Coordenadas curvilíneas - Curvilinear coordinates

Coordenadas curvilíneas (arriba), afines (derecha) y cartesianas (izquierda) en el espacio bidimensional

En geometría , las coordenadas curvilíneas son un sistema de coordenadas para el espacio euclidiano en el que las líneas de coordenadas pueden ser curvas. Estas coordenadas pueden derivarse de un conjunto de coordenadas cartesianas mediante el uso de una transformación que sea localmente invertible (un mapa uno a uno) en cada punto. Esto significa que se puede convertir un punto dado en un sistema de coordenadas cartesianas a sus coordenadas curvilíneas y viceversa. El nombre de coordenadas curvilíneas , acuñado por el matemático francés Lamé , deriva del hecho de que las superficies de coordenadas de los sistemas curvilíneos son curvas.

Ejemplos bien conocidos de sistemas de coordenadas curvilíneas en el espacio euclidiano tridimensional ( R 3 ) son las coordenadas cilíndricas y esféricas . Una superficie de coordenadas cartesianas en este espacio es un plano de coordenadas ; por ejemplo, z = 0 define el plano x - y . En el mismo espacio, la superficie de coordenadas r = 1 en coordenadas esféricas es la superficie de una esfera unitaria , que es curva. El formalismo de coordenadas curvilíneas proporciona una descripción unificada y general de los sistemas de coordenadas estándar.

Las coordenadas curvilíneas se utilizan a menudo para definir la ubicación o distribución de cantidades físicas que pueden ser, por ejemplo, escalares , vectores o tensores . Las expresiones matemáticas que involucran estas cantidades en el cálculo vectorial y el análisis de tensores (como el gradiente , la divergencia , el rizo y laplaciano ) se pueden transformar de un sistema de coordenadas a otro, de acuerdo con las reglas de transformación para escalares, vectores y tensores. Estas expresiones se vuelven válidas para cualquier sistema de coordenadas curvilíneas.

Un sistema de coordenadas curvilíneas puede ser más sencillo de usar que el sistema de coordenadas cartesianas para algunas aplicaciones. El movimiento de partículas bajo la influencia de fuerzas centrales suele ser más fácil de resolver en coordenadas esféricas que en coordenadas cartesianas; esto es cierto para muchos problemas físicos con simetría esférica definida en R 3 . Las ecuaciones con condiciones de contorno que siguen superficies de coordenadas para un sistema de coordenadas curvilíneas particular pueden ser más fáciles de resolver en ese sistema. Si bien se podría describir el movimiento de una partícula en una caja rectangular usando coordenadas cartesianas, el movimiento en una esfera es más fácil con coordenadas esféricas. Las coordenadas esféricas son los sistemas de coordenadas curvilíneas más comunes y se utilizan en ciencias de la Tierra , cartografía , mecánica cuántica , relatividad e ingeniería .

Coordenadas curvilíneas ortogonales en 3 dimensiones

Coordenadas, bases y vectores

Fig. 1 - Superficies de coordenadas, líneas de coordenadas y ejes de coordenadas de coordenadas curvilíneas generales.
Fig. 2 - Superficies de coordenadas, líneas de coordenadas y ejes de coordenadas de coordenadas esféricas. Superficies: r - esferas, θ - conos, φ - semiplanos; Líneas: r - vigas rectas, θ - semicírculos verticales, φ - círculos horizontales; Ejes: r - vigas rectas, θ - tangentes a semicírculos verticales, φ - tangentes a círculos horizontales

Por ahora, considere el espacio 3-D . Un punto P en el espacio 3d (o su vector de posición r ) se puede definir usando coordenadas cartesianas ( x , y , z ) [escrito de manera equivalente ( x 1 , x 2 , x 3 )], por , donde e x , e y , e z son las base estándar vectores .

También se puede definir por sus coordenadas curvilíneas ( q 1 , q 2 , q 3 ) si este triplete de números define un solo punto de forma inequívoca. La relación entre las coordenadas viene dada por las funciones de transformación invertibles:

Las superficies q 1 = constante, q 2 = constante, q 3 = constante se denominan superficies coordinadas ; y las curvas espaciales formadas por su intersección en pares se denominan curvas de coordenadas . Los ejes de coordenadas están determinados por las tangentes a las curvas de coordenadas en la intersección de tres superficies. En general, no son direcciones fijas en el espacio, como sucede con las coordenadas cartesianas simples y, por lo tanto, generalmente no existe una base global natural para las coordenadas curvilíneas.

