Longitud de arco - Arc length

La longitud del arco es la distancia entre dos puntos a lo largo de una sección de una curva .

La determinación de la longitud de un segmento de arco irregular también se denomina rectificación de una curva. El advenimiento del cálculo infinitesimal condujo a una fórmula general que proporciona soluciones de forma cerrada en algunos casos.

Enfoque general

Una curva en el plano se puede aproximar conectando un número finito de puntos en la curva usando segmentos de línea para crear una trayectoria poligonal . Dado que es sencillo calcular la longitud de cada segmento lineal (utilizando el teorema de Pitágoras en el espacio euclidiano, por ejemplo), la longitud total de la aproximación se puede encontrar sumando las longitudes de cada segmento lineal;esa aproximación se conoce como distancia cordal (acumulativa) .

Si la curva no es ya una trayectoria poligonal, el uso de un número progresivamente mayor de segmentos de longitudes más pequeñas dará como resultado mejores aproximaciones. Las longitudes de las aproximaciones sucesivas no disminuirán y pueden seguir aumentando indefinidamente, pero para curvas suaves tenderán a un límite finito a medida que las longitudes de los segmentos se vuelvan arbitrariamente pequeñas .

Para algunas curvas, hay un número más pequeño que es un límite superior en la longitud de cualquier aproximación poligonal. Estas curvas se denominan rectificables y el número se define como la longitud del arco . ${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle L}$

Definición de una curva suave

Sea una función inyectiva y continuamente diferenciable . La longitud de la curva definida por se puede definir como el límite de la suma de las longitudes de los segmentos de línea para una partición regular de cuando el número de segmentos se acerca al infinito. Esto significa ${\ Displaystyle f \ colon [a, b] \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle [a, b]}$

${\ Displaystyle L (f) = \ lim _ {N \ to \ infty} \ sum _ {i = 1} ^ {N} {\ bigg |} f (t_ {i}) - f (t_ {i-1 }) {\ bigg |}}$

donde para Esta definición es equivalente a la definición estándar de longitud de arco como una integral: ${\ Displaystyle t_ {i} = a + i (ba) / N = a + i \ Delta t}$${\ Displaystyle i = 0,1, \ dotsc, N.}$

${\ Displaystyle \ lim _ {N \ to \ infty} \ sum _ {i = 1} ^ {N} {\ bigg |} f (t_ {i}) - f (t_ {i-1}) {\ bigg |} = \ lim _ {N \ to \ infty} \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ left | {\ frac {f (t_ {i}) - f (t_ {i-1})} {\ Delta t}} \ right | \ Delta t = \ int _ {a} ^ {b} {\ Big |} f '(t) {\ Big |} \ dt.}$

La última igualdad anterior es verdadera debido a lo siguiente: (i) por el teorema del valor medio , donde${\ Displaystyle {\ frac {f (t_ {i}) - f (t_ {i-1})} {\ Delta t}} = f '(t_ {i-1} + \ theta _ {i} (t_ {i} -t_ {i-1})),}$${\ Displaystyle 0 <\ theta _ {i} <1}$ . (ii) la función es continua, por lo que es uniformemente continua , por lo que hay una función real positiva de real positivo tal que implica Esto significa ${\ Displaystyle \ left | f '\ right |}$${\ Displaystyle \ delta (\ epsilon)}$${\ Displaystyle \ epsilon}$${\ Displaystyle \ Delta t <\ delta (\ epsilon)}$${\ Displaystyle \ left | {\ Big |} f '(t_ {i-1} + \ theta _ {i} (t_ {i} -t_ {i-1})) {\ Big |} - {\ Big |} f '(t_ {i}) {\ Big |} \ right | <\ epsilon.}$

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ left | {\ frac {f (t_ {i}) - f (t_ {i-1})} {\ Delta t}} \ right | \ Delta t- \ sum _ {i = 1} ^ {N} {\ Big |} f '(t_ {i}) {\ Big |} \ Delta t}$

tiene un valor absoluto menor que para Esto significa que en el límite, el término izquierdo anterior es igual al término derecho, que es solo la integral de Riemann de en Esta definición de longitud de arco muestra que la longitud de una curva continuamente diferenciable en es siempre finita. En otras palabras, la curva siempre es rectificable. ${\ Displaystyle \ epsilon (ba)}$${\ Displaystyle N> (ba) / \ delta (\ epsilon).}$${\ displaystyle N \ rightarrow \ infty,}$${\ Displaystyle \ left | f '(t) \ right |}$${\ Displaystyle [a, b].}$${\ Displaystyle f: [a, b] \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle [a, b]}$

