Trigonometría esférica - Spherical trigonometry

Triángulo triángulo

La trigonometría esférica es la rama de la geometría esférica que se ocupa de las relaciones entre las funciones trigonométricas de los lados y los ángulos de los polígonos esféricos (especialmente los triángulos esféricos ) definidos por una serie de grandes círculos que se cruzan en la esfera . La trigonometría esférica es de gran importancia para los cálculos en astronomía , geodesia y navegación .

Los orígenes de la trigonometría esférica en las matemáticas griegas y los principales desarrollos en las matemáticas islámicas se analizan en profundidad en Historia de la trigonometría y las matemáticas en el Islam medieval . El tema se materializó en los tiempos de la Edad Moderna con importantes desarrollos de John Napier , Delambre y otros, y alcanzó una forma esencialmente completa a fines del siglo XIX con la publicación del libro de texto de Todhunter Trigonometría esférica para el uso de universidades y escuelas . Desde entonces, los avances significativos han sido la aplicación de métodos vectoriales y el uso de métodos numéricos.

Preliminares

Ocho triángulos esféricos definidos por la intersección de tres grandes círculos.

Polígonos esféricos

Un polígono esférico es un polígono en la superficie de la esfera definido por varios arcos de círculo máximo , que son la intersección de la superficie con los planos que pasan por el centro de la esfera. Estos polígonos pueden tener varios lados. Dos planos definen una luna , también llamada " digon " o bi-ángulo, el análogo de dos lados del triángulo: un ejemplo familiar es la superficie curva de un segmento de una naranja. Tres planos definen un triángulo esférico, tema principal de este artículo. Cuatro planos definen un cuadrilátero esférico: tal figura, y los polígonos de lados superiores, siempre se pueden tratar como un número de triángulos esféricos.

Un polígono esférico con propiedades interesantes es el pentagramma mirificum , un polígono estelar esférico de 5 lados con todos los ángulos rectos.

A partir de este punto, el artículo se limitará a triángulos esféricos, denominados simplemente triángulos .

Notación

El triángulo básico en una esfera unitaria.
  • Ambos vértices y ángulos en los vértices se denotan por las mismas letras mayúsculas A , B , y C .
  • Los ángulos A , B , C del triángulo son iguales a los ángulos entre los planos que cortan la superficie de la esfera o, de manera equivalente, los ángulos entre los vectores tangentes de los arcos del gran círculo donde se encuentran en los vértices. Los ángulos están en radianes. Los ángulos de los triángulos esféricos propios son (por convención) menores que π, de modo que π  <  A  +  B  +  C  <3 π . (Todhunter, Art.22,32).
  • Los lados se indican mediante letras minúsculas a , b , y c . En la esfera unitaria, sus longitudes son numéricamente iguales a la medida en radianes de los ángulos que subtienden los arcos del gran círculo en el centro. Los lados de los triángulos esféricos propios son (por convención) menores que π, de modo que 0 <  a  +  b  +  c  <2 π . (Todhunter, Art.22,32).
  • El radio de la esfera se toma como unidad. Para problemas prácticos específicos en una esfera de radio R, las longitudes medidas de los lados deben dividirse por R antes de usar las identidades que se indican a continuación. Del mismo modo, después de un cálculo en la unidad de esfera de los lados un , b , c se deben multiplicar por  R .

Triángulos polares

El triángulo polar A'B'C '

El triángulo polar asociado con un triángulo ABC se define de la siguiente manera. Considere el gran círculo que contiene el lado  BC . Este gran círculo está definido por la intersección de un plano diametral con la superficie. Dibuja la normal a ese plano en el centro: interseca la superficie en dos puntos y el punto que está en el mismo lado del plano que A se denomina (convencionalmente) el polo de A y se denota por A ′. Los puntos B ′ y C ′ se definen de manera similar.

