Vector euclidiano - Euclidean vector

Un vector que apunta de A a B

En matemáticas , física e ingeniería , un vector euclidiano o simplemente un vector (a veces llamado vector geométrico o vector espacial ) es un objeto geométrico que tiene magnitud (o longitud ) y dirección . Los vectores se pueden agregar a otros vectores de acuerdo con el álgebra de vectores . Un vector euclidiano se representa con frecuencia por un rayo (un segmento de línea dirigido ), o gráficamente como una flecha que conecta un punto inicial A con un punto terminal B , y se denota por .

Un vector es lo que se necesita para "llevar" el punto A al punto B ; la palabra latina vector significa "portador". Fue utilizado por primera vez por astrónomos del siglo XVIII que investigaban la revolución planetaria alrededor del Sol. La magnitud del vector es la distancia entre los dos puntos, y la dirección se refiere a la dirección de desplazamiento de A a B . Muchas operaciones algebraicas con números reales , como la suma , la resta , la multiplicación y la negación, tienen análogos cercanos a los vectores, operaciones que obedecen las conocidas leyes algebraicas de conmutatividad , asociatividad y distributividad . Estas operaciones y leyes asociadas califican a los vectores euclidianos como un ejemplo del concepto más generalizado de vectores definidos simplemente como elementos de un espacio vectorial .

Los vectores juegan un papel importante en física : la velocidad y la aceleración de un objeto en movimiento y las fuerzas que actúan sobre él pueden describirse con vectores. Muchas otras cantidades físicas pueden considerarse vectores de manera útil. Aunque la mayoría de ellos no representan distancias (excepto, por ejemplo, posición o desplazamiento ), su magnitud y dirección aún se pueden representar mediante la longitud y dirección de una flecha. La representación matemática de un vector físico depende del sistema de coordenadas utilizado para describirlo. Otros objetos similares a vectores que describen cantidades físicas y se transforman de manera similar bajo cambios del sistema de coordenadas incluyen pseudovectores y tensores .

Historia

El concepto de vector, tal como lo conocemos hoy, evolucionó gradualmente durante un período de más de 200 años. Aproximadamente una docena de personas hicieron contribuciones significativas a su desarrollo.

En 1835, Giusto Bellavitis abstrajo la idea básica cuando estableció el concepto de equipollencia . Trabajando en un plano euclidiano, equipó cualquier par de segmentos de línea de la misma longitud y orientación. Esencialmente, se dio cuenta de una relación de equivalencia en los pares de puntos (bipuntos) en el plano, y así erigió el primer espacio de vectores en el plano.

El término vector fue introducido por William Rowan Hamilton como parte de un cuaternión , que es una suma q = s + v de un número real s (también llamado escalar ) y un vector tridimensional . Al igual que Bellavitis, Hamilton consideró a los vectores como representativos de clases de segmentos dirigidos por equipos. Como los números complejos usan una unidad imaginaria para complementar la línea real , Hamilton consideró que el vector v es la parte imaginaria de un cuaternión:

La parte algebraicamente imaginaria, que está construida geométricamente por una línea recta o vector de radio, que tiene, en general, para cada cuaternión determinado, una longitud determinada y una dirección determinada en el espacio, puede denominarse parte vectorial, o simplemente vector de la cuaternio.

Varios otros matemáticos desarrollaron sistemas similares a vectores a mediados del siglo XIX, incluidos Augustin Cauchy , Hermann Grassmann , August Möbius , Comte de Saint-Venant y Matthew O'Brien . El trabajo de Grassmann de 1840 Theorie der Ebbe und Flut (Teoría del flujo y reflujo) fue el primer sistema de análisis espacial que es similar al sistema actual, y tenía ideas correspondientes al producto cruzado, producto escalar y diferenciación vectorial. El trabajo de Grassmann se descuidó en gran medida hasta la década de 1870.

Peter Guthrie Tait llevó el estándar de cuaternión después de Hamilton. Su Tratado elemental de cuaterniones de 1867 incluyó un extenso tratamiento de la nabla o del operador ∇.

