Fórmula de adición de velocidad - Velocity-addition formula

La teoría especial de la relatividad, formulada en 1905 por Albert Einstein , implica que la suma de velocidades no se comporta de acuerdo con una simple suma vectorial .

En física relativista , una fórmula de adición de velocidad es una ecuación tridimensional que relaciona las velocidades de los objetos en diferentes marcos de referencia . Estas fórmulas se aplican a las sucesivas transformaciones de Lorentz , por lo que también relacionan diferentes marcos. La adición de velocidad acompañante es un efecto cinemático conocido como precesión de Thomas , por el cual los aumentos sucesivos de Lorentz no colineales se vuelven equivalentes a la composición de una rotación del sistema de coordenadas y un impulso.

Las aplicaciones estándar de las fórmulas de velocidad de adición incluyen el desplazamiento Doppler , navegación Doppler , la aberración de la luz , y el arrastre de luz en el agua observada en el 1851 en movimiento experimento Fizeau .

La notación emplea $u$ como la velocidad de un cuerpo dentro de un marco de Lorentz $S$ , y $v$ como la velocidad de un segundo marco $S'$ , medida en $S$ , y $u'$ como la velocidad transformada del cuerpo dentro del segundo marco.

Historia

La velocidad de la luz en un fluido es más lenta que la velocidad de la luz en el vacío y cambia si el fluido se mueve junto con la luz. En 1851, Fizeau midió la velocidad de la luz en un fluido que se movía paralelo a la luz usando un interferómetro . Los resultados de Fizeau no estaban de acuerdo con las teorías prevalecientes en ese momento. Fizeau determinó experimentalmente correctamente el término cero de una expansión de la ley de adición relativistamente correcta en términos de $.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} V ⁄ c,$ como se describe a continuación. El resultado de Fizeau llevó a los físicos a aceptar la validez empírica de la teoría bastante insatisfactoria de Fresnel de que un fluido que se mueve con respecto al éter estacionario arrastra parcialmente la luz consigo, es decir, la velocidad es $c ⁄ n + (1 - 1 ⁄ n 2) V en su$ lugar de $c ⁄ n + V$ , donde $c$ es la velocidad de la luz en el éter, $n$ es el índice de refracción del fluido y $V$ es la velocidad del fluido con respecto al éter.

La aberración de la luz , cuya explicación más fácil es la fórmula de adición de velocidad relativista, junto con el resultado de Fizeau, desencadenó el desarrollo de teorías como la teoría del éter de Lorentz del electromagnetismo en 1892. En 1905 Albert Einstein , con el advenimiento de la relatividad especial , derivó el fórmula de configuración estándar ( $V$ en la dirección $x$ ) para la suma de velocidades relativistas. Los problemas relacionados con el éter se fueron resolviendo gradualmente a lo largo de los años a favor de la relatividad especial.

Relatividad galilea

Galileo observó que una persona en un barco en movimiento uniforme tiene la impresión de estar en reposo y ve un cuerpo pesado caer verticalmente hacia abajo. Esta observación se considera ahora como la primera declaración clara del principio de relatividad mecánica. Galileo vio que, desde el punto de vista de una persona parada en la orilla, el movimiento de caer hacia abajo sobre el barco se combinaría o se sumaría al movimiento de avance del barco. En términos de velocidades, se puede decir que la velocidad del cuerpo que cae con respecto a la costa es igual a la velocidad de ese cuerpo con respecto al barco más la velocidad del barco con respecto a la costa.

En general, para tres objetos A (por ejemplo, Galileo en la costa), B (por ejemplo, un barco), C (por ejemplo, un cuerpo que cae sobre un barco) el vector de velocidad de C relativo a A (la velocidad del objeto que cae como lo ve Galileo) es la suma de la velocidad de C relativa a B (velocidad del objeto que cae en relación con el barco) más la velocidad $v$ de B relativa a A (velocidad del barco lejos de la costa). La suma aquí es la suma vectorial del álgebra vectorial y la velocidad resultante generalmente se representa en la forma ${\ Displaystyle \ mathbf {u}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {u '}}$

{\ Displaystyle \ mathbf {u} = \ mathbf {v} + \ mathbf {u '}.}

El cosmos de Galileo consta de espacio y tiempo absolutos y la suma de velocidades corresponde a la composición de las transformaciones galileanas . El principio de relatividad se llama relatividad galileana . Es obedecido por la mecánica newtoniana .

Relatividad especial

De acuerdo con la teoría de la relatividad especial , el marco del barco tiene una frecuencia de reloj y una medida de distancia diferentes, y la noción de simultaneidad en la dirección del movimiento se altera, por lo que se cambia la ley de la suma para las velocidades. Este cambio no se nota a velocidades bajas, pero a medida que la velocidad aumenta hacia la velocidad de la luz, se vuelve importante. La ley de la adición también se llama ley de composición para velocidades . Para los movimientos colineales, la velocidad del objeto (por ejemplo, una bala de cañón disparada horizontalmente hacia el mar) medida desde el barco sería medida por alguien parado en la orilla y observando toda la escena a través de un telescopio como

{\ Displaystyle u = {v + u '\ over 1+ (vu' / c ^ {2})}.}

La fórmula de composición puede tomar una forma algebraicamente equivalente, que puede derivarse fácilmente usando solo el principio de constancia de la velocidad de la luz,

{\ displaystyle {cu \ over c + u} = \ left ({cu '\ over c + u'} \ right) \ left ({cv \ over c + v} \ right).}

El cosmos de la relatividad especial consta del espacio-tiempo de Minkowski y la suma de velocidades corresponde a la composición de las transformaciones de Lorentz . En la teoría especial de la relatividad, la mecánica newtoniana se modifica en mecánica relativista .

Configuración estándar

Las fórmulas para los aumentos en la configuración estándar se derivan más directamente de tomar diferenciales del refuerzo de Lorentz inverso en la configuración estándar. Si la trama cebada se desplaza con velocidad con el factor de Lorentz en la dirección $x$ positiva relativa a la trama no cebada, entonces los diferenciales son ${\ Displaystyle v}$ ${\ Displaystyle \ gamma _ {_ {v}} = 1 / {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}}$

{\ Displaystyle dx = \ gamma _ {_ {v}} (dx '+ vdt'), \ quad dy = dy ', \ quad dz = dz', \ quad dt = \ gamma _ {_ {v}} \ izquierda (dt '+ {\ frac {v} {c ^ {2}}} dx' \ derecha).}

Divida las tres primeras ecuaciones por la cuarta,

{\ Displaystyle {\ frac {dx} {dt}} = {\ frac {\ gamma _ {_ {v}} (dx '+ vdt')} {\ gamma _ {_ {v}} (dt '+ { \ frac {v} {c ^ {2}}} dx ')}}, \ quad {\ frac {dy} {dt}} = {\ frac {dy'} {\ gamma _ {_ {v}} ( dt '+ {\ frac {v} {c ^ {2}}} dx')}}, \ quad {\ frac {dz} {dt}} = {\ frac {dz '} {\ gamma _ {_ { v}} (dt '+ {\ frac {v} {c ^ {2}}} dx')}},}

o

{\ Displaystyle u_ {x} = {\ frac {dx} {dt}} = {\ frac {{\ frac {dx '} {dt'}} + v} {(1 + {\ frac {v} {c ^ {2}}} {\ frac {dx '} {dt'}})}}, \ quad u_ {y} = {\ frac {dy} {dt}} = {\ frac {\ frac {dy '} {dt '}} {\ gamma _ {_ {v}} \ (1 + {\ frac {v} {c ^ {2}}} {\ frac {dx'} {dt '}})}}, \ quad u_ {z} = {\ frac {dz} {dt}} = {\ frac {\ frac {dz '} {dt'}} {\ gamma _ {_ {v}} \ (1 + {\ frac { v} {c ^ {2}}} {\ frac {dx '} {dt'}})}},}

cual es

Transformación de velocidad ( componentes cartesianos )

