Pappus de Alejandría -Pappus of Alexandria

Portada de las Mathematicae Collectiones de Pappus , traducida al latín por Federico Commandino (1589).

Pappus de Alejandría ( / ˈ p æ p ə s / ; Griego : Πάππος ὁ Ἀλεξανδρεύς ; c.   290  - c.   350 AD) fue uno de los últimos grandes matemáticos griegos de la antigüedad conocido por su Sinagoga (Συναγωγή) o Colección ( c.   340 ), y para el teorema del hexágono de Pappus en geometría proyectiva . Nada se sabe de su vida, salvo lo que se puede encontrar en sus propios escritos: que tuvo un hijo llamado Hermodoro, y fue maestro en Alejandría ..

Collection , su obra más conocida, es un compendio de matemáticas en ocho volúmenes, la mayor parte de los cuales sobrevive. Cubre una amplia gama de temas, incluida la geometría , las matemáticas recreativas , la duplicación del cubo , los polígonos y los poliedros .

Contexto

Pappus estuvo activo en el siglo IV d.C. En un período de estancamiento general de los estudios matemáticos, se destaca como una notable excepción. "Cuán muy por encima de sus contemporáneos, cuán poco apreciado o comprendido por ellos, se muestra por la ausencia de referencias a él en otros escritores griegos, y por el hecho de que su trabajo no tuvo ningún efecto en detener la decadencia de la ciencia matemática". Thomas Little Heath escribe. "A este respecto, el destino de Pappus se parece notablemente al de Diofanto ".

Tener una cita

En sus escritos supervivientes, Pappus no da ninguna indicación de la fecha de los autores de cuyas obras hace uso, o de la época (pero véase más abajo) en la que él mismo escribió. Si no se dispusiera de otra información de fechas, todo lo que se podría saber sería que fue posterior a Ptolomeo (fallecido c. 168 d. C.), a quien cita, y anterior a Proclo (nacido c.   411 ), quien lo cita a él.

El Suda del siglo X afirma que Pappus tenía la misma edad que Theon de Alejandría , que estuvo activo durante el reinado del emperador Teodosio I (372-395). Se da una fecha diferente en una nota al margen de un manuscrito de finales del siglo X (una copia de una tabla cronológica del mismo Teón), que establece, junto a una entrada sobre el emperador Diocleciano (reinó entre 284 y 305), que "en ese momento tiempo escribió Pappus".

Sin embargo, una fecha real proviene de la datación de un eclipse solar mencionado por el propio Pappus, cuando en su comentario al Almagesto calcula "el lugar y el tiempo de la conjunción que dio lugar al eclipse en Tybi en 1068 después de Nabonassar ". Esto funciona como el 18 de octubre de 320, por lo que Pappus debe haber estado escribiendo alrededor de 320.

Obras

Colecciones de Mathematicae , 1660

La gran obra de Pappus, en ocho libros y titulada Sinagoga o Colección , no se ha conservado en forma completa: el primer libro se ha perdido, y los demás han sufrido considerablemente. El SUDA enumera otras obras de Pappus: χωρογραφία οἰκουμενική ( Chorographia OikoUmenike o descripción del mundo habitado ), comentarios sobre los cuatro libros de Ptolemy 's Almagest , ποταμοὺς τοὺς ἐrero ἐν λιβύῃ ( Rivers in liBya en Libya ) ). Pappus mismo menciona otro comentario propio sobre el Ἀνάλημμα ( Analema ) de Diodoro de Alejandría . Pappus también escribió comentarios sobre los Elementos de Euclides (de los cuales se conservan fragmentos en Proclo y los Escolios , mientras que el Libro décimo se ha encontrado en un manuscrito árabe), y sobre la Ἁρμονικά ( Harmónica ) de Ptolomeo.

Federico Commandino tradujo la Colección de Pappus al latín en 1588. El clasicista e historiador matemático alemán Friedrich Hultsch (1833-1908) publicó una presentación definitiva en 3 volúmenes de la traducción de Commandino con las versiones griega y latina (Berlín, 1875-1878). Utilizando el trabajo de Hultsch, el historiador matemático belga Paul ver Eecke fue el primero en publicar una traducción de la Colección a un idioma europeo moderno; su traducción francesa de 2 volúmenes tiene el título Pappus d'Alexandrie. La Collection Mathématique (París y Brujas, 1933).

Recopilación

Las características de la Colección de Pappus son que contiene una relación, organizada sistemáticamente, de los resultados más importantes obtenidos por sus predecesores y, en segundo lugar, notas explicativas o que amplían los descubrimientos anteriores. Estos descubrimientos forman, de hecho, un texto sobre el cual Pappus se amplía discursivamente. Heath consideró valiosas las introducciones sistemáticas a los diversos libros, ya que establecieron claramente un esquema del contenido y el alcance general de los temas a tratar. A partir de estas introducciones se puede juzgar el estilo de escritura de Pappus, que es excelente e incluso elegante en el momento en que se libera de las ataduras de las fórmulas y expresiones matemáticas. Heath también descubrió que su precisión característica hizo de su Colección "un sustituto más admirable de los textos de los muchos tratados valiosos de matemáticos anteriores de los que el tiempo nos ha privado".

