Relación cruzada - Cross-ratio

Los puntos A , B , C , D y A ′, B ′, C ′, D ′ están relacionados por una transformación proyectiva, por lo que sus relaciones cruzadas, ( A , B ; C , D ) y ( A ′, B ′; C ′ , D ′) son iguales.

En geometría , la relación cruzada , también llamada relación doble y relación anarmónica , es un número asociado con una lista de cuatro puntos colineales , particularmente puntos en una línea proyectiva . Dados cuatro puntos A , B , C y D en una línea, su relación cruzada se define como

${\ Displaystyle (A, B; C, D) = {\ frac {AC \ cdot BD} {BC \ cdot AD}}}$

donde una orientación de la línea determina el signo de cada distancia y la distancia se mide proyectada en el espacio euclidiano . (Si uno de los cuatro puntos es el punto de la línea en el infinito, entonces las dos distancias que involucran a ese punto se eliminan de la fórmula.) El punto D es el conjugado armónico de C con respecto a A y B precisamente si la relación cruzada de el cuádruple es -1, llamado relación armónica . Por tanto, se puede considerar que la relación cruzada mide la desviación cuádruple de esta relación; de ahí el nombre de una relación armónica .

La relación cruzada se conserva mediante transformaciones fraccionarias lineales . Es esencialmente el único invariante proyectivo de un cuádruple de puntos colineales; esto subyace a su importancia para la geometría proyectiva .

La relación cruzada había sido definida en la antigüedad profunda, posiblemente ya por Euclides , y fue considerada por Pappus , quien notó su propiedad de invariancia clave. Fue ampliamente estudiado en el siglo XIX.

Existen variantes de este concepto para un cuádruple de líneas concurrentes en el plano proyectivo y un cuádruple de puntos en la esfera de Riemann . En el modelo de geometría hiperbólica de Cayley-Klein , la distancia entre puntos se expresa en términos de una cierta relación cruzada.

Terminología e historia

D es el conjugado armónico de C con respecto a A y B , de modo que la relación cruzada ( A , B ; C , D ) es igual a -1.

Pappus de Alejandría hizo un uso implícito de conceptos equivalentes a la relación cruzada en su Colección: Libro VII . Los primeros usuarios de Pappus incluyeron a Isaac Newton , Michel Chasles y Robert Simson . En 1986, Alexander Jones hizo una traducción del original de Pappus, luego escribió un comentario sobre cómo los lemas de Pappus se relacionan con la terminología moderna.

El uso moderno de la relación cruzada en geometría proyectiva comenzó con Lazare Carnot en 1803 con su libro Géométrie de Position . El término utilizado fue le rapport anharmonique (Fr: ratio anharmonic). Los geómetras alemanes lo llaman das Doppelverhältnis (Ger: doble relación).

Dados tres puntos en una línea, un cuarto punto que hace que la relación cruzada sea igual a menos uno se llama conjugado armónico proyectivo . En 1847 Carl von Staudt llamó a la construcción del cuarto punto un tiro ( Wurf ) y usó la construcción para exhibir aritmética implícita en la geometría. Su Álgebra de tiros proporciona un acercamiento a las proposiciones numéricas, generalmente tomadas como axiomas, pero probadas en geometría proyectiva.

El término inglés "cross-ratio" fue introducido en 1878 por William Kingdon Clifford .

Definición

La razón cruzada de un cuádruple de puntos distintos en la línea real con coordenadas z ₁ ,  z ₂ ,  z ₃ ,  z ₄ está dada por

${\ Displaystyle (z_ {1}, z_ {2}; z_ {3}, z_ {4}) = {\ frac {(z_ {3} -z_ {1}) (z_ {4} -z_ {2} )} {(z_ {3} -z_ {2}) (z_ {4} -z_ {1})}}.}$

También se puede escribir como una "razón doble" de dos razones de división de triples de puntos:

${\ Displaystyle (z_ {1}, z_ {2}; z_ {3}, z_ {4}) = {\ frac {z_ {3} -z_ {1}} {z_ {3} -z_ {2}} }: {\ frac {z_ {4} -z_ {1}} {z_ {4} -z_ {2}}}.}$

La relación cruzada se extiende normalmente al caso en el que uno de z ₁ ,  z ₂ ,  z ₃ ,  z ₄ es infinito, esto se hace eliminando las dos diferencias correspondientes de la fórmula. Por ejemplo: ${\ Displaystyle (\ infty);}$

