Derivado covariante - Covariant derivative

En matemáticas , la derivada covariante es una forma de especificar una derivada a lo largo de los vectores tangentes de una variedad . Alternativamente, la derivada covariante es una forma de introducir y trabajar con una conexión en un colector por medio de un operador diferencial , para contrastar con el enfoque dado por una conexión principal en el paquete de tramas - ver conexión afín . En el caso especial de una variedad incrustada isométricamente en un espacio euclidiano de dimensiones superiores , la derivada covariante puede verse como la proyección ortogonal de la derivada direccional euclidiana sobre el espacio tangente de la variedad. En este caso, el derivado euclidiano se divide en dos partes, el componente normal extrínseco (que depende de la incrustación) y el componente derivado covariante intrínseco.

El nombre está motivado por la importancia de los cambios de coordenadas en la física : la derivada covariante se transforma de forma covariante bajo una transformación de coordenadas general, es decir, linealmente a través de la matriz jacobiana de la transformación.

Este artículo presenta una introducción a la derivada covariante de un campo vectorial con respecto a un campo vectorial, tanto en un lenguaje sin coordenadas como utilizando un sistema de coordenadas local y la notación de índice tradicional. La derivada covariante de un campo tensorial se presenta como una extensión del mismo concepto. La derivada covariante se generaliza directamente a una noción de diferenciación asociada a una conexión en un paquete de vectores , también conocida como conexión Koszul .

Historia

Históricamente, a principios del siglo XX, la derivada covariante fue introducida por Gregorio Ricci-Curbastro y Tullio Levi-Civita en la teoría de la geometría riemanniana y pseudo-riemanniana . Ricci y Levi-Civita (siguiendo las ideas de Elwin Bruno Christoffel ) observaron que los símbolos de Christoffel utilizados para definir la curvatura también podrían proporcionar una noción de diferenciación que generalizara la derivada direccional clásica de los campos vectoriales en una variedad. Esta nueva derivada, la conexión Levi-Civita , era covariante en el sentido de que satisfacía el requisito de Riemann de que los objetos en geometría deberían ser independientes de su descripción en un sistema de coordenadas particular.

Pronto otros matemáticos, entre los que se destacan Hermann Weyl , Jan Arnoldus Schouten y Élie Cartan , notaron pronto que una derivada covariante podría definirse de manera abstracta sin la presencia de una métrica . La característica crucial no era una dependencia particular de la métrica, sino que los símbolos de Christoffel cumplían una cierta ley precisa de transformación de segundo orden. Esta ley de transformación podría servir como punto de partida para definir la derivada de manera covariante. Así, la teoría de la diferenciación covariante se bifurcó del contexto estrictamente riemanniano para incluir una gama más amplia de geometrías posibles.

En la década de 1940, los practicantes de la geometría diferencial comenzaron a introducir otras nociones de diferenciación covariante en paquetes vectoriales generales que, en contraste con los paquetes clásicos de interés para los geómetras, no formaban parte del análisis tensorial de la variedad. En general, estas derivadas covariantes generalizadas tenían que ser especificadas ad hoc por alguna versión del concepto de conexión. En 1950, Jean-Louis Koszul unificó estas nuevas ideas de diferenciación covariante en un paquete vectorial mediante lo que hoy se conoce como una conexión Koszul o una conexión en un paquete vectorial. Utilizando ideas de la cohomología del álgebra de Lie , Koszul convirtió con éxito muchas de las características analíticas de la diferenciación covariante en algebraicas. En particular, las conexiones de Koszul eliminaron la necesidad de manipulaciones incómodas de los símbolos de Christoffel (y otros objetos análogos no tensoriales ) en geometría diferencial. Así, rápidamente suplantaron la noción clásica de derivada covariante en muchos tratamientos del tema posteriores a 1950.

Motivación

La derivada covariante es una generalización de la derivada direccional del cálculo vectorial . Al igual que con la derivada direccional, la derivada covariante es una regla, que toma como entradas: (1) un vector, u , definido en un punto P , y (2) un campo vectorial , v , definido en una vecindad de P . La salida es el vector , también en el punto P . La principal diferencia con la derivada direccional habitual es que debe, en cierto sentido preciso, ser independiente de la forma en que se expresa en un sistema de coordenadas . ${\ Displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {u}} {\ mathbf {v}}}$${\ Displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {u}} {\ mathbf {v}} (P)}$${\ Displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {u}} {\ mathbf {v}}}$

Un vector puede describirse como una lista de números en términos de una base , pero como un objeto geométrico, un vector retiene su propia identidad independientemente de cómo se elija describirlo en una base. Esta persistencia de la identidad se refleja en el hecho de que cuando un vector se escribe en una base, y luego se cambia la base, los componentes del vector se transforman de acuerdo con una fórmula de cambio de base . Esta ley de transformación se conoce como transformación covariante . Se requiere que la derivada covariante se transforme, bajo un cambio de coordenadas, de la misma manera que lo hace una base: la derivada covariante debe cambiar por una transformación covariante (de ahí el nombre).