En el sistema cartesiano, los vectores de base estándar se pueden derivar de la derivada de la ubicación del punto P con respecto a la coordenada local.

La aplicación de las mismas derivadas al sistema curvilíneo localmente en el punto P define los vectores de base natural:

Una base de este tipo, cuyos vectores cambian de dirección y / o magnitud de un punto a otro, se denomina base local . Todas las bases asociadas con coordenadas curvilíneas son necesariamente locales. Los vectores base que son iguales en todos los puntos son bases globales y solo se pueden asociar con sistemas de coordenadas lineales o afines .

Para este artículo electrónico está reservado para la base estándar (cartesiana) y h o b es la base para la curvilínea.

Estos pueden no tener una longitud unitaria y también pueden no ser ortogonales. En el caso de que sean ortogonales en todos los puntos donde las derivadas están bien definidas, definimos los coeficientes de Lamé(según Gabriel Lamé ) por

y los vectores de base ortonormal curvilíneos por

Estos vectores básicos bien pueden depender de la posición de P ; por tanto, es necesario que no se suponga que sean constantes en una región. (Técnicamente forman una base para el haz tangente de en P , por lo que son locales a P ).

En general, las coordenadas curvilíneas permiten que los vectores de base natural h i no sean todos perpendiculares entre sí, y no se requiere que sean de longitud unitaria: pueden ser de magnitud y dirección arbitrarias. El uso de una base ortogonal hace que las manipulaciones vectoriales sean más sencillas que las no ortogonales. Sin embargo, algunas áreas de la física y la ingeniería , en particular la mecánica de fluidos y la mecánica del continuo , requieren bases no ortogonales para describir las deformaciones y el transporte de fluidos para tener en cuenta las complicadas dependencias direccionales de las cantidades físicas. Una discusión del caso general aparece más adelante en esta página.

Cálculo vectorial

Elementos diferenciales

En coordenadas curvilíneas ortogonales, dado que el cambio diferencial total en r es

entonces los factores de escala son

En coordenadas no ortogonales, la longitud de es la raíz cuadrada positiva de (con la convención de suma de Einstein ). Los seis productos escalares independientes g ij = h i . h j de los vectores de base natural generalizan los tres factores de escala definidos anteriormente para las coordenadas ortogonales. Los nueve g ij son los componentes del tensor métrico , que tiene solo tres componentes distintos de cero en coordenadas ortogonales: g 11 = h 1 h 1 , g 22 = h 2 h 2 , g 33 = h 3 h 3 .

Bases covariantes y contravariantes

Un vector v ( rojo ) representado por • una base de vector ( amarillo , izquierda: e 1 , e 2 , e 3 ), vectores tangentes a curvas coordinadas ( negro ) y • una base de covector o cobasis ( azul , derecha: e 1 , e 2 , e 3 ), vectores normales para coordinar superficies ( gris ) en general (no necesariamente ortogonales ) coordenadas curvilíneas ( q 1 , q 2 , q 3 ). La base y la cobasis no coinciden a menos que el sistema de coordenadas sea ortogonal.

Los gradientes espaciales, las distancias, las derivadas del tiempo y los factores de escala están interrelacionados dentro de un sistema de coordenadas mediante dos grupos de vectores básicos:

  1. vectores base que son localmente tangentes a su trayectoria de coordenadas asociada:
    que se transforma como vectores covariantes (denotados por índices reducidos), o
  2. vectores base que son localmente normales a la isosuperficie creada por las otras coordenadas:
    que se transforma como vectores contravariantes (denotados por índices elevados), ∇ es el operador del .

En consecuencia, un sistema de coordenadas curvilíneas general tiene dos conjuntos de vectores base para cada punto: { b 1 , b 2 , b 3 } es la base covariante y { b 1 , b 2 , b 3 } es la contravariante (también conocida como recíproca) base. Los tipos de vectores de base covariante y contravariante tienen una dirección idéntica para los sistemas de coordenadas curvilíneas ortogonales, pero, como es habitual, tienen unidades invertidas entre sí.

Tenga en cuenta la siguiente igualdad importante:

donde denota el delta de Kronecker generalizado .

Un vector v se puede especificar en términos de cualquier base, es decir,

Usando la convención de suma de Einstein, los vectores base se relacionan con los componentes por

y

donde g es el tensor métrico (ver más abajo).