{\ Displaystyle u_ {x} = {\ frac {u_ {x} '+ v} {1 + {\ frac {v} {c ^ {2}}} u_ {x}'}}, \ quad u_ {x } '= {\ frac {u_ {x} -v} {1 - {\ frac {v} {c ^ {2}}} u_ {x}}},}

{\ Displaystyle u_ {y} = {\ frac {{\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}} u_ {y} '} {1 + {\ frac {v} {c ^ {2}}} u_ {x} '}}, \ quad u_ {y}' = {\ frac {{\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}} u_ {y}} {1 - {\ frac {v} {c ^ {2}}} u_ {x}}},}

{\ Displaystyle u_ {z} = {\ frac {{\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}} u_ {z} '} {1 + {\ frac {v} {c ^ {2}}} u_ {x} '}}, \ quad u_ {z}' = {\ frac {{\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}} u_ {z}} {1 - {\ frac {v} {c ^ {2}}} u_ {x}}},}

en el que las expresiones para las velocidades primarias se obtuvieron usando la receta estándar reemplazando $v$ por $- v$ e intercambiando coordenadas primarias y no primarias. Si las coordenadas se eligen de modo que todas las velocidades se encuentren en un plano $x - y$ (común) , entonces las velocidades se pueden expresar como

{\ Displaystyle u_ {x} = u \ cos \ theta, u_ {y} = u \ sin \ theta, \ quad u_ {x} '= u' \ cos \ theta ', \ quad u_ {y}' = u '\ sin \ theta',}

(ver coordenadas polares ) y se encuentra

Transformación de velocidad ( componentes polares planos )

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} u & = {\ frac {\ sqrt {u '^ {2} + v ^ {2} + 2vu' \ cos \ theta '- ({\ frac {vu' \ sin \ theta '} {c}}) ^ {2}}} {1 + {\ frac {v} {c ^ {2}}} u' \ cos \ theta '}}, \\\ tan \ theta & = {\ frac {u_ {y}} {u_ {x}}} = {\ frac {{\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}} u_ {y} ' } {u_ {x} '+ v}} = {\ frac {{\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}} u' \ sin \ theta '} {u '\ cos \ theta' + v}}. \ end {alineado}}}

Detalles para ti

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} u & = {\ sqrt {u_ {x} ^ {2} + u_ {y} ^ {2}}} = {\ frac {\ sqrt {(u_ {x} '+ v ) ^ {2} + (1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}) u_ {y} '^ {2}}} {1 + {\ frac {v} {c ^ {2}}} u_ {x} '}} = {\ frac {\ sqrt {u_ {x}' ^ {2} + v ^ {2} + 2u_ {x} 'v + (1 - {\ frac { v ^ {2}} {c ^ {2}}}) u_ {y} '^ {2}}} {1 + {\ frac {v} {c ^ {2}}} u_ {x}'}} \\ & = {\ frac {\ sqrt {u '^ {2} \ cos ^ {2} \ theta' + v ^ {2} + 2vu '\ cos \ theta' + u '^ {2} \ sin ^ {2} \ theta '- {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} u' ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta '}} {1 + {\ frac {v } {c ^ {2}}} u_ {x} '}} \\ & = {\ frac {\ sqrt {u' ^ {2} + v ^ {2} + 2vu '\ cos \ theta' - ({ \ frac {vu '\ sin \ theta'} {c}}) ^ {2}}} {1 + {\ frac {v} {c ^ {2}}} u '\ cos \ theta'}} \ end {alineado}}}

La prueba dada es muy formal. Hay otras pruebas más complicadas que pueden ser más esclarecedoras, como la que se muestra a continuación.

Una prueba usando

4

-vectores y matrices de transformación de Lorentz

Dado que una transformación relativista rota el espacio y el tiempo entre sí de la misma manera que las rotaciones geométricas en el plano rotan los ejes $x$ e $y$ , es conveniente usar las mismas unidades para el espacio y el tiempo; de lo contrario, aparece un factor de conversión de unidades en todas las fórmulas relativistas, siendo la velocidad de la luz . En un sistema donde las longitudes y los tiempos se miden en las mismas unidades, la velocidad de la luz es adimensional e igual a $1$ . Entonces, una velocidad se expresa como una fracción de la velocidad de la luz.

Para encontrar la ley de transformación relativista, es útil introducir las cuatro velocidades $V = (V 0, V 1, 0, 0)$ , que es el movimiento del barco alejándose de la costa, medido desde la costa, y $U ' = (U ' 0, U ' 1, U ' 2, U ' 3)$ que es el movimiento de la mosca alejándose del barco, medido desde el barco. La velocidad de cuatro se define como un vector de cuatro con una longitud relativista igual a $1$ , dirigido hacia el futuro y tangente a la línea del mundo del objeto en el espacio-tiempo. Aquí, $V 0$ corresponde al componente de tiempo y $V 1$ al componente $x$ de la velocidad del barco visto desde la orilla. Es conveniente tomar el eje $x$ para que sea la dirección del movimiento del barco alejándose de la costa, y el eje $y$ para que el plano $x - y$ sea el plano atravesado por el movimiento del barco y la mosca. Esto da como resultado que varios componentes de las velocidades sean cero: $V 2 = V 3 = U ' 3 = 0$

La velocidad ordinaria es la relación entre la tasa a la que aumentan las coordenadas espaciales y la tasa a la que aumenta la coordenada temporal:

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {v} & = (v_ {1}, v_ {2}, v_ {3}) = (V_ {1} / V_ {0}, 0,0), \ \\ mathbf {u '} & = (u' _ {1}, u '_ {2}, u' _ {3}) = (U '_ {1} / U' _ {0}, U'_ {2} / U '_ {0}, 0) \ end {alineado}}}

Dado que la longitud relativista de $V$ es $1$ ,

{\ Displaystyle V_ {0} ^ {2} -V_ {1} ^ {2} = 1,}

asi que

{\ Displaystyle V_ {0} = 1 / {\ sqrt {1-v_ {1} ^ {2}}} \ = \ gamma, \ quad V_ {1} = v_ {1} / {\ sqrt {1-v_ {1} ^ {2}}} = v_ {1} \ gamma.}

La matriz de transformación de Lorentz que convierte las velocidades medidas en el marco del barco en el marco de la costa es la inversa de la transformación descrita en la página de transformación de Lorentz , por lo que los signos menos que aparecen allí deben invertirse aquí:

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ gamma & v_ {1} \ gamma & 0 & 0 \\ v_ {1} \ gamma & \ gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}}

Esta matriz rota el vector puro del eje del tiempo $(1, 0, 0, 0)$ a $(V 0, V 1, 0, 0)$ , y todas sus columnas son relativísticamente ortogonales entre sí, por lo que define una transformación de Lorentz.

Si una mosca se mueve con cuatro velocidades $U '$ en el marco del barco, y se impulsa multiplicando por la matriz anterior, la nueva cuatro velocidades en el marco de la costa es $U = (U 0, U 1, U 2, U 3)$ ,

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} U_ {0} & = V_ {0} U '_ {0} + V_ {1} U' _ {1}, \\ U_ {1} & = V_ {1} U '_ {0} + V_ {0} U' _ {1}, \\ U_ {2} & = U '_ {2}, \\ U_ {3} & = U' _ {3}. \ End { alineado}}}

Dividiendo por la componente de tiempo $T 0$ y sustituyendo para los componentes de los cuatro vectores $U '$ y $V$ en términos de los componentes de los tres vectores $u'$ y $v$ da la ley de composición relativista como

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} u_ {1} & = {v_ {1} + u '_ {1} \ over 1 + v_ {1} u' _ {1}}, \\ u_ {2} & = {u '_ {2} \ over (1 + v_ {1} u' _ {1})} {1 \ over V_ {0}} = {u '_ {2} \ over 1 + v_ {1} u '_ {1}} {\ sqrt {1-v_ {1} ^ {2}}}, \\ u_ {3} & = 0 \ end {alineado}}}

La forma de la ley de composición relativista puede entenderse como un efecto del fracaso de la simultaneidad a distancia. Para la componente paralela, la dilatación del tiempo disminuye la velocidad, la contracción de la longitud la aumenta y los dos efectos se anulan. El fracaso de la simultaneidad significa que la mosca está cambiando segmentos de simultaneidad como la proyección de $u '$ sobre $v$ . Dado que este efecto se debe completamente al corte del tiempo, el mismo factor multiplica la componente perpendicular, pero para la componente perpendicular no hay contracción de longitud, por lo que la dilatación del tiempo se multiplica por un factor de $1 ⁄ V 0 = \sqrt (1 - v 12)$ .

