Ley esférica de los cosenos - Spherical law of cosines

En trigonometría esférica , la ley de los cosenos (también llamada regla del coseno para los lados ) es un teorema que relaciona los lados y los ángulos de los triángulos esféricos , análogo a la ley ordinaria de los cosenos de la trigonometría plana .

Triángulo esférico resuelto por la ley de los cosenos.

Dada una esfera unidad, un "triángulo esférico" en la superficie de la esfera está definido por las grandes círculos de conexión de tres puntos $u, v$ , y $w$ en la esfera (mostrado a la derecha). Si las longitudes de estos tres lados son $a$ (de $u$ a $v), b$ (de $u$ a $w$ ) $yc$ (de $v$ a $w$ ), y el ángulo de la esquina opuesta a $c$ es $C$ , entonces el (primero) esférico la ley de los cosenos establece:

{\ Displaystyle \ cos c = \ cos a \ cos b + \ sin a \ sin b \ cos C \,}

Dado que esta es una esfera unidad, las longitudes $a, b$ , y $c$ son simplemente igual a los ángulos (en radianes ) subtendido por los lados desde el centro de la esfera. (Para una esfera no unidad, las longitudes son los ángulos subtendidos veces el radio, y la fórmula todavía lleva a cabo si $un, b$ y $c$ son reinterpretados como los ángulos subtendidos). Como caso especial, para $C = .mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px;white-space:nowrap} π / 2$ , entonces $cos C = 0$ , y se obtiene el análogo esférico del teorema de Pitágoras :

{\ Displaystyle \ cos c = \ cos a \ cos b \,}

Si se usa la ley de los cosenos para resolver $c$ , la necesidad de invertir el coseno aumenta los errores de redondeo cuando $c$ es pequeño. En este caso, es preferible la formulación alternativa de la ley de haversines .

Una variación de la ley de los cosenos, la segunda ley esférica de los cosenos (también llamada regla del coseno para los ángulos ) establece:

{\ Displaystyle \ cos C = - \ cos A \ cos B + \ sin A \ sin B \ cos c \,}

donde $A$ y $B$ son los ángulos de las esquinas opuesto a los lados $una$ y $b$ , respectivamente. Puede obtenerse considerando un triángulo esférico dual al dado.

Pruebas

Primera prueba

Sean $u, v$ y $w$ los vectores unitarios desde el centro de la esfera hasta las esquinas del triángulo. Los ángulos y las distancias no cambian si se gira el sistema de coordenadas, por lo que podemos girar el sistema de coordenadas para que esté en el polo norte y en algún lugar del meridiano principal (longitud 0). Con esta rotación, las coordenadas esféricas para son , donde θ es el ángulo medido desde el polo norte, no desde el ecuador, y las coordenadas esféricas para son . Las coordenadas cartesianas para son y las coordenadas cartesianas para son . El valor de es el producto escalar de los dos vectores cartesianos, que es . ${\ Displaystyle \ mathbf {u}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v}}$ ${\ Displaystyle (r, \ theta, \ phi) = (1, a, 0)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {w}}$ ${\ Displaystyle (r, \ theta, \ phi) = (1, b, C)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v}}$ ${\ Displaystyle (x, y, z) = (\ sin a, 0, \ cos a)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {w}}$ ${\ Displaystyle (x, y, z) = (\ sin b \ cos C, \ sin b \ sin C, \ cos b)}$ ${\ Displaystyle \ cos c}$ ${\ Displaystyle \ sin a \ sin b \ cos C + \ cos a \ cos b}$

Segunda prueba

Sean $u, v$ y $w$ los vectores unitarios desde el centro de la esfera hasta las esquinas del triángulo. Tenemos $u \cdot u = 1$ , $v \cdot w = cos c$ , $u \cdot v = cos a$ , y $u \cdot w = cos b$ . Los vectores $u \times v$ y $u \times w$ tienen longitudes $sen a$ y $sen b$ respectivamente y el ángulo entre ellos es $C$ , entonces

sin a sin b cos C = (u \times v) \cdot (u \times w) = (u \cdot u) (v \cdot w) - (u \cdot v) (u \cdot w) = cos c - cos a cos b

,

utilizando productos cruzados , productos escalares y la identidad de Binet-Cauchy $(p \times q) \cdot (r \times s) = (p \cdot r) (q \cdot s) - (p \cdot s) (q \cdot r)$ .

