Tensores en coordenadas curvilíneas - Tensors in curvilinear coordinates

Las coordenadas curvilíneas se pueden formular en cálculo tensorial , con importantes aplicaciones en física e ingeniería , particularmente para describir el transporte de cantidades físicas y la deformación de la materia en mecánica de fluidos y mecánica continua .

Álgebra vectorial y tensorial en coordenadas curvilíneas tridimensionales

Nota: a continuación se utiliza la convención de suma de Einstein de sumar en índices repetidos.

El álgebra elemental de vectores y tensores en coordenadas curvilíneas se utiliza en parte de la literatura científica más antigua en mecánica y física y puede ser indispensable para comprender el trabajo de principios y mediados del siglo XX, por ejemplo, el texto de Green y Zerna. En esta sección se dan algunas relaciones útiles en el álgebra de vectores y tensores de segundo orden en coordenadas curvilíneas. La notación y el contenido son principalmente de Ogden, Naghdi, Simmonds, Green y Zerna, Basar y Weichert y Ciarlet.

Coordinar transformaciones

Considere dos sistemas de coordenadas con variables de coordenadas y , que representaremos brevemente como justo y respectivamente y siempre asumiremos que nuestro índice va de 1 a 3. Supondremos que estos sistemas de coordenadas están incrustados en el espacio euclidiano tridimensional. Las coordenadas y pueden usarse para explicarse entre sí, porque a medida que nos movemos a lo largo de la línea de coordenadas en un sistema de coordenadas podemos usar el otro para describir nuestra posición. De esta manera se coordinan y son funciones el uno del otro. ${\ Displaystyle (Z ^ {1}, Z ^ {2}, Z ^ {3})}$${\ Displaystyle (Z ^ {\ aguda {1}}, Z ^ {\ aguda {2}}, Z ^ {\ aguda {3}})}$${\ Displaystyle Z ^ {i}}$${\ Displaystyle Z ^ {\ aguda {i}}}$${\ Displaystyle i}$${\ Displaystyle Z ^ {i}}$${\ Displaystyle Z ^ {\ aguda {i}}}$${\ Displaystyle Z ^ {i}}$${\ Displaystyle Z ^ {\ aguda {i}}}$

${\ Displaystyle Z ^ {i} = f ^ {i} (Z ^ {\ aguda {1}}, Z ^ {\ aguda {2}}, Z ^ {\ aguda {3}})}$ por ${\ Displaystyle i = 1,2,3}$

que se puede escribir como

${\ Displaystyle Z ^ {i} = Z ^ {i} (Z ^ {\ aguda {1}}, Z ^ {\ aguda {2}}, Z ^ {\ aguda {3}}) = Z ^ {i } (Z ^ {\ aguda {i}})}$ por ${\ Displaystyle {\ aguda {i}}, i = 1,2,3}$

Estas tres ecuaciones juntas también se denominan transformación de coordenadas de a . Denotemos esta transformación por . Por lo tanto, representaremos la transformación del sistema de coordenadas con variables de coordenadas al sistema de coordenadas con coordenadas como: ${\ Displaystyle Z ^ {\ aguda {i}}}$${\ Displaystyle Z ^ {i}}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle Z ^ {\ aguda {i}}}$${\ Displaystyle Z ^ {i}}$

${\ Displaystyle Z = T ({\ aguda {z}})}$

De manera similar, podemos representar en función de lo siguiente: ${\ Displaystyle Z ^ {\ aguda {i}}}$${\ Displaystyle Z ^ {i}}$

${\ Displaystyle Z ^ {\ aguda {i}} = sol ^ {\ aguda {i}} (Z ^ {1}, Z ^ {2}, Z ^ {3})}$ por ${\ Displaystyle {\ aguda {i}} = 1,2,3}$

de manera similar, podemos escribir las ecuaciones libres de manera más compacta como

${\ Displaystyle Z ^ {\ aguda {i}} = Z ^ {\ aguda {i}} (Z ^ {1}, Z ^ {2}, Z ^ {3}) = Z ^ {\ aguda {i} } (Z ^ {i})}$ por ${\ Displaystyle {\ aguda {i}}, i = 1,2,3}$

Estas tres ecuaciones juntas también se denominan transformación de coordenadas de a . Denotemos esta transformación por . Representaremos la transformación del sistema de coordenadas con variables de coordenadas al sistema de coordenadas con coordenadas como: ${\ Displaystyle Z ^ {i}}$${\ Displaystyle Z ^ {\ aguda {i}}}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle Z ^ {i}}$${\ Displaystyle Z ^ {\ aguda {i}}}$

${\ Displaystyle {\ aguda {z}} = S (z)}$

Si la transformación es biyectiva, entonces llamamos a la imagen de la transformación, es decir , un conjunto de coordenadas admisibles para . Si es lineal, el sistema de coordenadas se denominará sistema de coordenadas afín ; de lo contrario, se denominará sistema de coordenadas curvilíneas.${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle Z ^ {i}}$ ${\ Displaystyle Z ^ {\ aguda {i}}}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle Z ^ {i}}$${\ Displaystyle Z ^ {i}}$

El jacobiano

Como vemos ahora que las coordenadas y son funciones entre sí, podemos tomar la derivada de la variable de coordenadas con respecto a la variable de coordenadas${\ Displaystyle Z ^ {i}}$${\ Displaystyle Z ^ {\ aguda {i}}}$${\ Displaystyle Z ^ {i}}$${\ Displaystyle Z ^ {\ aguda {i}}}$

considerar

${\ estilo de visualización \ parcial {Z ^ {i}} \ sobre \ parcial {Z ^ {\ agudo {i}}}}$${\ Displaystyle {\ overset {\ underset {\ mathrm {def}} {}} {=}}}$${\ Displaystyle J _ {\ aguda {i}} ^ {i}}$porque , estas derivadas se pueden organizar en una matriz, digamos , en la que está el elemento en la fila y columna${\ Displaystyle {\ aguda {i}}, i = 1,2,3}$${\ Displaystyle J}$${\ Displaystyle J _ {\ aguda {i}} ^ {i}}$${\ Displaystyle i ^ {th}}$${\ Displaystyle {\ aguda {i}} ^ {th}}$

${\ Displaystyle J}$${\ displaystyle =}$${\ Displaystyle {\ begin {pmatrix} J _ {\ aguda {1}} ^ {1} & J _ {\ aguda {2}} ^ {1} & J _ {\ aguda {3}} ^ {1} \\ J _ {\ agudo {1}} ^ {2} & J _ {\ agudo {2}} ^ {2} & J _ {\ agudo {3}} ^ {2} \\ J _ {\ agudo {1}} ^ {3} & J _ {\ agudo {2}} ^ {3} & J _ {\ agudo {3}} ^ {3} \ end {pmatrix}}}$${\ displaystyle =}$${\ Displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ partial {Z ^ {1}} \ over \ partial {Z ^ {\ sharp {1}}}} & {\ partial {Z ^ {1}} \ over \ parcial {Z ^ {\ agudo {2}}}} & {\ parcial {Z ^ {1}} \ sobre \ parcial {Z ^ {\ agudo {3}}}} \\ {\ parcial {Z ^ {2} } \ sobre \ parcial {Z ^ {\ agudo {1}}}} & {\ parcial {Z ^ {2}} \ sobre \ parcial {Z ^ {\ agudo {2}}}} & {\ parcial {Z ^ {2}} \ sobre \ parcial {Z ^ {\ agudo {3}}}} \\ {\ parcial {Z ^ {3}} \ sobre \ parcial {Z ^ {\ agudo {1}}}} & {\ parcial {Z ^ {3}} \ sobre \ parcial {Z ^ {\ agudo {2}}}} y {\ parcial {Z ^ {3}} \ sobre \ parcial {Z ^ {\ agudo {3} }}} \ end {pmatrix}}}$

La matriz resultante se llama matriz jacobiana.

Vectores en coordenadas curvilíneas

Sea ( b ₁ , b ₂ , b ₃ ) una base arbitraria para el espacio euclidiano tridimensional. En general, los vectores base no son vectores unitarios ni mutuamente ortogonales . Sin embargo, se requiere que sean linealmente independientes. Entonces, un vector v se puede expresar como

${\ Displaystyle \ mathbf {v} = v ^ {k} \, \ mathbf {b} _ {k}}$

Las componentes v ^k son las componentes contravariantes del vector v .

La base recíproca ( b ¹ , b ² , b ³ ) está definida por la relación

${\ Displaystyle \ mathbf {b} ^ {i} \ cdot \ mathbf {b} _ {j} = \ delta _ {j} ^ {i}}$

donde δ ⁱ _j es el delta de Kronecker .

El vector v también se puede expresar en términos de la base recíproca:

${\ Displaystyle \ mathbf {v} = v_ {k} ~ \ mathbf {b} ^ {k}}$

Las componentes v _k son las componentes covariantes del vector . ${\ Displaystyle \ mathbf {v}}$

Tensores de segundo orden en coordenadas curvilíneas

Un tensor de segundo orden se puede expresar como

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {S}} = S ^ {ij} ~ \ mathbf {b} _ {i} \ otimes \ mathbf {b} _ {j} = S_ {~ j} ^ {i} ~ \ mathbf {b} _ {i} \ otimes \ mathbf {b} ^ {j} = S_ {i} ^ {~ j} ~ \ mathbf {b} ^ {i} \ otimes \ mathbf {b} _ {j} = S_ {ij} ~ \ mathbf {b} ^ {i} \ otimes \ mathbf {b} ^ {j}}$

Los componentes S ^ij son llamados los contravariantes componentes, S ⁱ _j los mixtos derecha covariante componentes, S _i ^j los mixtos izquierda-covariante componentes, y S _ij las covariantes componentes del tensor de segundo orden.