La definición de longitud de arco de una curva suave como la integral de la norma de la derivada es equivalente a la definición

${\ Displaystyle L (f) = \ sup \ sum _ {i = 1} ^ {N} {\ bigg |} f (t_ {i}) - f (t_ {i-1}) {\ bigg |}}$

donde el supremo se toma sobre todas las posibles particiones de Esta definición también es válida si es meramente continua, no diferenciable. ${\ Displaystyle a = t_ {0} <t_ {1} <\ dots <t_ {N-1} <t_ {N} = b}$${\ Displaystyle [a, b].}$${\ Displaystyle f}$

Una curva se puede parametrizar de infinitas formas. Sea cualquier biyección continuamente diferenciable . Luego hay otra parametrización continuamente diferenciable de la curva originalmente definida por La longitud del arco de la curva es la misma independientemente de la parametrización utilizada para definir la curva: ${\ Displaystyle \ varphi: [a, b] \ to [c, d]}$${\ Displaystyle g = f \ circ \ varphi ^ {- 1}: [c, d] \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle f.}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} L (f) & = \ int _ {a} ^ {b} {\ Big |} f '(t) {\ Big |} \ dt = \ int _ {a} ^ {b} {\ Big |} g '(\ varphi (t)) \ varphi' (t) {\ Big |} \ dt \\ & = \ int _ {a} ^ {b} {\ Big |} g '(\ varphi (t)) {\ Big |} \ varphi' (t) \ dt \ quad {\ text {en el caso de que}} \ varphi {\ text {no sea decreciente}} \\ & = \ int _ {c} ^ {d} {\ Big |} g '(u) {\ Big |} \ du \ quad {\ text {usando integración por sustitución}} \\ & = L (g). \ end { alineado}}}$

Encontrar longitudes de arco integrando

Si una curva plana en está definida por la ecuación donde es continuamente diferenciable , entonces es simplemente un caso especial de una ecuación paramétrica donde y La longitud del arco viene dada por: ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ Displaystyle y = f (x),}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle x = t}$${\ Displaystyle y = f (t).}$

${\ Displaystyle s = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {1+ \ left ({\ frac {dy} {dx}} \ right) ^ {2} \,}} dx.}$

Las curvas con soluciones de forma cerrada para la longitud del arco incluyen la catenaria , el círculo , la cicloide , la espiral logarítmica , la parábola , la parábola semicúbica y la línea recta . La falta de una solución de forma cerrada para la longitud de arco de un arco elíptico e hiperbólico condujo al desarrollo de las integrales elípticas .

Integracion numerica

En la mayoría de los casos, incluso en curvas simples, no existen soluciones de forma cerrada para la longitud del arco y es necesaria la integración numérica . La integración numérica de la integral de la longitud del arco suele ser muy eficiente. Por ejemplo, considere el problema de encontrar la longitud de un cuarto del círculo unitario integrando numéricamente la integral de la longitud del arco. La mitad superior del círculo unitario se puede parametrizar como El intervalo corresponde a un cuarto del círculo. Dado que y la longitud de un cuarto del círculo unitario es ${\ Displaystyle y = {\ sqrt {1-x ^ {2}}}.}$${\ Displaystyle x \ in \ left [- {\ sqrt {2}} / 2, {\ sqrt {2}} / 2 \ right]}$${\ Displaystyle dy / dx = -x / {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}$${\ Displaystyle 1+ (dy / dx) ^ {2} = 1 / \ left (1-x ^ {2} \ right),}$

${\ Displaystyle \ int _ {- {\ sqrt {2}} / 2} ^ {{\ sqrt {2}} / 2} {\ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}} \, dx.}$

La estimación de la regla de Gauss-Kronrod de 15 puntos para esta integral de1.570 796 326 808 177 difiere de la longitud real de

${\ Displaystyle {\ Big [} \ arcsin x {\ Big]} _ {- {\ sqrt {2}} / 2} ^ {{\ sqrt {2}} / 2} = {\ frac {\ pi} { 2}}}$

por 1.3 × 10 ⁻¹¹ y la estimación de la regla de cuadratura gaussiana de 16 puntos de1.570 796 326 794 727 difiere de la verdadera longitud sólo1,7 × 10 ⁻¹³ . Esto significa que es posible evaluar esta integral con casi precisión de máquina con solo 16 evaluaciones de integrando.

