {\ beta}}) \\ & \ alpha {\ bar {\ alpha}} + \ beta {\ bar {\ beta}} - \ gamma {\ bar {\ gamma}} - \ delta {\ bar {\ delta}} && \ alpha {\ bar {\ beta}} + \ beta {\ bar {\ alpha}} - \ gamma {\ bar {\ delta }} - \ delta {\ bar {\ gamma}} && i (\ alpha {\ bar {\ beta}} - \ beta {\ bar {\ alpha}} + \ delta {\ bar {\ gamma}} - \ gamma {\ bar {\ delta}}) && \ alpha {\ bar {\ alpha}} - \ beta {\ bar {\ beta}} - \ gamma {\ bar {\ gamma}} + \ delta {\ bar {\ delta}} \ end {alineado}}} \ right] \ cdot \ mathbf {x} \\ (\ alpha \ delta - \ beta \ gamma = 1) \ end {matriz}}}$

( 6b )

o en línea con la ecuación ( 1b ) se puede sustituir para que las transformaciones de Möbius / Lorentz se relacionen con la esfera unitaria: ${\ Displaystyle \ left [u_ {1}, \ u_ {2}, \ u_ {3}, \ 1 \ right] = \ left [{\ tfrac {x_ {1}} {x_ {0}}}, \ {\ tfrac {x_ {2}} {x_ {0}}}, \ {\ tfrac {x_ {3}} {x_ {0}}}, \ {\ tfrac {x_ {0}} {x_ {0} }}\derecho]}$

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} u_ {1} ^ {2} + u_ {2} ^ {2} + u_ {3} ^ {2} = u_ {1} ^ {\ prime 2} + u_ {2 } ^ {\ prime 2} + u_ {3} ^ {\ prime 2} = 1 \\\ hline \ left. {\ begin {matrix} \ zeta = {\ frac {u_ {1} + iu_ {2}} {1-u_ {3}}} = {\ frac {1 + u_ {3}} {u_ {1} -iu_ {2}}} \\\ zeta '= {\ frac {u_ {1} ^ {\ prime} + iu_ {2} ^ {\ prime}} {1-u_ {3} ^ {\ prime}}} = {\ frac {1 + u_ {3} ^ {\ prime}} {u_ {1} ^ {\ prime} -iu_ {2} ^ {\ prime}}} \ end {matriz}} \ right | \ quad \ zeta '= {\ frac {\ alpha \ zeta + \ beta} {\ gamma \ zeta + \ delta}} \ end {matriz}}}$

( 6c )

Materiales de aprendizaje de la Wikiversidad: La transformación general u ′ en ( 6a ) fue dada por Cayley (1854) , mientras que la relación general entre las transformaciones de Möbius y la transformación u ′ dejando invariante el círculo generalizado fue señalada por Poincaré (1883) en relación con Kleiniano. grupos . La adaptación al intervalo de Lorentz por el cual ( 6a ) se convierte en una transformación de Lorentz fue dada por Klein (1889-1893, 1896/97) , Bianchi (1893) , Fricke (1893, 1897) . Su reformulación como transformación de Lorentz ( 6b ) fue proporcionada por Bianchi (1893) y Fricke (1893, 1897) . La transformación de Lorentz ( 6c ) fue dada por Klein (1884) en relación con las superficies de segundo grado y la invariancia de la esfera unitaria. En relatividad, ( 6a ) fue empleado por primera vez por Herglotz (1909/10) .

En el plano, las transformaciones se pueden escribir como:

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} \ zeta = {\ frac {x_ {1}} {x_ {0} -x_ {2}}} = {\ frac {x_ {0} + x_ {2}} {x_ {1}}} \ flecha derecha \ zeta '= {\ frac {\ alpha \ zeta + \ beta} {\ gamma \ zeta + \ delta}} \ left | \ zeta' = {\ frac {\ xi '} {\ eta '}} \ rightarrow {\ begin {alineado} \ xi' & = \ alpha \ xi + \ beta \ eta \\\ eta '& = \ gamma \ xi + \ delta \ eta \ end {alineado}} \ right . \\\ hline \ left. {\ begin {matrix} \ mathbf {u} = \ left ({\ begin {matrix} X_ {1} & X_ {2} \\ X_ {2} & X_ {3} \ end { matriz}} \ derecha) = \ izquierda ({\ begin {matriz} \ xi ^ {2} & \ xi \ eta \\\ xi \ eta & \ eta ^ {2} \ end {matriz}} \ derecha) = \ left ({\ begin {matrix} x_ {0} + x_ {2} & x_ {1} \\ x_ {1} & x_ {0} -x_ {2} \ end {matrix}} \ right) \\\ det \ mathbf {u} = x_ {0} ^ {2} -x_ {1} ^ {2} -x_ {2} ^ {2} \ end {matriz}} \ right | {\ begin {matriz} \ mathbf { D} = \ left ({\ begin {matrix} \ alpha & \ beta \\\ gamma & \ delta \ end {matrix}} \ right) \\ {\ begin {alineado} \ det {\ boldsymbol {\ mathbf { D}}} & = 1 \ end {alineado}} \ end {matriz}} \\\ hline \ mathbf {u} '= \ mathbf {D} \ cdot \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {D} ^ {\ mathrm {T}} = {\ begin {alineado} X_ {1} ^ {\ prime} & = X_ {1} \ alpha ^ {2} + X_ {2} 2 \ alpha \ beta + X_ {3} \apuesta a ^ {2} \\ X_ {2} ^ {\ prime} & = X_ {1} \ alpha \ gamma + X_ {2} (\ alpha \ delta + \ beta \ gamma) + X_ {3} \ beta \ delta \\ X_ {3} ^ {\ prime} & = X_ {1} \ gamma ^ {2} + X_ {2} 2 \ gamma \ delta + X_ {3} \ delta ^ {2} \ end {alineado} } \\\ hline {\ begin {alineado} X_ {2} ^ {\ prime 2} -X_ {1} ^ {\ prime} X_ {3} ^ {\ prime} & = X_ {2} ^ {2} -X_ {1} X_ {3} = 0 \\\ det \ mathbf {u} '= x_ {0} ^ {\ prime 2} -x_ {1} ^ {\ prime 2} -x_ {2} ^ { \ prime 2} & = \ det \ mathbf {u} = x_ {0} ^ {2} -x_ {1} ^ {2} -x_ {2} ^ {2} \ end {alineado}} \ end {matriz }}}$

( 6d )

por lo tanto

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} -x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = - x_ {0} ^ {\ prime 2} + x_ {1} ^ {\ prime 2} + x_ {2} ^ {\ prime 2} \\\ hline \ mathbf {x} '= \ left [{\ begin {matrix} {\ frac {1} {2}} \ left (\ alpha ^ {2} + \ beta ^ {2} + \ gamma ^ {2} + \ delta ^ {2} \ right) & \ alpha \ beta + \ gamma \ delta & {\ frac {1} {2}} \ left (\ alpha ^ {2} - \ beta ^ {2} + \ gamma ^ {2} - \ delta ^ {2} \ right) \\\ alpha \ gamma + \ beta \ delta & \ alpha \ delta + \ beta \ gamma & \ alpha \ gamma - \ beta \ delta \\ {\ frac {1} {2}} \ left (\ alpha ^ {2} + \ beta ^ {2} - \ gamma ^ {2} - \ delta ^ {2} \ right) & \ alpha \ beta - \ gamma \ delta & {\ frac {1} {2}} \ left (\ alpha ^ {2} - \ beta ^ {2} - \ gamma ^ {2} + \ delta ^ {2} \ right) \ end {matriz}} \ right] \ cdot \ mathbf {x} \\ (\ alpha \ delta - \ beta \ gamma = 1) \ end {matriz}}}$

( 6e )

que incluye el caso especial que implica reducir la transformación a un impulso de Lorentz en dimensiones 1 + 1: ${\ Displaystyle \ beta = \ gamma = 0}$${\ Displaystyle \ delta = 1 / \ alpha}$

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} X_ {1} X_ {3} = X_ {1} ^ {\ prime} X_ {3} ^ {\ prime} \ quad \ Rightarrow \ quad -x_ {0} ^ {2 } + x_ {2} ^ {2} = - x_ {0} ^ {\ prime 2} + x_ {2} ^ {\ prime 2} \\\ hline {\ begin {alineado} X_ {1} & = \ alpha ^ {2} X_ {1} ^ {\ prime} \\ X_ {2} & = X_ {2} ^ {\ prime} \\ X_ {3} & = {\ frac {1} {\ alpha ^ { 2}}} X_ {3} ^ {\ prime} \ end {alineado}} \ quad \ Rightarrow \ quad {\ begin {alineado} x_ {0} & = {\ frac {x_ {0} ^ {\ prime} \ left (\ alpha ^ {4} +1 \ right) + x_ {2} ^ {\ prime} \ left (\ alpha ^ {4} -1 \ right)} {2 \ alpha ^ {2}}} \ \ x_ {1} & = x_ {1} ^ {\ prime} \\ x_ {2} & = {\ frac {x_ {0} ^ {\ prime} \ left (\ alpha ^ {4} -1 \ right ) + x_ {2} ^ {\ prime} \ left (\ alpha ^ {4} +1 \ right)} {2 \ alpha ^ {2}}} \ end {alineado}} \ end {matriz}}}$

( 6f )

Finalmente, al usar el intervalo de Lorentz relacionado con un hiperboloide, las transformaciones de Möbius / Lorentz se pueden escribir

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} -x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = - x_ {0} ^ {\ prime 2} + x_ {1} ^ {\ prime 2} + x_ {2} ^ {\ prime 2} = - 1 \\\ hline \ left. {\ Begin {matrix} \ zeta = {\ frac {x_ {1} + ix_ { 2}} {x_ {0} +1}} = {\ frac {x_ {0} -1} {x_ {1} -ix_ {2}}} \\\ zeta '= {\ frac {x_ {1} ^ {\ prime} + ix_ {2} ^ {\ prime}} {x_ {0} ^ {\ prime} +1}} = {\ frac {x_ {0} ^ {\ prime} -1} {x_ { 1} ^ {\ prime} -ix_ {2} ^ {\ prime}}} \ end {matriz}} \ right | \ quad \ zeta '= {\ frac {\ alpha \ zeta + \ beta} {\ gamma \ zeta + \ delta}} \ end {matriz}}}$

( 6g )

Materiales de aprendizaje de Wikiversity: La transformación general u ′ y su invariante en ( 6d ) ya fue utilizada por Lagrange (1773) y Gauss (1798/1801) en la teoría de formas cuadráticas binarias enteras. El invariante también fue estudiado por Klein (1871) en relación con la geometría del plano hiperbólico (ver ecuación ( 3d )), mientras que la conexión entre u ′ y con la transformación de Möbius fue analizada por Poincaré (1886) en relación con los grupos fucsianos . La adaptación al intervalo de Lorentz por el cual ( 6d ) se convierte en una transformación de Lorentz fue dada por Bianchi (1888) y Fricke (1891) . La Transformación de Lorentz ( 6e ) fue enunciada por Gauss alrededor de 1800 (publicada póstumamente en 1863), así como por Selling (1873) , Bianchi (1888) , Fricke (1891) , Woods (1895) en relación con formas cuadráticas ternarias indefinidas enteras. La transformación de Lorentz ( 6f ) fue dada por Bianchi (1886, 1894) y Eisenhart (1905) . La transformación de Lorentz ( 6g ) del hiperboloide fue establecida por Poincaré (1881) y Hausdorff (1899) .${\ Displaystyle X_ {2} ^ {2} -X_ {1} X_ {3}}$${\ Displaystyle X_ {2} ^ {2} -X_ {1} X_ {3}}$${\ Displaystyle X_ {2} ^ {2} -X_ {1} X_ {3}}$

Transformación de Lorentz mediante cuaterniones y números hiperbólicos

Las transformaciones de Lorentz también se pueden expresar en términos de biquaternion : un cuaternión Minkowskiano (o minquat) q que tiene una parte real y una parte puramente imaginaria se multiplica por biquaternion a aplicado como prefactor y posfactor. Usando una línea superior para denotar la conjugación de cuaterniones y * para la conjugación compleja, su forma general (a la izquierda) y el refuerzo correspondiente (a la derecha) son los siguientes:

${\ Displaystyle \ left. {\ begin {matrix} -x_ {0} ^ {\ prime 2} + x_ {1} ^ {\ prime 2} + x_ {2} ^ {\ prime 2} + x_ {3} ^ {\ prime 2} = - x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} \\\ hline q '= aq {\ bar {a}} ^ {\ ast} \\\ hline {\ begin {alineado} q & = ix_ {0} + x_ {1} e_ {1} + x_ {2} e_ {2} + x_ { 3} e_ {3} \\ q '& = ix_ {0} ^ {\ prime} + x_ {1} ^ {\ prime} e_ {1} + x_ {2} ^ {\ prime} e_ {2} + x_ {3} ^ {\ prime} e_ {3} \\ a & = \ cos \ chi + i \ sin \ chi = e ^ {i \ chi} \ end {alineado}} \\\ left (a {\ bar {a}} = 1, \ \ chi = {\ text {imaginary}} \ right) \ end {matriz}} \ right | {\ begin {matrix} \ chi = {\ frac {1} {2}} i \ eta \\\ flecha hacia abajo \\ {\ begin {alineado} x_ {0} ^ {\ prime} & = x_ {0} \ cosh \ eta -x_ {1} \ sinh \ eta \\ x_ {1} ^ { \ prime} & = - x_ {0} \ sinh \ eta + x_ {1} \ cosh \ eta \\ x_ {2} ^ {\ prime} & = x_ {2}, \ quad x_ {3} ^ {\ primo} = x_ {3} \ end {alineado}} \ end {matriz}}}$