Tensor métrico y relaciones entre componentes

Las cantidades g _ij , g ^ij se definen como

${\ Displaystyle g_ {ij} = \ mathbf {b} _ {i} \ cdot \ mathbf {b} _ {j} = g_ {ji} ~; ~~ g ^ {ij} = \ mathbf {b} ^ { i} \ cdot \ mathbf {b} ^ {j} = g ^ {ji}}$

De las ecuaciones anteriores tenemos

${\ Displaystyle v ^ {i} = g ^ {ik} ~ v_ {k} ~; ~~ v_ {i} = g_ {ik} ~ v ^ {k} ~; ~~ \ mathbf {b} ^ {i } = g ^ {ij} ~ \ mathbf {b} _ {j} ~; ~~ \ mathbf {b} _ {i} = g_ {ij} ~ \ mathbf {b} ^ {j}}$

Los componentes de un vector están relacionados por

${\ Displaystyle \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {b} ^ {i} = v ^ {k} ~ \ mathbf {b} _ {k} \ cdot \ mathbf {b} ^ {i} = v ^ { k} ~ \ delta _ {k} ^ {i} = v ^ {i}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {b} _ {i} = v_ {k} ~ \ mathbf {b} ^ {k} \ cdot \ mathbf {b} _ {i} = v_ {k} ~ \ delta _ {i} ^ {k} = v_ {i}}$

También,

${\ Displaystyle \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {b} _ {i} = v ^ {k} ~ \ mathbf {b} _ {k} \ cdot \ mathbf {b} _ {i} = g_ {ki } ~ v ^ {k}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {b} ^ {i} = v_ {k} ~ \ mathbf {b} ^ {k} \ cdot \ mathbf {b} ^ {i} = g ^ {ki } ~ v_ {k}}$

Los componentes del tensor de segundo orden están relacionados por

${\ Displaystyle S ^ {ij} = g ^ {ik} ~ S_ {k} ^ {~ j} = g ^ {jk} ~ S_ {~ k} ^ {i} = g ^ {ik} ~ g ^ { jl} ~ S_ {kl}}$

El tensor alterno

En una base ortonormal para diestros, el tensor alterno de tercer orden se define como

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathcal {E}}} = \ varepsilon _ {ijk} ~ \ mathbf {e} ^ {i} \ otimes \ mathbf {e} ^ {j} \ otimes \ mathbf {e} ^ {k}}$

En una base curvilínea general, el mismo tensor puede expresarse como

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ mathcal {E}}} = {\ mathcal {E}} _ {ijk} ~ \ mathbf {b} ^ {i} \ otimes \ mathbf {b} ^ {j} \ otimes \ mathbf {b} ^ {k} = {\ mathcal {E}} ^ {ijk} ~ \ mathbf {b} _ {i} \ otimes \ mathbf {b} _ {j} \ otimes \ mathbf {b} _ { k}}$

Se puede demostrar que

${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} _ {ijk} = \ left [\ mathbf {b} _ {i}, \ mathbf {b} _ {j}, \ mathbf {b} _ {k} \ right] = (\ mathbf {b} _ {i} \ times \ mathbf {b} _ {j}) \ cdot \ mathbf {b} _ {k} ~; ~~ {\ mathcal {E}} ^ {ijk} = \ left [\ mathbf {b} ^ {i}, \ mathbf {b} ^ {j}, \ mathbf {b} ^ {k} \ right]}$

Ahora,

${\ Displaystyle \ mathbf {b} _ {i} \ times \ mathbf {b} _ {j} = J ~ \ varepsilon _ {ijp} ~ \ mathbf {b} ^ {p} = {\ sqrt {g}} ~ \ varepsilon _ {ijp} ~ \ mathbf {b} ^ {p}}$

Por eso,

${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} _ {ijk} = J ~ \ varepsilon _ {ijk} = {\ sqrt {g}} ~ \ varepsilon _ {ijk}}$

Del mismo modo, podemos demostrar que

${\ displaystyle {\ mathcal {E}} ^ {ijk} = {\ cfrac {1} {J}} ~ \ varepsilon ^ {ijk} = {\ cfrac {1} {\ sqrt {g}}} ~ \ varepsilon ^ {ijk}}$

Operaciones vectoriales

Mapa de identidad

Se puede demostrar que el mapa de identidad que definí es: ${\ Displaystyle \ mathbf {I} \ cdot \ mathbf {v} = \ mathbf {v}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {I} = g ^ {ij} \ mathbf {b} _ {i} \ otimes \ mathbf {b} _ {j} = g_ {ij} \ mathbf {b} ^ {i} \ otimes \ mathbf {b} ^ {j} = \ mathbf {b} _ {i} \ otimes \ mathbf {b} ^ {i} = \ mathbf {b} ^ {i} \ otimes \ mathbf {b} _ {i }}$

Producto escalar (punto)

El producto escalar de dos vectores en coordenadas curvilíneas es

${\ Displaystyle \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v} = u ^ {i} v_ {i} = u_ {i} v ^ {i} = g_ {ij} u ^ {i} v ^ {j} = g ^ {ij} u_ {i} v_ {j}}$

Producto vectorial (cruzado)

El producto cruzado de dos vectores viene dado por:

${\ Displaystyle \ mathbf {u} \ times \ mathbf {v} = \ varepsilon _ {ijk} u_ {j} v_ {k} \ mathbf {e} _ {i}}$

donde ε _ijk es el símbolo de permutación y e _i es un vector de base cartesiana. En coordenadas curvilíneas, la expresión equivalente es:

${\ Displaystyle \ mathbf {u} \ times \ mathbf {v} = [(\ mathbf {b} _ {m} \ times \ mathbf {b} _ {n}) \ cdot \ mathbf {b} _ {s} ] u ^ {m} v ^ {n} \ mathbf {b} ^ {s} = {\ mathcal {E}} _ {smn} u ^ {m} v ^ {n} \ mathbf {b} ^ {s }}$

donde es el tensor alterno de tercer orden . El producto cruzado de dos vectores viene dado por: ${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} _ {ijk}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {u} \ times \ mathbf {v} = \ varepsilon _ {ijk} {\ hat {u}} _ {j} {\ hat {v}} _ {k} \ mathbf {e} _ {I}}$

donde ε _ijk es el símbolo de permutación y es un vector de base cartesiana. Por lo tanto, ${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {i}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {p} \ times \ mathbf {e} _ {q} = \ varepsilon _ {ipq} \ mathbf {e} _ {i}}$

y

${\ Displaystyle \ mathbf {b} _ {m} \ times \ mathbf {b} _ {n} = {\ frac {\ parcial \ mathbf {x}} {\ parcial q ^ {m}}} \ times {\ frac {\ parcial \ mathbf {x}} {\ parcial q ^ {n}}} = {\ frac {\ parcial (x_ {p} \ mathbf {e} _ {p})} {\ parcial q ^ {m }}} \ veces {\ frac {\ parcial (x_ {q} \ mathbf {e} _ {q})} {\ parcial q ^ {n}}} = {\ frac {\ parcial x_ {p}} { \ parcial q ^ {m}}} {\ frac {\ parcial x_ {q}} {\ parcial q ^ {n}}} \ mathbf {e} _ {p} \ veces \ mathbf {e} _ {q} = \ varepsilon _ {ipq} {\ frac {\ parciales x_ {p}} {\ parciales q ^ {m}}} {\ frac {\ parciales x_ {q}} {\ parciales q ^ {n}}} \ mathbf {e} _ {i}.}$

Por eso,

${\ Displaystyle (\ mathbf {b} _ {m} \ times \ mathbf {b} _ {n}) \ cdot \ mathbf {b} _ {s} = \ varepsilon _ {ipq} {\ frac {\ parcial x_ {p}} {\ parcial q ^ {m}}} {\ frac {\ parcial x_ {q}} {\ parcial q ^ {n}}} {\ frac {\ parcial x_ {i}} {\ parcial q ^ {s}}}}$

Volviendo al producto vectorial y usando las relaciones:

${\ Displaystyle {\ hat {u}} _ {j} = {\ frac {\ parcial x_ {j}} {\ parcial q ^ {m}}} u ^ {m}, \ quad {\ hat {v} } _ {k} = {\ frac {\ parcial x_ {k}} {\ parcial q ^ {n}}} v ^ {n}, \ quad \ mathbf {e} _ {i} = {\ frac {\ parcial x_ {i}} {\ parcial q ^ {s}}} \ mathbf {b} ^ {s},}$

Nos da:

${\ Displaystyle \ mathbf {u} \ times \ mathbf {v} = \ varepsilon _ {ijk} {\ hat {u}} _ {j} {\ hat {v}} _ {k} \ mathbf {e} _ {i} = \ varepsilon _ {ijk} {\ frac {\ parcial x_ {j}} {\ parcial q ^ {m}}} {\ frac {\ parcial x_ {k}} {\ parcial q ^ {n} }} {\ frac {\ parcial x_ {i}} {\ parcial q ^ {s}}} u ^ {m} v ^ {n} \ mathbf {b} ^ {s} = [(\ mathbf {b} _ {m} \ times \ mathbf {b} _ {n}) \ cdot \ mathbf {b} _ {s}] u ^ {m} v ^ {n} \ mathbf {b} ^ {s} = {\ mathcal {E}} _ {smn} u ^ {m} v ^ {n} \ mathbf {b} ^ {s}}$

Operaciones de tensor

Mapa de identidad

Se puede mostrar que el mapa de identidad definido por${\ Displaystyle {\ mathsf {I}}}$${\ Displaystyle {\ mathsf {I}} \ cdot \ mathbf {v} = \ mathbf {v}}$

${\ Displaystyle {\ mathsf {I}} = g ^ {ij} \ mathbf {b} _ {i} \ otimes \ mathbf {b} _ {j} = g_ {ij} \ mathbf {b} ^ {i} \ otimes \ mathbf {b} ^ {j} = \ mathbf {b} _ {i} \ otimes \ mathbf {b} ^ {i} = \ mathbf {b} ^ {i} \ otimes \ mathbf {b} _ {I}}$

Acción de un tensor de segundo orden sobre un vector

La acción se puede expresar en coordenadas curvilíneas como ${\ Displaystyle \ mathbf {v} = {\ boldsymbol {S}} \ cdot \ mathbf {u}}$

${\ Displaystyle v ^ {i} \ mathbf {b} _ {i} = S ^ {ij} u_ {j} \ mathbf {b} _ {i} = S_ {j} ^ {i} u ^ {j} \ mathbf {b} _ {i}; \ qquad v_ {i} \ mathbf {b} ^ {i} = S_ {ij} u ^ {i} \ mathbf {b} ^ {i} = S_ {i} ^ {j} u_ {j} \ mathbf {b} ^ {i}}$

Producto interno de dos tensores de segundo orden

El producto interno de dos tensores de segundo orden se puede expresar en coordenadas curvilíneas como ${\ displaystyle {\ boldsymbol {U}} = {\ boldsymbol {S}} \ cdot {\ boldsymbol {T}}}$

${\ Displaystyle U_ {ij} \ mathbf {b} ^ {i} \ otimes \ mathbf {b} ^ {j} = S_ {ik} T _ {. j} ^ {k} \ mathbf {b} ^ {i} \ otimes \ mathbf {b} ^ {j} = S_ {i} ^ {. k} T_ {kj} \ mathbf {b} ^ {i} \ otimes \ mathbf {b} ^ {j}}$

Alternativamente,

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {U}} = S ^ {ij} T _ {. n} ^ {m} g_ {jm} \ mathbf {b} _ {i} \ otimes \ mathbf {b} ^ {n} = S _ {. M} ^ {i} T _ {. N} ^ {m} \ mathbf {b} _ {i} \ otimes \ mathbf {b} ^ {n} = S ^ {ij} T_ {jn} \ mathbf {b} _ {i} \ otimes \ mathbf {b} ^ {n}}$

Determinante de un tensor de segundo orden

Si es un tensor de segundo orden, entonces el determinante está definido por la relación ${\ displaystyle {\ boldsymbol {S}}}$

${\ Displaystyle \ left [{\ boldsymbol {S}} \ cdot \ mathbf {u}, {\ boldsymbol {S}} \ cdot \ mathbf {v}, {\ boldsymbol {S}} \ cdot \ mathbf {w} \ right] = \ det {\ boldsymbol {S}} \ left [\ mathbf {u}, \ mathbf {v}, \ mathbf {w} \ right]}$

donde son vectores arbitrarios y ${\ Displaystyle \ mathbf {u}, \ mathbf {v}, \ mathbf {w}}$

${\ Displaystyle \ left [\ mathbf {u}, \ mathbf {v}, \ mathbf {w} \ right]: = \ mathbf {u} \ cdot (\ mathbf {v} \ times \ mathbf {w}). }$

Relaciones entre vectores base curvilíneos y cartesianos

Sean ( e ₁ , e ₂ , e ₃ ) los vectores base cartesianos habituales para el espacio euclidiano de interés y sean