Curva sobre una superficie

Sea un mapeo de superficie y sea ​​una curva en esta superficie. El integrando de la integral de longitud de arco es Evaluar la derivada requiere la regla de la cadena para campos vectoriales: ${\ Displaystyle \ mathbf {x} (u, v)}$${\ Displaystyle \ mathbf {C} (t) = (u (t), v (t))}$${\ Displaystyle \ left | \ left (\ mathbf {x} \ circ \ mathbf {C} \ right) '(t) \ right |.}$

${\ Displaystyle D (\ mathbf {x} \ circ \ mathbf {C}) = (\ mathbf {x} _ {u} \ \ mathbf {x} _ {v}) {\ binom {u '} {v' }} = \ mathbf {x} _ {u} u '+ \ mathbf {x} _ {v} v'.}$

La norma al cuadrado de este vector es (donde es el primer coeficiente de forma fundamental ), por lo que el integrando de la integral de la longitud del arco se puede escribir como (donde y ). ${\ Displaystyle \ left (\ mathbf {x} _ {u} u '+ \ mathbf {x} _ {v} v' \ right) \ cdot (\ mathbf {x} _ {u} u '+ \ mathbf { x} _ {v} v ') = g_ {11} \ left (u' \ right) ^ {2} + 2g_ {12} u'v '+ g_ {22} \ left (v' \ right) ^ { 2}}$${\ Displaystyle g_ {ij}}$${\ Displaystyle {\ sqrt {g_ {ab} \ left (u ^ {a} \ right) '\ left (u ^ {b} \ right)' \,}}}$${\ Displaystyle u ^ {1} = u}$${\ Displaystyle u ^ {2} = v}$

Otros sistemas de coordenadas

Sea una curva expresada en coordenadas polares. El mapeo que se transforma de coordenadas polares a coordenadas rectangulares es ${\ Displaystyle \ mathbf {C} (t) = (r (t), \ theta (t))}$

${\ Displaystyle \ mathbf {x} (r, \ theta) = (r \ cos \ theta, r \ sin \ theta).}$

El integrando de la integral de longitud de arco es La regla de la cadena para campos vectoriales muestra que Entonces el integrando al cuadrado de la integral de longitud de arco es ${\ Displaystyle \ left | \ left (\ mathbf {x} \ circ \ mathbf {C} \ right) '(t) \ right |.}$${\ Displaystyle D (\ mathbf {x} \ circ \ mathbf {C}) = \ mathbf {x} _ {r} r '+ \ mathbf {x} _ {\ theta} \ theta'.}$

${\ Displaystyle \ left (\ mathbf {x_ {r}} \ cdot \ mathbf {x_ {r}} \ right) \ left (r '\ right) ^ {2} +2 \ left (\ mathbf {x} _ {r} \ cdot \ mathbf {x} _ {\ theta} \ right) r '\ theta' + \ left (\ mathbf {x} _ {\ theta} \ cdot \ mathbf {x} _ {\ theta} \ derecha) \ left (\ theta '\ right) ^ {2} = \ left (r' \ right) ^ {2} + r ^ {2} \ left (\ theta '\ right) ^ {2}.}$

Entonces, para una curva expresada en coordenadas polares, la longitud del arco es

${\ Displaystyle \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} {\ sqrt {\ left ({\ frac {dr} {dt}} \ right) ^ {2} + r ^ {2} \ izquierda ({\ frac {d \ theta} {dt}} \ right) ^ {2} \,}} dt = \ int _ {\ theta (t_ {1})} ^ {\ theta (t_ {2}) } {\ sqrt {\ left ({\ frac {dr} {d \ theta}} \ right) ^ {2} + r ^ {2} \,}} d \ theta.}$