( 7a )

Materiales de aprendizaje de Wikiversity: Hamilton (1844/45) y Cayley (1845) derivaron la transformación del cuaternión para rotaciones espaciales, y Cayley (1854, 1855) dio la transformación correspondiente dejando invariante la suma de cuatro cuadrados . Cox (1882/83) discutió el intervalo de Lorentz en términos de coordenadas de Weierstrass en el curso de la adaptación de los biquaternions a + ωb de William Kingdon Clifford a la geometría hiperbólica estableciendo (alternativamente, 1 da geometría elíptica y 0 parabólica). Stephanos (1883) relacionó la parte imaginaria de los biquaternions de William Rowan Hamilton con el radio de las esferas, e introdujo una homografía dejando invariantes las ecuaciones de esferas orientadas o planos orientados en términos de geometría de esferas de Lie . Buchheim (1884/85) discutió el absoluto de Cayley y adaptó los biquaternions de Clifford a una geometría hiperbólica similar a Cox usando los tres valores de . Finalmente, Noether (1910) y Klein (1910) , así como Conway (1911) y Silberstein (1911), dieron la transformación de Lorentz moderna usando biquaterniones con geometría hiperbólica .${\ displaystyle aqa ^ {- 1}}$${\ displaystyle aqb}$${\ Displaystyle x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {2} ^ {2}}$${\ Displaystyle x_ {0} ^ {2} -x_ {1} ^ {2} -x_ {2} ^ {2} -x_ {2} ^ {2} = 1}$${\ Displaystyle \ omega ^ {2} = - 1}$${\ Displaystyle x_ {0} ^ {2} -x_ {1} ^ {2} -x_ {2} ^ {2} -x_ {2} ^ {2} = 0}$${\ Displaystyle \ omega ^ {2}}$${\ Displaystyle \ omega ^ {2} = - 1}$

A menudo conectado con los sistemas cuaterniónicos está el número hiperbólico , que también permite formular las transformaciones de Lorentz: ${\ Displaystyle \ varepsilon ^ {2} = 1}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} w '& = we ^ {- \ varepsilon \ eta} \\ & = w (\ cosh (- \ eta) + \ varepsilon \ sinh (- \ eta)) \\\\ w & = w'e ^ {\ varepsilon \ eta} \\ & = w '(\ cosh \ eta + \ varepsilon \ sinh \ eta) \ end {alineado}} \ rightarrow {\ begin {alineado} w & = x_ {1 } + \ varepsilon x_ {0} \\ w '& = x_ {1} ^ {\ prime} + \ varepsilon x_ {0} ^ {\ prime} \ end {alineado}} \ rightarrow {\ begin {alineado} x_ {0} ^ {\ prime} & = x_ {0} \ cosh \ eta -x_ {1} \ sinh \ eta \\ x_ {1} ^ {\ prime} & = - x_ {0} \ sinh \ eta + x_ {1} \ cosh \ eta \\\\ x_ {0} & = x_ {0} ^ {\ prime} \ cosh \ eta + x_ {1} ^ {\ prime} \ sinh \ eta \\ x_ {1 } & = x_ {0} ^ {\ prime} \ sinh \ eta + x_ {1} ^ {\ prime} \ cosh \ eta \ end {alineado}}}$

( 7b )

Materiales de aprendizaje de Wikiversity: Después de que Euler (1748) dio la expresión trigonométrica ( fórmula de Euler) , y Cockle (1848) el análogo hiperbólico y los números hiperbólicos (1848) en el marco de tessarines , Cox (1882/83) lo mostró ) que se puede identificar con la multiplicación asociativa de cuaterniones. Aquí, es el versor hiperbólico con , mientras que -1 denota la elíptica o 0 denota la contraparte parabólica (no debe confundirse con la expresión en los biquaternions de Clifford también utilizada por Cox, en la que -1 es hiperbólico). El versor hiperbólico también fue discutido por Macfarlane (1892, 1894, 1900) en términos de cuaterniones hiperbólicos . La expresión para movimientos hiperbólicos (y -1 para elípticos, 0 para movimientos parabólicos) también aparecen en "biquaternions" definidos por Vahlen (1901/02, 1905) .${\ Displaystyle e ^ {ix}}$${\ Displaystyle e ^ {\ varepsilon \ eta}}$${\ Displaystyle ww ^ {\ prime -1} = e ^ {\ varepsilon \ eta}}$${\ Displaystyle e ^ {\ varepsilon \ eta}}$${\ Displaystyle \ varepsilon ^ {2} = 1}$${\ Displaystyle \ omega ^ {2}}$${\ Displaystyle \ varepsilon ^ {2} = 1}$

También se pueden usar formas más extendidas de sistemas complejos y (bi-) cuaterniónicos en términos de álgebra de Clifford para expresar las transformaciones de Lorentz. Por ejemplo, utilizando un sistema a de números de Clifford, uno puede transformar la siguiente forma cuadrática general en sí mismo, en la que los valores individuales de pueden establecerse en +1 o -1 a voluntad, mientras que el intervalo de Lorentz sigue si el signo de uno difiere de todos los demás .: ${\ Displaystyle i_ {1} ^ {2}, i_ {2} ^ {2}, \ dots}$${\ Displaystyle i ^ {2}}$

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} i_ {1} ^ {2} x_ {1} ^ {\ prime 2} + \ cdots + i_ {n} ^ {2} x_ {n} ^ {\ prime 2} = i_ {1} ^ {2} x_ {1} ^ {2} + \ cdots + i_ {n} ^ {2} x_ {n} ^ {2} \\\ hline (1) \ x '= axa ^ { -1} \\ (2) \ x '= {\ frac {ax + b} {\ varepsilon ^ {2} bx + a}} \ end {matriz}}}$

( 7c )

Materiales de aprendizaje de la Wikiversidad: La forma definida en general , así como la forma indefinida en general y su invariancia bajo de transformación (1) fue discutido por Lipschitz (1885-1886) , mientras que los movimientos hiperbólicos fueron discutidos por Vahlen (1901-1902, 1905) por el ajuste en transformación (2), mientras que los movimientos elípticos siguen con -1 y los movimientos parabólicos con 0, todos los cuales también se relacionan con biquaternions.${\ Displaystyle x_ {1} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2}}$${\ Displaystyle x_ {1} ^ {2} + \ cdots + x_ {p} ^ {2} -x_ {p + 1} ^ {2} - \ cdots -x_ {p + q} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ varepsilon ^ {2} = 1}$

Transformación de Lorentz mediante funciones trigonométricas

La siguiente relación general conecta la velocidad de la luz y la velocidad relativa con funciones hiperbólicas y trigonométricas, donde es la rapidez en ( 3b ), es equivalente a la función de Gudermann y es equivalente al ángulo de paralelismo lobachevskiano : ${\ Displaystyle \ eta}$${\ Displaystyle \ theta}$ ${\ Displaystyle {\ rm {gd}} (\ eta) = 2 \ arctan (e ^ {\ eta}) - \ pi / 2}$${\ Displaystyle \ vartheta}$ ${\ Displaystyle \ Pi (\ eta) = 2 \ arctan (e ^ {- \ eta})}$

${\ Displaystyle {\ frac {v} {c}} = \ tanh \ eta = \ sin \ theta = \ cos \ vartheta}$

Materiales de aprendizaje de Wikiversity: esta relación fue definida por primera vez por Varićak (1910) .

a) Usando uno se obtienen las relaciones y , y el impulso de Lorentz toma la forma: ${\ Displaystyle \ sin \ theta = {\ tfrac {v} {c}}}$${\ Displaystyle \ sec \ theta = \ gamma}$${\ Displaystyle \ tan \ theta = \ beta \ gamma}$

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} -x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = - x_ {0} ^ {\ prime 2} + x_ {1} ^ {\ prime 2} + x_ {2} ^ {\ prime 2} \\\ hline \ left. {\ Begin {alineado} x_ {0} ^ {\ prime} & = x_ {0} \ sec \ theta -x_ {1} \ tan \ theta && = {\ frac {x_ {0} -x_ {1} \ sin \ theta} {\ cos \ theta}} \\ x_ {1} ^ {\ prime} & = -x_ {0} \ tan \ theta + x_ {1} \ sec \ theta && = {\ frac {x_ {0} \ sin \ theta -x_ {1}} {\ cos \ theta}} \\ x_ { 2} ^ {\ prime} & = x_ {2} \\\\ x_ {0} & = x_ {0} ^ {\ prime} \ sec \ theta + x_ {1} ^ {\ prime} \ tan \ theta && = {\ frac {x_ {0} ^ {\ prime} + x_ {1} ^ {\ prime} \ sin \ theta} {\ cos \ theta}} \\ x_ {1} & = x_ {0} ^ {\ prime} \ tan \ theta + x_ {1} ^ {\ prime} \ sec \ theta && = {\ frac {x_ {0} ^ {\ prime} \ sin \ theta + x_ {1} ^ {\ prime }} {\ cos \ theta}} \\ x_ {2} & = x_ {2} ^ {\ prime} \ end {alineado}} \ right | {\ scriptstyle {\ begin {alineado} \ tan ^ {2} \ theta - \ sec ^ {2} \ theta & = - 1 \\ {\ frac {\ tan \ theta} {\ sec \ theta}} & = \ sin \ theta \\ {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ sin ^ {2} \ theta}}} & = \ sec \ theta \\ {\ frac {\ sin \ theta} {\ sqrt {1- \ sin ^ {2} \ theta}}} & = \ tan \ theta \ end {alineado}}} \ end {matriz}}}$

( 8a )

Materiales de aprendizaje de Wikiversity: Esta transformación de Lorentz fue derivada por Bianchi (1886) y Darboux (1891/94) mientras transformaban superficies pseudoesféricas, y por Scheffers (1899) como un caso especial de transformación de contacto en el plano (geometría de Laguerre). En relatividad especial, fue utilizado por Gruner (1921) mientras desarrollaba los diagramas de Loedel , y por Vladimir Karapetoff en la década de 1920.

b) Usando uno se obtienen las relaciones y , y el impulso de Lorentz toma la forma: ${\ Displaystyle \ cos \ vartheta = {\ tfrac {v} {c}}}$${\ Displaystyle \ csc \ vartheta = \ gamma}$${\ Displaystyle \ cot \ vartheta = \ beta \ gamma}$

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} -x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = - x_ {0} ^ {\ prime 2} + x_ {1} ^ {\ prime 2} + x_ {2} ^ {\ prime 2} \\\ hline \ left. {\ Begin {alineado} x_ {0} ^ {\ prime} & = x_ {0} \ csc \ vartheta -x_ {1} \ cot \ vartheta && = {\ frac {x_ {0} -x_ {1} \ cos \ vartheta} {\ sin \ vartheta}} \\ x_ {1} ^ {\ prime} & = -x_ {0} \ cot \ vartheta + x_ {1} \ csc \ vartheta && = {\ frac {x_ {0} \ cos \ vartheta -x_ {1}} {\ sin \ vartheta}} \\ x_ { 2} ^ {\ prime} & = x_ {2} \\\\ x_ {0} & = x_ {0} ^ {\ prime} \ csc \ vartheta + x_ {1} ^ {\ prime} \ cot \ vartheta && = {\ frac {x_ {0} ^ {\ prime} + x_ {1} ^ {\ prime} \ cos \ vartheta} {\ sin \ vartheta}} \\ x_ {1} & = x_ {0} ^ {\ prime} \ cot \ vartheta + x_ {1} ^ {\ prime} \ csc \ vartheta && = {\ frac {x_ {0} ^ {\ prime} \ cos \ vartheta + x_ {1} ^ {\ prime }} {\ sin \ vartheta}} \\ x_ {2} & = x_ {2} ^ {\ prime} \ end {alineado}} \ right | {\ scriptstyle {\ begin {alineado} \ cot ^ {2} \ vartheta - \ csc ^ {2} \ vartheta & = - 1 \\ {\ frac {\ cot \ vartheta} {\ csc \ vartheta}} & = \ cos \ vartheta \\ {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ cos ^ {2} \ vartheta}}} & = \ csc \ vartheta \\ {\ frac {\ cos \ vartheta} {\ sqrt {1- \ cos ^ {2} \ vartheta}}} & = \ cot \ va rtheta \ end {alineado}}} \ end {matriz}}}$

( 8b )

Materiales de aprendizaje de Wikiversity: esta transformación de Lorentz fue derivada por Eisenhart (1905) mientras transformaba superficies pseudoesféricas. En relatividad especial fue utilizado por primera vez por Gruner (1921) mientras desarrollaba diagramas de Loedel .