Configuración general

Descomposición de 3 velocidades

u

en componentes paralelas y perpendiculares, y cálculo de las componentes. El procedimiento para

u'

es idéntico.

A partir de la expresión en coordenadas para $v$ paralelo al eje $x$ , las expresiones para los componentes perpendiculares y paralelos se pueden convertir en forma vectorial de la siguiente manera, un truco que también funciona para transformaciones de Lorentz de otras cantidades físicas 3d originalmente en configuración estándar establecida . Introduzca el vector de velocidad $u$ en el marco no cebado y $u'$ en el marco cebado, y divídalos en componentes paralelos (∥) y perpendiculares (⊥) al vector de velocidad relativa $v$ (ver cuadro oculto a continuación) así

{\ Displaystyle \ mathbf {u} = \ mathbf {u} _ {\ paralelo} + \ mathbf {u} _ {\ perp}, \ quad \ mathbf {u} '= \ mathbf {u}' _ {\ paralelo } + \ mathbf {u} '_ {\ perp},}

luego, con los vectores base unitarios cartesianos habituales $e x, e y, e z$ , establezca la velocidad en el marco no cebado para que sea

{\ Displaystyle \ mathbf {u} _ {\ paralelo} = u_ {x} \ mathbf {e} _ {x}, \ quad \ mathbf {u} _ {\ perp} = u_ {y} \ mathbf {e} _ {y} + u_ {z} \ mathbf {e} _ {z}, \ quad \ mathbf {v} = v \ mathbf {e} _ {x},}

que da, utilizando los resultados para la configuración estándar,

{\ Displaystyle \ mathbf {u} _ {\ paralelo} = {\ frac {\ mathbf {u} _ {\ paralelo} '+ \ mathbf {v}} {1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} _ {\ paralelo} '} {c ^ {2}}}}}, \ quad \ mathbf {u} _ {\ perp} = {\ frac {{\ sqrt {1 - {\ frac { v ^ {2}} {c ^ {2}}}}} \ mathbf {u} _ {\ perp} '} {1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} _ {\ paralelo} '} {c ^ {2}}}}}.}

donde · es el producto escalar . Dado que estas son ecuaciones vectoriales, todavía tienen la misma forma para $v$ en cualquier dirección. La única diferencia con las expresiones de coordenadas es que las expresiones anteriores se refieren a vectores , no a componentes.

Se obtiene

{\ Displaystyle \ mathbf {u} = \ mathbf {u} _ {\ paralelo} + \ mathbf {u} _ {\ perp} = {\ frac {1} {1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {c ^ {2}}}}} \ left [\ alpha _ {v} \ mathbf {u}' + \ mathbf {v} + (1- \ alpha _ {v}) {\ frac {(\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} ')} {v ^ {2}}} \ mathbf {v} \ right] \ equiv \ mathbf {v} \ oplus \ mathbf {u} ',}

donde $α v = 1 / γ v$ es el recíproco del factor de Lorentz . El orden de los operandos en la definición se elige para que coincida con el de la configuración estándar de la que se deriva la fórmula.

El álgebra

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {\ mathbf {u} '_ {\ paralelo} + \ mathbf {v}} {1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {c ^ {2}}}}} + {\ frac {\ alpha _ {v} \ mathbf {u}' _ {\ perp}} {1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {c ^ {2}}}}} & = {\ frac {\ mathbf {v} + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u}'} {v ^ { 2}}} \ mathbf {v}} {1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {c ^ {2}}}}} + {\ frac {\ alpha _ { v} \ mathbf {u} '- \ alpha _ {v} {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u}'} {v ^ {2}}} \ mathbf {v}} {1+ {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {c ^ {2}}}}} \\ & = {\ frac {1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {v ^ {2}}} (1- \ alpha _ {v})} {1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u}'} {c ^ { 2}}}}} \ mathbf {v} + \ alpha _ {v} {\ frac {1} {1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {c ^ {2 }}}}} \ mathbf {u} '\\ & = {\ frac {1} {1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u}'} {c ^ {2}}} }} \ mathbf {v} + \ alpha _ {v} {\ frac {1} {1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {c ^ {2}}}} } \ mathbf {u} '+ {\ frac {1} {1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u}'} {c ^ {2}}}}} {\ frac {\ matematicas f {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {v ^ {2}}} (1- \ alpha _ {v}) \ mathbf {v} \\ & = {\ frac {1} {1+ { \ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {c ^ {2}}}}} \ mathbf {v} + \ alpha _ {v} {\ frac {1} {1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {c ^ {2}}}}} \ mathbf {u}' + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {1} {1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {c ^ {2}}}}} {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {v ^ {2} / c ^ {2}}} (1- \ alpha _ {v}) \ mathbf {v} \\ & = {\ frac {1} {1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {c ^ {2}}}}} \ mathbf {v} + \ alpha _ {v} {\ frac {1} {1 + {\ frac {\ mathbf { v} \ cdot \ mathbf {u} '} {c ^ {2}}}}} \ mathbf {u}' + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {1} {1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {c ^ {2}}}}} {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u}'} {(1 - \ alpha _ {v}) (1+ \ alpha _ {v})}} (1- \ alpha _ {v}) \ mathbf {v} \\ & = {\ frac {1} {1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {c ^ {2}}}}} \ left [\ alpha _ {v} \ mathbf {u}' + \ mathbf {v} + (1 - \ alpha _ {v}) {\ frac {(\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} ')} {v ^ {2}}} \ mathbf {v} \ right]. \ end {alineado} }}

Descomposición en componentes paralelos y perpendiculares en términos de

V

Es necesario encontrar la componente paralela o la perpendicular de cada vector, ya que la otra componente se eliminará mediante la sustitución de los vectores completos.

La componente paralela de $u'$ se puede encontrar proyectando el vector completo en la dirección del movimiento relativo

{\ Displaystyle \ mathbf {u} '_ {\ paralelo} = {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u}'} {v ^ {2}}} \ mathbf {v},}

y la componente perpendicular de $u ''$ se puede encontrar mediante las propiedades geométricas del producto cruzado (ver figura arriba a la derecha),

{\ Displaystyle \ mathbf {u} '_ {\ perp} = - {\ frac {\ mathbf {v} \ times (\ mathbf {v} \ times \ mathbf {u}')} {v ^ {2}} }.}

En cada caso, $v / v$ es un vector unitario en la dirección del movimiento relativo.

Las expresiones para $u ||$ y $u ⊥$ se pueden encontrar de la misma manera. Sustituyendo el componente paralelo en

{\ Displaystyle \ mathbf {u} = {\ frac {\ mathbf {u} _ {\ paralelo} '+ \ mathbf {v}} {1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} _ {\ paralelo} '} {c ^ {2}}}}} + {\ frac {{\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}} (\ mathbf {u} - \ mathbf {u} _ {\ paralelo} ')} {1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} _ {\ paralelo}'} {c ^ {2} }}}},}

da como resultado la ecuación anterior.