Ahora sea ​​una curva expresada en coordenadas esféricas donde es el ángulo polar medido desde el eje positivo y es el ángulo azimutal. El mapeo que se transforma de coordenadas esféricas a coordenadas rectangulares es ${\ Displaystyle \ mathbf {C} (t) = (r (t), \ theta (t), \ phi (t))}$${\ Displaystyle \ theta}$${\ Displaystyle z}$${\ Displaystyle \ phi}$

${\ Displaystyle \ mathbf {x} (r, \ theta, \ phi) = (r \ sin \ theta \ cos \ phi, r \ sin \ theta \ sin \ phi, r \ cos \ theta).}$

El uso de la regla de la cadena nuevamente muestra que Todos los productos escalares donde y difieren son cero, por lo que la norma al cuadrado de este vector es ${\ Displaystyle D (\ mathbf {x} \ circ \ mathbf {C}) = \ mathbf {x} _ {r} r '+ \ mathbf {x} _ {\ theta} \ theta' + \ mathbf {x} _{\Phi Phi '.}$${\ Displaystyle \ mathbf {x} _ {i} \ cdot \ mathbf {x} _ {j}}$${\ Displaystyle i}$${\ Displaystyle j}$

${\ Displaystyle \ left (\ mathbf {x} _ {r} \ cdot \ mathbf {x} _ {r} \ right) \ left (r '^ {2} \ right) + \ left (\ mathbf {x} _ {\ theta} \ cdot \ mathbf {x} _ {\ theta} \ right) \ left (\ theta '\ right) ^ {2} + \ left (\ mathbf {x} _ {\ phi} \ cdot \ mathbf {x} _ {\ phi} \ right) \ left (\ phi '\ right) ^ {2} = \ left (r' \ right) ^ {2} + r ^ {2} \ left (\ theta ' \ right) ^ {2} + r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \ left (\ phi '\ right) ^ {2}.}$

Entonces, para una curva expresada en coordenadas esféricas, la longitud del arco es

${\ Displaystyle \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} {\ sqrt {\ left ({\ frac {dr} {dt}} \ right) ^ {2} + r ^ {2} \ izquierda ({\ frac {d \ theta} {dt}} \ right) ^ {2} + r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \ left ({\ frac {d \ phi} {dt}} \ right) ^ {2} \,}} dt.}$

Un cálculo muy similar muestra que la longitud de arco de una curva expresada en coordenadas cilíndricas es

${\ Displaystyle \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} {\ sqrt {\ left ({\ frac {dr} {dt}} \ right) ^ {2} + r ^ {2} \ izquierda ({\ frac {d \ theta} {dt}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {dz} {dt}} \ right) ^ {2} \,}} dt.}$

Casos sencillos

Arcos de círculos

Las longitudes de los arcos se indican mediante s , ya que la palabra latina para longitud (o tamaño) es Spatium .

En las siguientes líneas, representa el radio de un círculo , es su diámetro , es su circunferencia , es la longitud de un arco del círculo y es el ángulo que subtiende el arco en el centro del círculo. Las distancias y se expresan en las mismas unidades. ${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle d}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle s}$${\ Displaystyle \ theta}$${\ Displaystyle r, d, C,}$${\ Displaystyle s}$

• ${\ Displaystyle C = 2 \ pi r,}$que es lo mismo que Esta ecuación es una definición de${\ Displaystyle C = \ pi d.}$${\ Displaystyle \ pi.}$
• Si el arco es un semicírculo , entonces${\ Displaystyle s = \ pi r.}$
• Para un arco circular arbitrario:
  • Si está en radianes , esta es una definición del radianes.${\ Displaystyle \ theta}$${\ Displaystyle s = r \ theta.}$
  • Si está en grados , entonces que es lo mismo que${\ Displaystyle \ theta}$${\ Displaystyle s = {\ frac {\ pi r \ theta} {180 ^ {\ circ}}},}$${\ displaystyle s = {\ frac {C \ theta} {360 ^ {\ circ}}}.}$
  • Si está en grados (100 grados, o grados, o graduados son un ángulo recto ), entonces ¿ cuál es el mismo que${\ Displaystyle \ theta}$${\ Displaystyle s = {\ frac {\ pi r \ theta} {200 {\ text {grad}}}},}$${\ displaystyle s = {\ frac {C \ theta} {400 {\ text {grad}}}}.}$
  • Si es por turnos (un turno es una rotación completa, o 360 °, o 400 grados o radianes), entonces .${\ Displaystyle \ theta}$${\ Displaystyle 2 \ pi}$${\ Displaystyle s = C \ theta / 1 {\ text {turn}}}$