Transformación de Lorentz mediante mapeos de compresión

Como ya se indicó en las ecuaciones ( 3d ) en forma exponencial o ( 6f ) en términos del parámetro de Cayley-Klein, los aumentos de Lorentz en términos de rotaciones hiperbólicas se pueden expresar como mapeos de compresión . Usando coordenadas asintóticas de una hipérbola ( u, v ), tienen la forma general (algunos autores agregan alternativamente un factor de 2 o ): ${\ Displaystyle {\ sqrt {2}}}$

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} (1) & {\ begin {array} {c | c | c} u = x_ {0} + x_ {1} & 2u = x_ {0} + x_ {1} & { \ sqrt {2}} u = x_ {0} + x_ {1} \\ v = x_ {0} -x_ {1} & 2v = x_ {0} -x_ {1} & {\ sqrt {2}} v = x_ {0} -x_ {1} \\ u '= x_ {0} ^ {\ prime} + x_ {1} ^ {\ prime} & 2u' = x_ {0} ^ {\ prime} + x_ {1 } ^ {\ prime} & {\ sqrt {2}} u = x_ {0} ^ {\ prime} + x_ {1} ^ {\ prime} \\ v '= x_ {0} ^ {\ prime} - x_ {1} ^ {\ prime} & 2v '= x_ {0} ^ {\ prime} -x_ {1} ^ {\ prime} & {\ sqrt {2}} v = x_ {0} ^ {\ prime} -x_ {1} ^ {\ prime} \ end {matriz}} \\\ hline (2) & (u ', v') = \ left (ku, \ {\ frac {1} {k}} v \ derecha) \ Rightarrow u'v '= uv \ end {matriz}}}$

( 9a )

Se puede ver que este sistema de ecuaciones representa un impulso de Lorentz conectando (1) en (2) y resolviendo las variables individuales:

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} -x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} = - x_ {0} ^ {\ prime 2} + x_ {1} ^ {\ prime 2} \\\ hline \ left. {\ begin {alineado} x_ {0} ^ {\ prime} & = {\ frac {1} {2}} \ left (k + {\ frac {1} {k}} \ right ) x_ {0} - {\ frac {1} {2}} \ left (k - {\ frac {1} {k}} \ right) x_ {1} && = {\ frac {x_ {0} \ left (k ^ {2} +1 \ right) -x_ {1} \ left (k ^ {2} -1 \ right)} {2k}} \\ x_ {1} ^ {\ prime} & = - {\ frac {1} {2}} \ left (k - {\ frac {1} {k}} \ right) x_ {0} + {\ frac {1} {2}} \ left (k + {\ frac {1 } {k}} \ right) x_ {1} && = {\ frac {-x_ {0} \ left (k ^ {2} -1 \ right) + x_ {1} \ left (k ^ {2} + 1 \ right)} {2k}} \\\\ x_ {0} & = {\ frac {1} {2}} \ left (k + {\ frac {1} {k}} \ right) x_ {0} ^ {\ prime} + {\ frac {1} {2}} \ left (k - {\ frac {1} {k}} \ right) x_ {1} ^ {\ prime} && = {\ frac {x_ {0} ^ {\ prime} \ left (k ^ {2} +1 \ right) + x_ {1} ^ {\ prime} \ left (k ^ {2} -1 \ right)} {2k}} \ \ x_ {1} & = {\ frac {1} {2}} \ left (k - {\ frac {1} {k}} \ right) x_ {0} ^ {\ prime} + {\ frac {1 } {2}} \ left (k + {\ frac {1} {k}} \ right) x_ {1} ^ {\ prime} && = {\ frac {x_ {0} ^ {\ prime} \ left (k ^ {2} -1 \ right) + x_ {1} ^ {\ prime} \ left (k ^ {2} +1 \ right)} {2k}} \ end {alineado}} \ right | {\ scriptstyle { \ begin {alineado} {\ frac {k ^ {2} -1} {k ^ {2} +1}} & = \ beta \ \ {\ frac {k ^ {2} +1} {2k}} & = \ gamma \\ {\ frac {k ^ {2} -1} {2k}} & = \ beta \ gamma \ end {alineado} }} \ end {matriz}}}$

( 9b )

Materiales de aprendizaje de Wikiversity: Se ha utilizado la transformación de Lorentz ( 9a ) de coordenadas asintóticas Laisant (1874) , Günther (1880/81) en relación con la trigonometría elíptica; por Lie (1879-81) , Bianchi (1886, 1894) , Darboux (1891/94) , Eisenhart (1905) como transformada de Lie ) de superficies pseudoesféricas en términos de la ecuación de Sine-Gordon ; por Lipschitz (1885/86) en la teoría de la transformación. De ahí se derivaron diferentes formas de transformación de Lorentz: ( 9b ) por Lipschitz (1885/86) , Bianchi (1886, 1894) , Eisenhart (1905) ; refuerzo trigonométrico de Lorentz ( 8a ) de Bianchi (1886, 1894) , Darboux (1891/94) ; refuerzo trigonométrico de Lorentz ( 8b ) de Eisenhart (1905) . El impulso de Lorentz ( 9b ) fue redescubierto en el marco de la relatividad especial por Hermann Bondi (1964) en términos del cálculo k de Bondi , mediante el cual k puede interpretarse físicamente como factor Doppler. Dado que ( 9b ) es equivalente a ( 6f ) en términos del parámetro de Cayley-Klein por configuración , se puede interpretar como el caso especial 1 + 1 dimensional de la Transformación de Lorentz ( 6e ) establecido por Gauss alrededor de 1800 (publicado póstumamente en 1863), Selling (1873) , Bianchi (1888) , Fricke (1891) , Woods (1895) .${\ Displaystyle k = \ alpha ^ {2}}$

Las variables u, v en ( 9a ) se pueden reorganizar para producir otra forma de mapeo de compresión, lo que da como resultado la transformación de Lorentz ( 5b ) en términos del parámetro de Cayley-Hermite:

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} {\ begin {matrix} u = x_ {0} + x_ {1} \\ v = x_ {0} -x_ {1} \\ u '= x_ {0} ^ { \ prime} + x_ {1} ^ {\ prime} \\ v '= x_ {0} ^ {\ prime} -x_ {1} ^ {\ prime} \ end {matrix}} \ Rightarrow {\ begin {matrix } u_ {1} = x_ {1} -x_ {1} ^ {\ prime} \\ v_ {1} = x_ {0} + x_ {0} ^ {\ prime} \\ u_ {2} = x_ { 1} + x_ {1} ^ {\ prime} \\ v_ {2} = x_ {0} -x_ {0} ^ {\ prime} \ end {matrix}} \\\ hline (u_ {2}, v_ {2}) = \ left (au_ {1}, \ {\ frac {1} {a}} v_ {1} \ right) \ Rightarrow u_ {2} v_ {2} = u_ {1} v_ {1} \\ (u ', v') = \ left ({\ frac {1 + a} {1-a}} u, \ {\ frac {1-a} {1 + a}} v \ right) \ Rightarrow u'v '= uv \ end {matrix}} \ Rightarrow {\ begin {matrix} -x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} = - x_ {0} ^ {\ prime 2} + x_ {1} ^ {\ prime 2} \\\ hline {\ begin {align} x_ {0} ^ {\ prime} & = x_ {0} {\ frac {1 + a ^ {2}} {1 -a ^ {2}}} - x_ {1} {\ frac {2a} {1-a ^ {2}}} && = {\ frac {x_ {0} \ left (1 + a ^ {2} \ derecha) -x_ {1} 2a} {1-a ^ {2}}} \\ x_ {1} ^ {\ prime} & = - x_ {0} {\ frac {2a} {1-a ^ {2 }}} + x_ {1} {\ frac {1 + a ^ {2}} {1-a ^ {2}}} && = {\ frac {-x_ {0} 2a + x_ {1} \ left ( 1 + a ^ {2} \ right)} {1-a ^ {2}}} \\\\ x_ {0} & = x_ {0} ^ {\ prime} {\ frac {1 + a ^ {2 }} {1-a ^ {2}}} + x_ {1} ^ {\ prime} {\ frac {2a} {1-a ^ {2}}} && = {\ frac {x_ {0} ^ { \ prime} \ left (1 + a ^ {2} \ right) + x_ {1} ^ {\ prime} 2a} {1-a ^ {2}}} \\ x_ {1} & = x_ {0} ^ {\ prime} {\ frac { 2a} {1-a ^ {2}}} + x_ {1} ^ {\ prime} {\ frac {1 + a ^ {2}} {1-a ^ {2}}} && = {\ frac { x_ {0} ^ {\ prime} 2a + x_ {1} ^ {\ prime} \ left (1 + a ^ {2} \ right)} {1-a ^ {2}}} \ end {alineado}} \ end {matriz}}}$

( 9c )

Materiales de aprendizaje de Wikiversity: Estas transformaciones de Lorentz fueron dadas (hasta un cambio de signo) por Laguerre (1882) , Darboux (1887) , Smith (1900) en relación con la geometría de Laguerre.

Sobre la base de factores k o una , todos los aumentos de Lorentz anteriores ( 3b , 4a , 8a , 8b ) se pueden expresar como asignaciones de compresión, así:

${\ Displaystyle {\ begin {array} {c | c | c | c | c | c} && (3b) & (4a) & (8a) & (8b) \\\ hline k & {\ frac {1 + a } {1-a}} & e ^ {\ eta} & {\ sqrt {\ tfrac {1+ \ beta} {1- \ beta}}} & {\ frac {1+ \ sin \ theta} {\ cos \ theta}} & {\ frac {1+ \ cos \ vartheta} {\ sin \ vartheta}} = \ cot {\ frac {\ vartheta} {2}} \\\ hline {\ frac {k-1} {k +1}} & a & \ tanh {\ frac {\ eta} {2}} & {\ frac {\ gamma -1} {\ beta \ gamma}} & {\ frac {1- \ cos \ theta} {\ sin \ theta}} = \ tan {\ frac {\ theta} {2}} & {\ frac {1- \ sin \ vartheta} {\ cos \ vartheta}} \\\ hline {\ frac {k ^ {2} -1} {k ^ {2} +1}} & {\ frac {2a} {1 + a ^ {2}}} & \ tanh \ eta & \ beta & \ sin \ theta & \ cos \ vartheta \\ \ hline {\ frac {k ^ {2} +1} {2k}} & {\ frac {1 + a ^ {2}} {1-a ^ {2}}} & \ cosh \ eta & \ gamma & \ sec \ theta & \ csc \ vartheta \\\ hline {\ frac {k ^ {2} -1} {2k}} & {\ frac {2a} {1-a ^ {2}}} & \ sinh \ eta & \ beta \ gamma & \ tan \ theta & \ cot \ vartheta \ end {array}}}$

( 9d )

Materiales de Wikiversidad aprendizaje: asignaciones de exprimir en términos de fueron utilizados por Darboux (1891-1894) y Bianchi (1894) , en términos de por Lindemann (1891) y Herglotz (1909) , en términos de por Eisenhart (1905) , en términos de Bondi (1964).${\ Displaystyle \ theta}$${\ Displaystyle \ eta}$${\ Displaystyle \ vartheta}$${\ Displaystyle \ beta}$

Electrodinámica y relatividad especial

Voigt (1887)

Woldemar Voigt (1887) desarrolló una transformación en relación con el efecto Doppler y un medio incompresible, siendo en notación moderna:

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} {\ text {original}} & {\ text {modern}} \\\ hline \ left. {\ begin {alineado} \ xi _ {1} & = x_ {1} - \ varkappa t \\\ eta _ {1} & = y_ {1} q \\\ zeta _ {1} & = z_ {1} q \\\ tau & = t - {\ frac {\ varkappa x_ {1 }} {\ omega ^ {2}}} \\ q & = {\ sqrt {1 - {\ frac {\ varkappa ^ {2}} {\ omega ^ {2}}}}} \ end {alineado}} \ derecha | & {\ begin {alineado} x ^ {\ prime} & = x-vt \\ y ^ {\ prime} & = {\ frac {y} {\ gamma}} \\ z ^ {\ prime} & = {\ frac {z} {\ gamma}} \\ t ^ {\ prime} & = t - {\ frac {vx} {c ^ {2}}} \\ {\ frac {1} {\ gamma} } & = {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}} \ end {alineado}} \ end {matriz}}}$

Si los lados derechos de sus ecuaciones se multiplican por γ, son la transformación de Lorentz moderna ( 4b ). En la teoría de Voigt, la velocidad de la luz es invariante, pero sus transformaciones mezclan un impulso relativista junto con un cambio de escala del espacio-tiempo. Los fenómenos ópticos en el espacio libre son de escala , conformes (usando el factor λ discutido anteriormente ) e invariantes de Lorentz , por lo que la combinación también es invariante. Por ejemplo, las transformaciones de Lorentz se pueden extender usando : ${\ Displaystyle l = {\ sqrt {\ lambda}}}$

${\ Displaystyle x ^ {\ prime} = \ gamma l \ left (x-vt \ right), \ quad y ^ {\ prime} = ly, \ quad z ^ {\ prime} = lz, \ quad t ^ { \ prime} = \ gamma l \ left (tx {\ frac {v} {c ^ {2}}} \ right)}$.

l = 1 / γ da la transformación de Voigt, l = 1 la transformación de Lorentz. Pero las transformaciones de escala no son una simetría de todas las leyes de la naturaleza, solo del electromagnetismo, por lo que estas transformaciones no pueden usarse para formular un principio de relatividad en general. Poincaré y Einstein demostraron que uno tiene que establecer l = 1 para hacer simétrica la transformación anterior y formar un grupo como lo requiere el principio de relatividad, por lo tanto, la transformación de Lorentz es la única opción viable.

