Ley de los senos Law of sines

Ley de los senos

Sin circunferencia

Dos triángulos etiquetados con los componentes de la ley de los senos.

α

,

β

y

γ

son los ángulos asociados con los vértices en

A

,

B

y

C

mayúsculas , respectivamente. Baja-caso

una

,

b

, y

c

son las longitudes de los lados opuestos de ellos. (

a

es opuesto a

α

, etc.)

En la trigonometría , la ley de los senos , ley de los senos , fórmula sinusoidal , o de reglas sinusoidal es una ecuación que relaciona las longitudes de los lados de un triángulo (cualquier forma) a los senos de sus ángulos. De acuerdo con la ley,

{\ Displaystyle {\ frac {a} {\ sin {\ alpha}}} \, = \, {\ frac {b} {\ sin {\ beta}}} \, = \, {\ frac {c} { \ sin {\ gamma}}} \, = \, 2R,}

donde

una, b

, y

c

son las longitudes de los lados de un triángulo, y

α, β

, y

γ

son los ángulos opuestos (ver la figura a la derecha), mientras que

R

es el radio de del triángulo circunferencia circunscrita . Cuando no se usa la última parte de la ecuación, la ley a veces se establece usando los recíprocos ;

{\ Displaystyle {\ frac {\ sin {\ alpha}} {a}} \, = \, {\ frac {\ sin {\ beta}} {b}} \, = \, {\ frac {\ sin { \ gamma}} {c}}.}

La ley de los senos se puede utilizar para calcular los lados restantes de un triángulo cuando se conocen dos ángulos y un lado, una técnica conocida como triangulación . También se puede utilizar cuando se conocen dos lados y uno de los ángulos no cerrados. En algunos de estos casos, el triángulo no está determinado de forma única por estos datos (llamado caso ambiguo ) y la técnica da dos valores posibles para el ángulo encerrado.

La ley de los senos es una de las dos ecuaciones trigonométricas que se aplican comúnmente para encontrar longitudes y ángulos en triángulos escalenos , siendo la otra la ley de los cosenos .

La ley de los senos se puede generalizar a dimensiones superiores en superficies con curvatura constante.

Historia

Según Ubiratàn D'Ambrosio y Helaine Selin , la ley esférica de los senos se descubrió en el siglo X. Se le atribuye de diversas formas a Abu-Mahmud Khojandi , Abu al-Wafa 'Buzjani , Nasir al-Din al-Tusi y Abu Nasr Mansur .

Ibn Mu'adh al-Jayyani Es El libro de arcos desconocidos de una esfera en el siglo 11 contiene la ley general de senos. La ley plana de los senos fue declarada más tarde en el siglo XIII por Nasīr al-Dīn al-Tūsī . En su Figura sobre el sector , estableció la ley de los senos para triángulos planos y esféricos, y proporcionó pruebas para esta ley.

Según Glen Van Brummelen , "La Ley de los senos es realmente el fundamento de Regiomontanus para sus soluciones de triángulos rectángulos en el Libro IV, y estas soluciones son a su vez las bases para sus soluciones de triángulos generales". Regiomontanus fue un matemático alemán del siglo XV.

Prueba

El área $T$ de cualquier triángulo se puede escribir como la mitad de su base por su altura. Al seleccionar un lado del triángulo como base, la altura del triángulo en relación con esa base se calcula como la longitud del otro lado multiplicada por el seno del ángulo entre el lado elegido y la base. Por lo tanto, dependiendo de la selección de la base, el área del triángulo se puede escribir como cualquiera de:

{\ Displaystyle T = {\ frac {1} {2}} b \ left (c \ sin {\ alpha} \ right) = {\ frac {1} {2}} c \ left (a \ sin {\ beta } \ right) = {\ frac {1} {2}} a \ left (b \ sin {\ gamma} \ right).}

Multiplicando estos por

.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} 2/a B C

da

{\ Displaystyle {\ frac {2T} {abc}} = {\ frac {\ sin {\ alpha}} {a}} = {\ frac {\ sin {\ beta}} {b}} = {\ frac { \ sin {\ gamma}} {c}} \ ,.}

El caso ambiguo de la solución triangular

Cuando se usa la ley de los senos para encontrar un lado de un triángulo, se produce un caso ambiguo cuando se pueden construir dos triángulos separados a partir de los datos proporcionados (es decir, hay dos posibles soluciones diferentes del triángulo). En el caso que se muestra a continuación, son triángulos $ABC$ y $ABC '$ .