${\ Displaystyle (\ infty, z_ {2}; z_ {3}, z_ {4}) = {\ frac {(z_ {3} - \ infty) (z_ {4} -z_ {2})} {( z_ {3} -z_ {2}) (z_ {4} - \ infty)}} = {\ frac {(z_ {4} -z_ {2})} {(z_ {3} -z_ {2}) }}.}$

En la notación de la geometría euclidiana , si A , B , C , D son puntos colineales, su relación cruzada es:

${\ Displaystyle (A, B; C, D) = {\ frac {AC \ cdot BD} {BC \ cdot AD}},}$

donde cada una de las distancias está firmada de acuerdo con una orientación consistente de la línea.

Las mismas fórmulas se pueden aplicar a cuatro números complejos diferentes o, más generalmente, a elementos de cualquier campo , y también se pueden extender como se indicó anteriormente para el caso en el que uno de ellos sea el símbolo ∞.

Propiedades

La relación cruzada de los cuatro puntos colineales A , B , C , D se puede escribir como

${\ Displaystyle (A, B; C, D) = {\ frac {AC} {CB}}: {\ frac {AD} {DB}}}$

donde describe la razón con la que el punto C divide el segmento de línea AB y describe la razón con la que el punto D divide ese mismo segmento de línea. La razón cruzada aparece entonces como una razón de razones, describiendo cómo los dos puntos C , D están situados con respecto al segmento de línea AB . Siempre que los puntos A , B , C y D sean distintos, la relación cruzada ( A , B ; C , D ) será un número real distinto de cero. Podemos deducir fácilmente que ${\ displaystyle {\ frac {AC} {CB}}}$${\ Displaystyle {\ frac {AD} {DB}}}$

• ( A , B ; C , D ) <0 si y solo si uno de los puntos C , D se encuentra entre los puntos A , B y el otro no
• ( A , B ; C , D ) = 1 / ( A , B ; D , C )
• ( A , B ; C , D ) = ( C , D ; A , B )
• ( A , B ; C , D ) ≠ ( A , B ; C , E ) ↔ D ≠ E

Seis relaciones cruzadas

¡Se pueden pedir cuatro puntos en 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 formas, pero solo hay seis formas de dividirlas en dos pares desordenados. Por lo tanto, cuatro puntos pueden tener solo seis relaciones cruzadas diferentes, que se relacionan como:

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} & (A, B; C, D) = (B, A; D, C) = (C, D; A, B) = (D, C; B, A) = \ lambda \\ [6pt] & (A, B; D, C) = (B, A; C, D) = (C, D; B, A) = (D, C; A, B) = {\ frac {1} {\ lambda}} \\ [6pt] & (A, C; B, D) = (B, D; A, C) = (C, A; D, B) = (D, B; C, A) = 1- \ lambda \\ [6pt] & (A, C; D, B) = (B, D; C, A) = (C, A; B, D) = (D, B; A, C) = {\ frac {1} {1- \ lambda}} \\ [6pt] & (A, D; B, C) = (B, C; A, D) = (C, B; D , A) = (D, A; C, B) = {\ frac {\ lambda -1} {\ lambda}} \\ [6pt] & (A, D; C, B) = (B, C; D , A) = (C, B; A, D) = (D, A; B, C) = {\ frac {\ lambda} {\ lambda -1}}. \ End {alineado}}}$

Consulte el grupo anarmónico a continuación.

Geometría proyectiva

Uso de relaciones cruzadas en geometría proyectiva para medir las dimensiones del mundo real de las características representadas en una proyección en perspectiva . A, B, C, D y V son puntos en la imagen, su separación se expresa en píxeles; A ', B', C 'y D' están en el mundo real, su separación en metros.

• En (1), el ancho de la calle lateral, W se calcula a partir de los anchos conocidos de las tiendas adyacentes.
• En (2), solo se necesita el ancho de una tienda porque un punto de fuga , V, es visible.

La relación cruzada es una invariante proyectiva en el sentido de que es preservada por las transformaciones proyectivas de una línea proyectiva.

En particular, si cuatro puntos se encuentran en una línea recta L en R ^2, entonces su relación cruzada es una cantidad bien definida, porque cualquier elección del origen e incluso de la escala en la línea producirá el mismo valor de la cruz. proporción.