En el caso del espacio euclidiano , se tiende a definir la derivada de un campo vectorial en términos de la diferencia entre dos vectores en dos puntos cercanos. En tal sistema, uno traslada uno de los vectores al origen del otro, manteniéndolo paralelo. Con un sistema de coordenadas cartesiano ( ortonormal fijo ), "mantenerlo paralelo" equivale a mantener constantes los componentes. El espacio euclidiano proporciona el ejemplo más simple: una derivada covariante que se obtiene tomando la derivada direccional ordinaria de los componentes en la dirección del vector de desplazamiento entre los dos puntos cercanos.

En el caso general, sin embargo, se debe tener en cuenta el cambio del sistema de coordenadas. Por ejemplo, si la misma derivada covariante se escribe en coordenadas polares en un plano euclidiano bidimensional, entonces contiene términos adicionales que describen cómo la propia cuadrícula de coordenadas "gira". En otros casos, los términos adicionales describen cómo la cuadrícula de coordenadas se expande, contrae, retuerce, entrelaza, etc. En este caso, "mantenerla paralela" no equivale a mantener los componentes constantes durante la traslación.

Considere el ejemplo de moverse a lo largo de una curva γ ( t ) en el plano euclidiano. En coordenadas polares, γ puede escribirse en términos de sus coordenadas radiales y angulares por γ ( t ) = ( r ( t ), θ ( t )). Un vector en un tiempo t particular (por ejemplo, la aceleración de la curva) se expresa en términos de , donde y son vectores unitarios tangentes para las coordenadas polares, que sirven como base para descomponer un vector en términos de componentes radiales y tangenciales . En un momento ligeramente posterior, la nueva base en coordenadas polares aparece ligeramente rotada con respecto al primer conjunto. La derivada covariante de los vectores base (los símbolos de Christoffel ) sirve para expresar este cambio. ${\ Displaystyle (\ mathbf {e} _ {r}, \ mathbf {e} _ {\ theta})}$${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {r}}$${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {\ theta}}$

En un espacio curvo, como la superficie de la Tierra (considerada como una esfera), la traslación no está bien definida y su transporte paralelo análogo depende de la trayectoria por la que se traslade el vector.

Un vector e en un globo terráqueo en el ecuador en el punto Q se dirige hacia el norte. Supongamos que transportamos en paralelo el vector primero a lo largo del ecuador hasta el punto P y luego (manteniéndolo paralelo a sí mismo) lo arrastramos a lo largo de un meridiano hasta el polo N y (manteniendo la dirección allí) posteriormente lo transportamos a lo largo de otro meridiano de regreso a Q. Luego notamos que el vector transportado en paralelo a lo largo de un circuito cerrado no regresa como el mismo vector; en cambio, tiene otra orientación. Esto no sucedería en el espacio euclidiano y es causado por la curvatura de la superficie del globo. El mismo efecto se puede notar si arrastramos el vector a lo largo de una superficie cerrada infinitesimalmente pequeña posteriormente a lo largo de dos direcciones y luego hacia atrás. El cambio infinitesimal del vector es una medida de la curvatura.

Observaciones

• La definición de la derivada covariante no usa la métrica en el espacio. Sin embargo, para cada métrica hay una derivada covariante sin torsión única llamada conexión Levi-Civita, de modo que la derivada covariante de la métrica es cero.
• Las propiedades de una derivada implican que depende de los valores de u en una vecindad arbitrariamente pequeña de un punto p de la misma manera que, por ejemplo, la derivada de una función escalar f a lo largo de una curva en un punto dado p depende de los valores de f en un vecindario arbitrariamente pequeño de p .${\ Displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u}}$
• La información sobre la vecindad de un punto p en la derivada covariante se puede usar para definir el transporte paralelo de un vector. Además, la curvatura , torsión y geodésicas pueden definirse solo en términos de la derivada covariante u otra variación relacionada con la idea de una conexión lineal .

Definición informal usando una incrustación en el espacio euclidiano

Suponga que un subconjunto abierto de una variedad Riemanniana -dimensional está incrustado en el espacio euclidiano a través de un mapeo dos veces diferenciable continuamente (C ² ) de manera que el espacio tangente en está atravesado por los vectores ${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle d}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle (\ mathbb {R} ^ {n}, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle)}$${\ Displaystyle {\ vec {\ Psi}}: \ mathbb {R} ^ {d} \ supset U \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle {\ vec {\ Psi}} (p) \ in M}$

${\ Displaystyle \ left \ lbrace \ left. {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {i}}} \ right | _ {p}: i \ in \ lbrace 1, \ dots, d \ rbrace \ right \ rbrace}$

y el producto escalar en es compatible con la métrica en M : ${\ Displaystyle \ left \ langle \ cdot, \ cdot \ right \ rangle}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ displaystyle g_ {ij} = \ left \ langle {\ frac {\ parcial {\ vec {\ Psi}}} {\ parcial x ^ {i}}}, {\ frac {\ parcial {\ vec {\ Psi }}} {\ parcial x ^ {j}}} \ right \ rangle.}$

(Dado que siempre se supone que la métrica múltiple es regular, la condición de compatibilidad implica la independencia lineal de los vectores tangentes derivados parciales).