${\ Displaystyle \ mathbf {b} _ {i} = {\ boldsymbol {F}} \ cdot \ mathbf {e} _ {i}}$

donde F _i es un tensor de transformación de segundo orden que mapea e _i con b _i . Luego,

${\ Displaystyle \ mathbf {b} _ {i} \ otimes \ mathbf {e} _ {i} = ({\ boldsymbol {F}} \ cdot \ mathbf {e} _ {i}) \ otimes \ mathbf {e } _ {i} = {\ boldsymbol {F}} \ cdot (\ mathbf {e} _ {i} \ otimes \ mathbf {e} _ {i}) = {\ boldsymbol {F}} ~.}$

De esta relación podemos mostrar que

${\ Displaystyle \ mathbf {b} ^ {i} = {\ boldsymbol {F}} ^ {- {\ rm {T}}} \ cdot \ mathbf {e} ^ {i} ~; ~~ g ^ {ij } = [{\ boldsymbol {F}} ^ {- {\ rm {1}}} \ cdot {\ boldsymbol {F}} ^ {- {\ rm {T}}}] _ {ij} ~; ~~ g_ {ij} = [g ^ {ij}] ^ {- 1} = [{\ boldsymbol {F}} ^ {\ rm {T}} \ cdot {\ boldsymbol {F}}] _ {ij}}$

Sea el jacobiano de la transformación. Entonces, a partir de la definición del determinante, ${\ displaystyle J: = \ det {\ boldsymbol {F}}}$

${\ Displaystyle \ left [\ mathbf {b} _ {1}, \ mathbf {b} _ {2}, \ mathbf {b} _ {3} \ right] = \ det {\ boldsymbol {F}} \ left [\ mathbf {e} _ {1}, \ mathbf {e} _ {2}, \ mathbf {e} _ {3} \ right] ~.}$

Desde

${\ Displaystyle \ left [\ mathbf {e} _ {1}, \ mathbf {e} _ {2}, \ mathbf {e} _ {3} \ right] = 1}$

tenemos

${\ Displaystyle J = \ det {\ boldsymbol {F}} = \ left [\ mathbf {b} _ {1}, \ mathbf {b} _ {2}, \ mathbf {b} _ {3} \ right] = \ mathbf {b} _ {1} \ cdot (\ mathbf {b} _ {2} \ times \ mathbf {b} _ {3})}$

Se pueden obtener varios resultados interesantes utilizando las relaciones anteriores.

Primero, considere

${\ Displaystyle g: = \ det [g_ {ij}]}$

Luego

${\ Displaystyle g = \ det [{\ boldsymbol {F}} ^ {\ rm {T}}] \ cdot \ det [{\ boldsymbol {F}}] = J \ cdot J = J ^ {2}}$

Del mismo modo, podemos demostrar que

${\ Displaystyle \ det [g ^ {ij}] = {\ cfrac {1} {J ^ {2}}}}$

Por lo tanto, usando el hecho de que , ${\ displaystyle [g ^ {ij}] = [g_ {ij}] ^ {- 1}}$

${\ Displaystyle {\ cfrac {\ parcial g} {\ parcial g_ {ij}}} = 2 ~ J ~ {\ cfrac {\ parcial J} {\ parcial g_ {ij}}} = g ~ g ^ {ij} }$

Otra relación interesante se deriva a continuación. Recordar que

${\ Displaystyle \ mathbf {b} ^ {i} \ cdot \ mathbf {b} _ {j} = \ delta _ {j} ^ {i} \ quad \ Rightarrow \ quad \ mathbf {b} ^ {1} \ cdot \ mathbf {b} _ {1} = 1, ~ \ mathbf {b} ^ {1} \ cdot \ mathbf {b} _ {2} = \ mathbf {b} ^ {1} \ cdot \ mathbf {b } _ {3} = 0 \ quad \ Rightarrow \ quad \ mathbf {b} ^ {1} = A ~ (\ mathbf {b} _ {2} \ times \ mathbf {b} _ {3})}$

donde A es una constante, aún indeterminada. Luego

${\ Displaystyle \ mathbf {b} ^ {1} \ cdot \ mathbf {b} _ {1} = A ~ \ mathbf {b} _ {1} \ cdot (\ mathbf {b} _ {2} \ times \ mathbf {b} _ {3}) = AJ = 1 \ quad \ Rightarrow \ quad A = {\ cfrac {1} {J}}}$

Esta observación conduce a las relaciones

${\ Displaystyle \ mathbf {b} ^ {1} = {\ cfrac {1} {J}} (\ mathbf {b} _ {2} \ times \ mathbf {b} _ {3}) ~; ~~ \ mathbf {b} ^ {2} = {\ cfrac {1} {J}} (\ mathbf {b} _ {3} \ times \ mathbf {b} _ {1}) ~; ~~ \ mathbf {b} ^ {3} = {\ cfrac {1} {J}} (\ mathbf {b} _ {1} \ times \ mathbf {b} _ {2})}$

En notación de índice,

${\ Displaystyle \ varepsilon _ {ijk} ~ \ mathbf {b} ^ {k} = {\ cfrac {1} {J}} (\ mathbf {b} _ {i} \ times \ mathbf {b} _ {j }) = {\ cfrac {1} {\ sqrt {g}}} (\ mathbf {b} _ {i} \ times \ mathbf {b} _ {j})}$

donde es el símbolo de permutación habitual . ${\ Displaystyle \ varepsilon _ {ijk}}$

No hemos identificado una expresión explícita para el tensor de transformación F porque una forma alternativa del mapeo entre bases curvilíneas y cartesianas es más útil. Suponiendo un grado suficiente de suavidad en el mapeo (y un poco de abuso de notación), tenemos

${\ Displaystyle \ mathbf {b} _ {i} = {\ cfrac {\ parcial \ mathbf {x}} {\ parcial q ^ {i}}} = {\ cfrac {\ parcial \ mathbf {x}} {\ parcial x_ {j}}} ~ {\ cfrac {\ parcial x_ {j}} {\ parcial q ^ {i}}} = \ mathbf {e} _ {j} ~ {\ cfrac {\ parcial x_ {j} } {\ q parcial ^ {i}}}}$

Similar,

${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {i} = \ mathbf {b} _ {j} ~ {\ cfrac {\ parcial q ^ {j}} {\ parcial x_ {i}}}}$

De estos resultados tenemos

${\ Displaystyle \ mathbf {e} ^ {k} \ cdot \ mathbf {b} _ {i} = {\ frac {\ parcial x_ {k}} {\ parcial q ^ {i}}} \ quad \ Rightarrow \ quad {\ frac {\ parcial x_ {k}} {\ parcial q ^ {i}}} ~ \ mathbf {b} ^ {i} = \ mathbf {e} ^ {k} \ cdot (\ mathbf {b} _ {i} \ otimes \ mathbf {b} ^ {i}) = \ mathbf {e} ^ {k}}$

y

${\ Displaystyle \ mathbf {b} ^ {k} = {\ frac {\ parcial q ^ {k}} {\ parcial x_ {i}}} ~ \ mathbf {e} ^ {i}}$

Cálculo vectorial y tensorial en coordenadas curvilíneas tridimensionales

Nota: a continuación se utiliza la convención de suma de Einstein de sumar en índices repetidos.

Simmonds, en su libro sobre análisis de tensores , cita a Albert Einstein diciendo

La magia de esta teoría difícilmente dejará de imponerse a cualquiera que realmente la haya entendido; representa un auténtico triunfo del método del cálculo diferencial absoluto, fundado por Gauss, Riemann, Ricci y Levi-Civita.

El cálculo vectorial y tensorial en coordenadas curvilíneas generales se utiliza en el análisis tensorial de variedades curvilíneas de cuatro dimensiones en relatividad general , en la mecánica de capas curvas , en el examen de las propiedades de invariancia de las ecuaciones de Maxwell, que ha sido de interés en metamateriales y en muchos otros campos. .

En esta sección se dan algunas relaciones útiles en el cálculo de vectores y tensores de segundo orden en coordenadas curvilíneas. La notación y el contenido son principalmente de Ogden, Simmonds, Green y Zerna, Basar y Weichert y Ciarlet.

Definiciones basicas

Sea la posición de un punto en el espacio caracterizada por tres variables de coordenadas . ${\ Displaystyle (q ^ {1}, q ^ {2}, q ^ {3})}$

La curva de coordenadas q ¹ representa una curva en la que q ² , q ³ son constantes. Sea x el vector de posición del punto relativo a algún origen. Entonces, asumiendo que tal mapeo y su inverso existen y son continuos, podemos escribir

${\ Displaystyle \ mathbf {x} = {\ boldsymbol {\ varphi}} (q ^ {1}, q ^ {2}, q ^ {3}) ~; ~~ q ^ {i} = \ psi ^ { i} (\ mathbf {x}) = [{\ boldsymbol {\ varphi}} ^ {- 1} (\ mathbf {x})] ^ {i}}$

Los campos ψ ⁱ ( x ) se denominan funciones de coordenadas curvilíneas del sistema de coordenadas curvilíneas ψ ( x ) = φ ⁻¹ ( x ).

Las curvas de coordenadas q ⁱ están definidas por la familia de funciones de un parámetro dada por

${\ Displaystyle \ mathbf {x} _ {i} (\ alpha) = {\ boldsymbol {\ varphi}} (\ alpha, q ^ {j}, q ^ {k}) ~, ~~ i \ neq j \ neq k}$

con q ^j , q ^k fijo.

Vector tangente para coordinar curvas

El vector tangente a la curva x _i en el punto x _i (α) (oa la curva de coordenadas q _i en el punto x ) es

${\ Displaystyle {\ cfrac {\ rm {{d} \ mathbf {x} _ {i}}} {\ rm {{d} \ alpha}}} \ equiv {\ cfrac {\ partial \ mathbf {x}} {\ parcial q ^ {i}}}}$

Degradado

Campo escalar

Sea f ( x ) un campo escalar en el espacio. Luego

${\ Displaystyle f (\ mathbf {x}) = f [{\ boldsymbol {\ varphi}} (q ^ {1}, q ^ {2}, q ^ {3})] = f _ {\ varphi} (q ^ {1}, q ^ {2}, q ^ {3})}$

El gradiente del campo f está definido por

${\ Displaystyle [{\ boldsymbol {\ nabla}} f (\ mathbf {x})] \ cdot \ mathbf {c} = {\ cfrac {\ rm {d}} {\ rm {{d} \ alpha}} } f (\ mathbf {x} + \ alpha \ mathbf {c}) {\ biggr |} _ {\ alpha = 0}}$

donde c es un vector constante arbitrario. Si definimos las componentes c ⁱ de c son tales que

${\ Displaystyle q ^ {i} + \ alpha ~ c ^ {i} = \ psi ^ {i} (\ mathbf {x} + \ alpha ~ \ mathbf {c})}$

luego

${\ Displaystyle [{\ boldsymbol {\ nabla}} f (\ mathbf {x})] \ cdot \ mathbf {c} = {\ cfrac {\ rm {d}} {\ rm {{d} \ alpha}} } f _ {\ varphi} (q ^ {1} + \ alpha ~ c ^ {1}, q ^ {2} + \ alpha ~ c ^ {2}, q ^ {3} + \ alpha ~ c ^ {3 }) {\ biggr |} _ {\ alpha = 0} = {\ cfrac {\ parcial f _ {\ varphi}} {\ parcial q ^ {i}}} ~ c ^ {i} = {\ cfrac {\ parcial f} {\ q parcial ^ {i}}} ~ c ^ {i}}$

Si establecemos , desde entonces , tenemos ${\ Displaystyle f (\ mathbf {x}) = \ psi ^ {i} (\ mathbf {x})}$${\ Displaystyle q ^ {i} = \ psi ^ {i} (\ mathbf {x})}$

${\ Displaystyle [{\ boldsymbol {\ nabla}} \ psi ^ {i} (\ mathbf {x})] \ cdot \ mathbf {c} = {\ cfrac {\ parcial \ psi ^ {i}} {\ parcial q ^ {j}}} ~ c ^ {j} = c ^ {i}}$

que proporciona un medio para extraer el componente contravariante de un vector c .