En 1878, William Kingdon Clifford publicó Elements of Dynamic . Clifford simplificó el estudio del cuaternión aislando el producto escalar y el producto cruzado de dos vectores del producto completo del cuaternión. Este enfoque puso los cálculos vectoriales a disposición de los ingenieros y de otros que trabajaban en tres dimensiones y se mostraban escépticos con respecto a la cuarta.

Josiah Willard Gibbs , que fue expuesto a través de cuaterniones James Clerk Maxwell 's Tratado sobre Electricidad y Magnetismo , separa su parte de vectores para el tratamiento independiente. La primera mitad de Elements of Vector Analysis de Gibbs , publicado en 1881, presenta lo que es esencialmente el sistema moderno de análisis de vectores. En 1901, Edwin Bidwell Wilson publicó Vector Analysis , adaptado de las conferencias de Gibb, que desterró cualquier mención de cuaterniones en el desarrollo del cálculo vectorial.

Visión general

En física e ingeniería , un vector se considera típicamente como una entidad geométrica caracterizada por una magnitud y una dirección. Se define formalmente como un segmento de línea dirigido , o flecha, en un espacio euclidiano . En matemáticas puras , un vector se define de manera más general como cualquier elemento de un espacio vectorial . En este contexto, los vectores son entidades abstractas que pueden o no estar caracterizadas por una magnitud y una dirección. Esta definición generalizada implica que las entidades geométricas mencionadas anteriormente son un tipo especial de vectores, ya que son elementos de un tipo especial de espacio vectorial llamado espacio euclidiano .

Este artículo trata sobre vectores estrictamente definidos como flechas en el espacio euclidiano. Cuando se hace necesario distinguir estos vectores especiales de los vectores definidos en matemáticas puras, a veces se los denomina vectores geométricos , espaciales o euclidianos .

Al ser una flecha, un vector euclidiano posee un punto inicial y un punto terminal definidos . Un vector con punto inicial y terminal fijo se llama vector ligado . Cuando solo importan la magnitud y la dirección del vector, entonces el punto inicial particular no tiene importancia y el vector se llama vector libre . Así, dos flechas y en el espacio representan el mismo vector libre si tienen la misma magnitud y dirección: es decir, son equipollentes si el cuadrilátero ABB′A ′ es un paralelogramo . Si el espacio euclidiano está equipado con una opción de origen , entonces un vector libre es equivalente al vector acotado de la misma magnitud y dirección cuyo punto inicial es el origen.

El término vector también tiene generalizaciones a dimensiones superiores y enfoques más formales con aplicaciones mucho más amplias.

Ejemplos en una dimensión

Dado que el concepto de fuerza del físico tiene una dirección y una magnitud, puede verse como un vector. Como ejemplo, considere una fuerza hacia la derecha F de 15 newtons . Si el eje positivo también se dirige hacia la derecha, entonces F está representado por el vector 15 N, y si los puntos positivos hacia la izquierda, entonces el vector para F es −15 N.En cualquier caso, la magnitud del vector es 15 N. Del mismo modo, la representación vectorial de un desplazamiento Δ s de 4 metros sería de 4 mo −4 m, dependiendo de su dirección, y su magnitud sería de 4 m independientemente.

En física e ingeniería

Los vectores son fundamentales en las ciencias físicas. Se pueden usar para representar cualquier cantidad que tenga magnitud, dirección y que se adhiera a las reglas de la suma de vectores. Un ejemplo es la velocidad , cuya magnitud es la rapidez . Por ejemplo, la velocidad de 5 metros por segundo hacia arriba podría representarse mediante el vector (0, 5) (en 2 dimensiones con el eje y positivo como 'arriba'). Otra cantidad representada por un vector es la fuerza , ya que tiene una magnitud y dirección y sigue las reglas de la suma de vectores. Los vectores también describen muchas otras cantidades físicas, como el desplazamiento lineal, el desplazamiento , la aceleración lineal, la aceleración angular , el momento lineal y el momento angular . Otros vectores físicos, como el campo eléctrico y magnético , se representan como un sistema de vectores en cada punto de un espacio físico; es decir, un campo vectorial . Ejemplos de cantidades que tienen magnitud y dirección, pero que no siguen las reglas de la suma de vectores, son el desplazamiento angular y la corriente eléctrica. En consecuencia, estos no son vectores.