Para un campo vector tangente, , uno tiene ${\ Displaystyle {\ vec {V}} = v ^ {j} {\ frac {\ parcial {\ vec {\ Psi}}} {\ parcial x ^ {j}}}}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial {\ vec {V}}} {\ parcial x ^ {i}}} = {\ frac {\ parcial} {\ parcial x ^ {i}}} \ left (v ^ {j} {\ frac {\ parcial {\ vec {\ Psi}}} {\ parcial x ^ {j}}} \ derecha) = {\ frac {\ parcial v ^ {j}} {\ parcial x ^ { i}}} {\ frac {\ parcial {\ vec {\ Psi}}} {\ parcial x ^ {j}}} + v ^ {j} {\ frac {\ parcial ^ {2} {\ vec {\ Psi}}} {\ parcial x ^ {i} \, \ parcial x ^ {j}}}.}$

El último término no es tangencial a M , pero se puede expresar como una combinación lineal de los vectores base del espacio tangente usando los símbolos de Christoffel como factores lineales más un vector ortogonal al espacio tangente:

${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial ^ {2} {\ vec {\ Psi}}} {\ parcial x ^ {i} \, \ parcial x ^ {j}}} = {\ Gamma ^ {k}} _ {ij} {\ frac {\ parcial {\ vec {\ Psi}}} {\ parcial x ^ {k}}} + {\ vec {n}}.}$

En el caso de la conexión Levi-Civita , la derivada covariante , también escrita , se define como la proyección ortogonal de la derivada habitual en el espacio tangente: ${\ Displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {i}} {\ vec {V}}}$${\ Displaystyle \ nabla _ {i} {\ vec {V}}}$

${\ Displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {i}} {\ vec {V}}: = {\ frac {\ parcial {\ vec {V}}} {\ parcial x ^ {i}}} - {\ vec {n}} = \ izquierda ({\ frac {\ parcial v ^ {k}} {\ parcial x ^ {i}}} + v ^ {j} {\ Gamma ^ {k}} _ { ij} \ derecha) {\ frac {\ parcial {\ vec {\ Psi}}} {\ parcial x ^ {k}}}.}$

Para obtener la relación entre los símbolos de Christoffel para la conexión Levi-Civita y la métrica, primero debemos notar que, dado que en la ecuación anterior es ortogonal al espacio tangente: ${\ Displaystyle {\ vec {n}}}$

${\ Displaystyle \ left \ langle {\ frac {\ Particular ^ {2} {\ vec {\ Psi}}} {\ Particular x ^ {i} \, \ Particular x ^ {j}}}, {\ frac { \ parcial {\ vec {\ Psi}}} {\ parcial x ^ {l}}} \ derecha \ rangle = \ izquierda \ langle {\ Gamma ^ {k}} _ {ij} {\ frac {\ parcial {\ vec {\ Psi}}} {\ parciales x ^ {k}}} + {\ vec {n}}, {\ frac {\ parciales {\ vec {\ Psi}}} {\ parciales x ^ {l}} } \ right \ rangle = {\ Gamma ^ {k}} _ {ij} \ left \ langle {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {k}}}, {\ frac {\ parcial {\ vec {\ Psi}}} {\ parcial x ^ {l}}} \ right \ rangle = {\ Gamma ^ {k}} _ {ij} \, g_ {kl}.}$

En segundo lugar, la derivada parcial de un componente de la métrica es:

${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial g_ {ab}} {\ parcial x ^ {c}}} = {\ frac {\ parcial} {\ parcial x ^ {c}}} \ izquierda \ langle {\ frac { \ parcial {\ vec {\ Psi}}} {\ parcial x ^ {a}}}, {\ frac {\ parcial {\ vec {\ Psi}}} {\ parcial x ^ {b}}} \ derecha \ rangle = \ left \ langle {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {c} \, \ partial x ^ {a}}}, {\ frac {\ parcial {\ vec {\ Psi}}} {\ parcial x ^ {b}}} \ derecha \ rangle + \ izquierda \ langle {\ frac {\ parcial {\ vec {\ Psi}}} {\ parcial x ^ { a}}}, {\ frac {\ parcial ^ {2} {\ vec {\ Psi}}} {\ parcial x ^ {c} \, \ parcial x ^ {b}}} \ derecha \ rangle}$

implica como base , usando la simetría del producto escalar e intercambiando el orden de diferenciaciones parciales: ${\ Displaystyle x ^ {i}, x ^ {j}, x ^ {k}}$