Además, sea { L _i | 1 ≤ i ≤ 4} ser de cuatro líneas distintas en el plano que pasa por el mismo punto Q . Entonces, cualquier línea L que no pase por Q interseca estas líneas en cuatro puntos distintos P _i (si L es paralelo a L _i, entonces el punto de intersección correspondiente está "en el infinito"). Resulta que la relación cruzada de estos puntos (tomada en un orden fijo) no depende de la elección de una línea L y, por lo tanto, es una invariante de la tupla de 4 líneas { L _i }.

Esto se puede entender de la siguiente manera: si L y L ′ son dos líneas que no pasan por Q, entonces la transformación de perspectiva de L a L ′ con el centro Q es una transformación proyectiva que toma el cuádruple { P _i } de puntos en L en el cuádruple { P _i ′} de puntos en L ′.

Por lo tanto, la invariancia de la relación cruzada bajo automorfismos proyectivos de la línea implica (de hecho, es equivalente a) la independencia de la relación cruzada de los cuatro puntos colineales { P _i } en las líneas { L _i } de la elección de la línea que los contiene.

Definición en coordenadas homogéneas

Si cuatro puntos colineales están representados en coordenadas homogéneas por vectores un ,  b ,  c ,  d de tal manera que c = un + b y d = ka + b , entonces su razón doble es  k .

Papel en la geometría no euclidiana

Arthur Cayley y Felix Klein encontraron una aplicación de la relación cruzada a la geometría no euclidiana . Dado un no singular cónica C en el verdadero plano proyectivo , su estabilizador G _C en el grupo proyectivo G = PGL (3, R ) actúa transitivamente en los puntos en el interior de C . Sin embargo, existe un invariante para la acción de G _C sobre pares de puntos. De hecho, cada invariante de este tipo se puede expresar en función de la proporción cruzada apropiada.

Geometría hiperbólica

Explícitamente, deje que la cónica sea el círculo unitario . Para dos puntos cualesquiera P , Q , dentro del círculo unitario. Si la línea que los conecta se cruza con el círculo en dos puntos, X y Y y los puntos son, en orden, X , P , Q , Y . Entonces, la distancia hiperbólica entre P y Q en el modelo de Cayley-Klein del plano hiperbólico se puede expresar como

${\ Displaystyle d_ {h} (P, Q) = {\ frac {1} {2}} \ left | \ log \ left ({\ frac {| XQ || PY |} {| XP || QY |} } \ derecha) \ derecha |}$

(se necesita el factor la mitad para hacer la curvatura -1). Dado que la relación cruzada es invariante en las transformaciones proyectivas, se deduce que la distancia hiperbólica es invariante en las transformaciones proyectivas que conservan la C cónica .

Por el contrario, el grupo G actúa transitivamente sobre el conjunto de pares de puntos ( p , q ) en el disco unitario a una distancia hiperbólica fija.

Más tarde, en parte gracias a la influencia de Henri Poincaré , la relación cruzada de cuatro números complejos en un círculo se utilizó para métricas hiperbólicas. Estar en un círculo significa que los cuatro puntos son la imagen de cuatro puntos reales bajo una transformación de Möbius y, por lo tanto, la relación cruzada es un número real. El modelo de semiplano de Poincaré y el modelo de disco de Poincaré son dos modelos de geometría hiperbólica en la compleja línea proyectiva .

Estos modelos son instancias de métricas de Cayley-Klein .

Grupo anarmónico y cuatro grupos de Klein

La relación cruzada puede definirse mediante cualquiera de estas cuatro expresiones:

${\ Displaystyle (A, B; C, D) = (B, A; D, C) = (C, D; A, B) = (D, C; B, A). \,}$

Estos se diferencian por las siguientes permutaciones de las variables (en notación cíclica ):

${\ Displaystyle 1, \ (A, B) (C, D), \ (A, C) (B, D), \ (A, D) (B, C).}$

Podemos considerar las permutaciones de las cuatro variables como una acción del grupo simétrico S ₄ sobre funciones de las cuatro variables. Dado que las cuatro permutaciones anteriores dejan inalterada la relación cruzada, forman el estabilizador K de la relación cruzada bajo esta acción, y esto induce una acción efectiva del grupo del cociente en la órbita de la relación cruzada. Las cuatro permutaciones en K hacen una realización del cuatro-grupo de Klein en S ₄ , y el cociente es isomorfo al grupo simétrico S ₃ . ${\ Displaystyle S_ {4} / K}$${\ Displaystyle S_ {4} / K}$