Voigt envió su artículo de 1887 a Lorentz en 1908, y eso fue reconocido en 1909:

En un artículo "Über das Doppler'sche Princip", publicado en 1887 (Gött. Nachrichten, p. 41) y que, a mi pesar, ha escapado a mi atención todos estos años, Voigt ha aplicado a las ecuaciones de la forma (7) (§ 3 de este libro) [es decir ] una transformación equivalente a las fórmulas (287) y (288) [es decir ]. La idea de las transformaciones utilizadas anteriormente (y en el § 44) podría, por tanto, haber sido tomada prestada de Voigt y la prueba de que no altera la forma de las ecuaciones para el éter libre está contenida en su artículo.${\ Displaystyle \ Delta \ Psi - {\ tfrac {1} {c ^ {2}}} {\ tfrac {\ partial ^ {2} \ Psi} {\ partial t ^ {2}}} = 0}$${\ Displaystyle x ^ {\ prime} = \ gamma l \ left (x-vt \ right), \ y ^ {\ prime} = ly, \ z ^ {\ prime} = lz, \ t ^ {\ prime} = \ gamma l \ left (t - {\ tfrac {v} {c ^ {2}}} x \ right)}$

También Hermann Minkowski dijo en 1908 que las transformaciones que juegan el papel principal en el principio de relatividad fueron examinadas por primera vez por Voigt en 1887. Voigt respondió en el mismo artículo diciendo que su teoría se basaba en una teoría elástica de la luz, no electromagnética. uno. Sin embargo, concluyó que algunos resultados eran en realidad los mismos.

Heaviside (1888), Thomson (1889), Searle (1896)

En 1888, Oliver Heaviside investigó las propiedades de las cargas en movimiento según la electrodinámica de Maxwell. Calculó, entre otras cosas, anisotropías en el campo eléctrico de los cuerpos en movimiento representado por esta fórmula:

${\ Displaystyle \ mathrm {E} = \ left ({\ frac {q \ mathrm {r}} {r ^ {2}}} \ right) \ left (1 - {\ frac {v ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta} {c ^ {2}}} \ right) ^ {- 3/2}}$.

En consecuencia, Joseph John Thomson (1889) encontró una manera de simplificar sustancialmente los cálculos relacionados con las cargas en movimiento utilizando la siguiente transformación matemática (al igual que otros autores como Lorentz o Larmor, también Thomson usó implícitamente la transformación galileana z-vt en su ecuación):

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} {\ text {original}} & {\ text {modern}} \\\ hline \ left. {\ begin {alineado} z & = \ left \ {1 - {\ frac {\ omega ^ {2}} {v ^ {2}}} \ right \} ^ {\ frac {1} {2}} z '\ end {alineado}} \ right | & {\ begin {alineado} z ^ { \ ast} = z-vt & = {\ frac {z '} {\ gamma}} \ end {alineado}} \ end {matriz}}}$

Por lo tanto, las ecuaciones de ondas electromagnéticas no homogéneas se transforman en una ecuación de Poisson . Finalmente, George Frederick Charles Searle señaló en (1896) que la expresión de Heaviside conduce a una deformación de los campos eléctricos que llamó "Heaviside-Elipsoide" de relación axial.

${\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ text {original}} & {\ text {modern}} \\\ hline \ left. {\ begin {alineado} & {\ sqrt {\ alpha}}: 1: 1 \\\ alpha = & 1 - {\ frac {u ^ {2}} {v ^ {2}}} \ end {alineado}} \ right | & {\ begin {alineado} & {\ frac {1} {\ gamma}}: 1: 1 \\ {\ frac {1} {\ gamma ^ {2}}} & = 1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} \ end {alineado }} \ end {matriz}}}$

Lorentz (1892, 1895)

Para explicar la aberración de la luz y el resultado del experimento de Fizeau de acuerdo con las ecuaciones de Maxwell , Lorentz en 1892 desarrolló un modelo (" teoría del éter de Lorentz ") en el que el éter está completamente inmóvil y la velocidad de la luz en el éter. es constante en todas las direcciones. Para calcular la óptica de los cuerpos en movimiento, Lorentz introdujo las siguientes cantidades para transformar el sistema de éter en un sistema en movimiento (se desconoce si fue influenciado por Voigt, Heaviside y Thomson)

${\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ text {original}} & {\ text {modern}} \\\ hline \ left. {\ begin {alineado} {\ mathfrak {x}} & = {\ frac { V} {\ sqrt {V ^ {2} -p ^ {2}}}} x \\ t '& = t - {\ frac {\ varepsilon} {V}} {\ mathfrak {x}} \\\ varepsilon & = {\ frac {p} {\ sqrt {V ^ {2} -p ^ {2}}}} \ end {alineado}} \ right | & {\ begin {alineado} x ^ {\ prime} & = \ gamma x ^ {\ ast} = \ gamma (x-vt) \\ t ^ {\ prime} & = t - {\ frac {\ gamma ^ {2} vx ^ {\ ast}} {c ^ { 2}}} = \ gamma ^ {2} \ left (t - {\ frac {vx} {c ^ {2}}} \ right) \\\ gamma {\ frac {v} {c}} & = { \ frac {v} {\ sqrt {c ^ {2} -v ^ {2}}}} \ end {alineado}} \ end {matriz}}}$

donde x ^* es la transformación galileana x-vt . Excepto el γ adicional en la transformación de tiempo, esta es la transformación de Lorentz completa ( 4b ). Si bien t es el tiempo "verdadero" para los observadores que descansan en el éter, t ′ es una variable auxiliar solo para calcular procesos para sistemas en movimiento. También es importante que Lorentz y más tarde también Larmor formularon esta transformación en dos pasos. Al principio una transformación galileana implícita, y luego la expansión al sistema electromagnético "ficticio" con la ayuda de la transformación de Lorentz. Para explicar el resultado negativo del experimento de Michelson-Morley , él (1892b) introdujo la hipótesis adicional de que también las fuerzas intermoleculares se ven afectadas de manera similar e introdujo la contracción de longitud en su teoría (sin pruebas, como admitió). George FitzGerald ya formuló la misma hipótesis en 1889 basándose en el trabajo de Heaviside. Si bien la contracción de la longitud fue un efecto físico real para Lorentz, consideró la transformación del tiempo solo como una hipótesis de trabajo heurística y una estipulación matemática.

En 1895, Lorentz desarrolló más su teoría e introdujo el "teorema de los estados correspondientes". Este teorema establece que un observador en movimiento (relativo al éter) en su campo "ficticio" hace las mismas observaciones que un observador en reposo en su campo "real" para velocidades de primer orden en v / c . Lorentz demostró que las dimensiones de los sistemas electrostáticos en el éter y un marco móvil están conectadas por esta transformación:

${\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ text {original}} & {\ text {modern}} \\\ hline \ left. {\ begin {alineado} x & = x ^ {\ prime} {\ sqrt {1 - {\ frac {{\ mathfrak {p}} ^ {2}} {V ^ {2}}}}} \\ y & = y ^ {\ prime} \\ z & = z ^ {\ prime} \\ t & = t ^ {\ prime} \ end {alineado}} \ right | & {\ begin {alineado} x ^ {\ ast} = x-vt & = {\ frac {x ^ {\ prime}} {\ gamma}} \\ y & = y ^ {\ prime} \\ z & = z ^ {\ prime} \\ t & = t ^ {\ prime} \ end {alineado}} \ end {matriz}}}$

Para resolver problemas ópticos, Lorentz utilizó la siguiente transformación, en la que la variable de tiempo modificada fue llamada "hora local" ( alemán : Ortszeit ) por él:

${\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ text {original}} & {\ text {modern}} \\\ hline \ left. {\ begin {alineado} x & = \ mathrm {x} - {\ mathfrak {p }} _ {x} t \\ y & = \ mathrm {y} - {\ mathfrak {p}} _ {y} t \\ z & = \ mathrm {z} - {\ mathfrak {p}} _ {z} t \\ t ^ {\ prime} & = t - {\ frac {{\ mathfrak {p}} _ {x}} {V ^ {2}}} x - {\ frac {{\ mathfrak {p}} _ {y}} {V ^ {2}}} y - {\ frac {{\ mathfrak {p}} _ {z}} {V ^ {2}}} z \ end {alineado}} \ right | & {\ begin {alineado} x ^ {\ prime} & = x-v_ {x} t \\ y ^ {\ prime} & = y-v_ {y} t \\ z ^ {\ prime} & = z- v_ {z} t \\ t ^ {\ prime} & = t - {\ frac {v_ {x}} {c ^ {2}}} x '- {\ frac {v_ {y}} {c ^ { 2}}} y '- {\ frac {v_ {z}} {c ^ {2}}} z' \ end {alineado}} \ end {matriz}}}$

Con este concepto, Lorentz podría explicar el efecto Doppler , la aberración de la luz y el experimento de Fizeau .

Larmor (1897, 1900)

En 1897, Larmor amplió la obra de Lorentz y derivó la siguiente transformación

${\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ text {original}} & {\ text {modern}} \\\ hline \ left. {\ begin {alineado} x_ {1} & = x \ varepsilon ^ {\ frac {1} {2}} \\ y_ {1} & = y \\ z_ {1} & = z \\ t ^ {\ prime} & = t-vx / c ^ {2} \\ dt_ {1} & = dt ^ {\ prime} \ varepsilon ^ {- {\ frac {1} {2}}} \\\ varepsilon & = \ left (1-v ^ {2} / c ^ {2} \ right) ^ {-1} \ end {alineado}} \ right | & {\ begin {alineado} x_ {1} & = \ gamma x ^ {\ ast} = \ gamma (x-vt) \\ y_ {1} & = y \\ z_ {1} & = z \\ t ^ {\ prime} & = t - {\ frac {vx ^ {\ ast}} {c ^ {2}}} = t - {\ frac {v ( x-vt)} {c ^ {2}}} \\ dt_ {1} & = {\ frac {dt ^ {\ prime}} {\ gamma}} \\\ gamma ^ {2} & = {\ frac {1} {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}} \ end {alineado}} \ end {matriz}}}$

Larmor señaló que si se supone que la constitución de las moléculas es eléctrica, la contracción de FitzGerald-Lorentz es una consecuencia de esta transformación, lo que explica el experimento de Michelson-Morley . Es notable que Larmor fue el primero en reconocer que algún tipo de dilatación del tiempo es una consecuencia de esta transformación también, porque "los electrones individuales describen las partes correspondientes de sus órbitas en tiempos más cortos para el sistema [resto] en la proporción 1 / γ". . Larmor escribió sus ecuaciones y transformaciones electrodinámicas ignorando términos de orden superior que (v / c) ² ; cuando su artículo de 1897 fue reimpreso en 1929, Larmor añadió el siguiente comentario en el que describió cómo pueden hacerse válidas para todos los órdenes de v / c :

No es necesario descuidar nada: la transformación es exacta si v / c ² se reemplaza por εv / c ² en las ecuaciones y también en el cambio que sigue de t a t ′ , como se resuelve en Aether and Matter (1900), p. 168, y como Lorentz descubrió en 1904, estimulando así los esquemas modernos de relatividad relacional intrínseca.

De acuerdo con ese comentario, en su libro Aether and Matter publicado en 1900, Larmor usó una hora local modificada t ″ = t′-εvx ′ / c ^{2 en} lugar de la expresión de 1897 t ′ = t-vx / c ² reemplazando v / c ² con εv / c ² , de modo que t ″ ahora es idéntico al dado por Lorentz en 1892, que combinó con una transformación galileana para las coordenadas x ′, y ′, z ′, t ′ :

${\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ text {original}} & {\ text {modern}} \\\ hline \ left. {\ begin {alineado} x ^ {\ prime} & = x-vt \\ y ^ {\ prime} & = y \\ z ^ {\ prime} & = z \\ t ^ {\ prime} & = t \\ t ^ {\ prime \ prime} & = t ^ {\ prime} - \ varepsilon vx ^ {\ prime} / c ^ {2} \ end {alineado}} \ right | & {\ begin {alineado} x ^ {\ prime} & = x-vt \\ y ^ {\ prime} & = y \\ z ^ {\ prime} & = z \\ t ^ {\ prime} & = t \\ t ^ {\ prime \ prime} = t ^ {\ prime} - {\ frac {\ gamma ^ { 2} vx ^ {\ prime}} {c ^ {2}}} & = \ gamma ^ {2} \ left (t - {\ frac {vx} {c ^ {2}}} \ right) \ end { alineado}} \ end {matriz}}}$

Larmor sabía que el experimento de Michelson-Morley era lo suficientemente preciso como para detectar un efecto de movimiento en función del factor (v / c) ² , por lo que buscó las transformaciones que fueran "precisas de segundo orden" (como él mismo dijo). Por lo tanto, escribió las transformaciones finales (donde x ′ = x-vt y t ″ como se indica arriba) como:

${\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ text {original}} & {\ text {modern}} \\\ hline \ left. {\ begin {alineado} x_ {1} & = \ varepsilon ^ {\ frac { 1} {2}} x ^ {\ prime} \\ y_ {1} & = y ^ {\ prime} \\ z_ {1} & = z ^ {\ prime} \\ dt_ {1} & = \ varepsilon ^ {- {\ frac {1} {2}}} dt ^ {\ prime \ prime} = \ varepsilon ^ {- {\ frac {1} {2}}} \ left (dt ^ {\ prime} - { \ frac {v} {c ^ {2}}} \ varepsilon dx ^ {\ prime} \ right) \\ t_ {1} & = \ varepsilon ^ {- {\ frac {1} {2}}} t ^ {\ prime} - {\ frac {v} {c ^ {2}}} \ varepsilon ^ {\ frac {1} {2}} x ^ {\ prime} \ end {alineado}} \ right | & {\ comenzar {alineado} x_ {1} & = \ gamma x ^ {\ prime} = \ gamma (x-vt) \\ y_ {1} & = y '= y \\ z_ {1} & = z' = z \\ dt_ {1} & = {\ frac {dt ^ {\ prime \ prime}} {\ gamma}} = {\ frac {1} {\ gamma}} \ left (dt ^ {\ prime} - {\ frac {\ gamma ^ {2} vdx ^ {\ prime}} {c ^ {2}}} \ right) = \ gamma \ left (dt - {\ frac {vdx} {c ^ {2}}} \ right ) \\ t_ {1} & = {\ frac {t ^ {\ prime}} {\ gamma}} - {\ frac {\ gamma vx ^ {\ prime}} {c ^ {2}}} = \ gamma \ left (t - {\ frac {vx} {c ^ {2}}} \ right) \ end {alineado}} \ end {matriz}}}$

por lo que llegó a la transformación de Lorentz completa ( 4b ). Larmor demostró que las ecuaciones de Maxwell eran invariantes bajo esta transformación de dos pasos, "al segundo orden en v / c "; Lorentz (1904) y Poincaré (1905) demostraron más tarde que son invariantes bajo esta transformación a todos los órdenes en v / c .