${\ Displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ parcial g_ {jk}} {\ parcial x ^ {i}}} \\ {\ frac {\ parcial g_ {ki}} {\ parcial x ^ {j }}} \\ {\ frac {\ parcial g_ {ij}} {\ parcial x ^ {k}}} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \ end {pmatrix }} {\ begin {pmatrix} \ left \ langle {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {i}}}, {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec {\ Psi}}} {\ parcial x ^ {j} \, \ parcial x ^ {k}}} \ derecha \ rangle \\\ izquierda \ langle {\ frac {\ parcial {\ vec {\ Psi}} } {\ parciales x ^ {j}}}, {\ frac {\ parciales ^ {2} {\ vec {\ Psi}}} {\ parciales x ^ {k} \, \ parciales x ^ {i}}} \ right \ rangle \\\ left \ langle {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {k}}}, {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec { \ Psi}}} {\ parcial x ^ {i} \, \ parcial x ^ {j}}} \ right \ rangle \ end {pmatrix}}}$

sumando la primera fila a la segunda y restando la tercera:

${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial g_ {jk}} {\ parcial x ^ {i}}} + {\ frac {\ parcial g_ {ki}} {\ parcial x ^ {j}}} - {\ frac {\ Partical g_ {ij}} {\ Partical x ^ {k}}} = 2 \ left \ langle {\ frac {\ Particular {\ vec {\ Psi}}} {\ Particular x ^ {k}}}, {\ frac {\ parcial ^ {2} {\ vec {\ Psi}}} {\ parcial x ^ {i} \, \ parcial x ^ {j}}} \ right \ rangle}$

y produce los símbolos de Christoffel para la conexión Levi-Civita en términos de la métrica:

${\ Displaystyle g_ {kl} {\ Gamma ^ {k}} _ {ij} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ parcial g_ {jl}} {\ parcial x ^ { i}}} + {\ frac {\ parcial g_ {li}} {\ parcial x ^ {j}}} - {\ frac {\ parcial g_ {ij}} {\ parcial x ^ {l}}} \ derecha ).}$

Para obtener un ejemplo muy simple que capture la esencia de la descripción anterior, dibuje un círculo en una hoja de papel plana. Viaja alrededor del círculo a una velocidad constante. La derivada de su velocidad, su vector de aceleración, siempre apunta radialmente hacia adentro. Enrolle esta hoja de papel en un cilindro. Ahora, la derivada (euclidiana) de su velocidad tiene un componente que a veces apunta hacia adentro, hacia el eje del cilindro, dependiendo de si está cerca de un solsticio o un equinoccio. (En el punto del círculo cuando se mueve paralelo al eje, no hay aceleración hacia adentro. Por el contrario, en un punto (1/4 de círculo más adelante) cuando la velocidad es a lo largo de la curva del cilindro, la aceleración hacia adentro es máxima. .) Este es el componente normal (euclidiano). El componente derivado covariante es el componente paralelo a la superficie del cilindro, y es el mismo que antes de enrollar la hoja en un cilindro.

Definicion formal

Una derivada covariante es una conexión (Koszul) en el paquete tangente y otros paquetes tensoriales : diferencia los campos vectoriales de una manera análoga a la diferencia habitual de funciones. La definición se extiende a una diferenciación en los duales de los campos vectoriales (es decir, los campos de codificador ) y a los campos tensoriales arbitrarios , de una manera única que asegura la compatibilidad con el producto tensorial y las operaciones de seguimiento (contracción del tensor).

Funciones

Dado un punto de la variedad , una función real en la variedad y un vector tangente , la derivada covariante de f en p a lo largo de v es el escalar en p , denotado , que representa la parte principal del cambio en el valor de f cuando el El argumento de f es cambiado por el vector de desplazamiento infinitesimal v . (Este es el diferencial de f evaluado contra el vector v .) Formalmente, existe una curva diferenciable tal que y , y la derivada covariante de f en p está definida por ${\ Displaystyle p \ in M}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle f: M \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} \ in T_ {p} M}$${\ Displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} f \ right) _ {p}}$${\ Displaystyle \ phi: [- 1,1] \ to M}$${\ Displaystyle \ phi (0) = p}$${\ Displaystyle \ phi '(0) = \ mathbf {v}}$

${\ Displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} f \ right) _ {p} = \ left (f \ circ \ phi \ right) '\ left (0 \ right) = \ lim _ {t \ to 0} {\ frac {f \ left [\ phi \ left (t \ right) \ right] -f \ left [p \ right]} {t}}.}$

Cuando es un campo vectorial en , la derivada covariante es la función que se asocia con cada punto p en el dominio común de f y v el escalar . Esto coincide con la derivada de Lie habitual de f a lo largo del campo vectorial v . ${\ Displaystyle \ mathbf {v}: M \ rightarrow T_ {p} M}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} f: M \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} f \ right) _ {p}}$