En el espacio cartesiano

En el sistema de coordenadas cartesiano , un vector ligado se puede representar identificando las coordenadas de su punto inicial y terminal. Por ejemplo, los puntos A = (1, 0, 0) y B = (0, 1, 0) en el espacio determinan el vector acotado que apunta desde el punto x = 1 en el eje x hasta el punto y = 1 en el eje x. eje y .

En coordenadas cartesianas, un vector libre puede pensarse en términos de un vector ligado correspondiente, en este sentido, cuyo punto inicial tiene las coordenadas del origen O = (0, 0, 0) . Luego se determina mediante las coordenadas del punto terminal de ese vector ligado. Por tanto, el vector libre representado por (1, 0, 0) es un vector de longitud unitaria, que apunta a lo largo de la dirección del eje x positivo .

Esta representación de coordenadas de vectores libres permite que sus características algebraicas se expresen de una manera numérica conveniente. Por ejemplo, la suma de los dos vectores (libres) (1, 2, 3) y (−2, 0, 4) es el vector (libre)

(1, 2, 3) + (−2, 0, 4) = (1-2, 2 + 0, 3 + 4) = (−1, 2, 7).

Vectores euclidianos y afines

En los entornos geométricos y físicos, a veces es posible asociar, de forma natural, una longitud o magnitud y una dirección a los vectores. Además, la noción de dirección está estrictamente asociada con la noción de ángulo entre dos vectores. Si el producto escalar de dos vectores se define-un producto escalar de valor de dos vectores, entonces también es posible definir una longitud; el producto escalar proporciona una caracterización algebraica conveniente tanto del ángulo (una función del producto escalar entre dos vectores distintos de cero) como de la longitud (la raíz cuadrada del producto escalar de un vector por sí mismo). En tres dimensiones, es posible además definir el producto cruzado , que proporciona una caracterización algebraica del área y la orientación en el espacio del paralelogramo definido por dos vectores (usados ​​como lados del paralelogramo). En cualquier dimensión (y, en particular, dimensiones, más altas), es posible definir el producto exterior , que (entre otras cosas) suministra una caracterización algebraica de la zona y orientación en el espacio de la n -dimensional paralelotopo definido por n vectores.

Sin embargo, no siempre es posible o deseable definir la longitud de un vector de forma natural. Este tipo más general de vector espacial es objeto de espacios vectoriales (para vectores libres) y espacios afines (para vectores ligados, ya que cada uno está representado por un par ordenado de "puntos"). Un ejemplo importante es el espacio de Minkowski (que es importante para nuestra comprensión de la relatividad especial ), donde hay una generalización de la longitud que permite que los vectores distintos de cero tengan una longitud cero. Otros ejemplos físicos provienen de la termodinámica , donde muchas de las cantidades de interés pueden considerarse vectores en un espacio sin noción de longitud o ángulo.

Generalizaciones

En física, así como en matemáticas, un vector a menudo se identifica con una tupla de componentes, o lista de números, que actúan como coeficientes escalares para un conjunto de vectores básicos . Cuando la base se transforma, por ejemplo mediante rotación o estiramiento, los componentes de cualquier vector en términos de esa base también se transforman en sentido opuesto. El vector en sí no ha cambiado, pero la base sí, por lo que los componentes del vector deben cambiar para compensar. El vector se denomina covariante o contravariante , dependiendo de cómo se relacione la transformación de los componentes del vector con la transformación de la base. En general, los vectores contravariantes son "vectores regulares" con unidades de distancia (como un desplazamiento), o la distancia multiplicada por alguna otra unidad (como la velocidad o la aceleración); los vectores covariantes, por otro lado, tienen unidades de uno sobre la distancia, como el gradiente . Si cambia las unidades (un caso especial de cambio de base) de metros a milímetros, un factor de escala de 1/1000, un desplazamiento de 1 m se convierte en 1000 mm, un cambio contravariante en el valor numérico. Por el contrario, un gradiente de 1  K / m se convierte en 0,001 K / mm, un cambio covariante en el valor (para obtener más información, consulte covarianza y contravarianza de vectores ). Los tensores son otro tipo de cantidad que se comporta de esta forma; un vector es un tipo de tensor .