Un vector puede especificarse con coordenadas covariantes (índices reducidos, escritos v k ) o coordenadas contravariantes (índices elevados, escritos v k ). De las sumas de vectores anteriores, se puede ver que las coordenadas contravariantes están asociadas con vectores de base covariantes, y las coordenadas covariantes están asociadas con vectores de base contravariantes.

Una característica clave de la representación de vectores y tensores en términos de componentes indexados y vectores base es la invariancia en el sentido de que los componentes vectoriales que se transforman de manera covariante (o contravariante) se emparejan con vectores base que se transforman de manera contravariante (o manera covariante).

Integración

Construyendo una base covariante en una dimensión

Fig.3 - Transformación de la base covariante local en el caso de coordenadas curvilíneas generales

Considere la curva unidimensional que se muestra en la Fig. 3. En el punto P , tomado como origen , x es una de las coordenadas cartesianas y q 1 es una de las coordenadas curvilíneas. El (no unidad) base vector local es b 1 (anotado h 1 anterior, con b reservado para vectores unitarios) y que está construido sobre la q 1 eje que es una tangente a la recta de coordenadas en el punto P . El eje q 1 y, por tanto, el vector b 1 forman un ángulo con el eje x cartesiano y el vector base cartesiano e 1 .

Se puede ver en el triángulo PAB que

donde | e 1 |, | b 1 | son las magnitudes de los dos vectores básicos, es decir, las intersecciones escalares PB y PA . PA es también la proyección de b 1 en el eje x .

Sin embargo, este método para las transformaciones de vectores base que utilizan cosenos direccionales no es aplicable a coordenadas curvilíneas por las siguientes razones:

  1. Al aumentar la distancia desde P , el ángulo entre la línea curva q 1 y el eje cartesiano x se desvía cada vez más .
  2. A la distancia PB, el ángulo verdadero es el que forma la tangente en el punto C con el eje xy este último ángulo es claramente diferente .

Los ángulos que el q 1 línea y que forma eje con el x eje se vuelven más cerca en valor cuanto más cerca se mueve hacia el punto P y se convierten en exactamente igual a P .

Sea el punto E ubicado muy cerca de P , tan cerca que la distancia PE sea ​​infinitesimalmente pequeña. Entonces, la PE medida en el eje q 1 casi coincide con la PE medida en la línea q 1 . Al mismo tiempo, la relación PD / PE ( siendo PD la proyección de PE en el eje x ) se vuelve casi exactamente igual a .

Dejemos que las interceptaciones infinitesimalmente pequeñas PD y PE se etiqueten, respectivamente, como dx y d q 1 . Luego

.

Por lo tanto, los cosenos direccionales se pueden sustituir en transformaciones con las relaciones más exactas entre intersecciones de coordenadas infinitesimalmente pequeñas. De ello se deduce que la componente (proyección) de b 1 en el eje x es

.

Si q i = q i ( x 1 , x 2 , x 3 ) y x i = x i ( q 1 , q 2 , q 3 ) son funciones suaves (continuamente diferenciables), las relaciones de transformación se pueden escribir como y . Es decir, esas relaciones son derivadas parciales de coordenadas que pertenecen a un sistema con respecto a las coordenadas que pertenecen al otro sistema.

Construyendo una base covariante en tres dimensiones

Haciendo lo mismo para las coordenadas en las otras 2 dimensiones, b 1 se puede expresar como:

Ecuaciones similares son válidas para b 2 y b 3 de modo que la base estándar { e 1 , e 2 , e 3 } se transforma en una base local (ordenada y normalizada ) { b 1 , b 2 , b 3 } mediante el siguiente sistema de ecuaciones:

Mediante un razonamiento análogo, se puede obtener la transformación inversa de la base local a la base estándar:

Jacobiano de la transformación

Los sistemas anteriores de ecuaciones lineales se pueden escribir en forma de matriz utilizando la convención de suma de Einstein como

.

Esta matriz de coeficientes del sistema lineal es la matriz jacobiana (y su inversa) de la transformación. Estas son las ecuaciones que se pueden utilizar para transformar una base cartesiana en una base curvilínea y viceversa.

En tres dimensiones, las formas expandidas de estas matrices son

En la transformación inversa (segundo sistema de ecuaciones), las incógnitas son los vectores de base curvilínea. Para cualquier ubicación específica, solo puede existir uno y solo un conjunto de vectores base (de lo contrario, la base no está bien definida en ese punto). Esta condición se cumple si y solo si el sistema de ecuaciones tiene una única solución. En álgebra lineal , un sistema de ecuaciones lineales tiene una única solución (no trivial) solo si el determinante de la matriz de su sistema es distinto de cero:

que muestra la lógica detrás del requisito anterior con respecto al determinante jacobiano inverso.