Campos vectoriales

Dado un punto de la variedad , un campo vectorial definido en una vecindad de py un vector tangente , la derivada covariante de u en p a lo largo de v es el vector tangente en p , denotado , de modo que se cumplen las siguientes propiedades (para cualquier vector tangente v , x y y en p , campos de vectores u y w se define en una vecindad de p , valores escalares g y h a p , y función escalar f definida en un entorno de p ): ${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle \ mathbf {u}: M \ rightarrow T_ {p} M}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} \ in T_ {p} M}$${\ Displaystyle (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u}) _ {p}}$

1. ${\ Displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u} \ right) _ {p}}$es lineal en tan ${\ Displaystyle \ mathbf {v}}$

   ${\ Displaystyle \ left (\ nabla _ {g \ mathbf {x} + h \ mathbf {y}} \ mathbf {u} \ right) _ {p} = \ left (\ nabla _ {\ mathbf {x}} \ mathbf {u} \ right) _ {p} g + \ left (\ nabla _ {\ mathbf {y}} \ mathbf {u} \ right) _ {p} h}$

2. ${\ Displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u} \ right) _ {p}}$es aditivo en lo que: ${\ Displaystyle \ mathbf {u}}$

   ${\ Displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ left [\ mathbf {u} + \ mathbf {w} \ right] \ right) _ {p} = \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u} \ right) _ {p} + \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {w} \ right) _ {p}}$

3. ${\ Displaystyle (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u}) _ {p}}$obedece la regla del producto ; es decir, donde se define arriba, ${\ Displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} f}$

   ${\ Displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ left [f \ mathbf {u} \ right] \ right) _ {p} = f (p) \ left (\ nabla _ {\ mathbf { v}} \ mathbf {u}) _ {p} + (\ nabla _ {\ mathbf {v}} f \ right) _ {p} \ mathbf {u} _ {p}}$.

Tenga en cuenta que depende no solo del valor de u en p, sino también de los valores de u en una vecindad infinitesimal de p debido a la última propiedad, la regla del producto. ${\ Displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u} \ right) _ {p}}$

Si u y v son ambos campos vectoriales definidos sobre un dominio común, entonces denota el vector de campo cuyo valor en cada punto p del dominio es el vector tangente . ${\ Displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u}}$${\ Displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u} \ right) _ {p}}$

Campos de Covector

Dado un campo de covectores (o una forma ) definido en una vecindad de p , su derivada covariante se define de manera que la operación resultante sea compatible con la contracción del tensor y la regla del producto. Es decir, se define como la forma única en p tal que la siguiente identidad se satisface para todos los campos vectoriales u en una vecindad de p${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ alpha) _ {p}}$${\ Displaystyle (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ alpha) _ {p}}$

${\ Displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ alpha \ right) _ {p} \ left (\ mathbf {u} _ {p} \ right) = \ nabla _ {\ mathbf {v} } \ left [\ alpha \ left (\ mathbf {u} \ right) \ right] _ {p} - \ alpha _ {p} \ left [\ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf { u} \ right) _ {p} \ right].}$

La derivada covariante de un campo covector a lo largo de un campo vectorial v es nuevamente un campo covector.

Campos tensores

Una vez que se define la derivada covariante para campos de vectores y covectores, se puede definir para campos tensoriales arbitrarios imponiendo las siguientes identidades para cada par de campos tensoriales y en una vecindad del punto p : ${\ Displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle \ psi}$

${\ Displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} \ left (\ varphi \ otimes \ psi \ right) _ {p} = \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ varphi \ right) _ { p} \ otimes \ psi (p) + \ varphi (p) \ otimes \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ psi \ right) _ {p},}$

y para y de la misma valencia ${\ Displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle \ psi}$

${\ Displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} (\ varphi + \ psi) _ {p} = (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ varphi) _ {p} + (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ psi) _ {p}.}$

La derivada covariante de un campo tensorial a lo largo de un campo vectorial v es nuevamente un campo tensorial del mismo tipo.

Explícitamente, sea T un campo tensorial de tipo ( p , q ) . Considere que T es un mapa multilineal diferenciable de secciones lisas α ¹ , α ² ,…, α ^q del paquete cotangente T ^∗ M y de las secciones X ₁ , X ₂ ,…, X _p del paquete tangente TM , escrito T ( α ¹ , α ² , ..., X ₁ , X ₂ , ...) en R . La derivada covariante de T a lo largo de Y viene dada por la fórmula

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} (\ nabla _ {Y} T) \ left (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots, X_ {1}, X_ {2}, \ ldots \ right) = & {} Y \ left (T \ left (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots, X_ {1}, X_ {2}, \ ldots \ right) \ right) \\ & {} - T \ left (\ nabla _ {Y} \ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots, X_ {1}, X_ {2}, \ ldots \ right) -T \ left (\ alpha _ {1}, \ nabla _ {Y} \ alpha _ {2}, \ ldots, X_ {1}, X_ {2}, \ ldots \ right) - \ cdots \\ & {} - T \ left (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots, \ nabla _ {Y} X_ {1}, X_ {2}, \ ldots \ right) -T \ left (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots, X_ {1}, \ nabla _ {Y} X_ {2}, \ ldots \ right) - \ cdots \ end {alineado}}}$