El triángulo A′B′C ′ es el triángulo polar correspondiente al triángulo  ABC . Un teorema muy importante (Todhunter, artículo 27) demuestra que los ángulos y lados del triángulo polar están dados por

Por lo tanto, si se demuestra alguna identidad para el triángulo ABC, podemos derivar inmediatamente una segunda identidad aplicando la primera identidad al triángulo polar haciendo las sustituciones anteriores. Así es como las ecuaciones del coseno suplementario se derivan de las ecuaciones del coseno. De manera similar, las identidades de un triángulo cuadrante se pueden derivar de las de un triángulo rectángulo. El triángulo polar de un triángulo polar es el triángulo original.

Reglas del coseno y reglas del seno

Reglas del coseno

La regla del coseno es la identidad fundamental de la trigonometría esférica: todas las demás identidades, incluida la regla del seno, pueden derivarse de la regla del coseno:

Estas identidades generalizan la regla del coseno de la trigonometría plana , a la que son asintóticamente equivalentes en el límite de los pequeños ángulos interiores. (En la esfera unitaria, si se establece y etc .; consulte la ley esférica de los cosenos ).

Reglas del seno

La ley esférica de los senos viene dada por la fórmula

Estas identidades se aproximan a la regla del seno de la trigonometría plana cuando los lados son mucho más pequeños que el radio de la esfera.

Derivación de la regla del coseno

Vectores de trigonometría esférica.svg

Las fórmulas del coseno esférico fueron probadas originalmente por la geometría elemental y la regla del coseno plano (Todhunter, Art. 37). También da una derivación utilizando geometría de coordenadas simples y la regla del coseno plano (Art.60). El enfoque descrito aquí utiliza métodos vectoriales más simples. (Estos métodos también se analizan en Ley esférica de los cosenos ).

Considere tres vectores unitarios OA , OB y OC dibujados desde el origen hasta los vértices del triángulo (en la esfera unitaria). El arco BC subtiende un ángulo de magnitud a en el centro y por lo tanto OB · OC  = cos a . Introduzca una base cartesiana con OA a lo largo del eje z y OB en el plano xz formando un ángulo c con el eje z . El vector OC proyectos en ON en el xy un plano y el ángulo entre ON y el x eje x es A . Por tanto, los tres vectores tienen componentes:

OA OB OC .          

El producto escalar OB · OC en términos de los componentes es

OB · OC .

Al igualar las dos expresiones para el producto escalar se obtiene

Esta ecuación se puede reorganizar para dar expresiones explícitas para el ángulo en términos de los lados:

Las otras reglas del coseno se obtienen mediante permutaciones cíclicas.

Derivación de la regla del seno

Esta derivación se da en Todhunter, (Art.40). De la identidad y la expresión explícita para dada inmediatamente arriba

Dado que el lado derecho es invariante bajo una permutación cíclica de la regla del seno esférico sigue inmediatamente.

Derivaciones alternativas

Hay muchas formas de derivar las reglas fundamentales del coseno y del seno y las otras reglas desarrolladas en las siguientes secciones. Por ejemplo, Todhunter da dos pruebas de la regla del coseno (artículos 37 y 60) y dos pruebas de la regla del seno (artículos 40 y 42). La página sobre la ley esférica de los cosenos ofrece cuatro pruebas diferentes de la regla del coseno. Los libros de texto sobre geodesia (como Clarke) y astronomía esférica (como Smart) brindan diferentes pruebas y los recursos en línea de MathWorld brindan aún más. Hay derivaciones aún más exóticas, como la de Banerjee, quien deriva las fórmulas utilizando el álgebra lineal de matrices de proyección y también cita métodos en geometría diferencial y la teoría de grupos de rotaciones.

La derivación de la regla del coseno presentada anteriormente tiene los méritos de la simplicidad y la franqueza y la derivación de la regla del seno enfatiza el hecho de que no se requiere una prueba separada aparte de la regla del coseno. Sin embargo, la geometría anterior puede usarse para dar una prueba independiente de la regla del seno. El producto triple escalar , OA · ( OB  ×  OC ) se evalúa en la base que se muestra. De manera similar, en una base orientada con el eje z a lo largo de OB , el producto triple OB · ( OC  ×  OA ) se evalúa . Por lo tanto, la invariancia del producto triple bajo permutaciones cíclicas da cuál es la primera de las reglas del seno. Consulte las variaciones curvas de la ley de los senos para ver los detalles de esta derivación.