Usando una identidad en y , ${\ Displaystyle \ alpha _ {v}}$ ${\ Displaystyle \ gamma _ {v}}$

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {v} \ oplus \ mathbf {u} '\ equiv \ mathbf {u} & = {\ frac {1} {1 + {\ frac {\ mathbf {u}' \ cdot \ mathbf {v}} {c ^ {2}}}}} \ left [\ mathbf {v} + {\ frac {\ mathbf {u} '} {\ gamma _ {v}}} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ gamma _ {v}} {1+ \ gamma _ {v}}} (\ mathbf {u} '\ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {v} \ right] \\ & = {\ frac {1} {1 + {\ frac {\ mathbf {u} '\ cdot \ mathbf {v}} {c ^ {2}}}}} \ left [\ mathbf {v} + \ mathbf {u} '+ {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ gamma _ {v}} {1+ \ gamma _ {v}}} \ mathbf {v} \ times (\ mathbf {v} \ times \ mathbf {u} ') \ right], \ end {alineado}}}

y en la dirección hacia adelante (v positivo, S → S ')

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {v} \ oplus \ mathbf {u} \ equiv \ mathbf {u} '& = {\ frac {1} {1 - {\ frac {\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v}} {c ^ {2}}}}} \ left [{\ frac {\ mathbf {u}} {\ gamma _ {v}}} - \ mathbf {v} + {\ frac { 1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ gamma _ {v}} {1+ \ gamma _ {v}}} (\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {v } \ right] \\ & = {\ frac {1} {1 - {\ frac {\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v}} {c ^ {2}}}}} \ left [\ mathbf { u} - \ mathbf {v} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ gamma _ {v}} {1+ \ gamma _ {v}}} \ mathbf {v} \ times (\ mathbf {v} \ times \ mathbf {u}) \ right] \ end {alineado}}}

donde la última expresión es por la fórmula de análisis vectorial estándar $v \times (v \times u) = (v \cdot u) v - (v \cdot v) u$ . La primera expresión se extiende a cualquier número de dimensiones espaciales, pero el producto cruzado se define solo en tres dimensiones. Los objetos $A, B, C$ con $B$ con velocidad $v$ relativa a $A$ y $C$ con velocidad $u$ relativa a $A$ pueden ser cualquier cosa. En particular, pueden ser tres fotogramas, o podrían ser el laboratorio, una partícula en descomposición y uno de los productos de descomposición de la partícula en descomposición.

Propiedades

La suma relativista de 3 velocidades no es lineal

{\ Displaystyle (\ lambda \ mathbf {v}) \ oplus (\ mu \ mathbf {u}) \ neq \ lambda \ mu (\ mathbf {v} \ oplus \ mathbf {u}),}

para cualquier número real $λ$ y $μ$ , aunque es cierto que

{\ Displaystyle (- \ mathbf {v}) \ oplus (- \ mathbf {u}) = - (\ mathbf {v} \ oplus \ mathbf {u}),}

Además, debido a los últimos términos, en general no es conmutativo

{\ Displaystyle \ mathbf {v} \ oplus \ mathbf {u} \ neq \ mathbf {u} \ oplus \ mathbf {v},}

ni asociativo

{\ Displaystyle \ mathbf {v} \ oplus (\ mathbf {u} \ oplus \ mathbf {w}) \ neq (\ mathbf {v} \ oplus \ mathbf {u}) \ oplus \ mathbf {w}.}

Merece especial mención que si $U$ y $V '$ se refieren a velocidades de fotogramas por pares paralelos (imprimado paralelo a imprimar y doblemente preparado paralela a imprimado), entonces, de acuerdo con el principio de velocidad reciprocidad de Einstein, las recuadro se mueve sin imprimación con velocidad $- T$ en relación con el marco cebado, y el marco cebado se mueve con velocidad $- v ' en$ relación con el marco doblemente cebado, por lo tanto $(- v ' \oplus - u)$ es la velocidad del marco sin cebar en relación con el marco doblemente cebado, y uno podría esperar tener $u \oplus v ' = - (- v ' \oplus - u)$ mediante la aplicación ingenua del principio de reciprocidad. Esto no es así, aunque las magnitudes son iguales. Los marcos no cebados y doblemente cebados no son paralelos, sino que se relacionan mediante una rotación. Esto está relacionado con el fenómeno de la precesión de Thomas y no se trata más aquí.

Las normas están dadas por

{\ Displaystyle | \ mathbf {u} | ^ {2} \ equiv | \ mathbf {v} \ oplus \ mathbf {u} '| ^ {2} = {\ frac {1} {\ left (1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {c ^ {2}}} \ right) ^ {2}}} \ left [\ left (\ mathbf {v} + \ mathbf {u} '\ right) ^ {2} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ left (\ mathbf {v} \ times \ mathbf {u}' \ right) ^ {2} \ right] = | \ mathbf {u} '\ oplus \ mathbf {v} | ^ {2}.}

y

{\ Displaystyle | \ mathbf {u} '| ^ {2} \ equiv | \ mathbf {v} \ oplus \ mathbf {u} | ^ {2} = {\ frac {1} {\ left (1 - {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u}} {c ^ {2}}} \ right) ^ {2}}} \ left [\ left (\ mathbf {u} - \ mathbf {v} \ derecha) ^ {2} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ left (\ mathbf {v} \ times \ mathbf {u} \ right) ^ {2} \ right] = | \ mathbf {u} \ oplus \ mathbf {v} | ^ {2}.}

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{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ left (1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {c ^ {2}}} \ right) ^ {2} | \ mathbf {v} \ oplus \ mathbf {u} '| ^ {2} & = \ left [\ mathbf {v} + \ mathbf {u}' + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ gamma _ {v}} {1+ \ gamma _ {v}}} \ mathbf {v} \ times (\ mathbf {v} \ times \ mathbf {u} ') \ right] ^ {2} \ \ & = (\ mathbf {v} + \ mathbf {u} ') ^ {2} +2 {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ gamma _ {v}} {\ gamma _ {v} +1}} \ left [(\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} ') ^ {2} - (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) (\ mathbf { u} '\ cdot \ mathbf {u}') \ right] + {\ frac {1} {c ^ {4}}} \ left ({\ frac {\ gamma _ {v}} {\ gamma _ {v } +1}} \ right) ^ {2} \ left [(\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) ^ {2} (\ mathbf {u} '\ cdot \ mathbf {u}') - (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} ') ^ {2} (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) \ right] \\ & = (\ mathbf {v} + \ mathbf { u} ') ^ {2} +2 {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ gamma _ {v}} {\ gamma _ {v} +1}} \ left [( \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} ') ^ {2} - (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) (\ mathbf {u}' \ cdot \ mathbf {u} ') \ derecha] + {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {4}}} \ izquierda ({\ frac {\ gamma _ {v}} {\ gamma _ {v} +1}} \ ri ght) ^ {2} \ left [(\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) (\ mathbf {u} '\ cdot \ mathbf {u}') - (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} ') ^ {2} \ right] \\ & = (\ mathbf {v} + \ mathbf {u}') ^ {2} +2 {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ gamma _ {v}} {\ gamma _ {v} +1}} \ left [(\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} ') ^ {2} - (\ mathbf {v } \ cdot \ mathbf {v}) (\ mathbf {u} '\ cdot \ mathbf {u}') \ right] + {\ frac {(1- \ alpha _ {v}) (1+ \ alpha _ { v})} {c ^ {2}}} \ left ({\ frac {\ gamma _ {v}} {\ gamma _ {v} +1}} \ right) ^ {2} \ left [(\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) (\ mathbf {u} '\ cdot \ mathbf {u}') - (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} ') ^ {2} \ right] \\ & = (\ mathbf {v} + \ mathbf {u} ') ^ {2} +2 {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ gamma _ {v}} { \ gamma _ {v} +1}} \ left [(\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} ') ^ {2} - (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) (\ mathbf {u} '\ cdot \ mathbf {u}') \ right] + {\ frac {(\ gamma _ {v} -1)} {c ^ {2} (\ gamma _ {v} +1)}} \ left [(\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) (\ mathbf {u} '\ cdot \ mathbf {u}') - (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} ') ^ {2} \ right] \\ & = (\ mathbf {v} + \ mathbf {u} ') ^ {2} +2 {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ gamma _ {v }} {\ gamma _ {v} +1}} \ left [(\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} ') ^ {2} - (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) (\ mathbf {u} '\ cdot \ mathbf {u}') \ right] + {\ frac {(1- \ gamma _ {v})} {c ^ {2} (\ gamma _ {v} +1 )}} \ left [(\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} ') ^ {2} - (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) (\ mathbf {u}' \ cdot \ mathbf {u} ') \ right] \\ & = (\ mathbf {v} + \ mathbf {u}') ^ {2} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac { \ gamma _ {v} +1} {\ gamma _ {v} +1}} \ left [(\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} ') ^ {2} - (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) (\ mathbf {u} '\ cdot \ mathbf {u}') \ right] \\ & = (\ mathbf {v} + \ mathbf {u} ') ^ {2} - { \ frac {1} {c ^ {2}}} | \ mathbf {v} \ times \ mathbf {u} '| ^ {2} \ end {alineado}}}