En matemáticas puras , un vector es cualquier elemento de un espacio vectorial sobre algún campo y, a menudo, se representa como un vector de coordenadas . Los vectores descritos en este artículo son un caso muy especial de esta definición general, porque son contravariantes con respecto al espacio ambiental. La contravarianza captura la intuición física detrás de la idea de que un vector tiene "magnitud y dirección".

Representaciones

Flecha de vector apuntando de A a B

Los vectores generalmente se indican en negrita minúscula , como en , y , o en negrita y cursiva minúscula, como en a . ( Las letras mayúsculas se utilizan normalmente para representar matrices ). Otras convenciones incluyen o a , especialmente en la escritura a mano. Alternativamente, algunos usan una tilde (~) o un subrayado ondulado debajo del símbolo, por ejemplo , que es una convención para indicar el tipo de letra en negrita. Si el vector representa una dirigida distancia o desplazamiento desde un punto A a un punto B (ver figura), sino que también se puede denotar como o AB . En la literatura alemana , era especialmente común representar vectores con letras pequeñas fraktur como .

Los vectores generalmente se muestran en gráficos u otros diagramas como flechas ( segmentos de línea dirigidos ), como se ilustra en la figura. Aquí, el punto A se llama origen , cola , base o punto inicial , y el punto B se llama cabeza , punta , punto final , punto terminal o punto final . La longitud de la flecha es proporcional a la magnitud del vector , mientras que la dirección en la que apunta la flecha indica la dirección del vector.

Notación para vectores dentro o fuera de un plano.svg

En un diagrama bidimensional, a veces se desea un vector perpendicular al plano del diagrama. Estos vectores se muestran comúnmente como círculos pequeños. Un círculo con un punto en el centro (Unicode U + 2299 ⊙) indica un vector que apunta hacia el frente del diagrama, hacia el espectador. Un círculo con una cruz inscrita en él (Unicode U + 2297 ⊗) indica un vector que apunta hacia dentro y detrás del diagrama. Se puede pensar en ellos como ver la punta de una flecha y ver los vuelos de una flecha desde la parte posterior.

Un vector en el plano cartesiano, que muestra la posición de un punto A con coordenadas (2, 3).
Vector 3D.svg

Para calcular con vectores, la representación gráfica puede resultar demasiado engorrosa. Los vectores en un espacio euclidiano n- dimensional se pueden representar como vectores de coordenadas en un sistema de coordenadas cartesiano . El punto final de un vector se puede identificar con una lista ordenada de n números reales ( n - tupla ). Estos números son las coordenadas del punto final del vector, con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas dado , y normalmente se denominan componentes escalares (o proyecciones escalares ) del vector en los ejes del sistema de coordenadas.

Como ejemplo en dos dimensiones (ver figura), el vector desde el origen O = (0, 0) hasta el punto A = (2, 3) se escribe simplemente como

La noción de que la cola del vector coincide con el origen está implícita y se comprende fácilmente. Por lo tanto, la notación más explícita generalmente no se considera necesaria (y, de hecho, rara vez se usa).

En el espacio euclidiano tridimensional (o R 3 ), los vectores se identifican con triples de componentes escalares:

también escrito

Esto se puede generalizar al espacio euclidiano n-dimensional (o R n ).