Dado un triángulo general, se deberían cumplir las siguientes condiciones para que el caso sea ambiguo:

La única información conocida sobre el triángulo es el ángulo $α$ y los lados $una$ y $c$ .
El ángulo $α$ es agudo (es decir, $α$ <90 °).
El lado $a$ es más corto que el lado $c$ (es decir, $a < c$ ).
El lado $a$ es más largo que la altitud $h$ desde el ángulo $β$ , donde $h = c sen α$ (es decir, $a > h$ ).

Si todas las condiciones anteriores son verdaderas, entonces cada uno de los ángulos $β$ y $β '$ produce un triángulo válido, lo que significa que las dos siguientes son verdaderas:

{\ Displaystyle {\ gamma} '= \ arcsin {\ frac {c \ sin {\ alpha}} {a}} \ quad {\ text {o}} \ quad {\ gamma} = \ pi - \ arcsin {\ frac {c \ sin {\ alpha}} {a}}.}

A partir de ahí podemos encontrar los correspondientes $β$ y $b$ o $β '$ y $b '$ si es necesario, donde $b$ es el lado delimitado por los vértices $A$ y $C$ y $b '$ está delimitado por $A$ y $C '$ .

Ejemplos de

Los siguientes son ejemplos de cómo resolver un problema usando la ley de los senos.

Ejemplo 1

Dado: lado $a = 20$ , lado $c = 24$ y ángulo $γ = 40 °$ . Se desea el ángulo $α$ .

Usando la ley de los senos, llegamos a la conclusión de que

{\ Displaystyle {\ frac {\ sin \ alpha} {20}} = {\ frac {\ sin (40 ^ {\ circ})} {24}}.}

{\ Displaystyle \ alpha = \ arcsin \ left ({\ frac {20 \ sin (40 ^ {\ circ})} {24}} \ right) \ approx 32,39 ^ {\ circ}.}

Tenga en cuenta que la solución potencial $α = 147.61 °$ se excluye porque eso necesariamente daría $α + β + γ > 180 °$ .

Ejemplo 2

Si las longitudes de dos lados del triángulo $un$ y $b$ son iguales a $x$ , el tercer lado tiene una longitud $c$ , y los ángulos opuestos a los lados de longitudes $a$ , $b$ , y $c$ son $α$ , $β$ , y $γ$ , respectivamente, entonces

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} & \ alpha = \ beta = {\ frac {180 ^ {\ circ} - \ gamma} {2}} = 90 ^ {\ circ} - {\ frac {\ gamma} { 2}} \\ [6pt] & \ sin \ alpha = \ sin \ beta = \ sin \ left (90 ^ {\ circ} - {\ frac {\ gamma} {2}} \ right) = \ cos \ left ({\ frac {\ gamma} {2}} \ right) \\ [6pt] & {\ frac {c} {\ sin \ gamma}} = {\ frac {a} {\ sin \ alpha}} = { \ frac {x} {\ cos \ left ({\ frac {\ gamma} {2}} \ right)}} \\ [6pt] & {\ frac {c \ cos \ left ({\ frac {\ gamma} {2}} \ right)} {\ sin \ gamma}} = x \ end {alineado}}}

Relación con la circunferencia

En la identidad

{\ Displaystyle {\ frac {a} {\ sin {\ alpha}}} = {\ frac {b} {\ sin {\ beta}}} = {\ frac {c} {\ sin {\ gamma}}} ,}

el valor común de las tres fracciones es en realidad el diámetro de la circunferencia del triángulo . Este resultado se remonta a Ptolomeo .

