Función elíptica - Elliptic function

En el campo matemático del análisis complejo, las funciones elípticas son un tipo especial de funciones meromórficas , que satisfacen dos condiciones de periodicidad. Se denominan funciones elípticas porque proceden de integrales elípticas . Originalmente, esas integrales ocurrieron en el cálculo de la longitud del arco de una elipse .

Funciones elípticas son importantes Jacobi funciones elípticas y el Weierstrass -función${\ Displaystyle \ wp}$ .

Un mayor desarrollo de esta teoría condujo a funciones hiperelípticas y formas modulares .

Definición

Una función meromórfica se llama función elíptica, si hay dos - números complejos lineales independientes tales que ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {1}, \ omega _ {2} \ in \ mathbb {C}}$

${\ Displaystyle f (z + \ omega _ {1}) = f (z)}$y .${\ Displaystyle f (z + \ omega _ {2}) = f (z), \ quad \ forall z \ in \ mathbb {C}}$

Entonces, las funciones elípticas tienen dos períodos y, por lo tanto, también se denominan doblemente periódicas .

Celosía de período y dominio fundamental

Si es una función elíptica con puntos , también sostiene que ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle \ omega _ {1}, \ omega _ {2}}$

${\ Displaystyle f (z + \ gamma) = f (z)}$

para cada combinación lineal con . ${\ Displaystyle \ gamma = m \ omega _ {1} + n \ omega _ {2}}$${\ Displaystyle m, n \ in \ mathbb {Z}}$

El grupo abeliano

${\ Displaystyle \ Lambda: = \ langle \ omega _ {1}, \ omega _ {2} \ rangle _ {\ mathbb {Z}}: = \ mathbb {Z} \ omega _ {1} + \ mathbb {Z } \ omega _ {2}: = \ {m \ omega _ {1} + n \ omega _ {2} \ mid m, n \ in \ mathbb {Z} \}}$

se llama celosía de período .

El paralelogramo generado por y${\ Displaystyle \ omega _ {1}}$${\ Displaystyle \ omega _ {2}}$

${\ Displaystyle \ {\ mu \ omega _ {1} + \ nu \ omega _ {2} \ mid 0 \ leq \ mu, \ nu \ leq 1 \}}$

se llama dominio fundamental.

Geométricamente, el plano complejo está en mosaico con paralelogramos. Todo lo que sucede en el dominio fundamental se repite en todos los demás. Por esa razón, podemos ver la función elíptica como funciones con el grupo del cociente como su dominio. Este grupo de cocientes se puede visualizar como un paralelogramo donde se identifican los lados opuestos, que topológicamente es un toro . ${\ Displaystyle \ mathbb {C} / \ Lambda}$

Teoremas de Liouville

Los siguientes tres teoremas se conocen como teoremas de Liouville (1847).

1er teorema

Una función elíptica holomórfica es constante.

Ésta es la forma original del teorema de Liouville y se puede derivar de él. Una función elíptica holomórfica está acotada ya que toma todos sus valores en el dominio fundamental que es compacto. Por tanto, es constante según el teorema de Liouville.

2do teorema

Cada función elíptica tiene un número finito de polos y la suma de sus residuos es cero. ${\ Displaystyle \ mathbb {C} / \ Lambda}$

Este teorema implica que no existe una función elíptica que no sea igual a cero con exactamente un polo de orden uno o exactamente un cero de orden uno en el dominio fundamental.