Por lo tanto, las otras permutaciones de las cuatro variables alteran la relación cruzada para dar los siguientes seis valores, que son la órbita del grupo de seis elementos : ${\ Displaystyle S_ {4} / K \ cong S_ {3}}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} (A, B; C, D) & = \ lambda & (A, B; D, C) & = {\ frac {1} {\ lambda}} \\ [6pt] (A, C; D, B) & = {\ frac {1} {1- \ lambda}} & (A, C; B, D) & = 1- \ lambda \\ [6pt] (A, D; C, B) & = {\ frac {\ lambda} {\ lambda -1}} & (A, D; B, C) & = {\ frac {\ lambda -1} {\ lambda}}. \ End { alineado}}}$

Como funciones de λ , estos son ejemplos de transformaciones de Möbius , que bajo composición de funciones forman el grupo de Mobius PGL (2, Z ) . Las seis transformaciones forman un subgrupo conocido como grupo anarmónico , nuevamente isomorfo a S ₃ . Son los elementos de torsión ( transformaciones elípticas ) en PGL (2, Z ) . A saber, , , y son de orden 2 con respectivos puntos fijos -1, media, y 2 (a saber, la órbita de la razón doble armónico). Mientras tanto, los elementos y son de orden 3 en PGL (2, Z ) , y cada uno fija ambos valores de la relación cruzada "más simétrica". ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {\ lambda}}}$${\ Displaystyle 1- \ lambda \,}$${\ displaystyle {\ tfrac {\ lambda} {\ lambda -1}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {1- \ lambda}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {\ lambda -1} {\ lambda}}}$${\ Displaystyle e ^ {\ pm i \ pi / 3}}$

El grupo anarmónico es generado por λ ↦ 1 / λ y λ ↦ 1 - λ . Su acción sobre {0, 1, ∞} da un isomorfismo con S ₃ . También se puede realizar como las seis transformaciones de Möbius mencionadas, lo que produce una representación proyectiva de S ₃ sobre cualquier campo (ya que se define con entradas enteras), y siempre es fiel / inyectiva (ya que no hay dos términos que difieran solo en 1 / - 1). Sobre el campo con dos elementos, la línea proyectiva solo tiene tres puntos, por lo que esta representación es un isomorfismo, y es el isomorfismo excepcional . En la característica 3, esto estabiliza el punto , que corresponde a la órbita de la relación de cruce armónico siendo solo un punto, ya que . Sobre el campo con 3 elementos, la línea proyectiva tiene solo 4 puntos y , por lo tanto, la representación es exactamente el estabilizador de la relación cruzada armónica, produciendo una incrustación igual al estabilizador del punto . ${\ Displaystyle \ mathrm {S} _ {3} \ approx \ mathrm {PGL} (2,2)}$${\ Displaystyle -1 = [- 1: 1]}$${\ Displaystyle 2 = 1/2 = -1}$${\ Displaystyle \ mathrm {S} _ {4} \ approx \ mathrm {PGL} (2,3)}$${\ Displaystyle \ mathrm {S} _ {3} \ hookrightarrow \ mathrm {S} _ {4}}$${\ Displaystyle -1}$

Órbitas excepcionales

Para ciertos valores de λ habrá mayor simetría y, por lo tanto, menos de seis valores posibles para la relación cruzada. Estos valores de λ corresponden a puntos fijos de la acción de S ₃ sobre la esfera de Riemann (dados por las seis funciones anteriores); o, de manera equivalente, aquellos puntos con un estabilizador no trivial en este grupo de permutación.

El primer conjunto de puntos fijos es {0, 1, ∞}. Sin embargo, la relación cruzada nunca puede tomar estos valores si los puntos A , B , C y D son todos distintos. Estos valores son valores límite cuando un par de coordenadas se acercan entre sí:

${\ Displaystyle (Z, B; Z, D) = (A, Z; C, Z) = 0}$

${\ Displaystyle (Z, Z; C, D) = (A, B; Z, Z) = 1}$

${\ Displaystyle (Z, B; C, Z) = (A, Z; Z, D) = \ infty.}$

El segundo conjunto de puntos fijos es {−1, 1/2, 2}. Esta situación es lo que clásicamente se llama relación cruzada armónica , y surge enconjugados armónicos proyectivos. En el caso real, no existen otras órbitas excepcionales.