Derivando la razón de la ley del seno igual al diámetro circunscrito. Tenga en cuenta que el triángulo

ADB

pasa por el centro del círculo que lo circunscribe con un diámetro

d

.

Prueba

Como se muestra en la figura, que haya un círculo con inscrito y otro inscrito que pasa por el centro del círculo O . El tiene un ángulo central de y por lo tanto . Dado que es un triángulo rectángulo, ${\ Displaystyle \ triangle ABC}$ ${\ Displaystyle \ triangle ADB}$ ${\ Displaystyle \ angle AOD}$ ${\ Displaystyle 180 ^ {\ circ}}$ ${\ Displaystyle \ angle ABD = 90 ^ {\ circ}}$ ${\ Displaystyle \ triangle ABD}$

{\ Displaystyle \ sin {\ delta} = {\ frac {\ text {opuesto}} {\ text {hipotenusa}}} = {\ frac {c} {2R}},}

donde es el radio del círculo circunscrito del triángulo. Ángulos y tener el mismo ángulo central por lo que son los mismos: . Por lo tanto,

{\ Displaystyle R = {\ frac {d} {2}}}

{\ displaystyle {\ gamma}}

{\ Displaystyle {\ delta}}

{\ displaystyle {\ gamma} = {\ delta}}

{\ Displaystyle \ sin {\ delta} = \ sin {\ gamma} = {\ frac {c} {2R}}.}

Reordenamiento de rendimientos

{\ Displaystyle 2R = {\ frac {c} {\ sin {\ gamma}}}.}

Repetir el proceso de creación con otros puntos da ${\ Displaystyle \ triangle ADB}$

${\ Displaystyle {\ frac {a} {\ sin {\ alpha}}} = {\ frac {b} {\ sin {\ beta}}} = {\ frac {c} {\ sin {\ gamma}}} = 2R.}$

Relación con el área del triángulo

El área de un triángulo está dada por , donde es el ángulo encerrado por los lados de longitudes

a

y

b

. Sustituyendo la ley del seno en esta ecuación se obtiene

{\ textstyle T = {\ frac {1} {2}} ab \ sin \ theta}

{\ Displaystyle \ theta}

{\ Displaystyle T = {\ frac {1} {2}} ab \ cdot {\ frac {c} {2R}}.}

Tomando como radio de circunscripción, ${\ Displaystyle R}$

${\ Displaystyle T = {\ frac {abc} {4R}}.}$

También se puede demostrar que esta igualdad implica

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {abc} {2T}} & = {\ frac {abc} {2 {\ sqrt {s (sa) (sb) (sc)}}}} \\ [ 6pt] & = {\ frac {2abc} {\ sqrt {{(a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2})} ^ {2} -2 (a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4})}}}, \ end {alineado}}}

donde

T

es el área del triángulo y

s

es el semiperímetro

{\ textstyle s = {\ frac {a + b + c} {2}}.}

La segunda igualdad anterior se simplifica fácilmente a la fórmula de Heron para el área.

La regla del seno también se puede usar para derivar la siguiente fórmula para el área del triángulo: Denotando la semi-suma de los senos de los ángulos como , tenemos ${\ textstyle S = {\ frac {\ sin A + \ sin B + \ sin C} {2}}}$

${\ Displaystyle T = 4R ^ {2} {\ sqrt {S \ left (S- \ sin A \ right) \ left (S- \ sin B \ right) \ left (S- \ sin C \ right)}} }$

donde es el radio de la circunferencia circunscrita: . ${\ Displaystyle R}$ ${\ textstyle 2R = {\ frac {a} {\ sin A}} = {\ frac {b} {\ sin B}} = {\ frac {c} {\ sin C}}}$

La ley esférica de los senos

La ley esférica de los senos se ocupa de los triángulos de una esfera, cuyos lados son arcos de grandes círculos .

Supongamos que el radio de la esfera es 1. Sea $un$ , $b$ , y $c$ ser las longitudes de los grandes-arcos que son los lados del triángulo. Debido a que es una esfera unidad, $una$ , $b$ , y $c$ son los ángulos en el centro de la esfera subtendido por los arcos, en radianes. Sean $A$ , $B$ y $C$ los ángulos opuestos a esos lados respectivos. Estos son ángulos diedros entre los planos de los tres grandes círculos.