Si b _i es la base covariante (o natural) en un punto, y si b ⁱ es la base contravariante (o recíproca) en ese punto, entonces

${\ Displaystyle [{\ boldsymbol {\ nabla}} f (\ mathbf {x})] \ cdot \ mathbf {c} = {\ cfrac {\ partial f} {\ partial q ^ {i}}} ~ c ^ {i} = \ left ({\ cfrac {\ parcial f} {\ parcial q ^ {i}}} ~ \ mathbf {b} ^ {i} \ right) \ left (c ^ {i} ~ \ mathbf { b} _ {i} \ right) \ quad \ Rightarrow \ quad {\ boldsymbol {\ nabla}} f (\ mathbf {x}) = {\ cfrac {\ partial f} {\ partial q ^ {i}}} ~ \ mathbf {b} ^ {i}}$

En la siguiente sección se ofrece una breve justificación de esta elección de base.

Campo vectorial

Se puede utilizar un proceso similar para llegar al gradiente de un campo vectorial f ( x ). El gradiente está dado por

${\ Displaystyle [{\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {f} (\ mathbf {x})] \ cdot \ mathbf {c} = {\ cfrac {\ parcial \ mathbf {f}} {\ parcial q ^ {i}}} ~ c ^ {i}}$

Si consideramos el gradiente del campo del vector de posición r ( x ) = x , entonces podemos demostrar que

${\ Displaystyle \ mathbf {c} = {\ cfrac {\ parcial \ mathbf {x}} {\ parcial q ^ {i}}} ~ c ^ {i} = \ mathbf {b} _ {i} (\ mathbf {x}) ~ c ^ {i} ~; ~~ \ mathbf {b} _ {i} (\ mathbf {x}): = {\ cfrac {\ parcial \ mathbf {x}} {\ parcial q ^ { I}}}}$

El campo vectorial b _i es tangente a la curva de coordenadas q ⁱ y forma una base natural en cada punto de la curva. Esta base, como se discutió al principio de este artículo, también se denomina base curvilínea covariante . También podemos definir una base recíproca , o una base curvilínea contravariante , b ⁱ . Todas las relaciones algebraicas entre los vectores base, como se discutió en la sección sobre álgebra de tensores, se aplican a la base natural y su recíproco en cada punto x .

Como c es arbitrario, podemos escribir

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {f} (\ mathbf {x}) = {\ cfrac {\ parcial \ mathbf {f}} {\ parcial q ^ {i}}} \ otimes \ mathbf {b} ^ {i}}$

Tenga en cuenta que el vector de base contravariante b ⁱ es perpendicular a la superficie de la constante ψ ⁱ y está dado por

${\ Displaystyle \ mathbf {b} ^ {i} = {\ boldsymbol {\ nabla}} \ psi ^ {i}}$

Símbolos de Christoffel del primer tipo

Los símbolos de Christoffel del primer tipo se definen como

${\ Displaystyle \ mathbf {b} _ {i, j} = {\ frac {\ parcial \ mathbf {b} _ {i}} {\ parcial q ^ {j}}}: = \ Gamma _ {ijk} ~ \ mathbf {b} ^ {k} \ quad \ Rightarrow \ quad \ mathbf {b} _ {i, j} \ cdot \ mathbf {b} _ {l} = \ Gamma _ {ijl}}$

Para expresar Γ _ijk en términos de g _ij observamos que

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} g_ {ij, k} & = (\ mathbf {b} _ {i} \ cdot \ mathbf {b} _ {j}) _ {, k} = \ mathbf {b} _ {i, k} \ cdot \ mathbf {b} _ {j} + \ mathbf {b} _ {i} \ cdot \ mathbf {b} _ {j, k} = \ Gamma _ {ikj} + \ Gamma _ {jki} \\ g_ {ik, j} & = (\ mathbf {b} _ {i} \ cdot \ mathbf {b} _ {k}) _ {, j} = \ mathbf {b} _ {i , j} \ cdot \ mathbf {b} _ {k} + \ mathbf {b} _ {i} \ cdot \ mathbf {b} _ {k, j} = \ Gamma _ {ijk} + \ Gamma _ {kji } \\ g_ {jk, i} & = (\ mathbf {b} _ {j} \ cdot \ mathbf {b} _ {k}) _ {, i} = \ mathbf {b} _ {j, i} \ cdot \ mathbf {b} _ {k} + \ mathbf {b} _ {j} \ cdot \ mathbf {b} _ {k, i} = \ Gamma _ {jik} + \ Gamma _ {kij} \ end {alineado}}}$

Dado que b _{i, j} = b _{j, i} tenemos Γ _ijk = Γ _jik . El uso de estos para reorganizar las relaciones anteriores da

${\ Displaystyle \ Gamma _ {ijk} = {\ frac {1} {2}} (g_ {ik, j} + g_ {jk, i} -g_ {ij, k}) = {\ frac {1} { 2}} [(\ mathbf {b} _ {i} \ cdot \ mathbf {b} _ {k}) _ {, j} + (\ mathbf {b} _ {j} \ cdot \ mathbf {b} _ {k}) _ {, i} - (\ mathbf {b} _ {i} \ cdot \ mathbf {b} _ {j}) _ {, k}]}$

Símbolos de Christoffel del segundo tipo

Los símbolos de Christoffel del segundo tipo se definen como

${\ Displaystyle \ Gamma _ {ij} ^ {k} = \ Gamma _ {ji} ^ {k}}$

en el cual

${\ Displaystyle {\ cfrac {\ parcial \ mathbf {b} _ {i}} {\ parcial q ^ {j}}} = \ Gamma _ {ij} ^ {k} ~ \ mathbf {b} _ {k} }$

Esto implica que

${\ Displaystyle \ Gamma _ {ij} ^ {k} = {\ cfrac {\ parcial \ mathbf {b} _ {i}} {\ parcial q ^ {j}}} \ cdot \ mathbf {b} ^ {k } = - \ mathbf {b} _ {i} \ cdot {\ cfrac {\ parcial \ mathbf {b} ^ {k}} {\ parcial q ^ {j}}}}$

Otras relaciones que siguen son

${\ Displaystyle {\ cfrac {\ parcial \ mathbf {b} ^ {i}} {\ parcial q ^ {j}}} = - \ Gamma _ {jk} ^ {i} ~ \ mathbf {b} ^ {k } ~; ~~ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {b} _ {i} = \ Gamma _ {ij} ^ {k} ~ \ mathbf {b} _ {k} \ otimes \ mathbf {b} ^ {j} ~; ~~ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {b} ^ {i} = - \ Gamma _ {jk} ^ {i} ~ \ mathbf {b} ^ {k} \ otimes \ mathbf {b} ^ {j}}$

Otra relación particularmente útil, que muestra que el símbolo de Christoffel depende solo del tensor métrico y sus derivados, es

${\ Displaystyle \ Gamma _ {ij} ^ {k} = {\ frac {g ^ {km}} {2}} \ left ({\ frac {\ parcial g_ {mi}} {\ parcial q ^ {j} }} + {\ frac {\ parcial g_ {mj}} {\ parcial q ^ {i}}} - {\ frac {\ parcial g_ {ij}} {\ parcial q ^ {m}}} \ derecha)}$

Expresión explícita para el gradiente de un campo vectorial

Las siguientes expresiones para el gradiente de un campo vectorial en coordenadas curvilíneas son bastante útiles.

${\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {v} & = \ left [{\ cfrac {\ partial v ^ {i}} {\ partial q ^ {k}}} + \ Gamma _ {lk} ^ {i} ~ v ^ {l} \ right] ~ \ mathbf {b} _ {i} \ otimes \ mathbf {b} ^ {k} \\ [8pt] & = \ left [ {\ cfrac {\ parcial v_ {i}} {\ parcial q ^ {k}}} - \ Gamma _ {ki} ^ {l} ~ v_ {l} \ right] ~ \ mathbf {b} ^ {i} \ otimes \ mathbf {b} ^ {k} \ end {alineado}}}$

Representar un campo vectorial físico

El campo vectorial v se puede representar como

${\ Displaystyle \ mathbf {v} = v_ {i} ~ \ mathbf {b} ^ {i} = {\ hat {v}} _ {i} ~ {\ hat {\ mathbf {b}}} ^ {i }}$

donde están los componentes covariantes del campo, son los componentes físicos y (sin suma ) ${\ Displaystyle v_ {i}}$${\ Displaystyle {\ hat {v}} _ {i}}$

${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {b}}} ^ {i} = {\ cfrac {\ mathbf {b} ^ {i}} {\ sqrt {g ^ {ii}}}}}$

es el vector base contravariante normalizado.

Campo tensorial de segundo orden

El gradiente de un campo tensorial de segundo orden se puede expresar de manera similar como

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} {\ boldsymbol {S}} = {\ cfrac {\ partial {\ boldsymbol {S}}} {\ partial q ^ {i}}} \ otimes \ mathbf {b} ^ {i}}$

Expresiones explícitas para el gradiente

Si consideramos la expresión del tensor en términos de una base contravariante, entonces

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} {\ boldsymbol {S}} = {\ cfrac {\ partial} {\ partial q ^ {k}}} [S_ {ij} ~ \ mathbf {b} ^ {i } \ otimes \ mathbf {b} ^ {j}] \ otimes \ mathbf {b} ^ {k} = \ left [{\ cfrac {\ parcial S_ {ij}} {\ parcial q ^ {k}}} - \ Gamma _ {ki} ^ {l} ~ S_ {lj} - \ Gamma _ {kj} ^ {l} ~ S_ {il} \ right] ~ \ mathbf {b} ^ {i} \ otimes \ mathbf {b } ^ {j} \ otimes \ mathbf {b} ^ {k}}$

También podemos escribir

${\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ boldsymbol {\ nabla}} {\ boldsymbol {S}} & = \ left [{\ cfrac {\ partial S ^ {ij}} {\ partial q ^ {k}} } + \ Gamma _ {kl} ^ {i} ~ S ^ {lj} + \ Gamma _ {kl} ^ {j} ~ S ^ {il} \ right] ~ \ mathbf {b} _ {i} \ otimes \ mathbf {b} _ {j} \ otimes \ mathbf {b} ^ {k} \\ [8pt] & = \ left [{\ cfrac {\ parcial S_ {~ j} ^ {i}} {\ parcial q ^ {k}}} + \ Gamma _ {kl} ^ {i} ~ S_ {~ j} ^ {l} - \ Gamma _ {kj} ^ {l} ~ S_ {~ l} ^ {i} \ right ] ~ \ mathbf {b} _ {i} \ otimes \ mathbf {b} ^ {j} \ otimes \ mathbf {b} ^ {k} \\ [8pt] & = \ left [{\ cfrac {\ parcial S_ {i} ^ {~ j}} {\ parcial q ^ {k}}} - \ Gamma _ {ik} ^ {l} ~ S_ {l} ^ {~ j} + \ Gamma _ {kl} ^ {j } ~ S_ {i} ^ {~ l} \ right] ~ \ mathbf {b} ^ {i} \ otimes \ mathbf {b} _ {j} \ otimes \ mathbf {b} ^ {k} \ end {alineado }}}$