Larmor dio crédito a Lorentz en dos artículos publicados en 1904, en los que usó el término "transformación de Lorentz" para las transformaciones de primer orden de Lorentz de coordenadas y configuraciones de campo:

pag. 583: [..] Transformación de Lorentz para pasar del campo de actividad de un sistema material electrodinámico estacionario al de uno que se mueve con velocidad uniforme de traslación a través del éter.
pag. 585: [..] la transformación de Lorentz nos ha mostrado lo que no es tan inmediatamente obvio [..]
p. 622: [..] la transformación desarrollada por primera vez por Lorentz: es decir, cada punto en el espacio debe tener su propio origen a partir del cual se mide el tiempo, su "tiempo local" en la fraseología de Lorentz, y luego los valores de los vectores eléctricos y magnéticos. [..] en todos los puntos del éter entre las moléculas del sistema en reposo, son los mismos que los de los vectores [..] en los puntos correspondientes del sistema convectivo en los mismos tiempos locales.

Lorentz (1899, 1904)

También Lorentz extendió su teorema de los estados correspondientes en 1899. Primero escribió una transformación equivalente a la de 1892 (nuevamente, x * debe ser reemplazado por x-vt ):

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} {\ text {original}} & {\ text {modern}} \\\ hline \ left. {\ begin {alineado} x ^ {\ prime} & = {\ frac {V } {\ sqrt {V ^ {2} - {\ mathfrak {p}} _ {x} ^ {2}}}} x \\ y ^ {\ prime} & = y \\ z ^ {\ prime} & = z \\ t ^ {\ prime} & = t - {\ frac {{\ mathfrak {p}} _ {x}} {V ^ {2} - {\ mathfrak {p}} _ {x} ^ { 2}}} x \ end {alineado}} \ right | & {\ begin {alineado} x ^ {\ prime} & = \ gamma x ^ {\ ast} = \ gamma (x-vt) \\ y ^ { \ prime} & = y \\ z ^ {\ prime} & = z \\ t ^ {\ prime} & = t - {\ frac {\ gamma ^ {2} vx ^ {\ ast}} {c ^ { 2}}} = \ gamma ^ {2} \ left (t - {\ frac {vx} {c ^ {2}}} \ right) \ end {alineado}} \ end {matriz}}}$

Luego introdujo un factor ε del cual dijo que no tenía forma de determinarlo, y modificó su transformación de la siguiente manera (donde se debe insertar el valor anterior de t ′ ):

${\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ text {original}} & {\ text {modern}} \\\ hline \ left. {\ begin {alineado} x & = {\ frac {\ varepsilon} {k}} x ^ {\ prime \ prime} \\ y & = \ varepsilon y ^ {\ prime \ prime} \\ z & = \ varepsilon x ^ {\ prime \ prime} \\ t ^ {\ prime} & = k \ varepsilon t ^ {\ prime \ prime} \\ k & = {\ frac {V} {\ sqrt {V ^ {2} - {\ mathfrak {p}} _ {x} ^ {2}}}} \ end {alineado} } \ right | & {\ begin {alineado} x ^ {\ ast} = x-vt & = {\ frac {\ varepsilon} {\ gamma}} x ^ {\ prime \ prime} \\ y & = \ varepsilon y ^ {\ prime \ prime} \\ z & = \ varepsilon z ^ {\ prime \ prime} \\ t ^ {\ prime} = \ gamma ^ {2} \ left (t - {\ frac {vx} {c ^ { 2}}} \ right) & = \ gamma \ varepsilon t ^ {\ prime \ prime} \\\ gamma & = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} { c ^ {2}}}}}} \ end {alineado}} \ end {matriz}}}$

Esto es equivalente a la transformación de Lorentz completa ( 4b ) cuando se resuelve para x ″ y t ″ y con ε = 1. Como Larmor, Lorentz notó en 1899 también algún tipo de efecto de dilatación del tiempo en relación con la frecuencia de los electrones oscilantes "que en S el tiempo de vibraciones es kε veces tan grande como en S ₀ " , donde S ₀ es el marco del éter.

En 1904 reescribió las ecuaciones en la siguiente forma estableciendo l = 1 / ε (nuevamente, x * debe ser reemplazado por x-vt ):

${\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ text {original}} & {\ text {modern}} \\\ hline \ left. {\ begin {alineado} x ^ {\ prime} & = klx \\ y ^ {\ prime} & = ly \\ z ^ {\ prime} & = lz \\ t '& = {\ frac {l} {k}} t-kl {\ frac {w} {c ^ {2}} } x \ end {alineado}} \ right | & {\ begin {alineado} x ^ {\ prime} & = \ gamma lx ^ {\ ast} = \ gamma l (x-vt) \\ y ^ {\ prime } & = ly \\ z ^ {\ prime} & = lz \\ t ^ {\ prime} & = {\ frac {lt} {\ gamma}} - {\ frac {\ gamma lvx ^ {\ ast}} {c ^ {2}}} = \ gamma l \ left (t - {\ frac {vx} {c ^ {2}}} \ right) \ end {alineado}} \ end {matriz}}}$

Bajo el supuesto de que l = 1 cuando v = 0, demostró que l = 1 debe ser el caso en todas las velocidades, por lo tanto, la contracción de la longitud solo puede surgir en la línea de movimiento. Entonces, al establecer el factor 1 en la unidad, las transformaciones de Lorentz ahora asumieron la misma forma que las de Larmor y ahora están completadas. A diferencia de Larmor, quien se limitó a mostrar la covarianza de las ecuaciones de Maxwell a segundo orden, Lorentz intentó ampliar su covarianza a todos los órdenes en v / c . También derivó las fórmulas correctas para la dependencia de la velocidad de la masa electromagnética , y concluyó que las fórmulas de transformación deben aplicarse a todas las fuerzas de la naturaleza, no solo a las eléctricas. Sin embargo, no logró la covarianza completa de las ecuaciones de transformación para la densidad de carga y la velocidad. Cuando el artículo de 1904 se reimprimió en 1913, Lorentz añadió la siguiente observación:

Uno notará que en este trabajo las ecuaciones de transformación de la Teoría de la Relatividad de Einstein no se han logrado del todo. [..] De esta circunstancia depende la torpeza de muchas de las consideraciones adicionales de este trabajo.

La transformación de Lorentz de 1904 fue citada y utilizada por Alfred Bucherer en julio de 1904:

${\ Displaystyle x ^ {\ prime} = {\ sqrt {s}} x, \ quad y ^ {\ prime} = y, \ quad z ^ {\ prime} = z, \ quad t '= {\ frac { t} {\ sqrt {s}}} - {\ sqrt {s}} {\ frac {u} {v ^ {2}}} x, \ quad s = 1 - {\ frac {u ^ {2}} {v ^ {2}}}}$

o por Wilhelm Wien en julio de 1904:

${\ Displaystyle x = kx ', \ quad y = y', \ quad z = z ', \ quad t' = kt - {\ frac {v} {kc ^ {2}}} x}$

o por Emil Cohn en noviembre de 1904 (estableciendo la velocidad de la luz a la unidad):

${\ Displaystyle x = {\ frac {x_ {0}} {k}}, \ quad y = y_ {0}, \ quad z = z_ {0}, \ quad t = kt_ {0}, \ quad t_ { 1} = t_ {0} -w \ cdot r_ {0}, \ quad k ^ {2} = {\ frac {1} {1-w ^ {2}}}}$

o por Richard Gans en febrero de 1905:

${\ Displaystyle x ^ {\ prime} = kx, \ quad y ^ {\ prime} = y, \ quad z ^ {\ prime} = z, \ quad t '= {\ frac {t} {k}} - {\ frac {kwx} {c ^ {2}}}, \ quad k ^ {2} = {\ frac {c ^ {2}} {c ^ {2} -w ^ {2}}}}$

Poincaré (1900, 1905)

Hora local

Ni Lorentz ni Larmor dieron una interpretación física clara del origen de la hora local. Sin embargo, Henri Poincaré en 1900 comentó sobre el origen de la "maravillosa invención" de Lorentz de la hora local. Comentó que surgió cuando los relojes en un marco de referencia en movimiento se sincronizan intercambiando señales que se supone que viajan con la misma velocidad en ambas direcciones, lo que conduce a lo que hoy se llama relatividad de la simultaneidad , aunque el cálculo de Poincaré no implica contracción de longitud ni dilatación del tiempo. Para sincronizar los relojes aquí en la Tierra (el marco x *, t *), se envía una señal luminosa de un reloj (en el origen) a otro (en x *) y se envía de regreso. Se supone que la Tierra se mueve con velocidad v en la dirección x (= x * -dirección) en algún sistema de reposo ( x, t ) ( es decir, el sistema de éter luminífero de Lorentz y Larmor). El tiempo de vuelo hacia el exterior es ${\ Displaystyle c}$

${\ Displaystyle \ delta t_ {a} = {\ frac {x ^ {\ ast}} {\ left (cv \ right)}}}$

y la hora del vuelo de regreso es

${\ Displaystyle \ delta t_ {b} = {\ frac {x ^ {\ ast}} {\ left (c + v \ right)}}}$.

El tiempo transcurrido en el reloj cuando se devuelve la señal es δt _a + δt _b y el tiempo t * = (δt _a + δt _b ) / 2 se atribuye al momento en que la señal luminosa alcanzó el reloj distante. En el marco de reposo, el tiempo t = δt _a se atribuye a ese mismo instante. Algo de álgebra da la relación entre las diferentes coordenadas de tiempo atribuidas al momento de reflexión. Por lo tanto

${\ Displaystyle t ^ {\ ast} = t - {\ frac {\ gamma ^ {2} vx ^ {*}} {c ^ {2}}}}$

idéntico a Lorentz (1892). Al eliminar el factor γ ² bajo el supuesto de que , Poincaré dio el resultado t * = t-vx * / c ² , que es la forma utilizada por Lorentz en 1895. ${\ Displaystyle {\ tfrac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} \ ll 1}$

Más tarde, Emil Cohn (1904) y Max Abraham (1905) dieron interpretaciones físicas similares de la hora local .

Transformación de Lorentz

El 5 de junio de 1905 (publicado el 9 de junio) Poincaré formuló ecuaciones de transformación que son algebraicamente equivalentes a las de Larmor y Lorentz y les dio la forma moderna ( 4b ):

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} x ^ {\ prime} & = kl (x + \ varepsilon t) \\ y ^ {\ prime} & = ly \\ z ^ {\ prime} & = lz \\ t ' & = kl (t + \ varepsilon x) \\ k & = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ varepsilon ^ {2}}}} \ end {alineado}}}$.

Al parecer, Poincaré desconocía las aportaciones de Larmor, porque solo mencionaba a Lorentz y por lo tanto utilizó por primera vez el nombre de "transformación de Lorentz". Poincaré estableció la velocidad de la luz a la unidad, señaló las características de grupo de la transformación estableciendo l = 1, y modificó / corrigió la derivación de Lorentz de las ecuaciones de la electrodinámica en algunos detalles para satisfacer completamente el principio de relatividad, es decir , hacerlas totalmente covariante de Lorentz.

En julio de 1905 (publicado en enero de 1906) Poincaré mostró en detalle cómo las transformaciones y ecuaciones electrodinámicas son consecuencia del principio de mínima acción ; demostró con más detalle las características de grupo de la transformación, al que llamó grupo de Lorentz , y demostró que la combinación x ² + y ² + z ² -t ² es invariante. Notó que la transformación de Lorentz es simplemente una rotación en el espacio de cuatro dimensiones alrededor del origen introduciendo como una cuarta coordenada imaginaria, y usó una forma temprana de cuatro vectores . También formuló la fórmula de adición de velocidad ( 4d ), que ya había derivado en cartas inéditas a Lorentz desde mayo de 1905: ${\ displaystyle ct {\ sqrt {-1}}}$

${\ displaystyle \ xi '= {\ frac {\ xi + \ varepsilon} {1+ \ xi \ varepsilon}}, \ \ eta' = {\ frac {\ eta} {k (1+ \ xi \ varepsilon)} }}$.