En el caso complejo, la relación cruzada más simétrica ocurre cuando . Estos son entonces los dos únicos valores de la relación cruzada, y se actúa sobre ellos de acuerdo con el signo de la permutación. ${\ Displaystyle \ lambda = e ^ {\ pm i \ pi / 3}}$

Enfoque transformacional

La relación cruzada es invariante bajo las transformaciones proyectivas de la línea. En el caso de una línea proyectiva compleja , o la esfera de Riemann , estas transformaciones se conocen como transformaciones de Möbius . Una transformación general de Möbius tiene la forma

${\ Displaystyle f (z) = {\ frac {az + b} {cz + d}} \;, \ quad {\ mbox {donde}} a, b, c, d \ in \ mathbb {C} {\ mbox {y}} ad-bc \ neq 0.}$

Estas transformaciones forman un grupo que actúa sobre la esfera de Riemann , el grupo de Möbius .

La invariancia proyectiva de la relación cruzada significa que

${\ Displaystyle (f (z_ {1}), f (z_ {2}); f (z_ {3}), f (z_ {4})) = (z_ {1}, z_ {2}; z_ { 3}, z_ {4}). \}$

La relación cruzada es real si y solo si los cuatro puntos son colineales o concíclicos , lo que refleja el hecho de que cada transformación de Möbius asigna círculos generalizados a círculos generalizados.

La acción del grupo de Möbius es simplemente transitiva sobre el conjunto de triples de puntos distintos de la esfera de Riemann: dado cualquier triple ordenado de puntos distintos, ( z ₂ , z ₃ , z ₄ ) , hay una transformación de Möbius única f ( z ) que lo asigna al triple (1, 0, ∞) . Esta transformación se puede describir convenientemente usando la relación cruzada: dado que ( z , z ₂ , z ₃ , z ₄ ) debe ser igual a ( f ( z ), 1; 0, ∞) , que a su vez es igual a f ( z ), obtener

${\ Displaystyle f (z) = (z, z_ {2}; z_ {3}, z_ {4}).}$

Una explicación alternativa para la invariancia de la relación cruzada se basa en el hecho de que el grupo de transformaciones proyectivas de una línea es generado por las traducciones, las homotecias y la inversión multiplicativa. Las diferencias z _j - z _k son invariantes bajo las traducciones

${\ Displaystyle z \ mapsto z + a}$

donde una es una constante en el campo de suelo F . Además, las razones de división son invariantes bajo una homotecia

${\ Displaystyle z \ mapsto bz}$

para una constante no cero b en F . Por lo tanto, la relación cruzada es invariante bajo las transformaciones afines .

Para obtener un mapeo de inversión bien definido

${\ Displaystyle T: z \ mapsto z ^ {- 1},}$

la línea afín necesita ser aumentada por el punto en el infinito , denotado ∞, formando la línea proyectiva P ¹ ( F ). Cada mapeo afín f  : F → F se puede extender de forma única a un mapeo de P ¹ ( F ) en sí mismo que fija el punto en el infinito. El mapa T intercambia 0 y ∞. El grupo proyectivo es generado por T y las asignaciones afines se extienden a P ¹ ( F ). En el caso F = C , el plano complejo , esto da como resultado el grupo de Möbius . Dado que la relación cruzada también es invariante bajo T , es invariante bajo cualquier mapeo proyectivo de P ¹ ( F ) en sí mismo.

Descripción de coordenadas

Si escribimos los puntos complejos como vectores y definimos , y sea ​​el producto escalar de con , entonces la parte real de la relación cruzada viene dada por: ${\ Displaystyle {\ overrightarrow {x}} _ {n} = [\ Re (z_ {n}), \ Im (z_ {n})] ^ {\ rm {T}}}$${\ Displaystyle x_ {nm} = x_ {n} -x_ {m}}$${\ Displaystyle (a, b)}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle b}$

${\ Displaystyle C_ {1} = {\ frac {(x_ {12}, x_ {14}) (x_ {23}, x_ {34}) - (x_ {12}, x_ {34}) (x_ {14} }, x_ {23}) + (x_ {12}, x_ {23}) (x_ {14}, x_ {34})} {| x_ {23} | ^ {2} | x_ {14} | ^ { 2}}}}$

Este es un invariante de la transformación conforme especial 2D como la inversión . ${\ displaystyle x ^ {\ mu} \ rightarrow {\ frac {x ^ {\ mu}} {| x | ^ {2}}}}$

La parte imaginaria debe hacer uso del producto cruzado bidimensional. ${\ Displaystyle a \ times b = [a, b] = a_ {2} b_ {1} -a_ {1} b_ {2}}$

