Función algebraica - Algebraic function

En matemáticas , una función algebraica es una función que se puede definir como la raíz de una ecuación polinomial . Muy a menudo, las funciones algebraicas son expresiones algebraicas que usan un número finito de términos, que involucran solo las operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación, división y elevación a una potencia fraccionaria. Ejemplos de tales funciones son:

• ${\ Displaystyle f (x) = 1 / x}$
• ${\ Displaystyle f (x) = {\ sqrt {x}}}$
• ${\ Displaystyle f (x) = {\ frac {\ sqrt {1 + x ^ {3}}} {x ^ {3/7} - {\ sqrt {7}} x ^ {1/3}}}}$

Sin embargo, algunas funciones algebraicas no pueden expresarse mediante expresiones finitas (este es el teorema de Abel-Ruffini ). Este es el caso, por ejemplo, del radical Bring , que es la función definida implícitamente por

${\ Displaystyle f (x) ^ {5} + f (x) + x = 0}$.

En términos más precisos, una función algebraica de grado n en una variable x es una función que es continua en su dominio y satisface una ecuación polinomial${\ Displaystyle y = f (x),}$

${\ Displaystyle a_ {n} (x) y ^ {n} + a_ {n-1} (x) y ^ {n-1} + \ cdots + a_ {0} (x) = 0}$

donde los coeficientes a _i ( x ) son funciones polinómicas de x , con coeficientes enteros. Se puede demostrar que se obtiene la misma clase de funciones si se aceptan números algebraicos para los coeficientes de a _i ( x ) . Si aparecen números trascendentales en los coeficientes, la función es, en general, no algebraica, pero es algebraica sobre el campo generado por estos coeficientes.

El valor de una función algebraica en un número racional , y más generalmente, en un número algebraico es siempre un número algebraico. A veces, se consideran los coeficientes que son polinomios sobre un anillo R , y luego se habla de "funciones algebraicas sobre R ". ${\ Displaystyle a_ {i} (x)}$

Una función que no es algebraica se llama función trascendental , como es por ejemplo el caso de . Una composición de funciones trascendentales puede dar una función algebraica: . ${\ Displaystyle \ exp x, \ tan x, \ ln x, \ Gamma (x)}$${\ Displaystyle f (x) = \ cos \ arcsin x = {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}$

Como una ecuación polinomial de grado n tiene hasta n raíces (y exactamente n raíces sobre un campo algebraicamente cerrado , como los números complejos ), una ecuación polinomial no define implícitamente una sola función, sino hasta n funciones, a veces también llamadas ramas . Considere, por ejemplo, la ecuación del círculo unitario : Esto determina y , excepto solo hasta un signo general; en consecuencia, tiene dos ramas: ${\ Displaystyle y ^ {2} + x ^ {2} = 1. \,}$${\ Displaystyle y = \ pm {\ sqrt {1-x ^ {2}}}. \,}$

Una función algebraica en m variables se define de manera similar como una función que resuelve una ecuación polinómica en m  + 1 variables: ${\ Displaystyle y = f (x_ {1}, \ dots, x_ {m})}$

${\ Displaystyle p (y, x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {m}) = 0.}$

Normalmente se supone que p debería ser un polinomio irreducible . La existencia de una función algebraica está garantizada por el teorema de la función implícita .

Formalmente, una función algebraica en m variables sobre el campo K es un elemento del cierre algebraico del campo de funciones racionales K ( x ₁ , ...,  x _m ).

Funciones algebraicas en una variable

Intruducción y resumen general

La definición informal de una función algebraica proporciona una serie de pistas sobre sus propiedades. Para obtener una comprensión intuitiva, puede ser útil considerar funciones algebraicas como funciones que se pueden formar por las habituales operaciones algebraicas : Además , multiplicación , división , y teniendo un n º raíz . Esto es una simplificación excesiva; debido al teorema fundamental de la teoría de Galois , las funciones algebraicas no necesitan ser expresadas por radicales.