Estos números a menudo se organizan en un vector de columna o de fila , particularmente cuando se trata de matrices , de la siguiente manera:

Otra forma de representar un vector en n dimensiones es introducir los vectores base estándar . Por ejemplo, en tres dimensiones, hay tres de ellas:

Estos tienen la interpretación intuitiva como vectores de longitud unitaria que apuntan hacia los ejes x , y y z de un sistema de coordenadas cartesianas , respectivamente. En términos de estos, cualquier vector a en R 3 se puede expresar en la forma:

o

donde a 1 , a 2 , a 3 se denominan componentes vectoriales (o proyecciones vectoriales ) de a en los vectores base o, de manera equivalente, en los ejes cartesianos correspondientes x , y , yz (ver figura), mientras que a 1 , a 2 , a 3 son los respectivos componentes escalares (o proyecciones escalares).

En los libros de texto de introducción a la física, los vectores básicos estándar a menudo se indican en su lugar (o , en los que el símbolo del sombrero ^ normalmente denota vectores unitarios ). En este caso, los componentes escalar y vectorial se indican respectivamente a x , a y , a z y a x , a y , a z (observe la diferencia en negrita). Por lo tanto,

La notación e i es compatible con la notación de índice y la convención de suma comúnmente utilizada en matemáticas, física e ingeniería de nivel superior.

Descomposición o resolución

Como se explicó anteriormente , un vector a menudo se describe mediante un conjunto de componentes del vector que se suman para formar el vector dado. Normalmente, estos componentes son las proyecciones del vector sobre un conjunto de ejes de referencia mutuamente perpendiculares (vectores base). Se dice que el vector está descompuesto o resuelto con respecto a ese conjunto.

Ilustración de componentes tangenciales y normales de un vector a una superficie.

La descomposición o resolución de un vector en componentes no es única, porque depende de la elección de los ejes sobre los que se proyecta el vector.

Además, el uso de vectores unitarios cartesianos como base para representar un vector no es obligatorio. Los vectores también se pueden expresar en términos de una base arbitraria, incluidos los vectores unitarios de un sistema de coordenadas cilíndricas ( ) o un sistema de coordenadas esféricas ( ). Las dos últimas opciones son más convenientes para resolver problemas que poseen simetría cilíndrica o esférica, respectivamente.

La elección de una base no afecta las propiedades de un vector ni su comportamiento bajo transformaciones.

Un vector también se puede dividir con respecto a los vectores de base "no fijos" que cambian su orientación en función del tiempo o el espacio. Por ejemplo, un vector en un espacio tridimensional se puede descomponer con respecto a dos ejes, respectivamente normal y tangente a una superficie (ver figura). Además, los componentes radial y tangencial de un vector se relacionan con el radio de rotación de un objeto. El primero es paralelo al radio y el segundo es ortogonal al mismo.

En estos casos, cada uno de los componentes puede descomponerse a su vez con respecto a un sistema de coordenadas fijo o un conjunto de bases (por ejemplo, un sistema de coordenadas global o un marco de referencia inercial ).

Propiedades básicas

La siguiente sección utiliza el sistema de coordenadas cartesianas con vectores base

y supone que todos los vectores tienen el origen como punto base común. Un vector a se escribirá como

Igualdad

Se dice que dos vectores son iguales si tienen la misma magnitud y dirección. De manera equivalente, serán iguales si sus coordenadas son iguales. Así que dos vectores

y

son iguales si

Vectores opuestos, paralelos y antiparalelos

Dos vectores son opuestos si tienen la misma magnitud pero dirección opuesta. Así que dos vectores

y

son opuestos si

Dos vectores son paralelos si tienen la misma dirección pero no necesariamente la misma magnitud, o antiparalelos si tienen la dirección opuesta pero no necesariamente la misma magnitud.