Einstein (1905) - Relatividad especial

El 30 de junio de 1905 (publicado en septiembre de 1905) Einstein publicó lo que ahora se llama relatividad especial y dio una nueva derivación de la transformación, que se basó únicamente en el principio de la relatividad y el principio de la constancia de la velocidad de la luz. Mientras Lorentz consideraba que la "hora local" era un dispositivo de estipulación matemática para explicar el experimento de Michelson-Morley, Einstein mostró que las coordenadas dadas por la transformación de Lorentz eran de hecho las coordenadas inerciales de marcos de referencia relativamente móviles. Para cantidades de primer orden en v / c, esto también lo hizo Poincaré en 1900, mientras que Einstein derivó la transformación completa mediante este método. A diferencia de Lorentz y Poincaré, que todavía distinguían entre el tiempo real en el éter y el tiempo aparente para los observadores en movimiento, Einstein demostró que las transformaciones se refieren a la naturaleza del espacio y el tiempo.

La notación para esta transformación es equivalente a la de Poincaré de 1905 y ( 4b ), excepto que Einstein no estableció la velocidad de la luz en la unidad:

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ tau & = \ beta \ left (t - {\ frac {v} {V ^ {2}}} x \ right) \\\ xi & = \ beta (x-vt ) \\\ eta & = y \\\ zeta & = z \\\ beta & = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {v} {V}} \ right) ^ {2}}}} \ end {alineado}}}$

Einstein también definió la fórmula de adición de velocidades ( 4d , 4e ):

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} x = {\ frac {w _ {\ xi} + v} {1 + {\ frac {vw _ {\ xi}} {V ^ {2}}}}} t, \ y = {\ frac {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {v} {V}} \ right) ^ {2}}} {1 + {\ frac {vw _ {\ xi}} {V ^ {2 }}}}} w _ {\ eta} t \\ U ^ {2} = \ left ({\ frac {dx} {dt}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {dy} { dt}} \ right) ^ {2}, \ w ^ {2} = w _ {\ xi} ^ {2} + w _ {\ eta} ^ {2}, \ \ alpha = \ operatorname {arctg} {\ frac {w_ {y}} {w_ {x}}} \\ U = {\ frac {\ sqrt {\ left (v ^ {2} + w ^ {2} + 2vw \ cos \ alpha \ right) - \ left ({\ frac {vw \ sin \ alpha} {V}} \ right) ^ {2}}} {1 + {\ frac {vw \ cos \ alpha} {V ^ {2}}}}} \ end { matriz}} \ izquierda | {\ begin {matriz} {\ frac {u_ {x} -v} {1 - {\ frac {u_ {x} v} {V ^ {2}}}}} = u _ {\ xi} \\ {\ frac {u_ {y}} {\ beta \ left (1 - {\ frac {u_ {x} v} {V ^ {2}}} \ right)}} = u _ {\ eta} \\ {\ frac {u_ {z}} {\ beta \ left (1 - {\ frac {u_ {x} v} {V ^ {2}}} \ right)}} = u _ {\ zeta} \ end {matriz}} \ derecha.}$

y la fórmula de aberración de la luz ( 4f ):

${\ Displaystyle \ cos \ varphi '= {\ frac {\ cos \ varphi - {\ frac {v} {V}}} {1 - {\ frac {v} {V}} \ cos \ varphi}}}$

Minkowski (1907-1908) - Espacio-tiempo

El trabajo sobre el principio de relatividad de Lorentz, Einstein, Planck , junto con el enfoque cuatridimensional de Poincaré, fueron más elaborados y combinados con el modelo hiperboloide de Hermann Minkowski en 1907 y 1908. Minkowski reformuló particularmente la electrodinámica en cuatro dimensiones ( Espacio-tiempo de Minkowski ). Por ejemplo, escribió x, y, z, en la forma x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ . Al definir ψ como el ángulo de rotación alrededor del eje z , la transformación de Lorentz asume una forma (con c = 1) de acuerdo con ( 2b ):

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} x '_ {1} & = x_ {1} \\ x' _ {2} & = x_ {2} \\ x '_ {3} & = x_ {3} \ cos i \ psi + x_ {4} \ sin i \ psi \\ x '_ {4} & = - x_ {3} \ sin i \ psi + x_ {4} \ cos i \ psi \\\ cos i \ psi & = {\ frac {1} {\ sqrt {1-q ^ {2}}}} \ end {alineado}}}$

Aunque Minkowski usó el número imaginario iψ, por una vez usó directamente los tangens hyperbolicus en la ecuación para la velocidad

${\ Displaystyle -i \ tan i \ psi = {\ frac {e ^ {\ psi} -e ^ {- \ psi}} {e ^ {\ psi} + e ^ {- \ psi}}} = q}$con .${\ Displaystyle \ psi = {\ frac {1} {2}} \ ln {\ frac {1 + q} {1-q}}}$

La expresión de Minkowski también puede escribirse como ψ = atanh (q) y más tarde se llamó rapidez . También escribió la transformación de Lorentz en forma de matriz equivalente a ( 2a ) ( n = 3):

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} + x_ {4} ^ {2} = x_ {1} ^ {\ prime 2} + x_ {2} ^ {\ prime 2} + x_ {3} ^ {\ prime 2} + x_ {4} ^ {\ prime 2} \\\ izquierda (x_ {1} ^ {\ prime} = x ', \ x_ {2} ^ {\ prime} = y', \ x_ {3} ^ {\ prime} = z ', \ x_ {4} ^ {\ prime} = it' \ right) \\ - x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2} + t ^ {2} = - x ^ {\ prime 2} -y ^ {\ prime 2} -z ^ {\ prime 2 } + t ^ {\ prime 2} \\\ hline x_ {h} = \ alpha _ {h1} x_ {1} ^ {\ prime} + \ alpha _ {h2} x_ {2} ^ {\ prime} + \ alpha _ {h3} x_ {3} ^ {\ prime} + \ alpha _ {h4} x_ {4} ^ {\ prime} \\\ mathrm {A} = \ mathrm {\ left | {\ begin {matriz } \ alpha _ {11}, & \ alpha _ {12}, & \ alpha _ {13}, & \ alpha _ {14} \\\ alpha _ {21}, & \ alpha _ {22}, & \ alpha _ {23}, & \ alpha _ {24} \\\ alpha _ {31}, & \ alpha _ {32}, & \ alpha _ {33}, & \ alpha _ {34} \\\ alpha _ {41}, & \ alpha _ {42}, & \ alpha _ {43}, & \ alpha _ {44} \ end {matriz}} \ right |, \ {\ begin {alineado} {\ bar {\ mathrm {A}}} \ mathrm {A} & = 1 \\\ izquierda (\ det \ mathrm {A} \ right) ^ {2} & = 1 \\\ det \ mathrm {A} & = 1 \\\ alfa _ {44} &> 0 \ end {alineado}}} \ end {matriz}}}$

Como representación gráfica de la transformación de Lorentz, introdujo el diagrama de Minkowski , que se convirtió en una herramienta estándar en libros de texto y artículos de investigación sobre la relatividad:

Sommerfeld (1909) - Trigonometría esférica

Usando una rapidez imaginaria como la de Minkowski, Arnold Sommerfeld (1909) formuló una transformación equivalente al impulso de Lorentz ( 3b ), y la suma de velocidad relativista ( 4d ) en términos de funciones trigonométricas y la ley esférica de los cosenos :

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} \ left. {\ begin {array} {lrl} x '= & x \ \ cos \ varphi + l \ \ sin \ varphi, & y' = y \\ l '= & - x \ \ sin \ varphi + l \ \ cos \ varphi, & z '= z \ end {matriz}} \ right \} \\\ left (\ operatorname {tg} \ varphi = i \ beta, \ \ cos \ varphi = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}}, \ \ sin \ varphi = {\ frac {i \ beta} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}} } \ right) \\\ hline \ beta = {\ frac {1} {i}} \ operatorname {tg} \ left (\ varphi _ {1} + \ varphi _ {2} \ right) = {\ frac { 1} {i}} {\ frac {\ operatorname {tg} \ varphi _ {1} + \ operatorname {tg} \ varphi _ {2}} {1- \ operatorname {tg} \ varphi _ {1} \ operatorname {tg} \ varphi _ {2}}} = {\ frac {\ beta _ {1} + \ beta _ {2}} {1+ \ beta _ {1} \ beta _ {2}}} \\\ cos \ varphi = \ cos \ varphi _ {1} \ cos \ varphi _ {2} - \ sin \ varphi _ {1} \ sin \ varphi _ {2} \ cos \ alpha \\ v ^ {2} = { \ frac {v_ {1} ^ {2} + v_ {2} ^ {2} + 2v_ {1} v_ {2} \ cos \ alpha - {\ frac {1} {c ^ {2}}} v_ { 1} ^ {2} v_ {2} ^ {2} \ sin ^ {2} \ alpha} {\ left (1 + {\ frac {1} {c ^ {2}}} v_ {1} v_ {2 } \ cos \ alpha \ right) ^ {2}}} \ end {matriz}}}$

Bateman y Cunningham (1909-1910) - Transformación de onda esférica

De acuerdo con la investigación de Lie (1871) sobre la relación entre las transformaciones de esfera con una coordenada de radio imaginaria y las transformaciones conformes a 4D, Bateman y Cunningham (1909-1910) señalaron que al establecer u = ict como las cuartas coordenadas imaginarias uno puede producir transformaciones conformes del espacio-tiempo. No solo la forma cuadrática , sino también las ecuaciones de Maxwell son covariantes con respecto a estas transformaciones, independientemente de la elección de λ. Estas variantes de transformaciones de esfera conforme o de Lie fueron llamadas transformaciones de onda esférica por Bateman. Sin embargo, esta covarianza está restringida a ciertas áreas como la electrodinámica, mientras que la totalidad de las leyes naturales en los marcos inerciales es covariante en el grupo de Lorentz . En particular, al establecer λ = 1, el grupo de Lorentz SO (1,3) se puede ver como un subgrupo de 10 parámetros del grupo conforme del espacio-tiempo de 15 parámetros Con (1,3) . ${\ Displaystyle \ lambda \ left (dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} + du ^ {2} \ right)}$

Bateman (1910/12) también aludió a la identidad entre la inversión de Laguerre y las transformaciones de Lorentz. En general, el isomorfismo entre el grupo Laguerre y el grupo Lorentz fue señalado por Élie Cartan (1912, 1915/55), Henri Poincaré (1912/21) y otros.

Herglotz (1909/10) - Transformación de Möbius

Siguiendo a Klein (1889-1897) y Fricke & Klein (1897) sobre el movimiento hiperbólico absoluto de Cayley y su transformación, Gustav Herglotz (1909/10) clasificó las transformaciones de Lorentz de un parámetro como loxodrómicas, hiperbólicas, parabólicas y elípticas. El caso general (a la izquierda) equivalente a la transformación de Lorentz ( 6a ) y el caso hiperbólico (a la derecha) equivalente a la transformación de Lorentz ( 3d ) o mapeo de compresión ( 9d ) son los siguientes:

${\ Displaystyle \ left. {\ begin {matrix} z_ {1} ^ {2} + z_ {2} ^ {2} + z_ {3} ^ {2} -z_ {4} ^ {2} = 0 \ \ z_ {1} = x, \ z_ {2} = y, \ z_ {3} = z, \ z_ {4} = t \\ Z = {\ frac {z_ {1} + iz_ {2}} { z_ {4} -z_ {3}}} = {\ frac {x + iy} {tz}}, \ Z '= {\ frac {x' + iy '} {t'-z'}} \\ Z = {\ frac {\ alpha Z '+ \ beta} {\ gamma Z' + \ delta}} \ end {matriz}} \ right | {\ begin {matriz} Z = Z'e ^ {\ vartheta} \\ {\ begin {alineado} x & = x ', & t-z & = (t'-z') e ^ {\ vartheta} \\ y & = y ', & t + z & = (t' + z ') e ^ {- \ vartheta} \ end {alineado}} \ end {matriz}}}$

Varićak (1910) - Funciones hiperbólicas

Siguiendo a Sommerfeld (1909) , Vladimir Varićak utilizó las funciones hiperbólicas en varios artículos a partir de 1910, quien representó las ecuaciones de la relatividad especial sobre la base de la geometría hiperbólica en términos de coordenadas de Weierstrass. Por ejemplo, al establecer l = ct y v / c = tanh (u) con u como rapidez, escribió la transformación de Lorentz de acuerdo con ( 3b ):

${\ displaystyle {\ begin {alineado} l '& = - x \ operatorname {sh} u + l \ operatorname {ch} u, \\ x' & = x \ operatorname {ch} ul \ operatorname {sh} u, \\ y '& = y, \ quad z' = z, \\\ operatorname {ch} u & = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {v} {c}} \ derecha) ^ {2}}}} \ end {alineado}}}$

y mostró la relación de la rapidez con la función de Gudermann y el ángulo de paralelismo :

${\ Displaystyle {\ frac {v} {c}} = \ operatorname {th} u = \ operatorname {tg} \ psi = \ sin \ operatorname {gd} (u) = \ cos \ Pi (u)}$

También relacionó la suma de velocidad con la ley hiperbólica de los cosenos :

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} \ operatorname {ch} {u} = \ operatorname {ch} {u_ {1}} \ operatorname {c} h {u_ {2}} + \ operatorname {sh} {u_ { 1}} \ operatorname {sh} {u_ {2}} \ cos \ alpha \\\ operatorname {ch} {u_ {i}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {v_ {i}} {c}} \ right) ^ {2}}}}, \ \ operatorname {sh} {u_ {i}} = {\ frac {v_ {i}} {\ sqrt {1- \ izquierda ({\ frac {v_ {i}} {c}} \ right) ^ {2}}}} \\ v = {\ sqrt {v_ {1} ^ {2} + v_ {2} ^ {2} - \ left ({\ frac {v_ {1} v_ {2}} {c}} \ right) ^ {2}}} \ \ left (a = {\ frac {\ pi} {2}} \ right) \ end {matriz}}}$

Posteriormente, otros autores como ET Whittaker (1910) o Alfred Robb (1911, que acuñó el nombre rapidez) utilizaron expresiones similares, que todavía se utilizan en los libros de texto modernos.