Reordenamientos

La primera y segunda leyes esféricas de los cosenos se pueden reorganizar para colocar los lados ( $a, b, c$ ) y los ángulos ( $A, B, C$ ) en lados opuestos de las ecuaciones:

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ cos C & = {\ frac {\ cos c- \ cos a \ cos b} {\ sin a \ sin b}} \\\\\ cos c & = {\ frac {\ cos C + \ cos A \ cos B} {\ sin A \ sin B}} \\\ end {alineado}}}

Límite plano: ángulos pequeños

Para pequeños triángulos esféricos, es decir, para la pequeña $una, b$ , y $c$ , la ley de los cosenos esférica es aproximadamente la misma que la ley plana ordinaria de los cosenos,

{\ Displaystyle c ^ {2} \ approx a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ cos C \ ,.}

Para probar esto, usaremos la aproximación de ángulo pequeño obtenida de la serie de Maclaurin para las funciones coseno y seno:

{\ Displaystyle \ cos a = 1 - {\ frac {a ^ {2}} {2}} + O \ left (a ^ {4} \ right), \, \ sin a = a + O \ left (a ^ {3} \ right)}

Sustituyendo estas expresiones en la ley esférica de las redes de cosenos:

{\ Displaystyle 1 - {\ frac {c ^ {2}} {2}} + O \ left (c ^ {4} \ right) = 1 - {\ frac {a ^ {2}} {2}} - {\ frac {b ^ {2}} {2}} + {\ frac {a ^ {2} b ^ {2}} {4}} + O \ left (a ^ {4} \ right) + O \ izquierda (b ^ {4} \ derecha) + \ cos (C) \ izquierda (ab + O \ izquierda (a ^ {3} b \ derecha) + O \ izquierda (ab ^ {3} \ derecha) + O \ izquierda (a ^ {3} b ^ {3} \ right) \ right)}

o después de simplificar:

{\ Displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ cos C + O \ left (c ^ {4} \ right) + O \ left (a ^ {4} \ right ) + O \ left (b ^ {4} \ right) + O \ left (a ^ {2} b ^ {2} \ right) + O \ left (a ^ {3} b \ right) + O \ left (ab ^ {3} \ right) + O \ left (a ^ {3} b ^ {3} \ right).}

Los grandes O términos para $un$ y $b$ son dominadas por $O (un 4) + O (b 4)$ como $un$ y $b$ consigue pequeña, por lo que podemos escribir esta última expresión como:

{\ Displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ cos C + O \ left (a ^ {4} \ right) + O \ left (b ^ {4} \ right ) + O \ left (c ^ {4} \ right).}

Ver también

Notas

^ ^a ^b ^c W. Gellert, S. Gottwald, M. Hellwich, H. Kästner y H. Küstner, The VNR Concise Encyclopedia of Mathematics , 2ª ed., cap. 12 (Van Nostrand Reinhold: Nueva York, 1989).
^ Scibor-Marchocki de Romuald Ireneus, Trigonometría esférica , página web de trigonometría de geometría elemental (1997).
^ RW Sinnott, "Virtudes del Haversine", Cielo y telescopio 68 (2), 159 (1984).
^ Reiman, István (1999). Geometria és határterületei . Szalay Könyvkiadó és Kereskedőház Kft. pag. 83.

[VNR-1] W. Gellert, S. Gottwald, M. Hellwich, H. Kästner y H. Küstner, The VNR Concise Encyclopedia of Mathematics , 2ª ed., cap. 12 (Van Nostrand Reinhold: Nueva York, 1989).

[Ireneus-2] Scibor-Marchocki de Romuald Ireneus, Trigonometría esférica , página web de trigonometría de geometría elemental (1997).

[3] RW Sinnott, "Virtudes del Haversine", Cielo y telescopio 68 (2), 159 (1984).

[4] Reiman, István (1999). Geometria és határterületei . Szalay Könyvkiadó és Kereskedőház Kft. pag. 83.

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