Representar un campo tensorial físico de segundo orden

Los componentes físicos de un campo tensorial de segundo orden se pueden obtener utilizando una base contravariante normalizada, es decir,

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {S}} = S_ {ij} ~ \ mathbf {b} ^ {i} \ otimes \ mathbf {b} ^ {j} = {\ hat {S}} _ {ij} ~ { \ hat {\ mathbf {b}}} ^ {i} \ otimes {\ hat {\ mathbf {b}}} ^ {j}}$

donde se han normalizado los vectores de base sombreada. Esto implica que (nuevamente sin resumen)

${\ Displaystyle {\ hat {S}} _ {ij} = S_ {ij} ~ {\ sqrt {g ^ {ii} ~ g ^ {jj}}}}$

Divergencia

Campo vectorial

La divergencia de un campo vectorial ( ) se define como ${\ Displaystyle \ mathbf {v}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {div} ~ \ mathbf {v} = {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v} = {\ text {tr}} ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf { v})}$

En términos de componentes con respecto a una base curvilínea

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v} = {\ cfrac {\ parcial v ^ {i}} {\ parcial q ^ {i}}} + \ Gamma _ {\ ell i} ^ {i} ~ v ^ {\ ell} = \ izquierda [{\ cfrac {\ parcial v_ {i}} {\ parcial q ^ {j}}} - \ Gamma _ {ji} ^ {\ ell} ~ v_ {\ ell} \ right] ~ g ^ {ij}}$

Con frecuencia se utiliza una ecuación alternativa para la divergencia de un campo vectorial. Para derivar esta relación, recordemos que

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v} = {\ frac {\ partial v ^ {i}} {\ partial q ^ {i}}} + \ Gamma _ {\ ell i} ^ {i} ~ v ^ {\ ell}}$

Ahora,

${\ Displaystyle \ Gamma _ {\ ell i} ^ {i} = \ Gamma _ {i \ ell} ^ {i} = {\ cfrac {g ^ {mi}} {2}} \ left [{\ frac { \ parcial g_ {im}} {\ parcial q ^ {\ ell}}} + {\ frac {\ parcial g _ {\ ell m}} {\ parcial q ^ {i}}} - {\ frac {\ parcial g_ {il}} {\ q parcial ^ {m}}} \ derecha]}$

Observando que, debido a la simetría de , ${\ displaystyle {\ boldsymbol {g}}}$

${\ Displaystyle g ^ {mi} ~ {\ frac {\ parcial g _ {\ ell m}} {\ parcial q ^ {i}}} = g ^ {mi} ~ {\ frac {\ parcial g_ {i \ ell }} {\ q parcial ^ {m}}}}$

tenemos

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v} = {\ frac {\ partial v ^ {i}} {\ partial q ^ {i}}} + {\ cfrac {g ^ {mi }} {2}} ~ {\ frac {\ parcial g_ {im}} {\ parcial q ^ {\ ell}}} ~ v ^ {\ ell}}$

Recuerde que si [ g _ij ] es la matriz cuyos componentes son g _ij , entonces la inversa de la matriz es . La inversa de la matriz viene dada por ${\ displaystyle [g_ {ij}] ^ {- 1} = [g ^ {ij}]}$

${\ displaystyle [g ^ {ij}] = [g_ {ij}] ^ {- 1} = {\ cfrac {A ^ {ij}} {g}} ~; ~~ g: = \ det ([g_ { ij}]) = \ det {\ boldsymbol {g}}}$

donde A ^ij son la matriz Cofactor de los componentes g _ij . Del álgebra matricial tenemos

${\ Displaystyle g = \ det ([g_ {ij}]) = \ sum _ {i} g_ {ij} ~ A ^ {ij} \ quad \ Rightarrow \ quad {\ frac {\ parcial g} {\ parcial g_ {ij}}} = A ^ {ij}}$

Por eso,

${\ displaystyle [g ^ {ij}] = {\ cfrac {1} {g}} ~ {\ frac {\ parcial g} {\ parcial g_ {ij}}}}$

Conectando esta relación en la expresión de la divergencia da

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v} = {\ frac {\ partial v ^ {i}} {\ partial q ^ {i}}} + {\ cfrac {1} {2g }} ~ {\ frac {\ parcial g} {\ parcial g_ {mi}}} ~ {\ frac {\ parcial g_ {im}} {\ parcial q ^ {\ ell}}} ~ v ^ {\ ell} = {\ frac {\ parcial v ^ {i}} {\ parcial q ^ {i}}} + {\ cfrac {1} {2g}} ~ {\ frac {\ parcial g} {\ parcial q ^ {\ ell}}} ~ v ^ {\ ell}}$

Un poco de manipulación conduce a la forma más compacta.

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v} = {\ cfrac {1} {\ sqrt {g}}} ~ {\ frac {\ parcial} {\ parcial q ^ {i}} } (v ^ {i} ~ {\ sqrt {g}})}$

Campo tensorial de segundo orden

La divergencia de un campo tensorial de segundo orden se define mediante

${\ displaystyle ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot {\ boldsymbol {S}}) \ cdot \ mathbf {a} = {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot ({\ boldsymbol {S}} \ cdot \ mathbf {a})}$

donde a es un vector constante arbitrario. En coordenadas curvilíneas,

${\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot {\ boldsymbol {S}} & = \ left [{\ cfrac {\ partial S_ {ij}} {\ partial q ^ {k} }} - \ Gamma _ {ki} ^ {l} ~ S_ {lj} - \ Gamma _ {kj} ^ {l} ~ S_ {il} \ right] ~ g ^ {ik} ~ \ mathbf {b} ^ {j} \\ [8pt] & = \ left [{\ cfrac {\ parcial S ^ {ij}} {\ parcial q ^ {i}}} + \ Gamma _ {il} ^ {i} ~ S ^ { lj} + \ Gamma _ {il} ^ {j} ~ S ^ {il} \ right] ~ \ mathbf {b} _ {j} \\ [8pt] & = \ left [{\ cfrac {\ parcial S_ { ~ j} ^ {i}} {\ parcial q ^ {i}}} + \ Gamma _ {il} ^ {i} ~ S_ {~ j} ^ {l} - \ Gamma _ {ij} ^ {l} ~ S_ {~ l} ^ {i} \ right] ~ \ mathbf {b} ^ {j} \\ [8pt] & = \ left [{\ cfrac {\ parcial S_ {i} ^ {~ j}} { \ parcial q ^ {k}}} - \ Gamma _ {ik} ^ {l} ~ S_ {l} ^ {~ j} + \ Gamma _ {kl} ^ {j} ~ S_ {i} ^ {~ l } \ derecha] ~ g ^ {ik} ~ \ mathbf {b} _ {j} \ end {alineado}}}$

Laplaciano

Campo escalar

El laplaciano de un campo escalar φ ( x ) se define como

${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ varphi: = {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ varphi)}$

El uso de la expresión alternativa para la divergencia de un campo vectorial nos da

${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ varphi = {\ cfrac {1} {\ sqrt {g}}} ~ {\ frac {\ parcial} {\ parcial q ^ {i}}} ([{\ boldsymbol { \ nabla}} \ varphi] ^ {i} ~ {\ sqrt {g}})}$

Ahora

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ varphi = {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial q ^ {l}}} ~ \ mathbf {b} ^ {l} = g ^ {li} ~ {\ frac {\ parcial \ varphi} {\ parcial q ^ {l}}} ~ \ mathbf {b} _ {i} \ quad \ Rightarrow \ quad [{\ boldsymbol {\ nabla}} \ varphi] ^ {i } = g ^ {li} ~ {\ frac {\ parcial \ varphi} {\ parcial q ^ {l}}}}$

Por lo tanto,

${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ varphi = {\ cfrac {1} {\ sqrt {g}}} ~ {\ frac {\ parcial} {\ parcial q ^ {i}}} \ left (g ^ { li} ~ {\ frac {\ parcial \ varphi} {\ parcial q ^ {l}}} ~ {\ sqrt {g}} \ derecha)}$

Rizo de un campo vectorial

La curva de un campo vectorial v en coordenadas curvilíneas covariantes se puede escribir como

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ times \ mathbf {v} = {\ mathcal {E}} ^ {rst} v_ {s | r} ~ \ mathbf {b} _ {t}}$

dónde

${\ Displaystyle v_ {s | r} = v_ {s, r} - \ Gamma _ {sr} ^ {i} ~ v_ {i}}$

Coordenadas curvilíneas ortogonales

Suponga, para los propósitos de esta sección, que el sistema de coordenadas curvilíneas es ortogonal , es decir,

${\ Displaystyle \ mathbf {b} _ {i} \ cdot \ mathbf {b} _ {j} = {\ begin {cases} g_ {ii} & {\ text {if}} i = j \\ 0 & {\ texto {if}} i \ neq j, \ end {cases}}}$

o equivalente,

${\ Displaystyle \ mathbf {b} ^ {i} \ cdot \ mathbf {b} ^ {j} = {\ begin {cases} g ^ {ii} & {\ text {if}} i = j \\ 0 & { \ text {if}} i \ neq j, \ end {cases}}}$

donde . Como antes, son vectores de base covariante y b ⁱ , b ^j son vectores de base contravariante. Además, sea ( e ¹ , e ² , e ³ ) una base cartesiana fija de fondo . A continuación se proporciona una lista de coordenadas curvilíneas ortogonales. ${\ Displaystyle g ^ {ii} = g_ {ii} ^ {- 1}}$${\ Displaystyle \ mathbf {b} _ {i}, \ mathbf {b} _ {j}}$

Tensor métrico en coordenadas curvilíneas ortogonales

Sea r ( x ) el vector de posición del punto x con respecto al origen del sistema de coordenadas. La notación se puede simplificar notando que x = r ( x ). En cada punto podemos construir un elemento lineal pequeño d x . El cuadrado de la longitud del elemento de línea es el producto escalar d x • d x y se llama métrica del espacio . Recuerde que se supone que el espacio de interés es euclidiano cuando hablamos de coordenadas curvilíneas. Expresemos el vector de posición en términos del fondo, fijo, base cartesiana, es decir,

${\ Displaystyle \ mathbf {x} = \ sum _ {i = 1} ^ {3} x_ {i} ~ \ mathbf {e} _ {i}}$

Usando la regla de la cadena , podemos expresar d x en términos de coordenadas curvilíneas ortogonales tridimensionales ( q ¹ , q ² , q ³ ) como

${\ Displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {x} = \ sum _ {i = 1} ^ {3} \ sum _ {j = 1} ^ {3} \ left ({\ cfrac {\ partial x_ {i }} {\ q parcial ^ {j}}} ~ \ mathbf {e} _ {i} \ derecha) \ mathrm {d} q ^ {j}}$

Por tanto, la métrica viene dada por

${\ Displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {x} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {x} = \ sum _ {i = 1} ^ {3} \ sum _ {j = 1} ^ {3} \ sum _ {k = 1} ^ {3} {\ cfrac {\ parcial x_ {i}} {\ parcial q ^ {j}}} ~ {\ cfrac {\ parcial x_ {i}} {\ parcial q ^ {k}}} ~ \ mathrm {d} q ^ {j} ~ \ mathrm {d} q ^ {k}}$

La cantidad simétrica

${\ Displaystyle g_ {ij} (q ^ {i}, q ^ {j}) = \ sum _ {k = 1} ^ {3} {\ cfrac {\ parcial x_ {k}} {\ parcial q ^ { i}}} ~ {\ cfrac {\ parcial x_ {k}} {\ parcial q ^ {j}}} = \ mathbf {b} _ {i} \ cdot \ mathbf {b} _ {j}}$

se llama tensor fundamental (o métrico) del espacio euclidiano en coordenadas curvilíneas.