Ignatowski (1910)

Si bien las derivaciones y formulaciones anteriores de la transformación de Lorentz se basaron desde el principio en la óptica, la electrodinámica o la invariancia de la velocidad de la luz, Vladimir Ignatowski (1910) demostró que es posible utilizar el principio de relatividad (y principios teóricos de grupos relacionados ). solo, para derivar la siguiente transformación entre dos marcos inerciales:

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} dx '& = p \ dx-pq \ dt \\ dt' & = - pqn \ dx + p \ dt \\ p & = {\ frac {1} {\ sqrt {1- q ^ {2} n}}} \ end {alineado}}}$

La variable n puede verse como una constante de espacio-tiempo cuyo valor debe determinarse mediante un experimento o tomarse de una ley física conocida como la electrodinámica. Para ese propósito, Ignatowski utilizó el elipsoide de Heaviside mencionado anteriormente que representa una contracción de los campos electrostáticos por x / γ en la dirección del movimiento. Se puede ver que esto solo es consistente con la transformación de Ignatowski cuando n = 1 / c ² , resultando en p = γ y la transformación de Lorentz ( 4b ). Con n = 0, no surgen cambios de longitud y sigue la transformación de Galileo. El método de Ignatowski fue desarrollado y mejorado por Philipp Frank y Hermann Rothe (1911, 1912), y varios autores desarrollaron métodos similares en los años siguientes.

Noether (1910), Klein (1910) - Cuaterniones

Felix Klein (1908) describió las multiplicaciones de cuaterniones 4D de Cayley (1854) como "Drehstreckungen" (sustituciones ortogonales en términos de rotaciones que dejan invariante una forma cuadrática hasta un factor), y señaló que el principio moderno de relatividad proporcionado por Minkowski es esencialmente sólo la aplicación consiguiente de tal Drehstreckungen, aunque no proporcionó detalles.

En un apéndice de la "Teoría de la cima" de Klein y Sommerfeld (1910), Fritz Noether mostró cómo formular rotaciones hiperbólicas usando biquaternions con , que también relacionó con la velocidad de la luz estableciendo ω ² = - c ² . Concluyó que este es el ingrediente principal para una representación racional del grupo de transformaciones de Lorentz equivalente a ( 7a ): ${\ Displaystyle \ omega = {\ sqrt {-1}}}$

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} V = {\ frac {Q_ {1} vQ_ {2}} {T_ {1} T_ {2}}} \\\ hline X ^ {2} + Y ^ {2} + Z ^ {2} + \ omega ^ {2} S ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + \ omega ^ {2} s ^ {2} \\ \ hline {\ begin {align} V & = Xi + Yj + Zk + \ omega S \\ v & = xi + yj + zk + \ omega s \\ Q_ {1} & = (+ Ai + Bj + Ck + D) + \ omega (A'i + B'j + C'k + D ') \\ Q_ {2} & = (- Ai-Bj-Ck + D) + \ omega (A'i + B'j + C'k -D ') \\ T_ {1} T_ {2} & = T_ {1} ^ {2} = T_ {2} ^ {2} = A ^ {2} + B ^ {2} + C ^ {2 } + D ^ {2} + \ omega ^ {2} \ left (A ^ {\ prime 2} + B ^ {\ prime 2} + C ^ {\ prime 2} + D ^ {\ prime 2} \ right ) \ end {alineado}} \ end {matriz}}}$

Además de citar obras estándar relacionadas con el cuaternión, como Cayley (1854) , Noether se refirió a las entradas en la enciclopedia de Klein por Eduard Study (1899) y la versión francesa de Élie Cartan (1908). La versión de Cartan contiene una descripción de los números duales de Study , los biquaternions de Clifford (incluida la elección de la geometría hiperbólica) y el álgebra de Clifford, con referencias a Stephanos (1883) , Buchheim (1884/85) , Vahlen (1901/02) y otros. ${\ Displaystyle \ omega = {\ sqrt {-1}}}$

Citando a Noether, el propio Klein publicó en agosto de 1910 las siguientes sustituciones de cuaterniones que forman el grupo de transformaciones de Lorentz:

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} {\ begin {alineado} & \ left (i_ {1} x '+ i_ {2} y' + i_ {3} z '+ ict' \ right) \\ & \ quad - \ left (i_ {1} x_ {0} + i_ {2} y_ {0} + i_ {3} z_ {0} + ict_ {0} \ right) \ end {alineado}} = {\ frac {\ izquierda [{\ begin {alineado} & \ izquierda (i_ {1} (A + iA ') + i_ {2} (B + iB') + i_ {3} (C + iC ') + i_ {4} ( D + iD ') \ right) \\ & \ quad \ cdot \ left (i_ {1} x + i_ {2} y + i_ {3} z + ict \ right) \\ & \ quad \ quad \ cdot \ izquierda (i_ {1} (A-iA ') + i_ {2} (B-iB') + i_ {3} (C-iC ') - (D-iD') \ right) \ end {alineado}} \ right]} {\ left (A ^ {\ prime 2} + B ^ {\ prime 2} + C ^ {\ prime 2} + D ^ {\ prime 2} \ right) - \ left (A ^ {2 } + B ^ {2} + C ^ {2} + D ^ {2} \ right)}} \\\ hline {\ text {where}} \\ AA '+ BB' + CC '+ DD' = 0 \\ A ^ {2} + B ^ {2} + C ^ {2} + D ^ {2}> A ^ {\ prime 2} + B ^ {\ prime 2} + C ^ {\ prime 2} + D ^ {\ prime 2} \ end {matriz}}}$

o en marzo de 1911

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} g '= {\ frac {pg \ pi} {M}} \\\ hline {\ begin {alineado} g & = {\ sqrt {-1}} ct + ix + jy + kz \\ g '& = {\ sqrt {-1}} ct' + ix '+ jy' + kz '\\ p & = (D + {\ sqrt {-1}} D') + i (A + {\ sqrt {-1}} A ') + j (B + {\ sqrt {-1}} B') + k (C + {\ sqrt {-1}} C ') \\\ pi & = (D - {\ sqrt {-1}} D ') - i (A - {\ sqrt {-1}} A') - j (B - {\ sqrt {-1}} B ') - k (C - {\ sqrt {- 1}} C ') \\ M & = \ left (A ^ {2} + B ^ {2} + C ^ {2} + D ^ {2} \ right) - \ left (A ^ {\ prime 2} + B ^ {\ prime 2} + C ^ {\ prime 2} + D ^ {\ prime 2} \ right) \\ & AA '+ BB' + CC '+ DD' = 0 \\ & A ^ {2} + B ^ {2} + C ^ {2} + D ^ {2}> A ^ {\ prime 2} + B ^ {\ prime 2} + C ^ {\ prime 2} + D ^ {\ prime 2} \ fin {alineado}} \ end {matriz}}}$

Conway (1911), Silberstein (1911) - Cuaterniones

Arthur W. Conway en febrero de 1911 formuló explícitamente transformaciones cuaterniónicas de Lorentz de varias cantidades electromagnéticas en términos de velocidad λ:

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} {\ begin {alineado} {\ mathtt {D}} & = \ mathbf {a} ^ {- 1} {\ mathtt {D}} '\ mathbf {a} ^ {- 1} \\ {\ mathtt {\ sigma}} & = \ mathbf {a} {\ mathtt {\ sigma}} '\ mathbf {a} ^ {- 1} \ end {alineado}} \\ e = \ mathbf {a} ^ {- 1} e '\ mathbf {a} ^ {- 1} \\\ hline a = \ left (1-hc ^ {- 1} \ lambda \ right) ^ {\ frac {1} { 2}} \ left (1 + c ^ {- 2} \ lambda ^ {2} \ right) ^ {- {\ frac {1} {4}}} \ end {matriz}}}$

También Ludwik Silberstein en noviembre de 1911, así como en 1914, formuló la transformación de Lorentz en términos de velocidad v :

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} q '= QqQ \\\ hline {\ begin {alineado} q & = \ mathbf {r} + l = xi + yj + zk + \ iota ct \\ q &' = \ mathbf {r } '+ l' = x'i + y'j + z'k + \ iota ct '\\ Q & = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ left ({\ sqrt {1+ \ gamma }} + \ mathrm {u} {\ sqrt {1- \ gamma}} \ right) \\ & = \ cos \ alpha + \ mathrm {u} \ sin \ alpha = e ^ {\ alpha \ mathrm {u} } \\ & \ left \ {\ gamma = \ left (1-v ^ {2} / c ^ {2} \ right) ^ {- 1/2}, \ 2 \ alpha = \ operatorname {arctg} \ \ izquierda (\ iota {\ frac {v} {c}} \ derecha) \ derecha \} \ end {alineado}} \ end {matriz}}}$

Silberstein cita a Cayley (1854, 1855) y la entrada de la enciclopedia de Study (en la versión francesa ampliada de Cartan en 1908), así como el apéndice del libro de Klein y Sommerfeld.

Herglotz (1911), Silberstein (1911) - Transformación vectorial

Gustav Herglotz (1911) mostró cómo formular la transformación equivalente a ( 4c ) para permitir velocidades y coordenadas arbitrarias v = (v _x , v _y , v _z ) y r = (x, y, z) :

${\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ text {original}} & {\ text {modern}} \\\ hline \ left. {\ begin {alineado} x ^ {0} & = x + \ alpha u (ux + vy + wz) - \ beta ut \\ y ^ {0} & = y + \ alpha v (ux + vy + wz) - \ beta vt \\ z ^ {0} & = z + \ alpha w (ux + vy + wz) - \ beta wt \\ t ^ {0} & = - \ beta (ux + vy + wz) + \ beta t \\ & \ alpha = {\ frac {1} {{\ sqrt {1-s ^ {2}}} \ left (1 + {\ sqrt {1-s ^ {2}}} \ right)}}, \ \ beta = {\ frac {1} {\ sqrt {1-s ^ {2 }}}} \ end {alineado}} \ right | & {\ begin {alineado} x '& = x + \ alpha v_ {x} \ left (v_ {x} x + v_ {y} y + v_ {z} z \ right) - \ gamma v_ {x} t \\ y '& = y + \ alpha v_ {y} \ left (v_ {x} x + v_ {y} y + v_ {z} z \ right) - \ gamma v_ {y} t \\ z '& = z + \ alpha v_ {z} \ left (v_ {x} x + v_ {y} y + v_ {z} z \ right) - \ gamma v_ {z} t \\ t '& = - \ gamma \ left (v_ {x} x + v_ {y} y + v_ {z} z \ right) + \ gamma t \\ & \ alpha = {\ frac {\ gamma ^ { 2}} {\ gamma +1}}, \ \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1-v ^ {2}}}} \ end {alineado}} \ end {matriz}}}$

Esto fue simplificado usando la notación vectorial por Ludwik Silberstein (1911 a la izquierda, 1914 a la derecha):

${\ Displaystyle {\ begin {array} {c | c} {\ begin {alineado} \ mathbf {r} '& = \ mathbf {r} + (\ gamma -1) (\ mathbf {ru}) \ mathbf { u} + i \ beta \ gamma lu \\ l '& = \ gamma \ left [li \ beta (\ mathbf {ru}) \ right] \ end {alineado}} & {\ begin {alineado} \ mathbf {r } '& = \ mathbf {r} + \ left [{\ frac {\ gamma -1} {v ^ {2}}} (\ mathbf {vr}) - \ gamma t \ right] \ mathbf {v} \ \ t '& = \ gamma \ left [t - {\ frac {1} {c ^ {2}}} (\ mathbf {vr}) \ right] \ end {alineado}} \ end {array}}}$

Wolfgang Pauli (1921) también dio fórmulas equivalentes , con Erwin Madelung (1922) proporcionando la forma matricial

