Homotecia - Homothety

Dos figuras geométricas similares relacionados por una transformación homotética con respecto a un centro homotética S . Los ángulos en los puntos correspondientes son los mismos y tienen el mismo sentido; por ejemplo, los ángulos ABC y A'B'C 'son ambos en el sentido de las agujas del reloj y tienen la misma magnitud.

En matemáticas , una homotecia (u homotecia , o dilatación homogénea ) es una transformación de un espacio afín determinado por un punto S llamado su centro y un número distinto de cero λ llamado su razón , que envía

${\ Displaystyle M \ mapsto S + \ lambda {\ overrightarrow {SM}},}$

en otras palabras, fija S y envía cada M a otro punto N de manera que el segmento SN esté en la misma línea que SM , pero escalado por un factor λ . En la geometría euclidiana, las homotecias son las similitudes que fijan un punto y conservan (si λ > 0 ) o invierten (si λ <0 ) la dirección de todos los vectores. Junto con las traducciones , todas las homotecias de un espacio afín (o euclidiano) forman un grupo , el grupo de dilataciones u homotetías-traducciones . Estas son precisamente las transformaciones afines con la propiedad de que la imagen de cada línea L es una línea paralela a L .

En geometría proyectiva , una transformación homotética es una transformación de similitud (es decir, fija una involución elíptica dada) que deja la línea en el infinito invariante puntual .

En geometría euclidiana, una homotecia de razón λ multiplica las distancias entre puntos por | λ | y todas las áreas por λ ² . Aquí | λ | es la relación del factor de ampliación o dilatación o el factor de escala o la relación de similitud . Tal transformación puede denominarse ampliación si el factor de escala excede 1. El punto fijo S mencionado anteriormente se denomina centro homotético o centro de similitud o centro de similitud .

El término, acuñado por el matemático francés Michel Chasles , se deriva de dos elementos griegos: el prefijo homo- ( όμο ), que significa "similar", y tesis ( Θέσις ), que significa "posición". Describe la relación entre dos figuras de la misma forma y orientación. Por ejemplo, dos muñecas rusas que miran en la misma dirección pueden considerarse homotéticas.

Homotecia y escalamiento uniforme

Si el centro homotético S coincide con el origen O del espacio vectorial ( S ≡ O ), entonces toda homotecia con razón λ es equivalente a una escala uniforme por el mismo factor, que envía

${\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}} \ mapsto \ lambda {\ overrightarrow {OM}}.}$

Como consecuencia, en el caso específico en el que S ≡ O , la homotecia se convierte en una transformación lineal , que conserva no solo la colinealidad de puntos (las líneas rectas se mapean en líneas rectas), sino también la suma de vectores y la multiplicación escalar.

La imagen de un punto ( x , y ) después de una homotecia con centro ( a , b ) y razón λ está dada por ( a + λ ( x - a ), b + λ ( y - b )).

Ver también

• Escalar (geometría) una noción similar en espacios vectoriales
• Centro homotético , el centro de una transformación homotética que toma una de un par de formas en la otra.
• La conjetura de Hadwiger sobre el número de copias homotéticas estrictamente más pequeñas de un cuerpo convexo que pueden ser necesarias para cubrirlo.
• Función homotética (economía) , una función de la forma f ( U ( y )) en la que U es una función homogénea y f es una función monótonamente creciente .

Notas

Referencias

• Hadamard, J. , lecciones de geometría plana
• Meserve, Bruce E. (1955), "Transformaciones homotéticas", Conceptos fundamentales de geometría , Addison-Wesley , págs. 166-169
• Tuller, Annita (1967), Una introducción moderna a las geometrías , Serie universitaria en matemáticas de pregrado, Princeton, Nueva Jersey: D. Van Nostrand Co.

enlaces externos

• Homothety , applet interactivo de Cut-the-Knot .