Fórmula inversa encuentra utilizando el procedimiento estándar de intercambio de $v$ para $-v$ y $u$ para $u '$ .

Está claro que la no conmutatividad se manifiesta como una rotación adicional del marco de coordenadas cuando hay dos aumentos involucrados, ya que la norma al cuadrado es la misma para ambos órdenes de aumentos.

Los factores gamma para las velocidades combinadas se calculan como

{\ Displaystyle \ gamma _ {u} = \ gamma _ {\ mathbf {v} \ oplus \ mathbf {u} '} = \ left [1 - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {1} {(1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {c ^ {2}}}) ^ {2}}} \ left ((\ mathbf {v} + \ mathbf {u} ') ^ {2} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} (v ^ {2} u' ^ {2} - (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} ') ^ {2}) \ right) \ right] ^ {- {\ frac {1} {2}}} = \ gamma _ {v} \ gamma _ {u}' \ left (1+ { \ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {c ^ {2}}} \ right), \ quad \ quad \ gamma _ {u}' = \ gamma _ {v} \ gamma _ {u} \ left (1 - {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u}} {c ^ {2}}} \ right)}

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{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ gamma _ {\ mathbf {v} \ oplus \ mathbf {u} '} & = \ left [{\ frac {c ^ {3} (1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {c ^ {2}}}) ^ {2}} {c ^ {2} (1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u } '} {c ^ {2}}}) ^ {2}}} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {(\ mathbf {v} + \ mathbf {u}' ) ^ {2} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} (v ^ {2} u '^ {2} - (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u}') ^ { 2})} {(1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {c ^ {2}}}) ^ {2}}} \ right] ^ {- {\ frac {1} {2}}} \\ & = \ left [{\ frac {c ^ {2} (1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {c ^ {2 }}}) ^ {2} - (\ mathbf {v} + \ mathbf {u} ') ^ {2} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} (v ^ {2} u' ^ {2} - (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} ') ^ {2})} {c ^ {2} (1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u } '} {c ^ {2}}}) ^ {2}}} \ right] ^ {- {\ frac {1} {2}}} \\ & = \ left [{\ frac {c ^ {2 } (1 + 2 {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {c ^ {2}}} + {\ frac {(\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u}' ) ^ {2}} {c ^ {4}}}) - v ^ {2} -u '^ {2} -2 (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u}') + {\ frac { 1} {c ^ {2}}} (v ^ {2} u '^ {2} - (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u}') ^ {2})} {c ^ {2} (1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {c ^ {2}}}) ^ {2}}} \ right] ^ {- {\ frac {1} {2}}} \\ & = \ left [{\ frac {1 + 2 {\ frac { \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {c ^ {2}}} + {\ frac {(\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u}') ^ {2}} {c ^ {4}}} - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} - {\ frac {u '^ {2}} {c ^ {2}}} - {\ frac {2 } {c ^ {2}}} (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} ') + {\ frac {1} {c ^ {4}}} (v ^ {2} u' ^ {2 } - (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} ') ^ {2})} {(1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u}'} {c ^ {2 }}}) ^ {2}}} \ right] ^ {- {\ frac {1} {2}}} \\ & = \ left [{\ frac {1 + {\ frac {(\ mathbf {v}) \ cdot \ mathbf {u} ') ^ {2}} {c ^ {4}}} - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} - {\ frac {u' ^ { 2}} {c ^ {2}}} + {\ frac {1} {c ^ {4}}} (v ^ {2} u '^ {2} - (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf { u} ') ^ {2})} {(1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u}'} {c ^ {2}}}) ^ {2}}} \ right] ^ {- {\ frac {1} {2}}} \\ & = \ left [{\ frac {(1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}) (1- {\ frac {u '^ {2}} {c ^ {2}}})} {(1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u}'} {c ^ {2}} }) ^ {2}}} \ right] ^ {- {\ frac {1} {2}}} \\ & = \ left [{\ frac {1} {\ gamma _ {v} ^ {2} \ gamma _ {u} '^ {2} (1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u}'} {c ^ {2}}}) ^ {2}}} \ right] ^ {- {\ frac {1} {2}}} \\ & = \ gamma _ {v} \ gamma _ {u} '(1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u}'} {c ^ {2}}}) \ end {alineado}}}

Fórmula inversa encuentra utilizando el procedimiento estándar de intercambio de $v$ para $-v$ y $u$ para $u '$ .

Convenciones de notación

Las notaciones y convenciones para la adición de velocidad varían de un autor a otro. Pueden usarse diferentes símbolos para la operación, o para las velocidades involucradas, y los operandos pueden cambiarse para la misma expresión, o los símbolos pueden cambiarse para la misma velocidad. También se puede usar un símbolo completamente separado para la velocidad transformada, en lugar del número primo que se usa aquí. Dado que la suma de la velocidad no es conmutativa, no se pueden cambiar los operandos o símbolos sin cambiar el resultado.

Ejemplos de notación alternativa incluyen:

Sin operando específico

Landau y Lifshitz (2002) (usando unidades donde c = 1)

{\ Displaystyle | \ mathbf {v_ {rel}} | ^ {2} = {\ frac {1} {(1- \ mathbf {v_ {1}} \ cdot \ mathbf {v_ {2}}) ^ {2 }}} \ left [(\ mathbf {v_ {1}} - \ mathbf {v_ {2}}) ^ {2} - (\ mathbf {v_ {1}} \ times \ mathbf {v_ {2}}) ^ {2} \ right]}

Orden de operandos de izquierda a derecha

Mocanu (1992)

{\ Displaystyle \ mathbf {u} \ oplus \ mathbf {v} = {\ frac {1} {1 + {\ frac {\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v}} {c ^ {2}}} }} \ left [\ mathbf {v} + \ mathbf {u} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ gamma _ {\ mathbf {u}}} {\ gamma _ {\ mathbf {u}} +1}} \ mathbf {u} \ times (\ mathbf {u} \ times \ mathbf {v}) \ right]}

Ungar (1988)

{\ Displaystyle \ mathbf {u} * \ mathbf {v} = {\ frac {1} {1 + {\ frac {\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v}} {c ^ {2}}}} } \ left [\ mathbf {v} + \ mathbf {u} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ gamma _ {\ mathbf {u}}} {\ gamma _ { \ mathbf {u}} +1}} \ mathbf {u} \ times (\ mathbf {u} \ times \ mathbf {v}) \ right]}

Orden de operandos de derecha a izquierda

Sexl y Urbantke (2001)

{\ Displaystyle \ mathbf {w} \ circ \ mathbf {v} = {\ frac {1} {1 + {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {w}} {c ^ {2}}} }} \ left [{\ frac {\ mathbf {w}} {\ gamma _ {\ mathbf {v}}}} + \ mathbf {v} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} { \ frac {\ gamma _ {\ mathbf {v}}} {\ gamma _ {\ mathbf {v}} +1}} (\ mathbf {w} \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {v} \ right ]}

Aplicaciones

A continuación se detallan algunas aplicaciones clásicas de las fórmulas de adición de velocidad, al desplazamiento Doppler, a la aberración de la luz y al arrastre de la luz en el agua en movimiento, que producen expresiones relativísticamente válidas para estos fenómenos. También es posible utilizar la fórmula de adición de velocidad, asumiendo la conservación de la cantidad de movimiento (apelando a la invariancia rotacional ordinaria), la forma correcta de la parte $3$ -vectorial del cuatro-vector de la cantidad de movimiento , sin recurrir al electromagnetismo, o no conocido a priori para ser versiones válidas y relativistas del formalismo lagrangiano . Esto implica que el experimentalista rebote en bolas de billar relativistas entre sí. Esto no se detalla aquí, pero ver como referencia la versión de Wikisource de Lewis y Tolman (1909) (fuente primaria) y Sard (1970 , Sección 3.2).

