Desigualdad de Clausius-Duhem - Clausius–Duhem inequality

La desigualdad de Clausius-Duhem es una forma de expresar la segunda ley de la termodinámica que se utiliza en la mecánica del continuo . Esta desigualdad es particularmente útil para determinar si la relación constitutiva de un material es termodinámicamente permisible.

Esta desigualdad es una declaración sobre la irreversibilidad de los procesos naturales, especialmente cuando se trata de disipación de energía. Lleva el nombre del físico alemán Rudolf Clausius y del físico francés Pierre Duhem .

Desigualdad de Clausius-Duhem en términos de la entropía específica

La desigualdad de Clausius-Duhem se puede expresar en forma integral como

{\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ izquierda (\ int _ {\ Omega} \ rho \ eta \, dV \ derecha) \ geq \ int _ {\ parcial \ Omega} \ rho \ eta \ izquierda (u_ {n} - \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {n} \ right) dA- \ int _ {\ partial \ Omega} {\ frac {\ mathbf {q} \ cdot \ mathbf {n}} { T}} ~ dA + \ int _ {\ Omega} {\ frac {\ rho s} {T}} ~ dV.}

En esta ecuación es el tiempo, representa un cuerpo y la integración es sobre el volumen del cuerpo, representa la superficie del cuerpo, es la densidad de masa del cuerpo, es la entropía específica (entropía por unidad de masa), es la normal La velocidad de , es la velocidad de las partículas en el interior , es la unidad normal a la superficie, es el vector de flujo de calor , es una fuente de energía por unidad de masa y es la temperatura absoluta . Todas las variables son funciones de un punto material en un momento . ${\ Displaystyle t}$ ${\ Displaystyle \ Omega}$ ${\ Displaystyle \ parcial \ Omega}$ ${\ Displaystyle \ rho}$ ${\ Displaystyle \ eta}$ ${\ Displaystyle u_ {n}}$ ${\ Displaystyle \ parcial \ Omega}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v}}$ ${\ Displaystyle \ Omega}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {q}}$ ${\ Displaystyle s}$ ${\ Displaystyle T}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {x}}$ ${\ Displaystyle t}$

En forma diferencial, la desigualdad de Clausius-Duhem se puede escribir como

{\ Displaystyle \ rho {\ dot {\ eta}} \ geq - {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ frac {\ mathbf {q}} {T}} \ right) + {\ frac {\ rho ~ s} {T}}}

donde es la derivada en el tiempo de y es la divergencia del vector . ${\ Displaystyle {\ dot {\ eta}}}$ ${\ Displaystyle \ eta}$ ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot (\ mathbf {a})}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {a}}$

Prueba -

Suponga que es un volumen de control fijo arbitrario . Entonces y la derivada se puede tomar dentro de la integral para dar ${\ Displaystyle \ Omega}$ ${\ Displaystyle u_ {n} = 0}$

{\ estilo de visualización \ int _ {\ Omega} {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} (\ rho ~ \ eta) ~ dV \ geq - \ int _ {\ parcial \ Omega} \ rho ~ \ eta ~ (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {n}) ~ dA- \ int _ {\ partial \ Omega} {\ cfrac {\ mathbf {q} \ cdot \ mathbf {n}} {T}} ~ dA + \ int _ {\ Omega} {\ cfrac {\ rho ~ s} {T}} ~ dV.}

Usando el teorema de la divergencia , obtenemos

{\ estilo de visualización \ int _ {\ Omega} {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} (\ rho ~ \ eta) ~ dV \ geq - \ int _ {\ Omega} {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot (\ rho ~ \ eta ~ \ mathbf {v}) ~ dV- \ int _ {\ Omega} {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ frac {\ mathbf {q}} {T }} \ derecha) ~ dV + \ int _ {\ Omega} {\ frac {\ rho s} {T}} ~ dV.}