Tenga en cuenta también que

${\ Displaystyle g_ {ij} = {\ cfrac {\ parcial \ mathbf {x}} {\ parcial q ^ {i}}} \ cdot {\ cfrac {\ parcial \ mathbf {x}} {\ parcial q ^ { j}}} = \ left (\ sum _ {k} h_ {ki} ~ \ mathbf {e} _ {k} \ right) \ cdot \ left (\ sum _ {m} h_ {mj} ~ \ mathbf { e} _ {m} \ right) = \ sum _ {k} h_ {ki} ~ h_ {kj}}$

donde h _ij son los coeficientes de Lamé.

Si definimos los factores de escala, h _i , usando

${\ Displaystyle \ mathbf {b} _ {i} \ cdot \ mathbf {b} _ {i} = g_ {ii} = \ sum _ {k} h_ {ki} ^ {2} =: h_ {i} ^ {2} \ quad \ Rightarrow \ quad \ left | {\ cfrac {\ parcial \ mathbf {x}} {\ parcial q ^ {i}}} \ right | = \ left | \ mathbf {b} _ {i} \ right | = {\ sqrt {g_ {ii}}} = h_ {i}}$

obtenemos una relación entre el tensor fundamental y los coeficientes de Lamé.

Ejemplo: coordenadas polares

Si consideramos las coordenadas polares para R ² , tenga en cuenta que

${\ Displaystyle (x, y) = (r \ cos \ theta, r \ sin \ theta)}$

(r, θ) son las coordenadas curvilíneas, y el determinante jacobiano de la transformación ( r , θ) → ( r cos θ, r sen θ) es r .

Los vectores de base ortogonal son b _r = (cos θ, sin θ), b _θ = (- r sin θ, r cos θ). Los vectores base normalizados son e _r = (cos θ, sin θ), e _θ = (−sin θ, cos θ) y los factores de escala son h _r = 1 y h _θ = r . El tensor fundamental es g ₁₁ = 1, g ₂₂ = r ² , g ₁₂ = g ₂₁ = 0.

Integrales de línea y superficie

Si deseamos utilizar coordenadas curvilíneas para cálculos de cálculo vectorial , es necesario realizar ajustes en el cálculo de integrales de línea, superficie y volumen. Para simplificar, de nuevo restringimos la discusión a tres dimensiones y coordenadas curvilíneas ortogonales. Sin embargo, los mismos argumentos se aplican a los problemas dimensionales, aunque hay algunos términos adicionales en las expresiones cuando el sistema de coordenadas no es ortogonal. ${\ Displaystyle n}$

Integrales de línea

Normalmente en el cálculo de integrales de línea nos interesa calcular

${\ Displaystyle \ int _ {C} f \, ds = \ int _ {a} ^ {b} f (\ mathbf {x} (t)) \ left | {\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial t} \ right | \; dt}$

donde x ( t ) parametriza C en coordenadas cartesianas. En coordenadas curvilíneas, el término

${\ estilo de visualización \ izquierda | {\ parcial \ mathbf {x} \ sobre \ parcial t} \ derecha | = \ izquierda | \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ parcial \ mathbf {x} \ sobre \ parcial q ^ {i}} {\ parcial q ^ {i} \ sobre \ parcial t} \ derecha |}$

por la regla de la cadena . Y a partir de la definición de los coeficientes de Lamé,

${\ Displaystyle {\ parcial \ mathbf {x} \ sobre \ parcial q ^ {i}} = \ sum _ {k} h_ {ki} ~ \ mathbf {e} _ {k}}$

y por lo tanto

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ izquierda | {\ parcial \ mathbf {x} \ sobre \ parcial t} \ derecha | & = \ izquierda | \ sum _ {k} \ izquierda (\ sum _ {i} h_ {ki} ~ {\ cfrac {\ parcial q ^ {i}} {\ parcial t}} \ derecha) \ mathbf {e} _ {k} \ derecha | \\ [8pt] & = {\ sqrt {\ sum _ {i} \ sum _ {j} \ sum _ {k} h_ {ki} ~ h_ {kj} {\ cfrac {\ parcial q ^ {i}} {\ parcial t}} {\ cfrac {\ parcial q ^ {j}} {\ parcial t}}}} = {\ sqrt {\ sum _ {i} \ sum _ {j} g_ {ij} ~ {\ cfrac {\ parcial q ^ {i}} {\ parcial t}} {\ cfrac {\ parcial q ^ {j}} {\ parcial t}}}} \ end {alineado}}}$

Ahora, desde cuando , tenemos ${\ Displaystyle g_ {ij} = 0}$${\ Displaystyle i \ neq j}$

${\ Displaystyle \ izquierda | {\ parcial \ mathbf {x} \ sobre \ parcial t} \ derecha | = {\ sqrt {\ sum _ {i} g_ {ii} ~ \ izquierda ({\ cfrac {\ parcial q ^ {i}} {\ parcial t}} \ derecha) ^ {2}}} = {\ sqrt {\ sum _ {i} h_ {i} ^ {2} ~ \ izquierda ({\ cfrac {\ parcial q ^ {i}} {\ parcial t}} \ derecha) ^ {2}}}}$

y podemos proceder normalmente.

Integrales de superficie

Asimismo, si nos interesa una integral de superficie , el cálculo relevante, con la parametrización de la superficie en coordenadas cartesianas es:

${\ Displaystyle \ int _ {S} f \, dS = \ iint _ {T} f (\ mathbf {x} (s, t)) \ left | {\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial s} \ veces {\ parcial \ mathbf {x} \ sobre \ parcial t} \ derecha | \, ds \, dt}$

Nuevamente, en coordenadas curvilíneas, tenemos

${\ estilo de visualización \ izquierda | {\ parcial \ mathbf {x} \ sobre \ parcial s} \ veces {\ parcial \ mathbf {x} \ sobre \ parcial t} \ derecha | = \ izquierda | \ izquierda (\ sum _ { i} {\ parcial \ mathbf {x} \ sobre \ parcial q ^ {i}} {\ parcial q ^ {i} \ sobre \ parcial s} \ derecha) \ veces \ izquierda (\ sum _ {j} {\ parcial \ mathbf {x} \ sobre \ parcial q ^ {j}} {\ parcial q ^ {j} \ sobre \ parcial t} \ derecha) \ derecha |}$

y hacemos uso de la definición de coordenadas curvilíneas nuevamente para obtener

${\ Displaystyle {\ parcial \ mathbf {x} \ sobre \ parcial q ^ {i}} {\ parcial q ^ {i} \ sobre \ parcial s} = \ sum _ {k} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {3} h_ {ki} ~ {\ parcial q ^ {i} \ sobre \ parcial s} \ derecha) \ mathbf {e} _ {k} ~; ~~ {\ parcial \ mathbf {x} \ sobre \ parcial q ^ {j}} {\ parcial q ^ {j} \ sobre \ parcial t} = \ sum _ {m} \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {3} h_ {mj} ~ {\ parcial q ^ {j} \ sobre \ parcial t} \ derecha) \ mathbf {e} _ {m}}$

Por lo tanto,

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ izquierda | {\ parcial \ mathbf {x} \ sobre \ parcial s} \ veces {\ parcial \ mathbf {x} \ sobre \ parcial t} \ derecha | & = \ izquierda | \ sum _ {k} \ sum _ {m} \ izquierda (\ sum _ {i = 1} ^ {3} h_ {ki} ~ {\ parcial q ^ {i} \ sobre \ parcial s} \ derecha) \ izquierda (\ sum _ {j = 1} ^ {3} h_ {mj} ~ {\ parcial q ^ {j} \ sobre \ parcial t} \ derecha) \ mathbf {e} _ {k} \ times \ mathbf { e} _ {m} \ right | \\ [8pt] & = \ left | \ sum _ {p} \ sum _ {k} \ sum _ {m} {\ mathcal {E}} _ {kmp} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {3} h_ {ki} ~ {\ parcial q ^ {i} \ sobre \ parcial s} \ derecha) \ izquierda (\ sum _ {j = 1} ^ {3} h_ {mj} ~ {\ parcial q ^ {j} \ sobre \ parcial t} \ derecha) \ mathbf {e} _ {p} \ derecha | \ end {alineado}}}$

donde está el símbolo de permutación . ${\ Displaystyle {\ mathcal {E}}}$

En forma determinante, el producto cruzado en términos de coordenadas curvilíneas será:

${\ Displaystyle {\ begin {vmatrix} \ mathbf {e} _ {1} & \ mathbf {e} _ {2} & \ mathbf {e} _ {3} \\ && \\\ sum _ {i} h_ {1i} {\ parcial q ^ {i} \ sobre \ parcial s} & \ sum _ {i} h_ {2i} {\ parcial q ^ {i} \ sobre \ parcial s} & \ sum _ {i} h_ {3i} {\ parcial q ^ {i} \ sobre \ parcial s} \\ && \\\ suma _ {j} h_ {1j} {\ parcial q ^ {j} \ sobre \ parcial t} & \ suma _ {j} h_ {2j} {\ parcial q ^ {j} \ sobre \ parcial t} & \ sum _ {j} h_ {3j} {\ parcial q ^ {j} \ sobre \ parcial t} \ end {vmatrix }}}$

Grad, rizo, div, laplaciano

En coordenadas curvilíneas ortogonales de 3 dimensiones, donde

${\ Displaystyle \ mathbf {b} ^ {i} = \ sum _ {k} g ^ {ik} ~ \ mathbf {b} _ {k} ~; ~~ g ^ {ii} = {\ cfrac {1} {g_ {ii}}} = {\ cfrac {1} {h_ {i} ^ {2}}}}$

uno puede expresar el gradiente de un campo escalar o vectorial como

${\ Displaystyle \ nabla \ varphi = \ sum _ {i} {\ parcial \ varphi \ over \ parcial q ^ {i}} ~ \ mathbf {b} ^ {i} = \ sum _ {i} \ sum _ { j} {\ parcial \ varphi \ sobre \ parcial q ^ {i}} ~ g ^ {ij} ~ \ mathbf {b} _ {j} = \ sum _ {i} {\ cfrac {1} {h_ {i } ^ {2}}} ~ {\ f parcial \ sobre \ q parcial ^ {i}} ~ \ mathbf {b} _ {i} ~; ~~ \ nabla \ mathbf {v} = \ sum _ {i} {\ cfrac {1} {h_ {i} ^ {2}}} ~ {\ parcial \ mathbf {v} \ sobre \ parcial q ^ {i}} \ otimes \ mathbf {b} _ {i}}$