Generalización a n dimensiones

El formalismo se extiende a cualquier dimensión finita de la siguiente manera.

Considere el espacio n- dimensional euclidiano real , que es R n = R × R × ... × R ( n veces) donde R es el conjunto de números reales y × denota el producto cartesiano , que es un espacio vectorial .

Las coordenadas de este espacio se pueden denotar por: x = ( x 1 , x 2 , ..., x n ). Dado que este es un vector (un elemento del espacio vectorial), se puede escribir como:

donde e 1 = (1,0,0 ..., 0), e 2 = (0,1,0 ..., 0), e 3 = (0,0,1 ..., 0) ,. .., e n = (0,0,0 ..., 1) es el conjunto básico estándar de vectores para el espacio R n , ei = 1, 2, ... n es un índice de componentes de etiquetado. Cada vector tiene exactamente un componente en cada dimensión (o "eje") y son mutuamente ortogonales ( perpendiculares ) y normalizados (tienen unidad de magnitud ).

De manera más general, podemos definir los vectores base b i de modo que dependan de q = ( q 1 , q 2 , ..., q n ), es decir, cambian de un punto a otro: b i = b i ( q ). En cuyo caso, para definir el mismo punto x en términos de esta base alternativa: las coordenadas con respecto a esta base v i también dependen necesariamente de x también, es decir v i = v i ( x ). Entonces, un vector v en este espacio, con respecto a estas coordenadas alternativas y vectores base, se puede expandir como una combinación lineal en esta base (lo que simplemente significa multiplicar cada vector base e i por un número v i - multiplicación escalar ):

La suma vectorial que describe v en la nueva base se compone de diferentes vectores, aunque la suma en sí sigue siendo la misma.

Transformación de coordenadas

Desde una perspectiva más general y abstracta, un sistema de coordenadas curvilíneas es simplemente un parche de coordenadas en la variedad diferenciable E n ( espacio euclidiano n-dimensional ) que es difeomórfico al parche de coordenadas cartesiano en la variedad. Dos parches de coordenadas difeomórficas en una variedad diferencial no necesitan superponerse de manera diferenciable. Con esta definición simple de un sistema de coordenadas curvilíneas, todos los resultados que siguen a continuación son simplemente aplicaciones de teoremas estándar en topología diferencial .

Las funciones de transformación son tales que existe una relación uno a uno entre los puntos en las coordenadas "antiguas" y "nuevas", es decir, esas funciones son biyecciones y cumplen los siguientes requisitos dentro de sus dominios :

  1. Son funciones suaves : q i = q i ( x )
  2. El determinante jacobiano inverso

    no es cero; lo que significa que la transformación es invertible : x i ( q ).

    según el teorema de la función inversa . La condición de que el determinante jacobiano no sea cero refleja el hecho de que tres superficies de diferentes familias se cruzan en un solo punto y, por lo tanto, determinan la posición de este punto de una manera única.

Álgebra vectorial y tensorial en coordenadas curvilíneas tridimensionales

Nota: a continuación se utiliza la convención de suma de Einstein de sumar en índices repetidos.

El álgebra elemental de vectores y tensores en coordenadas curvilíneas se utiliza en parte de la literatura científica más antigua en mecánica y física y puede ser indispensable para comprender el trabajo de principios y mediados del siglo XX, por ejemplo, el texto de Green y Zerna. En esta sección se dan algunas relaciones útiles en el álgebra de vectores y tensores de segundo orden en coordenadas curvilíneas. La notación y el contenido son principalmente de Ogden, Naghdi, Simmonds, Green y Zerna, Basar y Weichert y Ciarlet.

Tensores en coordenadas curvilíneas

Un tensor de segundo orden se puede expresar como

donde denota el producto tensorial . Los componentes S ij son llamados los contravariantes componentes, S i j los mixtos derecha covariante componentes, S i j los mixtos izquierda-covariante componentes, y S ij las covariantes componentes del tensor de segundo orden. Los componentes del tensor de segundo orden están relacionados por

El tensor métrico en coordenadas curvilíneas ortogonales

En cada punto, se puede construir un elemento de línea pequeño d x , por lo que el cuadrado de la longitud del elemento de línea es el producto escalar d x • d x y se llama métrica del espacio , dado por:

.