Entonces la ley esférica de los senos dice:

{\ Displaystyle {\ frac {\ sin A} {\ sin a}} = {\ frac {\ sin B} {\ sin b}} = {\ frac {\ sin C} {\ sin c}}.}

Prueba de vector

Considere una esfera unitaria con tres vectores unitarios $OA$ , $OB$ y $OC$ dibujados desde el origen hasta los vértices del triángulo. Así, los ángulos $alfa$ , $β$ , y $γ$ son los ángulos de $un$ , $b$ , y $c$ , respectivamente. El arco $BC$ subtiende un ángulo de magnitud $a$ en el centro. Introduzca una base cartesiana con $OA a lo$ largo del eje $z$ y $OB$ en el plano $xz$ formando un ángulo $c$ con el eje $z$ . El vector $OC$ proyectos a $EN$ en la $xy$ un plano y el ángulo entre $EN$ y el $x$ eje x es $A$ . Por tanto, los tres vectores tienen componentes:

{\ displaystyle \ mathbf {OA} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \ end {pmatrix}}, \ quad \ mathbf {OB} = {\ begin {pmatrix} \ sin c \\ 0 \ \\ cos c \ end {pmatrix}}, \ quad \ mathbf {OC} = {\ begin {pmatrix} \ sin b \ cos A \\\ sin b \ sin A \\\ cos b \ end {pmatrix}} .}

El producto triple escalar , $OA \cdot (OB \times OC)$ es el volumen del paralelepípedo formado por los vectores de posición de los vértices del triángulo esférico $OA$ , $OB$ y $OC$ . Este volumen no varía con el sistema de coordenadas específico utilizado para representar $OA$ , $OB$ y $OC$ . El valor del producto triple escalar $OA \cdot (OB \times OC)$ es el determinante $3 \times 3$ con $OA$ , $OB$ y $OC$ como sus filas. Con el eje $z a lo$ largo de $OA,$ el cuadrado de este determinante es

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ bigl (} \ mathbf {OA} \ cdot (\ mathbf {OB} \ times \ mathbf {OC}) {\ bigr)} ^ {2} & = \ left (\ det {\ begin {pmatrix} \ mathbf {OA} & \ mathbf {OB} & \ mathbf {OC} \ end {pmatrix}} \ right) ^ {2} \\ [4pt] & = {\ begin {vmatrix} 0 & 0 & 1 \\\ sin c & 0 & \ cos c \\\ sin b \ cos A & \ sin b \ sin A & \ cos b \ end {vmatrix}} ^ {2} = \ left (\ sin b \ sin c \ sin A \ derecha) ^ {2}. \ end {alineado}}}

Repetir este cálculo con el eje

z a lo

largo de

OB

da

(sin c sin a sin B) 2

, mientras que con el eje

z a lo

largo de

OC

es

(sin a sin b sin C) 2

. Al equiparar estas expresiones y dividirlas por

(pecado a pecado b pecado c) 2

da

{\ Displaystyle {\ frac {\ sin ^ {2} A} {\ sin ^ {2} a}} = {\ frac {\ sin ^ {2} B} {\ sin ^ {2} b}} = { \ frac {\ sin ^ {2} C} {\ sin ^ {2} c}} = {\ frac {V ^ {2}} {\ sin ^ {2} (a) \ sin ^ {2} (b ) \ sin ^ {2} (c)}},}

donde

V

es el volumen del paralelepípedo formado por el vector de posición de los vértices del triángulo esférico. En consecuencia, sigue el resultado.

Es fácil ver cómo para triángulos esféricos pequeños, cuando el radio de la esfera es mucho mayor que los lados del triángulo, esta fórmula se convierte en la fórmula plana en el límite, ya que

{\ Displaystyle \ lim _ {a \ to 0} {\ frac {\ sin a} {a}} = 1}

y lo mismo para el

pecado b

y el

pecado c

.