Primero, tenga en cuenta que cualquier función polinomial es una función algebraica, ya que es simplemente la solución y a la ecuación ${\ Displaystyle y = p (x)}$

${\ Displaystyle yp (x) = 0. \,}$

De manera más general, cualquier función racional es algebraica, siendo la solución a ${\ Displaystyle y = {\ frac {p (x)} {q (x)}}}$

${\ Displaystyle q (x) yp (x) = 0.}$

Además, la raíz n -ésima de cualquier polinomio es una función algebraica, resolviendo la ecuación ${\ textstyle y = {\ sqrt [{n}] {p (x)}}}$

${\ Displaystyle y ^ {n} -p (x) = 0.}$

Sorprendentemente, la función inversa de una función algebraica es una función algebraica. Por suponer que y es una solución a

${\ Displaystyle a_ {n} (x) y ^ {n} + \ cdots + a_ {0} (x) = 0,}$

para cada valor de x , entonces x también es una solución de esta ecuación para cada valor de y . De hecho, intercambiando los papeles de x y y y agrupando términos,

${\ Displaystyle b_ {m} (y) x ^ {m} + b_ {m-1} (y) x ^ {m-1} + \ cdots + b_ {0} (y) = 0.}$

Escribir x como función de y da la función inversa, también una función algebraica.

Sin embargo, no todas las funciones tienen una inversa. Por ejemplo, y  =  x ² no pasa la prueba de la línea horizontal : no es uno a uno . La inversa es la "función" algebraica . Otra forma de entender esto es que el conjunto de ramas de la ecuación polinomial que define nuestra función algebraica es la gráfica de una curva algebraica . ${\ Displaystyle x = \ pm {\ sqrt {y}}}$

El papel de los números complejos

Desde una perspectiva algebraica, los números complejos entran de forma bastante natural en el estudio de las funciones algebraicas. En primer lugar, según el teorema fundamental del álgebra , los números complejos son un campo algebraicamente cerrado . Por lo tanto , se garantiza que cualquier relación polinomial p ( y ,  x ) = 0 tiene al menos una solución (y en general un número de soluciones que no exceda el grado de p en y ) para y en cada punto x , siempre que permitamos que y suponga valores tanto complejos como reales . Por tanto, los problemas relacionados con el dominio de una función algebraica pueden minimizarse con seguridad.

Una gráfica de tres ramas de la función algebraica y , donde y ³  -  xy  + 1 = 0, sobre el dominio 3/2 ^2/3 < x <50.

Además, incluso si uno está finalmente interesado en funciones algebraicas reales, puede que no haya medios para expresar la función en términos de suma, multiplicación, división y raíz enésima sin recurrir a números complejos (ver casus irreducibilis ). Por ejemplo, considere la función algebraica determinada por la ecuación

${\ Displaystyle y ^ {3} -xy + 1 = 0. \,}$

Usando la fórmula cúbica , obtenemos

${\ Displaystyle y = - {\ frac {2x} {\ sqrt [{3}] {- 108 + 12 {\ sqrt {81-12x ^ {3}}}}}} + {\ frac {\ sqrt [{ 3}] {- 108 + 12 {\ sqrt {81-12x ^ {3}}}}} {6}}.}$

Porque la raíz cuadrada es real y, por lo tanto, la raíz cúbica está bien definida, proporcionando la raíz real única. Por otro lado, para la raíz cuadrada no es real, y hay que elegir, para la raíz cuadrada, una raíz cuadrada no real. Por lo tanto, la raíz cúbica debe elegirse entre tres números no reales. Si se realizan las mismas elecciones en los dos términos de la fórmula, las tres opciones para la raíz cúbica proporcionan las tres ramas que se muestran en la imagen adjunta. ${\ Displaystyle x \ leq {\ frac {3} {\ sqrt [{3}] {4}}},}$${\ Displaystyle x> {\ frac {3} {\ sqrt [{3}] {4}}},}$

Se puede probar que no hay forma de expresar esta función en términos de raíces enésimas usando solo números reales, aunque la función resultante tenga un valor real en el dominio de la gráfica que se muestra.