Las partes supervivientes de la Colección se pueden resumir de la siguiente manera.

Solo podemos conjeturar que el Libro I perdido , al igual que el Libro II, se ocupaba de la aritmética, y el Libro III se introdujo claramente como el comienzo de un nuevo tema.

Todo el Libro II (cuya primera parte se ha perdido, el fragmento existente comienza a la mitad de la proposición 14) analiza un método de multiplicación de un libro sin nombre de Apolonio de Perge . Las proposiciones finales tratan de multiplicar los valores numéricos de las letras griegas en dos versos de poesía, produciendo dos números muy grandes aproximadamente iguales a2 × 10 54 y2 × 10 38 .

El libro III contiene problemas geométricos, planos y sólidos. Puede dividirse en cinco secciones:

  1. Sobre el famoso problema de hallar dos medias proporcionales entre dos rectas dadas, que surgió del de duplicar el cubo, reducido por Hipócrates de Quíos al primero. Pappus da varias soluciones a este problema, incluido un método para hacer aproximaciones sucesivas a la solución, cuyo significado aparentemente no logró apreciar; agrega su propia solución del problema más general de encontrar geométricamente el lado de un cubo cuyo contenido está en cualquier proporción dada al de uno dado.
  2. Sobre las medias aritméticas, geométricas y armónicas entre dos rectas, y el problema de representar las tres en una misma figura geométrica. Esto sirve como introducción a una teoría general de los medios, de la cual Pappus distingue diez tipos y da una tabla que representa ejemplos de cada uno en números enteros.
  3. Sobre un curioso problema sugerido por Euclides I. 21.
  4. Sobre la inscripción de cada uno de los cinco poliedros regulares en una esfera. Aquí Pappus observó que un dodecaedro regular y un icosaedro regular podían inscribirse en la misma esfera de modo que sus vértices se encontraran en los mismos 4 círculos de latitud, con 3 de los 12 vértices del icosaedro en cada círculo y 5 de los 20 vértices del dodecaedro. en cada círculo. Esta observación se ha generalizado a politopos duales de dimensiones superiores .
  5. Una adición de un escritor posterior sobre otra solución del primer problema del libro.

Del Libro IV se han perdido el título y el prefacio, por lo que el programa ha de extraerse del propio libro. Al principio está la conocida generalización de Euclides I.47 ( teorema del área de Pappus ), luego siguen varios teoremas sobre el círculo, que conducen al problema de la construcción de un círculo que debe circunscribir tres círculos dados, tocándose entre sí dos y dos. Esta y varias otras proposiciones sobre el contacto, por ejemplo, casos de círculos que se tocan entre sí e inscritos en la figura hecha de tres semicírculos y conocida como arbelos ("cuchillo de zapatero") forman la primera división del libro; Pappus pasa entonces a considerar ciertas propiedades de la espiral de Arquímedes , la concoide de Nicomedes (ya mencionada en el Libro I como un método para doblar el cubo), y la curva descubierta muy probablemente por Hipias de Elis alrededor del 420 a. el nombre, τετραγωνισμός, o quadratrix . La proposición 30 describe la construcción de una curva de doble curvatura llamada por Pappus la hélice sobre una esfera; está descrito por un punto que se mueve uniformemente a lo largo del arco de un gran círculo, que a su vez gira alrededor de su diámetro uniformemente, el punto que describe un cuadrante y el gran círculo una revolución completa al mismo tiempo. Se encuentra el área de la superficie incluida entre esta curva y su base, la primera instancia conocida de una cuadratura de una superficie curva. El resto del libro trata de la trisección de un ángulo y la solución de problemas más generales del mismo tipo por medio de la cuadratriz y la espiral. En una solución del problema anterior se encuentra el primer uso registrado de la propiedad de una cónica (una hipérbola) con referencia al foco y la directriz.

En el Libro V , después de un interesante prefacio sobre los polígonos regulares, y que contiene comentarios sobre la forma hexagonal de las celdas de los panales , Pappus se dedica a la comparación de las áreas de diferentes figuras planas que tienen todas el mismo perímetro (siguiendo el tratado de Zenodorus sobre este tema), y de los volúmenes de diferentes figuras sólidas que tienen todas la misma área superficial, y, por último, una comparación de los cinco sólidos regulares de Platón . Por cierto, Pappus describe los otros trece poliedros delimitados por polígonos equiláteros y equiángulos pero no similares, descubiertos por Arquímedes , y encuentra, mediante un método que recuerda al de Arquímedes, la superficie y el volumen de una esfera.