Arcos de grandes círculos en la Tierra

Dos unidades de longitud, la milla náutica y el metro (o kilómetro), se definieron originalmente para que las longitudes de los arcos de los grandes círculos en la superficie de la Tierra se relacionen simplemente numéricamente con los ángulos que subtienden en su centro. La ecuación simple se aplica en las siguientes circunstancias: ${\ Displaystyle s = \ theta}$

• si está en millas náuticas, y está en minutos de arco ( 1 ⁄ 60 grados), o${\ Displaystyle s}$${\ Displaystyle \ theta}$
• si está en kilómetros y está en centígrados ( 1 ⁄ 100 grad ).${\ Displaystyle s}$${\ Displaystyle \ theta}$

Las longitudes de las unidades de distancia se eligieron para hacer que la circunferencia de la Tierra sea igual 40 000 kilómetros, o21 600 millas náuticas. Esos son los números de las unidades angulares correspondientes en una vuelta completa.

Esas definiciones del metro y la milla náutica han sido reemplazadas por otras más precisas, pero las definiciones originales siguen siendo lo suficientemente precisas para fines conceptuales y algunos cálculos. Por ejemplo, implican que un kilómetro son exactamente 0,54 millas náuticas. Usando definiciones modernas oficiales, una milla náutica es exactamente 1.852 kilómetros, lo que implica que 1 kilómetro es aproximadamente0.539 956 80 millas náuticas. Esta relación moderna difiere de la calculada a partir de las definiciones originales en menos de una parte en 10.000.

Longitud de un arco de una parábola

Métodos históricos

Antigüedad

Durante gran parte de la historia de las matemáticas , incluso los más grandes pensadores consideraron imposible calcular la longitud de un arco irregular. Aunque Arquímedes había sido pionero en una forma de encontrar el área debajo de una curva con su " método de agotamiento ", pocos creían que era posible que las curvas tuvieran longitudes definidas, al igual que las líneas rectas. El primer terreno se abrió en este campo, como ha ocurrido a menudo en el cálculo , por aproximación . La gente comenzó a inscribir polígonos dentro de las curvas y a calcular la longitud de los lados para obtener una medida algo precisa de la longitud. Al usar más segmentos y al disminuir la longitud de cada segmento, pudieron obtener una aproximación cada vez más precisa. En particular, al inscribir un polígono de muchos lados en un círculo, pudieron encontrar valores aproximados de π .

siglo 17

En el siglo XVII, el método de agotamiento llevó a la rectificación por métodos geométricos de varias curvas trascendentales : la espiral logarítmica de Evangelista Torricelli en 1645 (algunas fuentes dicen John Wallis en la década de 1650), la cicloide de Christopher Wren en 1658, y la catenaria de Gottfried Leibniz en 1691.

En 1659, Wallis atribuyó el mérito al descubrimiento de William Neile de la primera rectificación de una curva algebraica no trivial , la parábola semicúbica . Las figuras adjuntas aparecen en la página 145. En la página 91, se menciona a William Neile como Gulielmus Nelius .

Forma integral

Antes del desarrollo formal completo del cálculo, la base de la forma integral moderna para la longitud del arco fue descubierta independientemente por Hendrik van Heuraet y Pierre de Fermat .

En 1659, van Heuraet publicó una construcción que mostraba que el problema de determinar la longitud del arco podía transformarse en el problema de determinar el área bajo una curva (es decir, una integral). Como ejemplo de su método, determinó la longitud del arco de una parábola semicúbica, lo que requería encontrar el área debajo de una parábola . En 1660, Fermat publicó una teoría más general que contenía el mismo resultado en su De linearum curvarum cum lineis rectis comparatione dissertatio geometrica (Disertación geométrica sobre líneas curvas en comparación con líneas rectas).