En un nivel teórico más significativo, el uso de números complejos permite usar las poderosas técnicas de análisis complejo para discutir funciones algebraicas. En particular, el principio del argumento puede usarse para mostrar que cualquier función algebraica es de hecho una función analítica , al menos en el sentido de múltiples valores.

Formalmente, sea p ( x ,  y ) un polinomio complejo en las variables complejas x e y . Suponga que x ₀  ∈  C es tal que el polinomio p ( x ₀ ,  y ) de y tiene n ceros distintos. Demostraremos que la función algebraica es analítica en una vecindad de x ₀ . Elija un sistema de n discos no superpuestos Δ _{i que} contengan cada uno de estos ceros. Entonces por el principio del argumento

${\ Displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ unción _ {\ parcial \ Delta _ {i}} {\ frac {p_ {y} (x_ {0}, y)} {p (x_ {0}, y)}} \, dy = 1.}$

Por continuidad, esto también es válido para todo x en una vecindad de x ₀ . En particular, p ( x ,  y ) tiene solo una raíz en Δ _i , dada por el teorema del residuo :

${\ Displaystyle f_ {i} (x) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ unción _ {\ parcial \ Delta _ {i}} y {\ frac {p_ {y} (x, y )} {p (x, y)}} \, dy}$

que es una función analítica.

Monodromía

Tenga en cuenta que la prueba de analiticidad anterior derivó una expresión para un sistema de n elementos de función diferentes f _i ( x ), siempre que x no sea un punto crítico de p ( x ,  y ). Un punto crítico es un punto donde el número de ceros distintos es menor que el grado de p , y esto ocurre solo donde el término de grado más alto de p desaparece y donde el discriminante desaparece. Por tanto, sólo hay un número finito de puntos c ₁ , ...,  c _m .

Se puede utilizar un análisis detallado de las propiedades de los elementos de función f _i cerca de los puntos críticos para mostrar que la cobertura de monodromía se ramifica sobre los puntos críticos (y posiblemente el punto en el infinito ). Así, la extensión holomórfica de f _i tiene, en el peor de los casos, polos algebraicos y ramificaciones algebraicas ordinarias sobre los puntos críticos.

Tenga en cuenta que, lejos de los puntos críticos, tenemos

${\ Displaystyle p (x, y) = a_ {n} (x) (y-f_ {1} (x)) (y-f_ {2} (x)) \ cdots (y-f_ {n} (x ))}$

ya que los f _i son por definición los distintos ceros de p . El grupo de la monodromía actúa permutando los factores y, por tanto, forma la representación de la monodromía del grupo de Galois de p . (La acción de la monodromía sobre el espacio de cobertura universal está relacionada pero es una noción diferente en la teoría de las superficies de Riemann).

Historia

Las ideas que rodean a las funciones algebraicas se remontan al menos hasta René Descartes . La primera discusión de las funciones algebraicas parece haber sido en el Ensayo sobre los principios del conocimiento humano de 1794 de Edward Waring , en el que escribe:

Sea una cantidad que denota la ordenada, sea una función algebraica de la abscisa x , por los métodos comunes de división y extracción de raíces, reduzcala a una serie infinita ascendente o descendente según las dimensiones de x , y luego encuentre la integral de cada de los términos resultantes.

Ver también

• Expresión algebraica
• Función analítica
• Función compleja
• Función elemental
• Función (matemáticas)
• Función generalizada
• Lista de funciones especiales y epónimos
• Lista de tipos de funciones
• Polinomio
• Función racional
• Funciones especiales
• Función trascendental

Referencias

• Ahlfors, Lars (1979). Análisis complejo . McGraw Hill.
• van der Waerden, BL (1931). Álgebra moderna, volumen II . Saltador.

enlaces externos

• Definición de "función algebraica" en la enciclopedia de matemáticas
• Weisstein, Eric W. "Función algebraica" . MathWorld .
• Función algebraica en PlanetMath .
• Definición de "función algebraica" Archivado el 26 de octubre de 2020 en la Wayback Machine en la Enciclopedia de ciencia de Internet de David J. Darling