Adición y sustracción

Supongamos ahora que un y b no son necesariamente iguales vectores, pero que pueden tener diferentes magnitudes y direcciones. La suma de una y b es

La adición puede ser representada gráficamente mediante la colocación de la cola de la flecha b en la cabeza de la flecha una , y luego dibujando una flecha de la cola de una a la cabeza de b . La nueva flecha dibujada representa el vector a + b , como se ilustra a continuación:

La suma de dos vectores ay b

Este método de adición a veces se llama la regla de paralelogramo porque una y b forman los lados de un paralelogramo y un + b es una de las diagonales. Si un y b son vectores consolidados que tienen el mismo punto de base, este punto también será el punto base de un + b . Se puede comprobar geométricamente que a + b = b + a y ( a + b ) + c = a + ( b + c ).

La diferencia de un y b es

La resta de dos vectores se puede ilustrar geométricamente como sigue: para restar b de una , colocar las colas de una y b en el mismo punto y, a continuación dibujar una flecha de la cabeza de b a la cabeza de una . Esta nueva flecha representa el vector (-b) + a , siendo (-b) el opuesto de b , ver dibujo. Y (-b) + a = a - b .

La resta de dos vectores ayb

Multiplicación escalar

La multiplicación escalar de un vector por un factor de 3 alarga el vector.

Un vector también se puede multiplicar o cambiar de escala por un número real r . En el contexto del álgebra vectorial convencional , estos números reales a menudo se denominan escalares (de escala ) para distinguirlos de los vectores. La operación de multiplicar un vector por un escalar se llama multiplicación escalar . El vector resultante es

Intuitivamente, multiplicar por un escalar r alarga un vector por un factor de r . Geométricamente, esto se puede visualizar (al menos en el caso de que r sea ​​un número entero) como colocar r copias del vector en una línea donde el punto final de un vector es el punto inicial del siguiente vector.

Si r es negativo, entonces el vector cambia de dirección: gira en un ángulo de 180 °. A continuación se dan dos ejemplos ( r = −1 y r = 2):

Las multiplicaciones escalares - una y 2 una de un vector de una

Multiplicación escalar es distributiva adición durante vector en el sentido siguiente: r ( un + b ) = r un + r b para todos los vectores un y b y todos los escalares r . También se puede demostrar que a - b = a + (−1) b .

Largo

La longitud o magnitud o la norma del vector de una se denota por ‖ una ‖ o, menos comúnmente, | a |, que no debe confundirse con el valor absoluto (una "norma" escalar).

La longitud del vector a se puede calcular con la norma euclidiana

lo cual es una consecuencia del teorema de Pitágoras ya que los vectores base e 1 , e 2 , e 3 son vectores unitarios ortogonales.

Esto resulta ser igual a la raíz cuadrada del producto escalar , que se analiza a continuación, del vector consigo mismo:

Vector unitario
La normalización de un vector a en un vector unitario â

Un vector unitario es cualquier vector con una longitud de uno; normalmente los vectores unitarios se utilizan simplemente para indicar la dirección. Un vector de longitud arbitraria se puede dividir por su longitud para crear un vector unitario. Esto se conoce como normalización de un vector. Un vector unitario a menudo se indica con un sombrero como en â .

Para normalizar un vector a = ( a 1 , a 2 , a 3 ) , escale el vector por el recíproco de su longitud " a ". Es decir:

Vector cero

El vector cero es el vector de longitud cero. Escrito en coordenadas, el vector es (0, 0, 0) , y comúnmente se denota , 0 o simplemente 0. A diferencia de cualquier otro vector, tiene una dirección arbitraria o indeterminada y no se puede normalizar (es decir, hay no es un vector unitario que sea un múltiplo del vector cero). La suma del vector cero con cualquier vector a es a (es decir, 0 + a = a ).

Producto escalar

El producto escalar de dos vectores a y b (a veces llamado el producto interno , o, ya que su resultado es un escalar, el producto escalar ) se denota por un  ∙  b, y se define como:

donde θ es la medida de la ángulo entre una y b (ver función trigonométrica para una explicación de coseno). Geométricamente, significa esto que a y b se dibujan con un punto de inicio común, y entonces la longitud de una se multiplica por la longitud del componente de b que apunta en la misma dirección que una .