Prueba geométrica

Considere una esfera unitaria con:

{\ displaystyle OA = OB = OC = 1}

Construya el punto y el punto de manera que ${\ Displaystyle D}$ ${\ Displaystyle E}$ ${\ Displaystyle \ angle ADO = \ angle AEO = 90 ^ {\ circ}}$

Construya un punto tal que ${\ Displaystyle A '}$ ${\ Displaystyle \ angle A'DO = \ angle A'EO = 90 ^ {\ circ}}$

Por tanto, se puede ver que y ${\ Displaystyle \ angle ADA '= B}$ ${\ Displaystyle \ angle AEA '= C}$

Observe que es la proyección de en el plano . Por lo tanto ${\ Displaystyle A '}$ ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle OBC}$ ${\ Displaystyle \ angle AA'D = \ angle AA'E = 90 ^ {\ circ}}$

Por trigonometría básica, tenemos:

{\ Displaystyle AD = \ sin c}

{\ Displaystyle AE = \ sin b}

Pero ${\ Displaystyle AA '= AD \ sin B = AE \ sin C}$

Combinándolos tenemos:

{\ Displaystyle \ sin c \ sin B = \ sin b \ sin C}

{\ Displaystyle {\ frac {\ sin B} {\ sin b}} = {\ frac {\ sin C} {\ sin c}}}

Aplicando un razonamiento similar, obtenemos la ley esférica del seno:

{\ Displaystyle {\ frac {\ sin A} {\ sin a}} = {\ frac {\ sin B} {\ sin b}} = {\ frac {\ sin C} {\ sin c}}}

Otras pruebas

Se puede construir una demostración puramente algebraica a partir de la ley esférica de los cosenos . De la identidad y la expresión explícita para de la ley esférica de los cosenos ${\ Displaystyle \ sin ^ {2} A = 1- \ cos ^ {2} A}$ ${\ Displaystyle \ cos A}$

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ sin ^ {2} \! A & = 1- \ left ({\ frac {\ cos a- \ cos b \, \ cos c} {\ sin b \, \ sin c }} \ right) ^ {2} \\ & = {\ frac {\ left (1- \ cos ^ {2} \! b \ right) \ left (1- \ cos ^ {2} \! c \ right ) - \ left (\ cos a- \ cos b \, \ cos c \ right) ^ {2}} {\ sin ^ {2} \! b \, \ sin ^ {2} \! c}} \\ [8pt] {\ frac {\ sin A} {\ sin a}} & = {\ frac {\ left [1- \ cos ^ {2} \! A- \ cos ^ {2} \! B- \ cos ^ {2} \! C + 2 \ cos a \ cos b \ cos c \ right] ^ {1/2}} {\ sin a \ sin b \ sin c}}. \ End {alineado}}}

Dado que el lado derecho es invariante bajo una permutación cíclica de la regla del seno esférico sigue inmediatamente.

{\ Displaystyle a, \; b, \; c}

La figura usada en la demostración geométrica anterior es usada y también proporcionada por Banerjee (ver Figura 3 en este artículo) para derivar la ley del seno usando álgebra lineal elemental y matrices de proyección.

Caso hiperbólico

En geometría hiperbólica cuando la curvatura es -1, la ley de los senos se convierte en

{\ Displaystyle {\ frac {\ sin A} {\ sinh a}} = {\ frac {\ sin B} {\ sinh b}} = {\ frac {\ sin C} {\ sinh c}} \ ,. }

En el caso especial en el que $B$ es un ángulo recto, se obtiene

{\ Displaystyle \ sin C = {\ frac {\ sinh c} {\ sinh b}}}

que es el análogo de la fórmula en geometría euclidiana que expresa el seno de un ángulo como el lado opuesto dividido por la hipotenusa.

El caso de superficies de curvatura constante.