Identidades

Reglas de coseno suplementarias

Aplicando las reglas del coseno al triángulo polar se obtiene (Todhunter, Art.47), es decir , reemplazando A por π  -  aa por π  -  A etc.,

Fórmulas cotangentes de cuatro partes

Las seis partes de un triángulo se pueden escribir en orden cíclico como ( aCbAcB ). Las fórmulas cotangente, o de cuatro partes, relacionan dos lados y dos ángulos que forman cuatro partes consecutivas alrededor del triángulo, por ejemplo ( aCbA ) o ( BaCb ). En un conjunto de este tipo hay partes internas y externas: por ejemplo, en el conjunto ( BaCb ) el ángulo interno es C , el lado interno es a , el ángulo externo es B , el lado externo es b . La regla cotangente puede escribirse como (Todhunter, Art.44)

y las seis ecuaciones posibles son (con el conjunto relevante que se muestra a la derecha):

Para probar la primera fórmula, comience con la primera regla del coseno y en el lado derecho sustituya desde la tercera regla del coseno:

El resultado sigue al dividir por . Técnicas similares con las otras dos reglas del coseno dan CT3 y CT5. Las otras tres ecuaciones siguen aplicando las reglas 1, 3 y 5 al triángulo polar.

Fórmulas de medio ángulo y medio lado

Con y

Otras doce identidades siguen por permutación cíclica.

La demostración (Todhunter, Art.49) de la primera fórmula parte de la identidad 2sin 2 ( A / 2) = 1 - cos A , usando la regla del coseno para expresar A en términos de los lados y reemplazando la suma de dos cosenos por un producto. (Ver identidades de suma a producto ). La segunda fórmula comienza con la identidad 2cos 2 ( A / 2) = 1 + cos A , la tercera es un cociente y el resto sigue aplicando los resultados al triángulo polar.

Analogías de Delambre (o Gauss)

Otras ocho identidades siguen por permutación cíclica.

Demostrado expandiendo los numeradores y usando las fórmulas de medio ángulo. (Todhunter, Art.54 y Delambre)

Analogías de Napier

Otras ocho identidades siguen por permutación cíclica.

Estas identidades siguen por división de las fórmulas de Delambre. (Todhunter, artículo 52)

Reglas de Napier para triángulos esféricos rectos

Trigonometría esférica Napier right-angled.svg

Cuando uno de los ángulos, digamos C , de un triángulo esférico es igual a π / 2, las diversas identidades dadas anteriormente se simplifican considerablemente. Hay identidades diez relativos tres elementos escogidos entre el conjunto un , b , c , A , B .

Napier proporcionó una elegante ayuda mnemotécnica para las diez ecuaciones independientes: la mnemotécnica se llama círculo de Napier o pentágono de Napier (cuando el círculo de la figura anterior, a la derecha, se reemplaza por un pentágono).

Primero, escribe las seis partes del triángulo (tres ángulos de vértice, tres ángulos de arco para los lados) en el orden en que ocurren alrededor de cualquier circuito del triángulo: para el triángulo que se muestra arriba a la izquierda, ir en el sentido de las agujas del reloj comenzando con a da aCbAcB . Luego reemplace las partes que no son adyacentes a C (es decir , A, c, B ) por sus complementos y luego elimine el ángulo C de la lista. Las partes restantes se pueden dibujar como cinco cortes iguales ordenados de un pentagrama o círculo, como se muestra en la figura anterior (derecha). Para cualquier elección de tres partes contiguas, una (la parte central ) será adyacente a dos partes y opuesta a las otras dos partes. Las diez reglas de Napier están dadas por

  • seno de la parte media = el producto de las tangentes de las partes adyacentes
  • seno de la parte media = el producto de los cosenos de las partes opuestas

Por ejemplo, comenzando con el sector que contiene tenemos:

El conjunto completo de reglas para el triángulo esférico recto es (Todhunter, Art.62)

Reglas de Napier para triángulos cuadrantes

Un triángulo esférico cuadrantal junto con el círculo de Napier para usar en sus nemotécnicos.