3er teorema

Una función elíptica no constante toma cada valor el mismo número de veces contadas con multiplicidad. ${\ Displaystyle \ mathbb {C} / \ Lambda}$

Función Weierstrass${\ Displaystyle \ wp}$

Una de las funciones elípticas más importantes es la función de Weierstrass . Para un período dado, la celosía se define por ${\ Displaystyle \ wp}$${\ Displaystyle \ Lambda}$

${\ Displaystyle \ wp (z) = {\ frac {1} {z ^ {2}}} + \ sum _ {\ lambda \ in \ Lambda \ setminus \ {0 \}} \ left ({\ frac {1 } {(z- \ lambda) ^ {2}}} - {\ frac {1} {\ lambda ^ {2}}} \ right).}$

Está construido de tal manera que tiene un polo de orden dos en cada punto de celosía. El término está ahí para hacer convergente la serie. ${\ Displaystyle - {\ frac {1} {\ lambda ^ {2}}}}$

${\ Displaystyle \ wp}$es una función elíptica par, eso significa . ${\ Displaystyle \ wp (-z) = \ wp (z)}$

Su derivado

${\ Displaystyle \ wp '(z) = - 2 \ sum _ {\ lambda \ in \ Lambda} {\ frac {1} {(z- \ lambda) ^ {3}}}}$

es una función extraña, es decir ${\ Displaystyle \ wp '(-z) = - \ wp' (z).}$

Uno de los principales resultados de la teoría de las funciones elípticas es el siguiente: Toda función elíptica con respecto a una retícula de período dado se puede expresar como una función racional en términos de y . ${\ Displaystyle \ Lambda}$${\ Displaystyle \ wp}$${\ Displaystyle \ wp '}$

La función-satisface la ecuación diferencial${\ Displaystyle \ wp}$

${\ Displaystyle \ wp '^ {2} (z) = 4 \ wp (z) ^ {3} -g_ {2} \ wp (z) -g_ {3}.}$

${\ Displaystyle g_ {2}}$y son constantes que dependen de . Más precisamente y , dónde y son las llamadas series de Eisenstein . ${\ Displaystyle g_ {3}}$${\ Displaystyle \ Lambda}$${\ Displaystyle g_ {2} (\ omega _ {1}, \ omega _ {2}) = 60G_ {4} (\ omega _ {1}, \ omega _ {2})}$${\ Displaystyle g_ {3} (\ omega _ {1}, \ omega _ {2}) = 140G_ {6} (\ omega _ {1}, \ omega _ {2})}$${\ Displaystyle G_ {4}}$${\ Displaystyle G_ {6}}$

En lenguaje algebraico: el campo de funciones elípticas es isomorfo al campo

${\ Displaystyle \ mathbb {C} (X) [Y] / (Y ^ {2} -4X ^ {3} + g_ {2} X + g_ {3})}$,

donde se asigna el isomorfismo hacia y hacia .${\ Displaystyle \ wp}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ wp '}$${\ Displaystyle Y}$

• 

  Weierstrass -función con celosía de época${\ Displaystyle \ wp}$${\ Displaystyle \ Lambda = \ mathbb {Z} + e ^ {2 \ pi i / 6} \ mathbb {Z}}$

• 

  Derivada de la función- ${\ Displaystyle \ wp}$

Relación con las integrales elípticas

La relación con las integrales elípticas tiene principalmente antecedentes históricos. Las integrales elípticas habían sido estudiadas por Legendre , cuyo trabajo fue asumido por Niels Henrik Abel y Carl Gustav Jacobi .

Abel descubrió las funciones elípticas tomando la función inversa de la función integral elíptica ${\ Displaystyle \ varphi}$

${\ Displaystyle \ alpha (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {dt} {\ sqrt {(1-c ^ {2} t ^ {2}) (1 + e ^ {2 } t ^ {2})}}}}$

con . ${\ Displaystyle x = \ varphi (\ alpha)}$

Adicionalmente definió las funciones

${\ Displaystyle f (\ alpha) = {\ sqrt {1-c ^ {2} \ varphi ^ {2} (\ alpha)}}}$

y

${\ Displaystyle F (\ alpha) = {\ sqrt {1 + e ^ {2} \ varphi ^ {2} (\ alpha)}}}$.

Después de continuar al plano complejo, resultaron ser doblemente periódicas y se conocen como funciones elípticas de Abel .

Las funciones elípticas de Jacobi se obtienen de manera similar como funciones inversas de integrales elípticas.