Defina una función seno generalizada, dependiendo también de un parámetro real $K$ :

{\ Displaystyle \ sin _ {K} x = x - {\ frac {Kx ^ {3}} {3!}} + {\ frac {K ^ {2} x ^ {5}} {5!}} - {\ frac {K ^ {3} x ^ {7}} {7!}} + \ cdots.}

La ley de los senos en curvatura constante $K se$ lee como

{\ Displaystyle {\ frac {\ sin A} {\ sin _ {K} a}} = {\ frac {\ sin B} {\ sin _ {K} b}} = {\ frac {\ sin C} { \ sin _ {K} c}} \ ,.}

Sustituyendo $K = 0$ , $K = 1$ y $K = -1$ , se obtienen respectivamente los casos euclidiano, esférico e hiperbólico de la ley de los senos descritos anteriormente.

Let $p K (r)$ indica la circunferencia de un círculo de radio $r$ en un espacio de curvatura constante $K$ . Entonces $p K (r) = 2 π sin K r$ . Por tanto, la ley de los senos también se puede expresar como:

{\ Displaystyle {\ frac {\ sin A} {p_ {K} (a)}} = {\ frac {\ sin B} {p_ {K} (b)}} = {\ frac {\ sin C} { p_ {K} (c)}} \ ,.}

Esta formulación fue descubierta por János Bolyai .

Mayores dimensiones

Para un

simplex

n-

dimensional (es decir, triángulo (

n

= 2

), tetraedro (

n

= 3

), pentatopo (

n

= 4

), etc.) en el espacio euclidiano

n-

dimensional , el valor absoluto del seno polar (

psin

) de los vectores normales de las facetas que se encuentran en un vértice , dividido por la hiperárea de la faceta opuesta al vértice es independiente de la elección del vértice. Escribiendo

V

para el hipervolumen del simplex

n-

dimensional y

P

para el producto de las hiperareas de sus facetas

(

n

- 1)

-dimensionales, la razón común es

{\ displaystyle {\ frac {(nV) ^ {n-1}} {(n-1)! P}}.}

Por ejemplo, un tetraedro tiene cuatro facetas triangulares. El valor absoluto del seno polar de los vectores normales a las tres facetas que comparten un vértice, dividido por el área de la cuarta faceta, no dependerá de la elección del vértice:

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} & {\ frac {\ left | \ operatorname {psin} (\ mathbf {n_ {2}}, \ mathbf {n_ {3}}, \ mathbf {n_ {4}}) " \ right |} {\ mathrm {Área} _ {1}}} = {\ frac {\ left | \ operatorname {psin} (\ mathbf {n_ {1}}, \ mathbf {n_ {3}}, \ mathbf {n_ {4}}) \ right |} {\ mathrm {Área} _ {2}}} = {\ frac {\ left | \ operatorname {psin} (\ mathbf {n_ {1}}, \ mathbf {n_ {2}}, \ mathbf {n_ {4}}) \ right |} {\ mathrm {Área} _ {3}}} = {\ frac {\ left | \ operatorname {psin} (\ mathbf {n_ {1 }}, \ mathbf {n_ {2}}, \ mathbf {n_ {3}}) \ right |} {\ mathrm {Área} _ {4}}} \\ [4pt] = {} & {\ frac { (3 \ operatorname {Volumen} _ {\ mathrm {tetraedro}}) ^ {2}} {2! ~ \ Mathrm {Área} _ {1} \ mathrm {Área} _ {2} \ mathrm {Área} _ { 3} \ mathrm {Área} _ {4}}} \,. \ End {alineado}}}

Ver también

Gersonides
Fórmula de medio lado : para resolver triángulos esféricos
Ley de los cosenos
Ley de las tangentes
Ley de los cotangentes
Fórmula de Mollweide : para comprobar soluciones de triángulos
Solución de triángulos
Topografía

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Contenido

Historia

Prueba

El caso ambiguo de la solución triangular

Ejemplos de

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Relación con la circunferencia

Prueba

Relación con el área del triángulo

La ley esférica de los senos

Prueba de vector

Prueba geométrica

Otras pruebas

Caso hiperbólico

El caso de superficies de curvatura constante.

Mayores dimensiones

Ver también

Referencias

enlaces externos