Un triángulo esférico cuadrantal se define como un triángulo esférico en el que uno de los lados subtiende un ángulo de π / 2 radianes en el centro de la esfera: en la esfera unitaria, el lado tiene una longitud π / 2. En el caso de que el lado c tenga una longitud π / 2 en la esfera unitaria, las ecuaciones que gobiernan los lados y ángulos restantes se pueden obtener aplicando las reglas para el triángulo esférico rectángulo de la sección anterior al triángulo polar A'B'C ' con lados a ', b', c ' tales que A' = π  -  aa 'π  -  A etc. Los resultados son:

Reglas de cinco partes

Sustituyendo la segunda regla del coseno en la primera y simplificando da:

Cancelar el factor de da

Sustituciones similares en las otras fórmulas de coseno y coseno suplementario dan una gran variedad de reglas de 5 partes. Rara vez se utilizan.

Ecuación de Cagnoli

Multiplicando la primera regla del coseno por da

De manera similar, multiplicando la primera regla del coseno suplementaria por los rendimientos

Restando los dos y observando que se sigue de las reglas del seno que produce la ecuación de Cagnoli

que es una relación entre las seis partes del triángulo esférico.

Solución de triángulos

Triángulos oblicuos

La solución de triángulos es el propósito principal de la trigonometría esférica: dados tres, cuatro o cinco elementos del triángulo, determinar los demás. El caso de cinco elementos dados es trivial, y solo requiere una sola aplicación de la regla del seno. Para cuatro elementos dados hay un caso no trivial, que se analiza a continuación. Para tres elementos dados hay seis casos: tres lados, dos lados y un ángulo incluido o opuesto, dos ángulos y un lado incluido o opuesto, o tres ángulos. (El último caso no tiene análogo en la trigonometría plana.) Ningún método único resuelve todos los casos. La siguiente figura muestra los siete casos no triviales: en cada caso, los lados dados están marcados con una barra transversal y los ángulos dados con un arco. (Los elementos dados también se enumeran debajo del triángulo). En la notación de resumen aquí, como ASA, A se refiere a un ángulo dado y S se refiere a un lado dado, y la secuencia de A y S en la notación se refiere a la secuencia correspondiente en el triángulo.

Triángulo de trigonometría esférica cases.svg
  • Caso 1: tres lados dados (SSS). La regla del coseno se puede usar para dar los ángulos A , B y C pero, para evitar ambigüedades, se prefieren las fórmulas de los medios ángulos.
  • Caso 2: dos lados y un ángulo incluido dado (SAS). La regla del coseno da a y luego volvemos al Caso 1.
  • Caso 3: dos lados y un ángulo opuesto dado (SSA). La regla del seno da C y luego tenemos el Caso 7. Hay una o dos soluciones.
  • Caso 4: se dan dos ángulos y un lado incluido (ASA). Las fórmulas cotangentes de cuatro partes para los conjuntos ( cBaC ) y ( BaCb ) dan c y b , luego A se sigue de la regla del seno.
  • Caso 5: dos ángulos y un lado opuesto dado (AAS). La regla del seno da by luego tenemos el Caso 7 (rotado). Hay una o dos soluciones.
  • Caso 6: se dan tres ángulos (AAA). La regla coseno suplementario puede ser utilizado para dar a los lados un , b , y c , pero, a ambigüedades EVITAR, se prefieren las fórmulas del lado medio.
  • Caso 7: se dan dos ángulos y dos lados opuestos (SSAA). Analogías de Napier uso de una y A ; o utilice el caso 3 (SSA) o el caso 5 (AAS).