La siguiente parte de la ecuación anterior

es un tensor simétrico llamado tensor fundamental (o métrico) del espacio euclidiano en coordenadas curvilíneas.

Los índices se pueden subir y bajar según la métrica:

Relación con los coeficientes de Lamé

Definiendo los factores de escala h i por

da una relación entre el tensor métrico y los coeficientes de Lamé, y

donde h ij son los coeficientes de Lamé. Para una base ortogonal también tenemos:

Ejemplo: coordenadas polares

Si consideramos las coordenadas polares para R 2 ,

(r, θ) son las coordenadas curvilíneas, y el determinante jacobiano de la transformación ( r , θ) → ( r cos θ, r sen θ) es r .

Los vectores de base ortogonal son b r = (cos θ, sin θ), b θ = (−r sin θ, r cos θ). Los factores de escala son h r = 1 y h θ = r . El tensor fundamental es g 11 = 1, g 22 = r 2 , g 12 = g 21 = 0.

El tensor alterno

En una base ortonormal para diestros, el tensor alterno de tercer orden se define como

En una base curvilínea general, el mismo tensor puede expresarse como

También se puede demostrar que

Símbolos de Christoffel

Símbolos de Christoffel del primer tipo

donde la coma denota una derivada parcial (ver cálculo de Ricci ). Para expresar Γ kij en términos de g ij ,

Desde

usar estos para reorganizar las relaciones anteriores da

Símbolos de Christoffel del segundo tipo

Esto implica que

puesto .

Otras relaciones que siguen son

Operaciones vectoriales

  1. Producto escalar :

    El producto escalar de dos vectores en coordenadas curvilíneas es

  2. Producto cruzado :

    El producto cruzado de dos vectores viene dado por

    donde es el símbolo de permutación y es un vector de base cartesiana. En coordenadas curvilíneas, la expresión equivalente es

    donde es el tensor alterno de tercer orden .

Cálculo vectorial y tensorial en coordenadas curvilíneas tridimensionales

Nota: a continuación se utiliza la convención de suma de Einstein de sumar en índices repetidos.

Es necesario realizar ajustes en el cálculo de las integrales de línea , superficie y volumen . Por simplicidad, lo siguiente se restringe a tres dimensiones y coordenadas curvilíneas ortogonales. Sin embargo, los mismos argumentos se aplican a los espacios n -dimensionales. Cuando el sistema de coordenadas no es ortogonal, hay algunos términos adicionales en las expresiones.

Simmonds, en su libro sobre análisis de tensores , cita a Albert Einstein diciendo

La magia de esta teoría difícilmente dejará de imponerse a cualquiera que realmente la haya entendido; representa un auténtico triunfo del método del cálculo diferencial absoluto, fundado por Gauss, Riemann, Ricci y Levi-Civita.

El cálculo vectorial y tensorial en coordenadas curvilíneas generales se utiliza en el análisis tensorial de variedades curvilíneas de cuatro dimensiones en relatividad general , en la mecánica de capas curvas , en el examen de las propiedades de invariancia de las ecuaciones de Maxwell que han sido de interés en metamateriales y en muchos otros campos. .

En esta sección se dan algunas relaciones útiles en el cálculo de vectores y tensores de segundo orden en coordenadas curvilíneas. La notación y el contenido son principalmente de Ogden, Simmonds, Green y Zerna, Basar y Weichert y Ciarlet.

Sea φ = φ ( x ) un campo escalar bien definido y v = v ( x ) un campo vectorial bien definido, y λ 1 , λ 2 ... sean parámetros de las coordenadas

Elementos geométricos

  1. Vector tangente : si x ( λ ) parametriza una curva C en coordenadas cartesianas, entonces

    es un vector tangente a C en coordenadas curvilíneas (usando la regla de la cadena ). Usando la definición de los coeficientes de Lamé, y que para la métrica g ij = 0 cuando ij , la magnitud es:

  2. Elemento plano tangente : Si x ( λ 1 , λ 2 ) parametriza una superficie S en coordenadas cartesianas, entonces el siguiente producto cruzado de vectores tangentes es un vector normal a S con la magnitud del elemento plano infinitesimal, en coordenadas curvilíneas. Usando el resultado anterior,

    donde está el símbolo de permutación . En forma determinante:

Integración

Operador Campo escalar Campo vectorial
Integral de línea
Integral de superficie
Integral de volumen

Diferenciación

Las expresiones para gradiente, divergencia y laplaciano se pueden extender directamente a n dimensiones, sin embargo, el rizo solo se define en 3D.