Descripción de coordenadas

Funciones de coordenadas dadas

${\ Displaystyle x ^ {i}, \ i = 0,1,2, \ dots,}$

cualquier vector tangente puede describirse por sus componentes en la base

${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {i} = {\ frac {\ parcial} {\ parcial x ^ {i}}}.}$

La derivada covariante de un vector base a lo largo de un vector base es de nuevo un vector y, por tanto, puede expresarse como una combinación lineal . Para especificar la derivada covariante es suficiente especificar la derivada covariante de cada campo de vector base a lo largo . ${\ Displaystyle \ Gamma ^ {k} \ mathbf {e} _ {k}}$${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {i}}$${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {j}}$

${\ Displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {j}} \ mathbf {e} _ {i} = {\ Gamma ^ {k}} _ {ij} \ mathbf {e} _ {k},}$

los coeficientes son los componentes de la conexión con respecto a un sistema de coordenadas locales. En la teoría de las variedades riemannianas y pseudo-riemannianas, los componentes de la conexión Levi-Civita con respecto a un sistema de coordenadas locales se denominan símbolos de Christoffel . ${\ Displaystyle \ Gamma _ {ij} ^ {k}}$

Luego, usando las reglas en la definición, encontramos que para campos vectoriales generales y obtenemos ${\ Displaystyle \ mathbf {v} = v ^ {j} \ mathbf {e} _ {j}}$${\ Displaystyle \ mathbf {u} = u ^ {i} \ mathbf {e} _ {i}}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u} & = \ nabla _ {v ^ {j} \ mathbf {e} _ {j}} u ^ {i} \ mathbf {e} _ {i} \\ & = v ^ {j} \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {j}} u ^ {i} \ mathbf {e} _ {i} \\ & = v ^ {j} u ^ {i} \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {j}} \ mathbf {e} _ {i} + v ^ {j} \ mathbf {e} _ {i} \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {j}} u ^ {i} \\ & = v ^ {j} u ^ {i} {\ Gamma ^ {k}} _ {ij} \ mathbf {e} _ { k} + v ^ {j} {\ parcial u ^ {i} \ sobre \ parcial x ^ {j}} \ mathbf {e} _ {i} \ end {alineado}}}$

asi que

${\ Displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u} = \ left (v ^ {j} u ^ {i} {\ Gamma ^ {k}} _ {ij} + v ^ {j} {\ parcial u ^ {k} \ sobre \ parcial x ^ {j}} \ derecha) \ mathbf {e} _ {k}.}$

El primer término de esta fórmula es responsable de "torcer" el sistema de coordenadas con respecto a la derivada covariante y el segundo de los cambios de componentes del campo vectorial u . En particular

${\ Displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {j}} \ mathbf {u} = \ nabla _ {j} \ mathbf {u} = \ left ({\ frac {\ parcial u ^ {i}} {\ parcial x ^ {j}}} + u ^ {k} {\ Gamma ^ {i}} _ {kj} \ right) \ mathbf {e} _ {i}}$

En palabras: la derivada covariante es la derivada habitual a lo largo de las coordenadas con términos de corrección que indican cómo cambian las coordenadas.

Para los covectors de manera similar tenemos

${\ Displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {j}} {\ mathbf {\ theta}} = \ izquierda ({\ frac {\ parcial \ theta _ {i}} {\ parcial x ^ {j} }} - \ theta _ {k} {\ Gamma ^ {k}} _ {ij} \ right) {\ mathbf {e} ^ {*}} ^ {i}}$

donde . ${\ Displaystyle {\ mathbf {e} ^ {*}} ^ {i} (\ mathbf {e} _ {j}) = {\ delta ^ {i}} _ {j}}$

La derivada covariante de un campo tensorial de tipo ( r , s ) viene dada por la expresión: ${\ Displaystyle e_ {c}}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} {(\ nabla _ {e_ {c}} T) ^ {a_ {1} \ ldots a_ {r}}} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s}} = {} & {\ frac {\ parcial} {\ parcial x ^ {c}}} {T ^ {a_ {1} \ ldots a_ {r}}} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s}} \ \ & + \, {\ Gamma ^ {a_ {1}}} _ {dc} {T ^ {da_ {2} \ ldots a_ {r}}} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s}} + \ cdots + {\ Gamma ^ {a_ {r}}} _ {dc} {T ^ {a_ {1} \ ldots a_ {r-1} d}} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s}} \\ & - \, {\ Gamma ^ {d}} _ {b_ {1} c} {T ^ {a_ {1} \ ldots a_ {r}}} _ {db_ {2} \ ldots b_ {s} } - \ cdots - {\ Gamma ^ {d}} _ {b_ {s} c} {T ^ {a_ {1} \ ldots a_ {r}}} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s-1 } d}. \ end {alineado}}}$