Los métodos de solución enumerados aquí no son las únicas opciones posibles: son posibles muchas otras. En general, es mejor elegir métodos que eviten tomar un seno inverso debido a la posible ambigüedad entre un ángulo y su complemento. El uso de fórmulas de medio ángulo a menudo es aconsejable porque los medios ángulos serán menores que π / 2 y, por lo tanto, estarán libres de ambigüedad. Hay una discusión completa en Todhunter. El artículo Solución de triángulos # Resolver triángulos esféricos presenta variantes de estos métodos con una notación ligeramente diferente.

Hay una discusión completa de la solución de triángulos oblicuos en Todhunter. Véase también la discusión en Ross.

Solución de trigonometría esférica construction.svg

Solución por triángulos rectángulos

Otro enfoque es dividir el triángulo en dos triángulos rectángulos. Por ejemplo, tome el ejemplo del Caso 3 donde se dan b, c, B. Construir el gran círculo de A que es normal al lado BC en el punto D . Reglas de uso Napier para resolver el triángulo ABD : uso c y B para encontrar los lados AD , BD y el ángulo BAD . A continuación, utilice las reglas de Napier para resolver el triángulo ACD : que es el uso de AD y b para encontrar el lado de CC y los ángulos C y DAC . El ángulo A y el lado a siguen a la suma.

Consideraciones numéricas

No todas las reglas obtenidas son numéricamente robustas en ejemplos extremos, por ejemplo, cuando un ángulo se aproxima a cero o  π . Es posible que los problemas y las soluciones deban examinarse detenidamente, especialmente al escribir código para resolver un triángulo arbitrario.

Exceso de superficie y esférica

Considere un polígono esférico de N lados y sea A n el n -ésimo ángulo interior. El área de dicho polígono viene dada por (Todhunter, Art.99)

Para el caso del triángulo, esto se reduce a

donde E es la cantidad por la cual la suma de los ángulos excede π radianes. La cantidad E se llama exceso esférico del triángulo. Este teorema lleva el nombre de su autor, Albert Girard . Una prueba anterior fue derivada, pero no publicada, por el matemático inglés Thomas Harriot . En una esfera de radio R, ambas expresiones de área anteriores se multiplican por R 2 . La definición del exceso es independiente del radio de la esfera.

El resultado inverso puede escribirse como

Dado que el área de un triángulo no puede ser negativa, el exceso esférico siempre es positivo. No es necesariamente pequeño, porque la suma de los ángulos puede alcanzar 5 π (3 π para ángulos propios ). Por ejemplo, un octante de una esfera es un triángulo esférico con tres ángulos rectos, por lo que el exceso es π / 2. En aplicaciones prácticas, a menudo es pequeño: por ejemplo, los triángulos del levantamiento geodésico suelen tener un exceso esférico mucho menor que 1 'de arco. (Rapp Clarke, teorema de Legendre sobre triángulos esféricos ). En la Tierra, el exceso de un triángulo equilátero con lados de 21,3 km (y un área de 393 km 2 ) es de aproximadamente 1 segundo de arco.

Hay muchas fórmulas para el exceso. Por ejemplo, Todhunter, (Art.101-103) da diez ejemplos, incluido el de L'Huilier :

donde . Debido a que algunos triángulos están mal caracterizados por sus bordes (por ejemplo, si ), a menudo es mejor usar la fórmula para el exceso en términos de dos bordes y su ángulo incluido.

El déficit de ángulo se define de manera similar para la geometría hiperbólica .

De latitud y longitud

Un ejemplo de un cuadrilátero esférico delimitado por un segmento de un gran círculo, dos meridianos y el ecuador es

donde denota latitud y longitud. Este resultado se obtiene de una de las analogías de Napier. En el límite, donde son todos pequeños, esto se reduce a la zona trapezoidal familiar, .

El área de un polígono se puede calcular a partir de cuadrángulos individuales del tipo anterior, a partir (de manera análoga) de un triángulo individual delimitado por un segmento del polígono y dos meridianos, por una línea integral con el teorema de Green , o mediante una proyección de igual área como comúnmente. hecho en SIG. Los otros algoritmos aún se pueden usar con las longitudes de los lados calculadas usando una fórmula de distancia de círculo máximo.

Ver también

Referencias

enlaces externos