Jacobi consideró la función integral

${\ Displaystyle \ xi (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {dt} {\ sqrt {(1-t ^ {2}) (1-k ^ {2} t ^ {2 })}}}}$

e invertida que: . significa sinus amplitudinis y es el nombre de la nueva función. Luego introdujo las funciones cosinus amplitudinis y delta amplitudinis , que se definen de la siguiente manera: ${\ Displaystyle x = \ operatorname {sn} (\ xi)}$${\ Displaystyle \ operatorname {sn}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {cn} (\ xi): = {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {dn} (\ xi): = {\ sqrt {1-k ^ {2} x ^ {2}}}}$.

Solo dando este paso, Jacobi pudo probar su fórmula de transformación general de integrales elípticas en 1827.

Historia

Poco después del desarrollo del cálculo infinitesimal, el matemático italiano Giulio di Fagnano y el matemático suizo Leonhard Euler iniciaron la teoría de las funciones elípticas . Cuando intentaron calcular la longitud del arco de una lemniscata, encontraron problemas que involucraban integrales que contenían la raíz cuadrada de polinomios de grado 3 y 4. Estaba claro que las llamadas integrales elípticas no podían resolverse usando funciones elementales. Fagnano observó una relación algebraica entre integrales elípticas, lo que publicó en 1750. Euler generalizó inmediatamente los resultados de Fagnano y planteó su teorema de adición algebraica para integrales elípticas.

Excepto por un comentario de Landen, sus ideas no se desarrollaron hasta 1786, cuando Legendre publicó su artículo Mémoires sur les intégrations par arcs d'ellipse . Legendre posteriormente estudió las integrales elípticas y las llamó funciones elípticas . Legendre introdujo una clasificación triple –tres tipos– que fue una simplificación crucial de la teoría bastante complicada en ese momento. Otras obras importantes de Legendre son: Mémoire sur les trascendantes elliptiques (1792), Exercices de calcul intégral (1811-1817), Traité des fonctions elliptiques (1825-1832). El trabajo de Legendre no fue tocado en su mayoría por los matemáticos hasta 1826.

Posteriormente, Niels Henrik Abel y Carl Gustav Jacobi reanudaron las investigaciones y rápidamente descubrieron nuevos resultados. Al principio invirtieron la función integral elíptica. Siguiendo una sugerencia de Jacobi en 1829, estas funciones inversas ahora se llaman funciones elípticas . Una de las obras más importantes de Jacobi es Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum que se publicó en 1829. El teorema de la adición que encontró Euler fue planteado y probado en su forma general por Abel en 1829. Nótese que en aquellos días la teoría de las funciones elípticas y la teoría de la doble las funciones periódicas se consideraron teorías diferentes. Fueron reunidos por Briout y Bouquet en 1856. Gauss descubrió muchas de las propiedades de las funciones elípticas 30 años antes, pero nunca publicó nada sobre el tema.

Ver también

• Integral elíptica
• Grupo modular
• Función theta de Ramanujan

Referencias

Literatura

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 16" . Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. págs. 567, 627. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036 . Señor  0167642 . LCCN  65-12253 . Consulte también el capítulo 18 . (solo considera el caso de invariantes reales).
• NI Akhiezer , Elements of the Theory of Elliptic Functions , (1970) Moscú, traducido al inglés como AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN  0-8218-4532-2
• Tom M. Apostol , Funciones modulares y series de Dirichlet en teoría de números , Springer-Verlag, Nueva York, 1976. ISBN  0-387-97127-0 (consulte el capítulo 1.)
• ET Whittaker y GN Watson . Un curso de análisis moderno , Cambridge University Press, 1952

enlaces externos

• "Función elíptica" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• MAA, traducción del artículo de Abel sobre funciones elípticas.
• Funciones elípticas e integrales elípticas en YouTube , conferencia de William A. Schwalm (4 horas)
• Johansson, Fredrik (2018). "Evaluación numérica de funciones elípticas, integrales elípticas y formas modulares". arXiv : 1806.06725 [ cs.NA ].