O, en palabras: tome la derivada parcial del tensor y agregue: para cada índice superior y para cada índice inferior . ${\ Displaystyle + {\ Gamma ^ {a_ {i}}} _ {dc}}$${\ Displaystyle a_ {i}}$${\ Displaystyle - {\ Gamma ^ {d}} _ {b_ {i} c}}$${\ Displaystyle b_ {i}}$

Si en lugar de un tensor, uno está tratando de diferenciar una densidad de tensor (de peso +1), entonces también agrega un término

${\ Displaystyle - {\ Gamma ^ {d}} _ {dc} {T ^ {a_ {1} \ ldots a_ {r}}} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s}}.}$

Si se trata de una densidad tensor de peso W , luego se multiplica ese término por W . Por ejemplo, es una densidad escalar (de peso +1), por lo que obtenemos: ${\ textstyle {\ sqrt {-g}}}$

${\ Displaystyle \ left ({\ sqrt {-g}} \ right) _ {; c} = \ left ({\ sqrt {-g}} \ right) _ {, c} - {\ sqrt {-g} } \, {\ Gamma ^ {d}} _ {dc}}$

donde el punto y coma ";" indica diferenciación covariante y coma "," indica diferenciación parcial. Por cierto, esta expresión en particular es igual a cero, porque la derivada covariante de una función únicamente de la métrica es siempre cero.

Notación

En los libros de texto de física, la derivada covariante a veces se expresa simplemente en términos de sus componentes en esta ecuación.

A menudo se utiliza una notación en la que la derivada covariante se da con un punto y coma , mientras que una derivada parcial normal se indica con una coma . En esta notación escribimos lo mismo que:

${\ Displaystyle \ nabla _ {e_ {j}} \ mathbf {v} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {v ^ {s}} _ {; j} \ mathbf {e} _ {s} \; \; \; \; \; \; {v ^ {i}} _ {; j} = {v ^ {i}} _ {, j} + v ^ {k} {\ Gamma ^ {i}} _ {kj}}$

En el caso de dos o más índices después del punto y coma, todos ellos deben entenderse como derivados covariantes:

${\ Displaystyle \ nabla _ {e_ {k}} \ left (\ nabla _ {e_ {j}} \ mathbf {v} \ right) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {v ^ {s}} _ {; kj} \ mathbf {e} _ {s}}$

En algunos textos más antiguos (en particular, Adler, Bazin & Schiffer, Introducción a la relatividad general ), la derivada covariante se denota por un tubo doble y la derivada parcial por un tubo simple:

${\ Displaystyle \ nabla _ {e_ {j}} \ mathbf {v} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {v ^ {i}} _ {|| j} = {v ^ {i}} _ {| j} + v ^ {k} {\ Gamma ^ {i}} _ {kj}}$

Derivada covariante por tipo de campo

Para un campo escalar , la diferenciación covariante es simplemente una diferenciación parcial: ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ phi \,}$

${\ Displaystyle \ Displaystyle \ phi _ {; a} \ equiv \ parcial _ {a} \ phi}$

Para un campo vectorial contravariante , tenemos: ${\ Displaystyle \ lambda ^ {a} \,}$

${\ Displaystyle {\ lambda ^ {a}} _ {; b} \ equiv \ partial _ {b} \ lambda ^ {a} + {\ Gamma ^ {a}} _ {bc} \ lambda ^ {c}}$

Para un campo vectorial covariante , tenemos: ${\ Displaystyle \ lambda _ {a} \,}$

${\ Displaystyle \ lambda _ {a; c} \ equiv \ partial _ {c} \ lambda _ {a} - {\ Gamma ^ {b}} _ {ca} \ lambda _ {b}}$

Para un campo tensorial de tipo (2,0) , tenemos: ${\ Displaystyle \ tau ^ {ab} \,}$

${\ Displaystyle {\ tau ^ {ab}} _ {; c} \ equiv \ parcial _ {c} \ tau ^ {ab} + {\ Gamma ^ {a}} _ {cd} \ tau ^ {db} + {\ Gamma ^ {b}} _ {cd} \ tau ^ {ad}}$

Para un campo tensor de tipo (0,2) , tenemos: ${\ Displaystyle \ tau _ {ab} \,}$

${\ Displaystyle \ tau _ {ab; c} \ equiv \ parcial _ {c} \ tau _ {ab} - {\ Gamma ^ {d}} _ {ca} \ tau _ {db} - {\ Gamma ^ { d}} _ {cb} \ tau _ {ad}}$

Para un campo tensorial de tipo (1,1) , tenemos: ${\ Displaystyle {\ tau ^ {a}} _ {b} \,}$