Para una base ortogonal

${\ Displaystyle g = g_ {11} ~ g_ {22} ~ g_ {33} = h_ {1} ^ {2} ~ h_ {2} ^ {2} ~ h_ {3} ^ {2} \ quad \ Rightarrow \ quad {\ sqrt {g}} = h_ {1} h_ {2} h_ {3}}$

La divergencia de un campo vectorial se puede escribir como

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v} = {\ cfrac {1} {h_ {1} h_ {2} h_ {3}}} ~ {\ frac {\ partial} {\ parcial q ^ {i}}} (h_ {1} h_ {2} h_ {3} ~ v ^ {i})}$

También,

${\ Displaystyle v ^ {i} = g ^ {ik} ~ v_ {k} \ quad \ Rightarrow v ^ {1} = g ^ {11} ~ v_ {1} = {\ cfrac {v_ {1}} { h_ {1} ^ {2}}} ~; ~~ v ^ {2} = g ^ {22} ~ v_ {2} = {\ cfrac {v_ {2}} {h_ {2} ^ {2}} } ~; ~~ v ^ {3} = g ^ {33} ~ v_ {3} = {\ cfrac {v_ {3}} {h_ {3} ^ {2}}}}$

Por lo tanto,

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v} = {\ cfrac {1} {h_ {1} h_ {2} h_ {3}}} ~ \ sum _ {i} {\ frac {\ parcial} {\ parcial q ^ {i}}} \ izquierda ({\ cfrac {h_ {1} h_ {2} h_ {3}} {h_ {i} ^ {2}}} ~ v_ {i} \derecho)}$

Podemos obtener una expresión para el laplaciano de una manera similar al señalar que

${\ estilo de visualización g ^ {li} ~ {\ frac {\ parcial \ varphi} {\ parcial q ^ {l}}} = \ izquierda \ {g ^ {11} ~ {\ frac {\ parcial \ varphi} {\ parcial q ^ {1}}}, g ^ {22} ~ {\ frac {\ parcial \ varphi} {\ parcial q ^ {2}}}, g ^ {33} ~ {\ frac {\ parcial \ varphi} {\ parcial q ^ {3}}} \ derecha \} = \ izquierda \ {{\ cfrac {1} {h_ {1} ^ {2}}} ~ {\ frac {\ parcial \ varphi} {\ parcial q ^ {1}}}, {\ cfrac {1} {h_ {2} ^ {2}}} ~ {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial q ^ {2}}}, {\ cfrac {1 } {h_ {3} ^ {2}}} ~ {\ frac {\ parcial \ varphi} {\ parcial q ^ {3}}} \ right \}}$

Entonces nosotros tenemos

${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ varphi = {\ cfrac {1} {h_ {1} h_ {2} h_ {3}}} ~ \ sum _ {i} {\ frac {\ parcial} {\ parcial q ^ {i}}} \ left ({\ cfrac {h_ {1} h_ {2} h_ {3}} {h_ {i} ^ {2}}} ~ {\ frac {\ parcial \ varphi} {\ q parcial ^ {i}}} \ right)}$

Las expresiones para gradiente, divergencia y laplaciano pueden extenderse directamente a n dimensiones.

La curvatura de un campo vectorial está dada por

${\ Displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {v} = {\ frac {1} {h_ {1} h_ {2} h_ {3}}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {e } _ {i} \ sum _ {jk} \ varepsilon _ {ijk} h_ {i} {\ frac {\ parcial (h_ {k} v_ {k})} {\ parcial q ^ {j}}}}$

donde ε _ijk es el símbolo de Levi-Civita .

Ejemplo: coordenadas polares cilíndricas

Para coordenadas cilíndricas tenemos

${\ Displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = \ mathbf {x} = {\ boldsymbol {\ varphi}} (q ^ {1}, q ^ {2}, q ^ { 3}) = {\ boldsymbol {\ varphi}} (r, \ theta, z) = \ {r \ cos \ theta, r \ sin \ theta, z \}}$

y

${\ Displaystyle \ {\ psi ^ {1} (\ mathbf {x}), \ psi ^ {2} (\ mathbf {x}), \ psi ^ {3} (\ mathbf {x}) \} = ( q ^ {1}, q ^ {2}, q ^ {3}) \ equiv (r, \ theta, z) = \ {{\ sqrt {x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ { 2}}}, \ tan ^ {- 1} (x_ {2} / x_ {1}), x_ {3} \}}$

dónde

${\ Displaystyle 0 <r <\ infty ~, ~~ 0 <\ theta <2 \ pi ~, ~~ - \ infty <z <\ infty}$

Entonces los vectores base covariante y contravariante son

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {b} _ {1} & = \ mathbf {e} _ {r} = \ mathbf {b} ^ {1} \\\ mathbf {b} _ {2} & = r ~ \ mathbf {e} _ {\ theta} = r ^ {2} ~ \ mathbf {b} ^ {2} \\\ mathbf {b} _ {3} & = \ mathbf {e} _ { z} = \ mathbf {b} ^ {3} \ end {alineado}}}$

donde están los vectores unitarios en las direcciones. ${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {r}, \ mathbf {e} _ {\ theta}, \ mathbf {e} _ {z}}$${\ Displaystyle r, \ theta, z}$

Tenga en cuenta que los componentes del tensor métrico son tales que

${\ Displaystyle g ^ {ij} = g_ {ij} = 0 (i \ neq j) ~; ~~ {\ sqrt {g ^ {11}}} = 1, ~ {\ sqrt {g ^ {22}} } = {\ cfrac {1} {r}}, ~ {\ sqrt {g ^ {33}}} = 1}$

lo que muestra que la base es ortogonal.

Los componentes distintos de cero del símbolo de Christoffel del segundo tipo son

${\ Displaystyle \ Gamma _ {12} ^ {2} = \ Gamma _ {21} ^ {2} = {\ cfrac {1} {r}} ~; ~~ \ Gamma _ {22} ^ {1} = -r}$

Representar un campo vectorial físico

Los vectores base contravariantes normalizados en coordenadas polares cilíndricas son

${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {b}}} ^ {1} = \ mathbf {e} _ {r} ~; ~~ {\ hat {\ mathbf {b}}} ^ {2} = \ mathbf {e} _ {\ theta} ~; ~~ {\ hat {\ mathbf {b}}} ^ {3} = \ mathbf {e} _ {z}}$

y los componentes físicos de un vector v son

${\ Displaystyle ({\ hat {v}} _ {1}, {\ hat {v}} _ {2}, {\ hat {v}} _ {3}) = (v_ {1}, v_ {2 } / r, v_ {3}) = :( v_ {r}, v _ {\ theta}, v_ {z})}$

Gradiente de un campo escalar

El gradiente de un campo escalar, f ( x ), en coordenadas cilíndricas ahora se puede calcular a partir de la expresión general en coordenadas curvilíneas y tiene la forma

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} f = {\ cfrac {\ parcial f} {\ parcial r}} ~ \ mathbf {e} _ {r} + {\ cfrac {1} {r}} ~ { \ cfrac {\ parcial f} {\ parcial \ theta}} ~ \ mathbf {e} _ {\ theta} + {\ cfrac {\ parcial f} {\ parcial z}} ~ \ mathbf {e} _ {z} }$

Gradiente de un campo vectorial

De manera similar, se puede demostrar que el gradiente de un campo vectorial, v ( x ), en coordenadas cilíndricas es

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {v} & = {\ cfrac {\ parcial v_ {r}} {\ parcial r}} ~ \ mathbf {e} _ {r } \ otimes \ mathbf {e} _ {r} + {\ cfrac {1} {r}} \ left ({\ cfrac {\ parcial v_ {r}} {\ parcial \ theta}} - v _ {\ theta} \ right) ~ \ mathbf {e} _ {r} \ otimes \ mathbf {e} _ {\ theta} + {\ cfrac {\ parcial v_ {r}} {\ parcial z}} ~ \ mathbf {e} _ {r} \ otimes \ mathbf {e} _ {z} \\ [8pt] & + {\ cfrac {\ parcial v _ {\ theta}} {\ parcial r}} ~ \ mathbf {e} _ {\ theta} \ otimes \ mathbf {e} _ {r} + {\ cfrac {1} {r}} \ left ({\ cfrac {\ partial v _ {\ theta}} {\ partial \ theta}} + v_ {r} \ derecha) ~ \ mathbf {e} _ {\ theta} \ otimes \ mathbf {e} _ {\ theta} + {\ cfrac {\ parcial v _ {\ theta}} {\ parcial z}} ~ \ mathbf {e} _ {\ theta} \ otimes \ mathbf {e} _ {z} \\ [8pt] & + {\ cfrac {\ parcial v_ {z}} {\ parcial r}} ~ \ mathbf {e} _ {z} \ otimes \ mathbf {e} _ {r} + {\ cfrac {1} {r}} {\ cfrac {\ parcial v_ {z}} {\ parcial \ theta}} ~ \ mathbf {e} _ {z} \ otimes \ mathbf {e} _ {\ theta} + {\ cfrac {\ parcial v_ {z}} {\ parcial z}} ~ \ mathbf {e} _ {z} \ otimes \ mathbf {e} _ {z } \ end {alineado}}}$

Divergencia de un campo vectorial

Usando la ecuación para la divergencia de un campo vectorial en coordenadas curvilíneas, se puede demostrar que la divergencia en coordenadas cilíndricas es

${\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v} & = {\ cfrac {\ partial v_ {r}} {\ partid r}} + {\ cfrac {1} {r}} \ izquierda ({\ cfrac {\ parcial v _ {\ theta}} {\ parcial \ theta}} + v_ {r} \ derecha) + {\ cfrac {\ parcial v_ {z}} {\ parcial z }} \ end {alineado}}}$

Laplaciano de un campo escalar

El laplaciano se calcula más fácilmente notando eso . En coordenadas polares cilíndricas ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} ^ {2} f = {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} f}$

${\ Displaystyle \ mathbf {v} = {\ boldsymbol {\ nabla}} f = \ left [v_ {r} ~~ v _ {\ theta} ~~ v_ {z} \ right] = \ left [{\ cfrac { \ parcial f} {\ parcial r}} ~~ {\ cfrac {1} {r}} {\ cfrac {\ parcial f} {\ parcial \ theta}} ~~ {\ cfrac {\ parcial f} {\ parcial z}} \ derecha]}$

Por eso,

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v} = {\ boldsymbol {\ nabla}} ^ {2} f = {\ cfrac {\ parcial ^ {2} f} {\ parcial r ^ {2}}} + {\ cfrac {1} {r}} \ left ({\ cfrac {1} {r}} {\ cfrac {\ parcial ^ {2} f} {\ parcial \ theta ^ {2} }} + {\ cfrac {\ parcial f} {\ parcial r}} \ derecha) + {\ cfrac {\ parcial ^ {2} f} {\ parcial z ^ {2}}} = {\ cfrac {1} {r}} \ izquierda [{\ cfrac {\ parcial} {\ parcial r}} \ izquierda (r {\ cfrac {\ parcial f} {\ parcial r}} \ derecha) \ derecha] + {\ cfrac {1 } {r ^ {2}}} {\ cfrac {\ parcial ^ {2} f} {\ parcial \ theta ^ {2}}} + {\ cfrac {\ parcial ^ {2} f} {\ parcial z ^ {2}}}}$