Sobre la base de su trabajo anterior con tangentes, Fermat utilizó la curva

${\ Displaystyle y = x ^ {\ frac {3} {2}} \,}$

cuya tangente en x = a tenía una pendiente de

${\ Displaystyle {3 \ over 2} a ^ {\ frac {1} {2}}}$

entonces la recta tangente tendría la ecuación

${\ Displaystyle y = {3 \ over 2} a ^ {\ frac {1} {2}} (xa) + f (a).}$

A continuación, se aumentó una por una pequeña cantidad para un + ε , haciendo segmento AC una relativamente buena aproximación para la longitud de la curva de A a D . Para encontrar la longitud del segmento AC , usó el teorema de Pitágoras :

${\ displaystyle {\ begin {align} AC ^ {2} & = AB ^ {2} + BC ^ {2} \\ & = \ varepsilon ^ {2} + {9 \ over 4} a \ varepsilon ^ {2 } \\ & = \ varepsilon ^ {2} \ left (1+ {9 \ over 4} a \ right) \ end {alineado}}}$

que, cuando se resuelve, produce

${\ Displaystyle AC = \ varepsilon {\ sqrt {1+ {9 \ over 4} a \,}}.}$

Para aproximar la longitud, Fermat resumiría una secuencia de segmentos cortos.

Curvas con longitud infinita

Como se mencionó anteriormente, algunas curvas no son rectificables. Es decir, no hay límite superior en las longitudes de aproximaciones poligonales; la longitud se puede hacer arbitrariamente grande . De manera informal, se dice que tales curvas tienen una longitud infinita. Hay curvas continuas en las que cada arco (que no sea un arco de un solo punto) tiene una longitud infinita. Un ejemplo de tal curva es la curva de Koch . Otro ejemplo de una curva con longitud infinita es la gráfica de la función definida por f ( x ) =  x  sin (1 / x ) para cualquier conjunto abierto con 0 como uno de sus delimitadores y f (0) = 0. A veces, el Hausdorff La dimensión y la medida de Hausdorff se utilizan para cuantificar el tamaño de dichas curvas.

Generalización a variedades (pseudo) riemannianas

Sea una variedad (pseudo) riemanniana , una curva en y el tensor (pseudo) métrico . ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle \ gamma: [0,1] \ rightarrow M}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle g}$

La longitud de se define como ${\ Displaystyle \ gamma}$

${\ Displaystyle \ ell (\ gamma) = \ int _ {0} ^ {1} {\ sqrt {\ pm g \ left (\ gamma '(t), \ gamma' (t) \ right) \,}} dt,}$

donde es el vector tangente de en El signo de la raíz cuadrada se elige una vez para una curva dada, para garantizar que la raíz cuadrada sea un número real. El signo positivo se elige para curvas espaciales; en una variedad pseudo-Riemanniana, el signo negativo puede elegirse para curvas de tipo temporal. Por tanto, la longitud de una curva es un número real no negativo. Por lo general, no se consideran curvas que sean en parte espaciales y en parte temporales. ${\ Displaystyle \ gamma '(t) \ en T _ {\ gamma (t)} M}$${\ Displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle t.}$

En teoría de la relatividad , la longitud del arco de las curvas temporales ( líneas del mundo ) es el tiempo apropiado transcurrido a lo largo de la línea del mundo, y la longitud del arco de una curva espacial es la distancia adecuada a lo largo de la curva.

Ver también

• Arco (geometría)
• Circunferencia
• Fórmula de Crofton
• Integral elíptica
• Geodésicas
• Ecuación intrínseca
• Aproximaciones integrales
• Integral de línea
• Arco meridiano
• Cálculo multivariable
• Sinuosidad

Referencias

Fuentes

• Farouki, Rida T. (1999). "Curvas de movimiento, movimiento de curvas". En Laurent, P.-J .; Sablonniere, P .; Schumaker, LL (eds.). Diseño de curvas y superficies: Saint-Malo 1999 . Vanderbilt Univ. Presionar. págs. 63–90. ISBN 978-0-8265-1356-4.

enlaces externos

• "Curva rectificable" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• La historia de la curvatura
• Weisstein, Eric W. "Longitud del arco" . MathWorld .
• Longitud del arco por Ed Pegg Jr. , The Wolfram Demonstrations Project , 2007.
• Guía de estudio de cálculo: longitud del arco (rectificación)
• Índice de curvas famosas El archivo MacTutor History of Mathematics
• Aproximación de la longitud del arco por Chad Pierson, Josh Fritz y Angela Sharp, The Wolfram Demonstrations Project .
• Experimento de longitud de una curva Ilustra la solución numérica de encontrar la longitud de una curva.