${\ Displaystyle {\ begin {array} {c | c | c | c | c} & x & y & z & t \\\ hline x '& 1 - {\ frac {v_ {x} ^ {2}} {v ^ {2}}} \ left (1 - {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}} \ right) & - {\ frac {v_ {x} v_ {y}} {v ^ {2} }} \ left (1 - {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}} \ right) & - {\ frac {v_ {x} v_ {z}} {v ^ { 2}}} \ left (1 - {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}} \ right) & {\ frac {-v_ {x}} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}} \\ y '& - {\ frac {v_ {x} v_ {y}} {v ^ {2}}} \ left (1 - {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}} \ right) & 1 - {\ frac {v_ {y} ^ {2}} {v ^ {2}}} \ left (1 - {\ frac {1} { \ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}} \ right) & - {\ frac {v_ {y} v_ {z}} {v ^ {2}}} \ left (1 - {\ frac {1 } {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}} \ right) & {\ frac {-v_ {y}} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}} \\ z '& - {\ frac {v_ {x} v_ {z}} {v ^ {2}}} \ left (1 - {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}} \ right ) & - {\ frac {v_ {y} v_ {z}} {v ^ {2}}} \ left (1 - {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}} \ right) & 1 - {\ frac {v_ {z} ^ {2}} {v ^ {2}}} \ left (1 - {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}} }} \ right) & {\ frac {-v_ {z}} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}} \\ t '& {\ frac {-v_ {x}} {c ^ { 2} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}}} y {\ frac {-v_ {y}} {c ^ {2} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}} } & {\ frac {-v_ {z}} {c ^ {2} {\ sqr t {1- \ beta ^ {2}}}}} & {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}} \ end {array}}}$

Estas fórmulas fueron denominadas "transformación de Lorentz general sin rotación" por Christian Møller (1952), quien además dio una transformación de Lorentz aún más general en la que los ejes cartesianos tienen diferentes orientaciones, utilizando un operador de rotación . En este caso, v ′ = (v ′ _x , v ′ _y , v ′ _z ) no es igual a - v = (-v _x , -v _y , -v _z ) , pero la relación se mantiene, con el resultado ${\ Displaystyle {\ mathfrak {D}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} '= - {\ mathfrak {D}} \ mathbf {v}}$

${\ Displaystyle {\ begin {array} {c} {\ begin {alineado} \ mathbf {x} '& = {\ mathfrak {D}} ^ {- 1} \ mathbf {x} - \ mathbf {v}' \ left \ {\ left (\ gamma -1 \ right) (\ mathbf {x \ cdot v}) / v ^ {2} - \ gamma t \ right \} \\ t '& = \ gamma \ left (t - (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {x}) / c ^ {2} \ right) \ end {alineado}} \ end {array}}}$

Borel (1913–14): parámetro Cayley-Hermite

Borel (1913) comenzó demostrando los movimientos euclidianos utilizando el parámetro de Euler-Rodrigues en tres dimensiones y el parámetro de Cayley (1846) en cuatro dimensiones. Luego demostró la conexión con formas cuadráticas indefinidas que expresan movimientos hiperbólicos y transformaciones de Lorentz. En tres dimensiones equivalentes a ( 5b ):

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} x ^ {2} + y ^ {2} -z ^ {2} -1 = 0 \\\ hline {\ scriptstyle {\ begin {alineado} \ delta a & = \ lambda ^ {2} + \ mu ^ {2} + \ nu ^ {2} - \ rho ^ {2}, & \ delta b & = 2 (\ lambda \ mu + \ nu \ rho), & \ delta c & = - 2 (\ lambda \ nu + \ mu \ rho), \\\ delta a '& = 2 (\ lambda \ mu - \ nu \ rho), & \ delta b' & = - \ lambda ^ {2} + \ mu ^ {2} + \ nu ^ {2} - \ rho ^ {2}, & \ delta c '& = 2 (\ lambda \ rho - \ mu \ nu), \\\ delta a' '& = 2 ( \ lambda \ nu - \ mu \ rho), & \ delta b '' & = 2 (\ lambda \ rho + \ mu \ nu), & \ delta c '' & = - \ left (\ lambda ^ {2} + \ mu ^ {2} + \ nu ^ {2} + \ rho ^ {2} \ right), \ end {alineado}}} \\\ left (\ delta = \ lambda ^ {2} + \ mu ^ {2} - \ rho ^ {2} - \ nu ^ {2} \ right) \\\ lambda = \ nu = 0 \ rightarrow {\ text {Rotación hiperbólica}} \ end {matrix}}}$

En cuatro dimensiones equivalentes a ( 5c ):

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} F = \ left (x_ {1} -x_ {2} \ right) ^ {2} + \ left (y_ {1} -y_ {2} \ right) ^ {2} + \ left (z_ {1} -z_ {2} \ right) ^ {2} - \ left (t_ {1} -t_ {2} \ right) ^ {2} \\\ hline {\ scriptstyle {\ begin {alineado} & \ left (\ mu ^ {2} + \ nu ^ {2} - \ alpha ^ {2} \ right) \ cos \ varphi + \ left (\ lambda ^ {2} - \ beta ^ {2 } - \ gamma ^ {2} \ right) \ operatorname {ch} {\ theta} && - (\ alpha \ beta + \ lambda \ mu) (\ cos \ varphi - \ operatorname {ch} {\ theta}) - \ nu \ sin \ varphi - \ gamma \ operatorname {sh} {\ theta} \\ & - (\ alpha \ beta + \ lambda \ mu) (\ cos \ varphi - \ operatorname {ch} {\ theta}) - \ nu \ sin \ varphi + \ gamma \ operatorname {sh} {\ theta} && \ left (\ mu ^ {2} + \ nu ^ {2} - \ beta ^ {2} \ right) \ cos \ varphi + \ left (\ mu ^ {2} - \ alpha ^ {2} - \ gamma ^ {2} \ right) \ operatorname {ch} {\ theta} \\ & - (\ alpha \ gamma + \ lambda \ nu) (\ cos \ varphi - \ operatorname {ch} {\ theta}) + \ mu \ sin \ varphi - \ beta \ operatorname {sh} {\ theta} && - (\ beta \ mu + \ mu \ nu) (\ cos \ varphi - \ operatorname {ch} {\ theta}) + \ lambda \ sin \ varphi + \ alpha \ operatorname {sh} {\ theta} \\ & (\ gamma \ mu - \ beta \ nu) (\ cos \Virginia rphi - \ operatorname {ch} {\ theta}) + \ alpha \ sin \ varphi - \ lambda \ operatorname {sh} {\ theta} && - (\ alpha \ nu - \ lambda \ gamma) (\ cos \ varphi - \ operatorname {ch} {\ theta}) + \ beta \ sin \ varphi - \ mu \ operatorname {sh} {\ theta} \\\\ & \ quad - (\ alpha \ gamma + \ lambda \ nu) (\ cos \ varphi - \ operatorname {ch} {\ theta}) + \ mu \ sin \ varphi + \ beta \ operatorname {sh} {\ theta} && \ quad (\ beta \ nu - \ mu \ nu) (\ cos \ varphi - \ operatorname {ch} {\ theta}) + \ alpha \ sin \ varphi - \ lambda \ operatorname {sh} {\ theta} \\ & \ quad - (\ beta \ mu + \ mu \ nu) ( \ cos \ varphi - \ operatorname {ch} {\ theta}) - \ lambda \ sin \ varphi - \ alpha \ operatorname {sh} {\ theta} && \ quad (\ lambda \ gamma - \ alpha \ nu) (\ cos \ varphi - \ operatorname {ch} {\ theta}) + \ beta \ sin \ varphi - \ mu \ operatorname {sh} {\ theta} \\ & \ quad \ left (\ lambda ^ {2} + \ mu ^ {2} - \ gamma ^ {2} \ right) \ cos \ varphi + \ left (\ nu ^ {2} - \ alpha ^ {2} - \ beta ^ {2} \ right) \ operatorname {ch} {\ theta} && \ quad (\ alpha \ mu - \ beta \ lambda) (\ cos \ varphi - \ operatorname {ch} {\ theta}) + \ gamma \ sin \ varphi - \ nu \ operatorname {sh} {\ theta} \\ & \ quad (\ beta \ gamma - \ alpha \ mu) (\ cos \ varphi - \ operatorname {ch} {\ theta}) + \ gamma \ sin \ varphi - \ nu \ operatorname {sh} {\ theta} && \ quad - \ left (\ alpha ^ {2} + \ beta ^ {2} + \ gamma ^ {2} \ right) \ cos \ varphi + \ left (\ lambda ^ {2} + \ mu ^ {2} + \ nu ^ {2} \ right) \ operatorname {ch} {\ theta} \ end {alineado}} \\\ left (\ alpha ^ {2 } + \ beta ^ {2} + \ gamma ^ {2} - \ lambda ^ {2} - \ mu ^ {2} - \ nu ^ {2} = - 1 \ right) \ end {matriz}}}$

Gruner (1921) - Aumentos trigonométricos de Lorentz

Para simplificar la representación gráfica del espacio de Minkowski, Paul Gruner (1921) (con la ayuda de Josef Sauter) desarrolló lo que ahora se llama diagramas de Loedel , utilizando las siguientes relaciones:

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} v = \ alpha \ cdot c; \ quad \ beta = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ alpha ^ {2}}}} \\\ sin \ varphi = \ alpha; \ quad \ beta = {\ frac {1} {\ cos \ varphi}}; \ quad \ alpha \ beta = \ tan \ varphi \\\ hline x '= {\ frac {x} {\ cos \ varphi}} - t \ cdot \ tan \ varphi, \ quad t '= {\ frac {t} {\ cos \ varphi}} - x \ cdot \ tan \ varphi \ end {matriz}}}$

En otro artículo, Gruner utilizó las relaciones alternativas:

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} \ alpha = {\ frac {v} {c}}; \ \ beta = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ alpha ^ {2}}}}; \ \\ cos \ theta = \ alpha = {\ frac {v} {c}}; \ \ sin \ theta = {\ frac {1} {\ beta}}; \ \ cot \ theta = \ alpha \ cdot \ beta \\\ hline x '= {\ frac {x} {\ sin \ theta}} - t \ cdot \ cot \ theta, \ quad t' = {\ frac {t} {\ sin \ theta}} - x \ cdot \ cot \ theta \ end {matriz}}}$

Brecha de Euler

Al seguir la historia en años antes de que Lorentz enunciara sus expresiones, uno busca la esencia del concepto. En términos matemáticos, las transformaciones de Lorentz son mapeos de compresión , las transformaciones lineales que convierten un cuadrado en rectángulos de la misma área. Antes de Euler, la compresión se estudió como cuadratura de la hipérbola y condujo al logaritmo hiperbólico . En 1748 Euler publicó su libro de texto de precálculo donde el número e se explota para trigonometría en el círculo unitario . El primer volumen de Introducción al análisis del infinito no tenía diagramas, lo que permitía a los profesores y estudiantes dibujar sus propias ilustraciones.

Hay un vacío en el texto de Euler donde surgen las transformaciones de Lorentz. Una característica del logaritmo natural es su interpretación como área en sectores hiperbólicos . En relatividad, el concepto clásico de velocidad es reemplazado por rapidez , un concepto de ángulo hiperbólico construido sobre sectores hiperbólicos. Una transformación de Lorentz es una rotación hiperbólica que conserva las diferencias de rapidez, al igual que el área del sector circular se conserva con una rotación circular. La brecha de Euler es la falta de ángulos hiperbólicos y funciones hiperbólicas , desarrollada más tarde por Johann H. Lambert . Euler describió algunas funciones trascendentales : exponenciación y funciones circulares . Usó la serie exponencial con la unidad imaginaria i ² = - 1, y dividiendo la serie en términos pares e impares, obtuvo ${\ Displaystyle \ sum _ {0} ^ {\ infty} x ^ {n} / n !.}$

${\ Displaystyle e ^ {ix} = \ sum _ {0} ^ {\ infty} (ix) ^ {2n} / (2n)! \ + \ \ sum _ {0} ^ {\ infty} (ix) ^ {2n + 1} / (2n + 1)! =}$

${\ displaystyle = \ sum _ {0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} x ^ {2n} / 2n! + i \ sum _ {0} ^ {\ infty} (- 1) ^ { n} x ^ {2n + 1} / (2n + 1)! \ = \ \ cos x + i \ sin x.}$

Este desarrollo pierde la alternativa:

${\ Displaystyle e ^ {x} = \ cosh x + \ sinh x}$ (términos pares e impares), y

${\ Displaystyle e ^ {jx} = \ cosh x + j \ sinh x \ quad (j ^ {2} = + 1)}$que parametriza la hipérbola unitaria .

Aquí Euler podría haber notado números complejos divididos junto con números complejos .

Para la física, una dimensión espacial es insuficiente. Pero para extender la aritmética fracción de complejo de cuatro conductores dimensiones de cuaterniones hiperbólicas , y abre la puerta a álgebra abstracta 's números de hipercomplejos . Al revisar las expresiones de Lorentz y Einstein, se observa que el factor de Lorentz es una función algebraica de la velocidad. Para los lectores incómodos con las funciones trascendentales cosh y sinh, las funciones algebraicas pueden ser más de su agrado.

Ver también

• Historia de la relatividad especial

Referencias

Fuentes matemáticas históricas

Materiales de aprendizaje relacionados con la historia de los temas en la relatividad especial / mathsource en Wikiversity

Fuentes de relatividad histórica

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enlaces externos

• Mathpages: 1.4 La relatividad de la luz