Según el prefacio, el Libro VI está destinado a resolver las dificultades que ocurren en las llamadas "Obras Astronómicas Menores" (Μικρὸς Ἀστρονοµούµενος), es decir, obras distintas del Almagesto . En consecuencia, comenta la Sphaerica de Teodosio , la Esfera móvil de Autólico , el libro de Teodosio sobre el día y la noche , el tratado de Aristarco Sobre el tamaño y las distancias del sol y la luna , y la Óptica y los fenómenos de Euclides .

Libro VII

Desde que Michel Chasles citó este libro de Pappus en su historia de los métodos geométricos, se ha convertido en objeto de considerable atención.

El prefacio del Libro VII explica los términos análisis y síntesis, y la distinción entre teorema y problema. Pappus luego enumera las obras de Euclides , Apolonio , Aristeo y Eratóstenes , treinta y tres libros en total, cuya sustancia pretende dar, con los lemas necesarios para su elucidación. Con la mención de los Porismos de Euclides tenemos una explicación de la relación del porismo con el teorema y el problema. En el mismo prefacio se incluye (a) el famoso problema conocido con el nombre de Pappus, a menudo enunciado así: Habiendo dado un número de líneas rectas, encontrar el lugar geométrico de un punto tal que las longitudes de las perpendiculares sobre, o (más generalmente ) las líneas trazadas desde él oblicuamente con inclinaciones dadas a, las líneas dadas satisfacen la condición de que el producto de algunas de ellas puede guardar una relación constante con el producto de las restantes; (Pappus no lo expresa de esta forma sino por medio de composición de razones, diciendo que si se da la razón que se compone de las razones de pares uno de un conjunto y otro de otro de las líneas así trazadas, y de la razón del impar, si lo hubiere, a una recta dada, el punto estará sobre una curva dada en posición); (b) los teoremas que fueron redescubiertos y nombrados en honor a Paul Guldin , pero que parecen haber sido descubiertos por el mismo Pappus.

El libro VII también contiene

  1. bajo el encabezamiento del De Sectione Determinata de Apolonio, lemas que, examinados de cerca, se ven como casos de involución de seis puntos;
  2. importantes lemas sobre los porismos de Euclides, incluido el llamado teorema del hexágono de Pappus ;
  3. un lema sobre los lugares geométricos de la superficie de Euclides que establece que el lugar geométrico de un punto tal que su distancia a un punto dado guarda una relación constante con su distancia a una línea recta dada es una cónica , y es seguida por pruebas de que la cónica es una parábola , elipse o hipérbola según que la razón constante sea igual, menor o mayor que 1 (primeras pruebas registradas de las propiedades, que no aparecen en Apolonio).

La cita de Chasles de Pappus fue repetida por Wilhelm Blaschke y Dirk Struik . En Cambridge, Inglaterra, John J. Milne les dio a los lectores el beneficio de su lectura de Pappus. En 1985, Alexander Jones escribió su tesis en la Universidad de Brown sobre el tema. Springer-Verlag publicó una forma revisada de su traducción y comentario al año siguiente. Jones logra mostrar cómo Pappus manipuló el cuadrilátero completo , usó la relación de conjugados armónicos proyectivos y mostró una conciencia de las proporciones cruzadas de puntos y líneas. Además, el concepto de polo y polar se revela como lema en el Libro VII.

Libro VIII

Por último, el Libro VIII trata principalmente de la mecánica, las propiedades del centro de gravedad y algunas potencias mecánicas. Se intercalan algunas proposiciones sobre geometría pura. La Proposición 14 muestra cómo dibujar una elipse a través de cinco puntos dados, y la Prop. 15 da una construcción simple para los ejes de una elipse cuando se dan un par de diámetros conjugados .

Legado

La Colección de Pappus era prácticamente desconocida para los árabes y los europeos medievales, pero ejerció una gran influencia en las matemáticas del siglo XVII después de que Federico Commandino la tradujera al latín . La Aritmética de Diofanto y la Colección de Pappus fueron las dos fuentes principales de Isagoge in artem analyticam (1591) de Viète . El problema de Pappus y su generalización llevaron a Descartes al desarrollo de la geometría analítica . Fermat también desarrolló su versión de geometría analítica y su método de máximos y mínimos a partir de los resúmenes de Pappus de las obras perdidas de Apolonio Plane Loci y On Determinate Section . Otros matemáticos influenciados por Pappus fueron Pacioli , da Vinci , Kepler , van Roomen , Pascal , Newton , Bernoulli , Euler , Gauss , Gergonne , Steiner y Poncelet .

Ver también

notas

Referencias

Atribución:

Otras lecturas

  • "Pappus de Alejandría (vivió c. 200-350 d. C.)". El Diccionario Hutchinson de Biografía Científica . Editorial Helicón. 2004. Matemático, astrónomo y geógrafo griego cuya principal importancia radica en sus comentarios sobre el trabajo matemático de sus predecesores.
  • Eecke, Paul Ver (1933). Pappus d'Alexandrie: La Collection Mathématique avec une Introduction et des Notes (2 volúmenes Fondation Universitaire de Belgique ed.). París: Albert Blanchard.

enlaces externos