Experimento de Fizeau

Hippolyte Fizeau (1819-1896), un físico francés, fue en 1851 el primero en medir la velocidad de la luz en el agua que fluye.

Cuando la luz se propaga en un medio, su velocidad se reduce, en el marco de reposo del medio, a $c m = c ⁄ n m$ , donde $n m$ es el índice de refracción del medio $m$ . La velocidad de la luz en un medio que se mueve uniformemente con velocidad $V$ en la dirección $x$ positiva , medida en el marco del laboratorio, viene dada directamente por las fórmulas de adición de velocidades. Para la dirección de avance (configuración estándar, índice de caída $m$ en $n$ ) se obtiene,

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} c_ {m} & = {\ frac {V + c_ {m} '} {1 + {\ frac {Vc_ {m}'} {c ^ {2}}}}} = {\ frac {V + {\ frac {c} {n}}} {1 + {\ frac {Vc} {nc ^ {2}}}}} = {\ frac {c} {n}} {\ frac {1 + {\ frac {nV} {c}}} {1 + {\ frac {V} {nc}}}} \\ & = {\ frac {c} {n}} (1 + {\ frac { nV} {c}}) {\ frac {1} {1 + {\ frac {V} {nc}}}} = ({\ frac {c} {n}} + V) \ left (1 - {\ frac {V} {nc}} + \ left ({\ frac {V} {nc}} \ right) ^ {2} - \ cdots \ right). \ end {alineado}}}

Recopilar las contribuciones más importantes de forma explícita,

{\ Displaystyle c_ {m} = {\ frac {c} {n}} + V (1 - {\ frac {1} {n ^ {2}}} - {\ frac {V} {nc}} + \ cdots).}

Fizeau encontró los tres primeros términos. El resultado clásico son los dos primeros términos.

Aberración de la luz

Otra aplicación básica es considerar la desviación de la luz, es decir, el cambio de su dirección, al transformarse a un nuevo marco de referencia con ejes paralelos, llamado aberración de la luz . En este caso, $v' = v = c$ , y la inserción en la fórmula para $tan θ$ produce

{\ Displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {{\ sqrt {1 - {\ frac {V ^ {2}} {c ^ {2}}}}} c \ sin \ theta '} {c \ cos \ theta '+ V}} = {\ frac {{\ sqrt {1 - {\ frac {V ^ {2}} {c ^ {2}}}}} \ sin \ theta'} {\ cos \ theta '+ {\ frac {V} {c}}}}.}

Para este caso, también se puede calcular $sen θ$ y $cos θ a$ partir de las fórmulas estándar,

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ sin \ theta & = {\ frac {{\ sqrt {1 - {\ frac {V ^ {2}} {c ^ {2}}}}} \ sin \ theta ' } {1 + {\ frac {V} {c}} \ cos \ theta '}}, \ end {alineado}}}

Trigonometría

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {v_ {y}} {v}} & = {\ frac {\ frac {{\ sqrt {1 - {\ frac {V ^ {2}} {c ^ {2}}}}} v_ {y} '} {1 + {\ frac {V} {c ^ {2}}} v_ {x}'}} {\ frac {\ sqrt {v '^ {2} + V ^ {2} + 2Vv '\ cos \ theta' - ({\ frac {Vv '\ sin \ theta'} {c}}) ^ {2}}} {1 + {\ frac {V} {c ^ {2}}} v '\ cos \ theta'}}} \\ & = {\ frac {c {\ sqrt {1 - {\ frac {V ^ {2}} {c ^ {2}}}} } \ sin \ theta '} {\ sqrt {c ^ {2} + V ^ {2} + 2Vc \ cos \ theta' -V ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta '}}} \\ & = {\ frac {c {\ sqrt {1 - {\ frac {V ^ {2}} {c ^ {2}}}}} \ sin \ theta '} {\ sqrt {c ^ {2} + V ^ {2} + 2Vc \ cos \ theta '-V ^ {2} (1- \ cos ^ {2} \ theta')}}} = {\ frac {c {\ sqrt {1 - {\ frac {V ^ {2}} {c ^ {2}}}}} \ sin \ theta '} {\ sqrt {c ^ {2} + 2Vc \ cos \ theta' + V ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta '}}} \\ & = {\ frac {{\ sqrt {1 - {\ frac {V ^ {2}} {c ^ {2}}}}} \ sin \ theta'} {1 + {\ frac {V} {c}} \ cos \ theta '}}, \ end {alineado}}}

{\ Displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {{\ frac {V} {c}} + \ cos \ theta '} {1 + {\ frac {V} {c}} \ cos \ theta'}}, }

James Bradley (1693-1762) FRS , proporcionó una explicación de la aberración de la luz correcta en el nivel clásico, en desacuerdo con las teorías posteriores que prevalecieron en el siglo XIX basadas en la existencia del éter .

las manipulaciones trigonométricas son esencialmente idénticas en el caso $cos$ a las manipulaciones en el caso $sin$ . Considere la diferencia

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ sin \ theta - \ sin \ theta '& = \ sin \ theta' \ left ({\ frac {\ sqrt {1 - {\ frac {V ^ {2}} {c ^ {2}}}}} {1 + {\ frac {V} {c}} \ cos \ theta '}} - 1 \ right) \\ & \ approx \ sin \ theta' \ left (1 - {\ frac {V} {c}} \ cos \ theta '-1 \ right) = - {\ frac {V} {c}} \ sin \ theta' \ cos \ theta ', \ end {alineado}}}

corregir por encargo $v ⁄ c$ . Emplear para hacer aproximaciones de ángulos pequeños una fórmula trigonométrica,

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ sin \ theta '- \ sin \ theta & = 2 \ sin {\ frac {1} {2}} (\ theta' - \ theta) \ cos {\ frac {1} {2}} (\ theta + \ theta ') \ approx (\ theta' - \ theta) \ cos \ theta ', \ end {alineado}}}

donde $cos.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} 1/2( θ + θ ′) ≈ cos θ ′, pecado1/2( θ - θ ′) ≈1/2( θ - θ ′)$ fueron utilizados.

Por lo tanto, la cantidad

{\ Displaystyle \ Delta \ theta \ equiv \ theta '- \ theta = {\ frac {V} {c}} \ sin \ theta',}

el ángulo de aberración clásico , se obtiene en el límite $V ⁄ c \to 0$ .

Desplazamiento Doppler relativista

Christian Doppler (1803-1853) fue un matemático y físico austríaco que descubrió que la frecuencia observada de una onda depende de la velocidad relativa de la fuente y del observador.

En este caso , los componentes de la velocidad se utilizarán en contraposición a la velocidad para una mayor generalización y para evitar quizás introducciones aparentemente ad hoc de signos negativos. Los signos negativos que aparecen aquí servirán en cambio para iluminar las características cuando se consideren velocidades inferiores a la de la luz.