${\ Displaystyle {\ tau ^ {a}} _ {b; c} \ equiv \ parcial _ {c} {\ tau ^ {a}} _ {b} + {\ Gamma ^ {a}} _ {cd} {\ tau ^ {d}} _ {b} - {\ Gamma ^ {d}} _ {cb} {\ tau ^ {a}} _ {d}}$

La notación anterior tiene el sentido

${\ Displaystyle {\ tau ^ {ab}} _ {; c} \ equiv \ left (\ nabla _ {\ mathbf {e} _ {c}} \ tau \ right) ^ {ab}}$

Propiedades

En general, las derivadas covariantes no conmutan. Por ejemplo, las derivadas covariantes del campo vectorial . El tensor de Riemann se define de manera que: ${\ Displaystyle \ lambda _ {a; bc} \ neq \ lambda _ {a; cb} \,}$ ${\ Displaystyle {R ^ {d}} _ {abc} \,}$

${\ Displaystyle \ lambda _ {a; bc} - \ lambda _ {a; cb} = {R ^ {d}} _ {abc} \ lambda _ {d}}$

o equivalente,

${\ displaystyle {\ lambda ^ {a}} _ {; bc} - {\ lambda ^ {a}} _ {; cb} = - {R ^ {a}} _ {dbc} \ lambda ^ {d}}$

La derivada covariante de un campo de tensión (2,1) cumple:

${\ displaystyle {\ tau ^ {ab}} _ {; cd} - {\ tau ^ {ab}} _ {; dc} = - {R ^ {a}} _ {ecd} \ tau ^ {eb} - {R ^ {b}} _ {ecd} \ tau ^ {ae}}$

Esto último se puede demostrar tomando (sin pérdida de generalidad) eso . ${\ Displaystyle \ tau ^ {ab} = \ lambda ^ {a} \ mu ^ {b} \,}$

Derivada a lo largo de una curva

Dado que la derivada covariante de un campo tensorial en un punto depende solo del valor del campo vectorial en uno, se puede definir la derivada covariante a lo largo de una curva suave en una variedad: ${\ Displaystyle \ nabla _ {X} T}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle \ gamma (t)}$

${\ Displaystyle D_ {t} T = \ nabla _ {{\ dot {\ gamma}} (t)} T.}$

Tenga en cuenta que el campo tensorial solo necesita definirse en la curva para que esta definición tenga sentido. ${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle \ gamma (t)}$

En particular, es un campo vectorial a lo largo de la propia curva . Si desaparece, la curva se denomina geodésica de la derivada covariante. Si la derivada covariante es la conexión Levi-Civita de una métrica definida positiva, entonces las geodésicas para la conexión son precisamente las geodésicas de la métrica que están parametrizadas por la longitud del arco . ${\ Displaystyle {\ dot {\ gamma}} (t)}$${\ Displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle \ nabla _ {{\ dot {\ gamma}} (t)} {\ dot {\ gamma}} (t)}$

La derivada a lo largo de una curva también se usa para definir el transporte paralelo a lo largo de la curva.

A veces, la derivada covariante a lo largo de una curva se denomina derivada absoluta o intrínseca .

Relación con la derivada de Lie

Una derivada covariante introduce una estructura geométrica adicional en una variedad que permite comparar vectores en espacios tangentes vecinos: no hay una forma canónica de comparar vectores de diferentes espacios tangentes porque no hay un sistema de coordenadas canónico.

Sin embargo, existe otra generalización de las derivadas direccionales que es canónica: la derivada de Lie , que evalúa el cambio de un campo vectorial a lo largo del flujo de otro campo vectorial. Por lo tanto, uno debe conocer ambos campos vectoriales en una vecindad abierta, no simplemente en un solo punto. La derivada covariante, por otro lado, introduce su propio cambio para los vectores en una dirección dada, y solo depende de la dirección del vector en un solo punto, en lugar de un campo vectorial en una vecindad abierta de un punto. En otras palabras, la derivada covariante es lineal (sobre C ^∞ ( M )) en el argumento de dirección, mientras que la derivada de Lie es lineal en ninguno de los argumentos.

Tenga en cuenta que la derivada covariante antisimetrizada ∇ _u v - ∇ _v u , y la derivada de Lie L _u v difieren por la torsión de la conexión , de modo que si una conexión está libre de torsión, entonces su antisimetrización es la derivada de Lie.

Ver también

Notas

Referencias

• Kobayashi, Shoshichi ; Nomizu, Katsumi (1996). Fundamentos de la geometría diferencial , vol. 1 (Nueva ed.). Wiley Interscience . ISBN 0-471-15733-3.
• I.Kh. Sabitov (2001) [1994], "Diferenciación covariante" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Sternberg, Shlomo (1964). Conferencias sobre Geometría Diferencial . Prentice Hall.
• Spivak, Michael (1999). Una introducción completa a la geometría diferencial (volumen dos) . Publicar o perecer, Inc.