${\ Displaystyle C_ {2} = {\ frac {(x_ {12}, x_ {14}) [x_ {34}, x_ {23}] - (x_ {43}, x_ {23}) [x_ {12 }, x_ {34}]} {| x_ {23} | ^ {2} | x_ {14} | ^ {2}}}}$

Homografía de anillo

El concepto de relación cruzada solo depende de las operaciones del anillo de suma, multiplicación e inversión (aunque la inversión de un elemento dado no es segura en un anillo). Un enfoque de la relación cruzada lo interpreta como una homografía que toma tres puntos designados a 0, 1 e infinito. Bajo restricciones que tienen que ver con inversas, es posible generar tal mapeo con operaciones de anillo en la línea proyectiva sobre un anillo . La relación cruzada de cuatro puntos es la evaluación de esta homografía en el cuarto punto.

Punto de vista diferencial-geométrico

La teoría adquiere un aspecto de cálculo diferencial a medida que los cuatro puntos se acercan. Esto conduce a la teoría de la derivada schwarziana y, de manera más general, a las conexiones proyectivas .

Generalizaciones de dimensiones superiores

La relación cruzada no se generaliza de manera simple a dimensiones superiores, debido a otras propiedades geométricas de las configuraciones de puntos, en particular la colinealidad: los espacios de configuración son más complicados y las k -tuplas distintas de puntos no están en posición general .

Mientras que el grupo lineal proyectivo de la línea proyectiva es 3-transitivo (cualesquiera tres puntos distintos se pueden asignar a otros tres puntos), y de hecho simplemente 3-transitivo (hay un mapa proyectivo único que lleva cualquier triple a otro triple), con siendo la relación cruzada el invariante proyectivo único de un conjunto de cuatro puntos, hay invariantes geométricos básicos en una dimensión superior. El grupo lineal proyectivo de n- espacio tiene ( n  + 1) ²  - 1 dimensiones (porque es proyectivización quitando una dimensión), pero en otras dimensiones el grupo lineal proyectivo es solo 2-transitivo - porque tres puntos colineales deben ser mapeados a tres puntos colineales (que no es una restricción en la línea proyectiva) - y por lo tanto no hay una "razón cruzada generalizada" que proporcione el invariante único de n ² puntos. ${\ Displaystyle \ mathbf {P} ^ {n} = \ mathbf {P} (K ^ {n + 1})}$${\ Displaystyle \ mathrm {PGL} (n, K) = \ mathbf {P} (\ mathrm {GL} (n + 1, K)),}$

La colinealidad no es la única propiedad geométrica de las configuraciones de puntos que debe mantenerse; por ejemplo, cinco puntos determinan una cónica , pero seis puntos generales no se encuentran en una cónica, por lo que si cualquier tupla de 6 puntos se encuentra en una cónica también es un invariante proyectivo. Se pueden estudiar órbitas de puntos en posición general - en la línea "posición general" equivale a ser distinto, mientras que en dimensiones superiores requiere consideraciones geométricas, como se discutió - pero, como indica lo anterior, esto es más complicado y menos informativo.

Sin embargo, existe una generalización a las superficies de Riemann de género positivo , utilizando el mapa de Abel-Jacobi y las funciones theta .

Ver también

• Métrica de Hilbert

Notas

Referencias

• Lars Ahlfors (1953, 1966, 1979) Análisis complejo , 1ª edición, página 25; 2da y 3ra ediciones, página 78, McGraw-Hill ISBN  0-07-000657-1 .
• Viktor Blåsjö (2009) " Systematische Entwickelung de Jakob Steiner: La culminación de la geometría clásica ", Mathematical Intelligencer 31 (1): 21–9.
• John J. Milne (1911) Tratado elemental sobre geometría de relación cruzada con notas históricas , Cambridge University Press .
• Dirk Struik (1953) Conferencias sobre geometría analítica y proyectiva , página 7, Addison-Wesley .
• IR Shafarevich y AO Remizov (2012) Álgebra lineal y geometría , Springer ISBN  978-3-642-30993-9 .

enlaces externos

• MathPages - Kevin Brown explica la relación cruzada en su artículo sobre el hexagrama místico de Pascal
• Relación cruzada en el corte del nudo
• Weisstein, Eric W. "Relación cruzada" . MathWorld .
• Ardila, Federico. "La relación cruzada" (video) . youtube . Brady Haran . Consultado el 6 de julio de 2018 .