Para las ondas de luz en el vacío, la dilatación del tiempo junto con una simple observación geométrica por sí sola es suficiente para calcular el desplazamiento Doppler en la configuración estándar (velocidad relativa colineal del emisor y del observador, así como de la onda de luz observada).

Todas las velocidades en lo que sigue son paralelas a la dirección $x$ positiva común , por lo que se eliminan los subíndices de los componentes de velocidad. En el cuadro de observadores, introduzca la observación geométrica

{\ Displaystyle \ lambda = -sT + VT = (- s + V) T}

como la distancia espacial, o longitud de onda , entre dos pulsos (crestas de onda), donde $T$ es el tiempo transcurrido entre la emisión de dos pulsos. El tiempo transcurrido entre el paso de dos pulsos en el mismo punto en el espacio es el período de tiempo $τ$ , y su inversa $ν = 1 ⁄ τ$ es la frecuencia observada (temporal) . Las cantidades correspondientes en el marco de los emisores están dotadas de números primos.

Para ondas de luz

{\ Displaystyle s = s '= - c,}

y la frecuencia observada es

{\ Displaystyle \ nu = {- s \ over \ lambda} = {- s \ over (Vs) T} = {c \ over (V + c) \ gamma _ {_ {V}} T '} = \ nu '{\ frac {c {\ sqrt {1- {V ^ {2} \ over c ^ {2}}}}} {c + V}} = \ nu' {\ sqrt {\ frac {1- \ beta } {1+ \ beta}}} \ ,.}

donde $T = γ V T'$ es la fórmula estándar de dilatación del tiempo .

Supongamos, en cambio, que la onda no está compuesta por ondas de luz con velocidad $c$ , sino que, para una fácil visualización, balas disparadas desde una ametralladora relativista, con velocidad $s'$ en el marco del emisor. Entonces, en general, la observación geométrica es precisamente la misma . Pero ahora, $s' \neq s$ , y $s$ viene dado por la suma de velocidades,

{\ Displaystyle s = {\ frac {s '+ V} {1+ {s'V \ over c ^ {2}}}}.}

El cálculo es entonces esencialmente el mismo, excepto que aquí es más fácil realizarlo al revés con $τ = 1 ⁄ ν en$ lugar de $ν$ . Uno encuentra

${\ Displaystyle \ tau = {1 \ over \ gamma _ {_ {V}} \ nu '} \ left ({\ frac {1} {1+ {V \ over s'}}} \ right), \ quad \ nu = \ gamma _ {_ {V}} \ nu '\ left (1+ {V \ over s'} \ right)}$

Detalles en derivación

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} {L \ over -s} & = {\ frac {\ left ({\ frac {-s'-V} {1+ {s'V \ over c ^ {2}} ") }} + V \ right) T} {\ frac {-s'-V} {1+ {s'V \ over c ^ {2}}}}} \\ & = {\ gamma _ {_ {V} } \ over \ nu '} {\ frac {-s'-V + V (1+ {s'V \ over c ^ {2}})} {- s'-V}} \\ & = {\ gamma _ {_ {V}} \ over \ nu '} \ left ({\ frac {s' \ left (1- {V ^ {2} \ over c ^ {2}} \ right)} {s '+ V }} \ right) \\ & = {\ gamma _ {_ {V}} \ over \ nu '} \ left ({\ frac {s' \ gamma ^ {- 2}} {s '+ V}} \ derecha) \\ & = {1 \ over \ gamma _ {_ {V}} \ nu '} \ left ({\ frac {1} {1+ {V \ over s'}}} \ right). \\ \ end {alineado}}}

Observe que en el caso típico, la $s'$ que entra es negativa . Sin embargo, la fórmula tiene validez general. Cuando $s' = - c$ , la fórmula se reduce a la fórmula calculada directamente para las ondas de luz de arriba,

{\ Displaystyle \ nu = \ nu '\ gamma _ {_ {V}} (1- \ beta) = \ nu' {\ frac {1- \ beta} {{\ sqrt {1- \ beta}} {\ sqrt {1+ \ beta}}}} = \ nu '{\ sqrt {\ frac {1- \ beta} {1+ \ beta}}} \ ,.}

Si el emisor no dispara balas en un espacio vacío, sino que emite ondas en un medio, entonces la fórmula aún se aplica , pero ahora, puede ser necesario calcular primero $s' a$ partir de la velocidad del emisor en relación con el medio.

Volviendo al caso de un emisor de luz, en el caso de que el observador y el emisor no sean colineales, el resultado tiene poca modificación,

{\ Displaystyle \ nu = \ gamma _ {_ {V}} \ nu '\ left (1 + {\ frac {V} {s'}} \ cos \ theta \ right),}

donde $θ$ es el ángulo entre el emisor de luz y el observador. Esto se reduce al resultado anterior para el movimiento colineal cuando $θ = 0$ , pero para el movimiento transversal correspondiente a $θ = π / 2$ , la frecuencia se desplaza por el factor de Lorentz . Esto no sucede en el efecto Doppler óptico clásico.

Geometría hiperbólica

Las funciones sinh , cosh y tanh . La función tanh relaciona la rapidez

-\infty < ς <+ \infty

con la velocidad relativista

-1 < β <+1

.

Asociada a la velocidad relativista de un objeto hay una cantidad cuya norma se llama rapidez . Estos están relacionados a través de ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ beta}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ zeta}}}$

{\ Displaystyle {\ mathfrak {so}} (3,1) \ supset \ mathrm {span} \ {K_ {1}, K_ {2}, K_ {3} \} \ approx \ mathbb {R} ^ {3 } \ ni {\ boldsymbol {\ zeta}} = {\ boldsymbol {\ hat {\ beta}}} \ tanh ^ {- 1} \ beta, \ quad {\ boldsymbol {\ beta}} \ in \ mathbb {B } ^ {3},}

donde se piensa que el vector es coordenadas cartesianas en un subespacio tridimensional del álgebra de Lie del grupo de Lorentz atravesado por los generadores impulsores . Este espacio, llámelo espacio de rapidez , es isomorfo a $ℝ$ $3$ como un espacio vectorial, y se asigna a la bola unitaria abierta , espacio de velocidad , a través de la relación anterior. La ley de adición en forma colineal coincide con la ley de adición de tangentes hiperbólicas ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ zeta}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {so}} (3,1)}$ ${\ Displaystyle K_ {1}, K_ {2}, K_ {3}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {B} ^ {3}}$

{\ Displaystyle \ tanh (\ zeta _ {v} + \ zeta _ {u '}) = {\ tanh \ zeta _ {v} + \ tanh \ zeta _ {u'} \ over 1+ \ tanh \ zeta _ {v} \ tanh \ zeta _ {u '}}}

con

{\ Displaystyle {v \ over c} = \ tanh \ zeta _ {v} \, \ quad {{u '} \ over c} = \ tanh \ zeta _ {u'} \, \ quad \, {u \ sobre c} = \ tanh (\ zeta _ {v} + \ zeta _ {u '}).}

El elemento de línea en el espacio de velocidad se sigue de la expresión para la velocidad relativa relativista en cualquier marco, ${\ Displaystyle \ mathbb {B} ^ {3}}$

{\ Displaystyle v_ {r} = {\ sqrt {\ frac {(\ mathbf {v_ {1}} - \ mathbf {v_ {2}}) ^ {2} - (\ mathbf {v_ {1}} \ times \ mathbf {v_ {2}}) ^ {2}} {1- \ mathbf {v_ {1}} \ cdot \ mathbf {v_ {2}}}}},}

donde la velocidad de la luz se establece en la unidad de modo que y de acuerdo. Es esta expresión, y son las velocidades de dos objetos en cualquier marco dado. La cantidad es la velocidad de uno u otro objeto en relación con el otro objeto como se ve en el marco dado . La expresión es invariante de Lorentz, es decir, independiente de qué marco es el marco dado, pero la cantidad que calcula no lo es . Por ejemplo, si el marco dado es el resto del marco del objeto uno, entonces . ${\ Displaystyle v_ {i}}$ ${\ Displaystyle \ beta _ {i}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {1}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {2}}$ ${\ Displaystyle v_ {r}}$ ${\ Displaystyle v_ {r} = v_ {2}}$