El campo vectorial b i es tangente a la curva de coordenadas q i y forma una base natural en cada punto de la curva. Esta base, como se discutió al principio de este artículo, también se denomina base curvilínea covariante . También podemos definir una base recíproca , o una base curvilínea contravariante , b i . Todas las relaciones algebraicas entre los vectores base, como se discutió en la sección sobre álgebra de tensores, se aplican a la base natural y su recíproco en cada punto x .

Operador Campo escalar Campo vectorial Campo tensorial de segundo orden
Degradado
Divergencia N / A

donde a es un vector constante arbitrario. En coordenadas curvilíneas,

Laplaciano
Rizo N / A Solo para campos vectoriales en 3D,

donde está el símbolo de Levi-Civita .

Ver Curvatura de un campo tensorial

Fuerzas ficticias en coordenadas curvilíneas generales

Por definición, si una partícula sin fuerzas que actúen sobre ella tiene su posición expresada en un sistema de coordenadas inerciales, ( x 1x 2x 3t ), entonces no tendrá aceleración (d 2 x j / d t 2  = 0). En este contexto, un sistema de coordenadas puede dejar de ser "inercial" debido a un eje de tiempo no recto o ejes espaciales no rectos (o ambos). En otras palabras, los vectores base de las coordenadas pueden variar en el tiempo en posiciones fijas, o pueden variar con la posición en momentos fijos, o ambos. Cuando las ecuaciones de movimiento se expresan en términos de cualquier sistema de coordenadas no inercial (en este sentido), aparecen términos adicionales, llamados símbolos de Christoffel. Estrictamente hablando, estos términos representan componentes de la aceleración absoluta (en mecánica clásica), pero también podemos optar por seguir considerando d 2 x j / d t 2 como la aceleración (como si las coordenadas fueran inerciales) y tratar los términos adicionales como si fueran fuerzas, en cuyo caso se les llama fuerzas ficticias. El componente de cualquier fuerza ficticia normal a la trayectoria de la partícula y en el plano de la curvatura de la trayectoria se denomina fuerza centrífuga .

Este contexto más general aclara la correspondencia entre los conceptos de fuerza centrífuga en sistemas de coordenadas rotativos y en sistemas de coordenadas curvilíneos estacionarios. (Ambos de estos conceptos aparecen con frecuencia en la literatura.) Para un simple ejemplo, considere una partícula de masa m que se mueve en un círculo de radio r con velocidad angular w en relación con un sistema de coordenadas polares que giran con la velocidad angular W . La ecuación radial de movimiento es mr ”=  F r  +  mr ( w  +  W ) 2 . Por tanto, la fuerza centrífuga es mr multiplicado por el cuadrado de la velocidad de rotación absoluta A  =  w  +  W de la partícula. Si escogemos un sistema de coordenadas que gira a la velocidad de la partícula, entonces W  =  A y w  = 0, en cuyo caso la fuerza centrífuga es MRA 2 , mientras que si elegimos una coordenada estacionaria sistema que tenemos W  = 0 y w  =  A , en cuyo caso la fuerza centrífuga es nuevamente mrA 2 . La razón de esta igualdad de resultados es que en ambos casos los vectores base en la ubicación de la partícula están cambiando en el tiempo exactamente de la misma manera. Por lo tanto, estas son realmente solo dos formas diferentes de describir exactamente lo mismo, una descripción en términos de coordenadas giratorias y la otra en términos de coordenadas curvilíneas estacionarias, las cuales son no inerciales según el significado más abstracto de ese término. .

Al describir el movimiento general, las fuerzas reales que actúan sobre una partícula a menudo se refieren al círculo osculador instantáneo tangente a la trayectoria del movimiento, y este círculo en el caso general no está centrado en una ubicación fija, por lo que la descomposición en centrífuga y Coriolis los componentes cambian constantemente. Esto es cierto independientemente de si el movimiento se describe en términos de coordenadas estacionarias o giratorias.

Ver también

Referencias

Otras lecturas

  • Spiegel, MR (1959). Análisis vectorial . Nueva York: Schaum's Outline Series. ISBN 0-07-084378-3.
  • Arfken, George (1995). Métodos matemáticos para físicos . Prensa académica. ISBN 0-12-059877-9.

enlaces externos