Dado que es arbitrario, debemos tener ${\ Displaystyle \ Omega}$

{\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} (\ rho ~ \ eta) \ geq - {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot (\ rho ~ \ eta ~ \ mathbf {v}) - {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ frac {\ mathbf {q}} {T}} \ right) + {\ frac {\ rho s} {T}}.}

Expandiendo

{\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial \ rho} {\ parcial t}} ~ \ eta + \ rho ~ {\ frac {\ parcial \ eta} {\ parcial t}} \ geq - {\ boldsymbol {\ nabla} } (\ rho ~ \ eta) \ cdot \ mathbf {v} - \ rho ~ \ eta ~ ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v}) - {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ frac {\ mathbf {q}} {T}} \ right) + {\ frac {\ rho ~ s} {T}}}

o,

{\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial \ rho} {\ parcial t}} ~ \ eta + \ rho ~ {\ frac {\ parcial \ eta} {\ parcial t}} \ geq - \ eta ~ {\ boldsymbol { \ nabla}} \ rho \ cdot \ mathbf {v} - \ rho ~ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ eta \ cdot \ mathbf {v} - \ rho ~ \ eta ~ ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v}) - {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ cfrac {\ mathbf {q}} {T}} \ right) + {\ cfrac {\ rho ~ s} { T}}}

o,

{\ Displaystyle \ left ({\ frac {\ parcial \ rho} {\ parcial t}} + {\ boldsymbol {\ nabla}} \ rho \ cdot \ mathbf {v} + \ rho ~ {\ boldsymbol {\ nabla} } \ cdot \ mathbf {v} \ derecha) ~ \ eta + \ rho ~ \ izquierda ({\ frac {\ parcial \ eta} {\ parcial t}} + {\ boldsymbol {\ nabla}} \ eta \ cdot \ mathbf {v} \ right) \ geq - {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ cfrac {\ mathbf {q}} {T}} \ right) + {\ cfrac {\ rho ~ s} {T}}.}

Ahora, las derivadas del tiempo material de y están dadas por ${\ Displaystyle \ rho}$ ${\ Displaystyle \ eta}$

{\ Displaystyle {\ dot {\ rho}} = {\ frac {\ parcial \ rho} {\ parcial t}} + {\ boldsymbol {\ nabla}} \ rho \ cdot \ mathbf {v} ~; ~~ { \ dot {\ eta}} = {\ frac {\ parcial \ eta} {\ parcial t}} + {\ boldsymbol {\ nabla}} \ eta \ cdot \ mathbf {v}.}

Por lo tanto,

{\ Displaystyle \ left ({\ dot {\ rho}} + \ rho ~ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v} \ right) ~ \ eta + \ rho ~ {\ dot {\ eta} } \ geq - {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ cfrac {\ mathbf {q}} {T}} \ right) + {\ cfrac {\ rho ~ s} {T}}.}

De la conservación de la masa . Por eso, ${\ Displaystyle {\ dot {\ rho}} + \ rho ~ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v} = 0}$

{\ Displaystyle \ rho ~ {\ dot {\ eta}} \ geq - {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ cfrac {\ mathbf {q}} {T}} \ right) + {\ cfrac {\ rho ~ s} {T}}.}

Desigualdad de Clausius-Duhem en términos de energía interna específica

La desigualdad se puede expresar en términos de energía interna como

{\ Displaystyle \ rho ~ ({\ dot {e}} - T ~ {\ dot {\ eta}}) - {\ boldsymbol {\ sigma}}: {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {v} \ leq - {\ cfrac {\ mathbf {q} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} T} {T}}}

donde es la derivada en el tiempo de la energía interna específica (la energía interna por unidad de masa), es la tensión de Cauchy y es el gradiente de la velocidad. Esta desigualdad incorpora el equilibrio de energía y el equilibrio de momento lineal y angular en la expresión de la desigualdad de Clausius-Duhem. ${\ Displaystyle {\ dot {e}}}$ ${\ Displaystyle e}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {v}}$