El elemento de línea se encuentra poniendo o de manera equivalente , ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {2} = \ mathbf {v} _ {1} + d \ mathbf {v}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ beta}} _ {2} = {\ boldsymbol {\ beta}} _ {1} + d {\ boldsymbol {\ beta}}}$

{\ displaystyle dl _ {\ boldsymbol {\ beta}} ^ {2} = {\ frac {d {\ boldsymbol {\ beta}} ^ {2} - ({\ boldsymbol {\ beta}} \ times d {\ boldsymbol {\ beta}}) ^ {2}} {(1- \ beta ^ {2}) ^ {2}}} = {\ frac {d \ beta ^ {2}} {(1- \ beta ^ {2 }) ^ {2}}} + {\ frac {\ beta ^ {2}} {1- \ beta ^ {2}}} (d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta d \ varphi ^ {2}),}

con $θ$ y $φ$ las coordenadas de los ángulos esféricos habituales para tomadas en la dirección $z$ . Ahora introduce $ζ a$ través de ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ beta}}}$

{\ Displaystyle \ zeta = | {\ boldsymbol {\ zeta}} | = \ tanh ^ {- 1} \ beta,}

y el elemento de línea en el espacio de rapidez se convierte en ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

{\ displaystyle dl _ {\ boldsymbol {\ zeta}} ^ {2} = d \ zeta ^ {2} + \ sinh ^ {2} \ zeta (d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta d \ varphi ^ {2}).}

Colisiones de partículas relativistas

En los experimentos de dispersión, el objetivo principal es medir la sección transversal de dispersión invariante . Esto entra en la fórmula para la dispersión de dos tipos de partículas en un estado final que se supone que tiene dos o más partículas, ${\ Displaystyle f}$

{\ displaystyle dN_ {f} = R_ {f} dVdt = \ sigma FdVdt \ quad ({\ text {dado como}} \ sigma n_ {1} n_ {2} v_ {r} dVdt {\ text {en la mayoría de los libros de texto }}),}

donde

${\ displaystyle dVdt}$ es el volumen del espacio-tiempo. Es un invariante bajo las transformaciones de Lorentz.
${\ Displaystyle dN_ {f}}$ es el número total de reacciones que dan como resultado el estado final en volumen espacio-tiempo . Al ser un número, es invariante cuando se considera el mismo volumen espaciotemporal. ${\ Displaystyle f}$ ${\ displaystyle dVdt}$
${\ Displaystyle R_ {f} = F \ sigma}$ es el número de reacciones que dan como resultado el estado final por unidad de espacio-tiempo o velocidad de reacción . Esto es invariante. ${\ Displaystyle f}$
${\ Displaystyle F = n_ {1} n_ {2} v_ {r}}$ se llama flujo incidente . Se requiere que sea invariante, pero no en la configuración más general.
${\ Displaystyle \ sigma}$ es la sección transversal de dispersión. Se requiere que sea invariante.
${\ Displaystyle n_ {1}, n_ {2}}$ son las densidades de partículas en los haces incidentes. Estos no son invariantes como es evidente debido a la contracción de la longitud .
${\ Displaystyle v_ {r} = | \ mathbf {v} _ {2} - \ mathbf {v} _ {1} |}$ es la velocidad relativa de los dos haces incidentes. Esto no puede ser invariante ya que se requiere que sea así. ${\ Displaystyle F = n_ {1} n_ {2} v_ {r}}$

El objetivo es encontrar una expresión correcta para la velocidad relativa relativista y una expresión invariante para el flujo incidente. ${\ Displaystyle v_ {rel}}$

De manera no relativista, uno tiene velocidad relativa . Si el sistema en el que se miden las velocidades es el marco en reposo del tipo de partícula , se requiere que Estableciendo la velocidad de la luz , la expresión para se siga inmediatamente de la fórmula para la norma (segunda fórmula) en la configuración general como ${\ Displaystyle v_ {r} = | \ mathbf {v} _ {2} - \ mathbf {v} _ {1} |}$ ${\ Displaystyle 1}$ ${\ Displaystyle v_ {rel} = v_ {r} = | \ mathbf {v} _ {2} |.}$ ${\ Displaystyle c = 1}$ ${\ Displaystyle v_ {rel}}$

{\ Displaystyle v_ {rel} = {\ sqrt {\ frac {(\ mathbf {v_ {1}} - \ mathbf {v_ {2}}) ^ {2} - (\ mathbf {v_ {1}} \ times \ mathbf {v_ {2}}) ^ {2}} {1- \ mathbf {v_ {1}} \ cdot \ mathbf {v_ {2}}}}}.}

La fórmula se reduce en el límite clásico a lo que debería y da el resultado correcto en los fotogramas de reposo de las partículas. La velocidad relativa se da incorrectamente en la mayoría, quizás en todos los libros sobre física de partículas y teoría cuántica de campos. Esto es en su mayoría inofensivo, ya que si un tipo de partícula es estacionario o el movimiento relativo es colineal, entonces el resultado correcto se obtiene a partir de fórmulas incorrectas. La fórmula es invariante, pero no manifiestamente. Se puede reescribir en términos de cuatro velocidades como ${\ Displaystyle v_ {r} = | \ mathbf {v} _ {1} - \ mathbf {v} _ {2} |}$

{\ Displaystyle v_ {rel} = {\ frac {\ sqrt {(u_ {1} \ cdot u_ {2}) ^ {2} -1}} {u_ {1} \ cdot u_ {2}}}.}

La expresión correcta para el flujo, publicada por Christian Møller en 1945, está dada por

{\ Displaystyle F = n_ {1} n_ {1} {\ sqrt {(\ mathbf {v} _ {1} - \ mathbf {v} _ {2}) ^ {2} - (\ mathbf {v} _ {1} \ times \ mathbf {v} _ {2}) ^ {2}}} \ equiv n_ {1} n_ {2} {\ bar {v}}.}

Se observa que para velocidades colineales, . Para obtener una expresión manifiestamente invariante de Lorentz, se escribe con , donde está la densidad en el marco de reposo, para los flujos de partículas individuales y se llega a ${\ Displaystyle F = n_ {1} n_ {2} | \ mathbf {v} _ {2} - \ mathbf {v} _ {1} | = n_ {1} n_ {2} v_ {r}}$ ${\ Displaystyle J_ {i} = (n_ {i}, n_ {i} \ mathbf {v} _ {i})}$ ${\ Displaystyle n_ {i} = \ gamma _ {i} n_ {i} ^ {0}}$ ${\ Displaystyle n_ {i} ^ {0}}$

{\ Displaystyle F = (J_ {1} \ cdot J_ {2}) v_ {rel}.}

En la literatura de la cantidad , así como están ambos conoce como la velocidad relativa. En algunos casos (física estadística y literatura sobre materia oscura), se denomina velocidad de Møller , en cuyo caso significa velocidad relativa. La verdadera velocidad relativa es en cualquier caso . La discrepancia entre y es relevante, aunque en la mayoría de los casos las velocidades son colineales. En el LHC, el ángulo de cruce es pequeño, alrededor de 300 $μ$ rad, pero en el antiguo Anillo de Almacenamiento de Intersección en el CERN , era de unos 18 ^◦ . ${\ displaystyle {\ bar {v}}}$ ${\ Displaystyle v_ {r}}$ ${\ displaystyle {\ bar {v}}}$ ${\ Displaystyle v_ {r}}$ ${\ Displaystyle v_ {rel}}$ ${\ Displaystyle v_ {rel}}$ ${\ Displaystyle v_ {r}}$

Ver también

Observaciones

Notas

Referencias

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enlaces externos

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