Representar un campo tensorial físico de segundo orden

Los componentes físicos de un campo tensorial de segundo orden son los que se obtienen cuando el tensor se expresa en términos de una base contravariante normalizada. En coordenadas polares cilíndricas estos componentes son:

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ hat {S}} _ {11} & = S_ {11} =: S_ {rr}, & {\ hat {S}} _ {12} & = {\ frac {S_ {12}} {r}} =: S_ {r \ theta}, & {\ hat {S}} _ {13} & = S_ {13} =: S_ {rz} \\ [6pt] {\ sombrero {S}} _ {21} & = {\ frac {S_ {21}} {r}} =: S _ {\ theta r}, & {\ sombrero {S}} _ {22} & = {\ frac {S_ {22}} {r ^ {2}}} =: S _ {\ theta \ theta}, & {\ hat {S}} _ {23} & = {\ frac {S_ {23}} {r} } =: S _ {\ theta z} \\ [6pt] {\ hat {S}} _ {31} & = S_ {31} =: S_ {zr}, & {\ hat {S}} _ {32} & = {\ frac {S_ {32}} {r}} =: S_ {z \ theta}, & {\ hat {S}} _ {33} & = S_ {33} =: S_ {zz} \ end {alineado}}}$

Gradiente de un campo tensorial de segundo orden

Usando las definiciones anteriores, podemos mostrar que el gradiente de un campo tensorial de segundo orden en coordenadas polares cilíndricas se puede expresar como

${\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ boldsymbol {\ nabla}} {\ boldsymbol {S}} & = {\ frac {\ parcial S_ {rr}} {\ parcial r}} ~ \ mathbf {e} _ {r} \ otimes \ mathbf {e} _ {r} \ otimes \ mathbf {e} _ {r} + {\ cfrac {1} {r}} \ left [{\ frac {\ parcial S_ {rr}} {\ parcial \ theta}} - (S _ {\ theta r} + S_ {r \ theta}) \ right] ~ \ mathbf {e} _ {r} \ otimes \ mathbf {e} _ {r} \ otimes \ mathbf {e} _ {\ theta} + {\ frac {\ parcial S_ {rr}} {\ parcial z}} ~ \ mathbf {e} _ {r} \ otimes \ mathbf {e} _ {r} \ otimes \ mathbf {e} _ {z} \\ [8pt] & + {\ frac {\ parcial S_ {r \ theta}} {\ parcial r}} ~ \ mathbf {e} _ {r} \ otimes \ mathbf { e} _ {\ theta} \ otimes \ mathbf {e} _ {r} + {\ cfrac {1} {r}} \ left [{\ frac {\ parcial S_ {r \ theta}} {\ parcial \ theta }} + (S_ {rr} -S _ {\ theta \ theta}) \ right] ~ \ mathbf {e} _ {r} \ otimes \ mathbf {e} _ {\ theta} \ otimes \ mathbf {e} _ {\ theta} + {\ frac {\ parcial S_ {r \ theta}} {\ parcial z}} ~ \ mathbf {e} _ {r} \ otimes \ mathbf {e} _ {\ theta} \ otimes \ mathbf {e} _ {z} \\ [8pt] & + {\ frac {\ parcial S_ {rz}} {\ parcial r}} ~ \ mathbf {e} _ {r} \ otimes \ mathbf {e} _ { z} \ otimes \ mathbf {e} _ {r} + {\ cfrac {1} {r}} \ le pies [{\ frac {\ parcial S_ {rz}} {\ parcial \ theta}} - S _ {\ theta z} \ derecha] ~ \ mathbf {e} _ {r} \ otimes \ mathbf {e} _ {z } \ otimes \ mathbf {e} _ {\ theta} + {\ frac {\ parcial S_ {rz}} {\ parcial z}} ~ \ mathbf {e} _ {r} \ otimes \ mathbf {e} _ { z} \ otimes \ mathbf {e} _ {z} \\ [8pt] & + {\ frac {\ parcial S _ {\ theta r}} {\ parcial r}} ~ \ mathbf {e} _ {\ theta} \ otimes \ mathbf {e} _ {r} \ otimes \ mathbf {e} _ {r} + {\ cfrac {1} {r}} \ left [{\ frac {\ parcial S _ {\ theta r}} { \ parcial \ theta}} + (S_ {rr} -S _ {\ theta \ theta}) \ derecha] ~ \ mathbf {e} _ {\ theta} \ otimes \ mathbf {e} _ {r} \ otimes \ mathbf {e} _ {\ theta} + {\ frac {\ parcial S _ {\ theta r}} {\ parcial z}} ~ \ mathbf {e} _ {\ theta} \ otimes \ mathbf {e} _ {r} \ otimes \ mathbf {e} _ {z} \\ [8pt] & + {\ frac {\ parcial S _ {\ theta \ theta}} {\ parcial r}} ~ \ mathbf {e} _ {\ theta} \ otimes \ mathbf {e} _ {\ theta} \ otimes \ mathbf {e} _ {r} + {\ cfrac {1} {r}} \ left [{\ frac {\ parcial S _ {\ theta \ theta}} {\ parcial \ theta}} + (S_ {r \ theta} + S _ {\ theta r}) \ derecha] ~ \ mathbf {e} _ {\ theta} \ otimes \ mathbf {e} _ {\ theta} \ a veces \ mathbf {e} _ {\ theta} + {\ frac { \ parcial S _ {\ theta \ theta}} {\ parcial z}} ~ \ mathbf {e} _ {\ theta} \ otimes \ mathbf {e} _ {\ theta} \ otimes \ mathbf {e} _ {z} \\ [8pt] & + {\ frac {\ parcial S _ {\ theta z}} {\ parcial r}} ~ \ mathbf {e} _ {\ theta} \ otimes \ mathbf {e} _ {z} \ otimes \ mathbf {e} _ {r} + {\ cfrac {1} {r}} \ izquierda [{\ frac {\ parcial S _ {\ theta z}} {\ parcial \ theta}} + S_ {rz} \ derecha ] ~ \ mathbf {e} _ {\ theta} \ otimes \ mathbf {e} _ {z} \ otimes \ mathbf {e} _ {\ theta} + {\ frac {\ parcial S _ {\ theta z}} { \ parcial z}} ~ \ mathbf {e} _ {\ theta} \ otimes \ mathbf {e} _ {z} \ otimes \ mathbf {e} _ {z} \\ [8pt] & + {\ frac {\ parcial S_ {zr}} {\ parcial r}} ~ \ mathbf {e} _ {z} \ otimes \ mathbf {e} _ {r} \ otimes \ mathbf {e} _ {r} + {\ cfrac {1 } {r}} \ izquierda [{\ frac {\ parcial S_ {zr}} {\ parcial \ theta}} - S_ {z \ theta} \ derecha] ~ \ mathbf {e} _ {z} \ otimes \ mathbf {e} _ {r} \ otimes \ mathbf {e} _ {\ theta} + {\ frac {\ parcial S_ {zr}} {\ parcial z}} ~ \ mathbf {e} _ {z} \ otimes \ mathbf {e} _ {r} \ otimes \ mathbf {e} _ {z} \\ [8pt] & + {\ frac {\ parcial S_ {z \ theta}} {\ parcial r}} ~ \ mathbf {e } _ {z} \ otimes \ mathbf {e} _ {\ theta} \ otimes \ math bf {e} _ {r} + {\ cfrac {1} {r}} \ izquierda [{\ frac {\ parcial S_ {z \ theta}} {\ parcial \ theta}} + S_ {zr} \ derecha] ~ \ mathbf {e} _ {z} \ otimes \ mathbf {e} _ {\ theta} \ otimes \ mathbf {e} _ {\ theta} + {\ frac {\ parcial S_ {z \ theta}} {\ parcial z}} ~ \ mathbf {e} _ {z} \ otimes \ mathbf {e} _ {\ theta} \ otimes \ mathbf {e} _ {z} \\ [8pt] & + {\ frac {\ parcial S_ {zz}} {\ parcial r}} ~ \ mathbf {e} _ {z} \ otimes \ mathbf {e} _ {z} \ otimes \ mathbf {e} _ {r} + {\ cfrac {1} {r}} ~ {\ frac {\ parcial S_ {zz}} {\ parcial \ theta}} ~ \ mathbf {e} _ {z} \ otimes \ mathbf {e} _ {z} \ otimes \ mathbf {e } _ {\ theta} + {\ frac {\ parcial S_ {zz}} {\ parcial z}} ~ \ mathbf {e} _ {z} \ otimes \ mathbf {e} _ {z} \ otimes \ mathbf { e} _ {z} \ end {alineado}}}$

Divergencia de un campo tensorial de segundo orden

La divergencia de un campo tensorial de segundo orden en coordenadas polares cilíndricas se puede obtener a partir de la expresión del gradiente mediante la recopilación de términos donde el producto escalar de los dos vectores externos en los productos diádicos es distinto de cero. Por lo tanto,

${\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot {\ boldsymbol {S}} & = {\ frac {\ parcial S_ {rr}} {\ parcial r}} ~ \ mathbf {e } _ {r} + {\ frac {\ parcial S_ {r \ theta}} {\ parcial r}} ~ \ mathbf {e} _ {\ theta} + {\ frac {\ parcial S_ {rz}} {\ parcial r}} ~ \ mathbf {e} _ {z} \\ [8pt] & + {\ cfrac {1} {r}} \ izquierda [{\ frac {\ parcial S_ {r \ theta}} {\ parcial \ theta}} + (S_ {rr} -S _ {\ theta \ theta}) \ right] ~ \ mathbf {e} _ {r} + {\ cfrac {1} {r}} \ left [{\ frac { \ parcial S _ {\ theta \ theta}} {\ parcial \ theta}} + (S_ {r \ theta} + S _ {\ theta r}) \ derecha] ~ \ mathbf {e} _ {\ theta} + {\ cfrac {1} {r}} \ izquierda [{\ frac {\ parcial S _ {\ theta z}} {\ parcial \ theta}} + S_ {rz} \ derecha] ~ \ mathbf {e} _ {z} \ \ [8pt] & + {\ frac {\ parcial S_ {zr}} {\ parcial z}} ~ \ mathbf {e} _ {r} + {\ frac {\ parcial S_ {z \ theta}} {\ parcial z}} ~ \ mathbf {e} _ {\ theta} + {\ frac {\ parcial S_ {zz}} {\ parcial z}} ~ \ mathbf {e} _ {z} \ end {alineado}}}$

Ver también

• Covarianza y contravarianza
• Introducción básica a las matemáticas del espacio-tiempo curvo
• Coordenadas ortogonales
• Fórmulas de Frenet-Serret
• Derivado covariante
• Derivada del tensor (mecánica del continuo)
• Perspectiva curvilínea
• Del en coordenadas cilíndricas y esféricas

Referencias

Notas

Otras lecturas

enlaces externos

• Derivación de vectores unitarios en coordenadas curvilíneas
• Página de MathWorld sobre coordenadas curvilíneas
• Libro electrónico del profesor R. Brannon sobre coordenadas curvilíneas