Prueba -

Usando la identidad en la desigualdad de Clausius-Duhem, obtenemos ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot (\ varphi ~ \ mathbf {v}) = \ varphi ~ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v} + \ mathbf {v} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} \ varphi}$

{\ Displaystyle \ rho ~ {\ dot {\ eta}} \ geq - {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ frac {\ mathbf {q}} {T}} \ right) + {\ frac {\ rho ~ s} {T}} \ qquad {\ text {o}} \ qquad \ rho ~ {\ dot {\ eta}} \ geq - {\ frac {1} {T}} ~ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {q} - \ mathbf {q} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} \ left ({\ frac {1} {T}} \ right) + {\ frac {\ rho ~ s} {T}}.}

Ahora, usando la notación de índice con respecto a un sistema de coordenadas cartesiano , ${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {j}}$

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ left ({\ cfrac {1} {T}} \ right) = {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {j}}} \ left (T ^ { -1} \ derecha) ~ \ mathbf {e} _ {j} = - \ izquierda (T ^ {- 2} \ derecha) ~ {\ frac {\ parcial T} {\ parcial x_ {j}}} ~ \ mathbf {e} _ {j} = - {\ frac {1} {T ^ {2}}} ~ {\ boldsymbol {\ nabla}} T.}

Por eso,

{\ Displaystyle \ rho ~ {\ dot {\ eta}} \ geq - {\ cfrac {1} {T}} ~ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {q} + {\ cfrac {1} {T ^ {2}}} ~ \ mathbf {q} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} T + {\ frac {\ rho ~ s} {T}} \ qquad {\ text {o}} \ qquad \ rho ~ {\ dot {\ eta}} \ geq - {\ cfrac {1} {T}} \ left ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {q} - \ rho ~ s \ right) + {\ frac {1} {T ^ {2}}} ~ \ mathbf {q} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} T.}

Del equilibrio de energía

{\ Displaystyle \ rho ~ {\ dot {e}} - {\ boldsymbol {\ sigma}}: {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {v} + {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf { q} - \ rho ~ s = 0 \ qquad \ implica \ qquad \ rho ~ {\ dot {e}} - {\ boldsymbol {\ sigma}}: {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {v} = - ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {q} - \ rho ~ s).}

Por lo tanto,

{\ Displaystyle \ rho ~ {\ dot {\ eta}} \ geq {\ frac {1} {T}} \ left (\ rho ~ {\ dot {e}} - {\ boldsymbol {\ sigma}}: { \ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {v} \ right) + {\ frac {1} {T ^ {2}}} ~ \ mathbf {q} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} T \ qquad \ implica \ qquad \ rho ~ {\ dot {\ eta}} ~ T \ geq \ rho ~ {\ dot {e}} - {\ boldsymbol {\ sigma}}: {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {v } + {\ frac {\ mathbf {q} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} T} {T}}.}

Reorganizando,

{\ Displaystyle \ rho ~ ({\ dot {e}} - T ~ {\ dot {\ eta}}) - {\ boldsymbol {\ sigma}}: {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {v} \ leq - {\ frac {\ mathbf {q} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} T} {T}}}

QED

Disipación

La cantidad

{\ Displaystyle {\ mathcal {D}}: = \ rho ~ (T ~ {\ dot {\ eta}} - {\ dot {e}}) + {\ boldsymbol {\ sigma}}: {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {v} - {\ cfrac {\ mathbf {q} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} T} {T}} \ geq 0}

se llama disipación, que se define como la tasa de producción de entropía interna por unidad de volumen multiplicada por la temperatura absoluta . Por lo tanto, la desigualdad de Clausius-Duhem también se denomina desigualdad de disipación . En un material real, la disipación es siempre mayor que cero.

Ver también

Referencias

enlaces externos

Memorias de Clifford Truesdell por Bernard D. Coleman, Journal of Elasticity, 2003.
Reflexiones sobre termomecánica de Walter Noll , 2008.

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