El producto escalar también se puede definir como la suma de los productos de los componentes de cada vector como

Producto cruzado

El producto cruzado (también llamado producto vectorial o producto externo ) solo es significativo en tres o siete dimensiones. El producto cruzado se diferencia del producto escalar principalmente en que el resultado del producto cruzado de dos vectores es un vector. El producto cruzado, denotado a  ×  b , es un vector perpendicular tanto a a como a b y se define como

donde θ es la medida del ángulo entre una y b , y n es un vector unitario perpendicular tanto a una y b que completa un diestro sistema. La restricción de la mano derecha es necesaria porque existen dos vectores unitarios que son perpendiculares tanto a a como a b , a saber, n y (- n ).

Una ilustración del producto cruzado.

El producto cruzado a  ×  b se define de modo que a , b y a  ×  b también se conviertan en un sistema diestro (aunque a y b no son necesariamente ortogonales ). Ésta es la regla de la mano derecha .

La longitud de a  ×  b se puede interpretar como el área del paralelogramo que tiene a y b como lados.

El producto cruzado se puede escribir como

Para elecciones arbitrarias de orientación espacial (es decir, permitiendo sistemas de coordenadas tanto para diestros como para zurdos) el producto cruzado de dos vectores es un pseudovector en lugar de un vector (ver más abajo).

Producto triple escalar

El producto triple escalar (también llamado producto de caja o producto triple mixto ) no es realmente un operador nuevo, sino una forma de aplicar los otros dos operadores de multiplicación a tres vectores. El producto triple escalar a veces se denota por ( a b c ) y se define como:

Tiene tres usos principales. Primero, el valor absoluto del producto de la caja es el volumen del paralelepípedo que tiene aristas definidas por los tres vectores. En segundo lugar, el producto triple escalar es cero si y solo si los tres vectores son linealmente dependientes , lo que puede demostrarse fácilmente considerando que para que los tres vectores no formen un volumen, todos deben estar en el mismo plano. En tercer lugar, el producto caja es positivo si y sólo si los tres vectores un , b y c son entregados derecha.

En componentes ( con respecto a una base ortonormal diestra ), si los tres vectores se consideran filas (o columnas, pero en el mismo orden), el producto triple escalar es simplemente el determinante de la matriz de 3 por 3 tener los tres vectores como filas

El producto triple escalar es lineal en las tres entradas y antisimétrico en el siguiente sentido:

Conversión entre múltiples bases cartesianas

Todos los ejemplos hasta el momento se han ocupado de vectores expresados en términos de la misma base, a saber, el e base { e 1 , e 2 , e 3 }. Sin embargo, un vector puede expresarse en términos de cualquier número de bases diferentes que no están necesariamente alineadas entre sí, y siguen siendo el mismo vector. En la base e , un vector a se expresa, por definición, como

.

Los componentes escalares en la base e son, por definición,

,
,
.

En otra base ortonormal n = { n 1 , n 2 , n 3 } que no está necesariamente alineada con e , el vector a se expresa como

y los componentes escalares en la base n son, por definición,

,
,
.

Los valores de p , q , r y u , v , w se relacionan con los vectores unitarios de tal manera que la suma vectorial resultante es exactamente el mismo vector físico a en ambos casos. Es común encontrar vectores conocidos en términos de diferentes bases (por ejemplo, una base fijada a la Tierra y una segunda base fijada a un vehículo en movimiento). En tal caso, es necesario desarrollar un método para convertir entre bases, de modo que se puedan realizar las operaciones básicas del vector, como la suma y la resta. Una forma de expresar u , v , w en términos de p , q , r es usar matrices de columna junto con una matriz de coseno de dirección que contiene la información que relaciona las dos bases. Tal expresión se puede formar mediante la sustitución de las ecuaciones anteriores para formar

,
,
.

Distribuir la multiplicación de puntos da

,
,
.

Reemplazar cada producto escalar con un escalar único da

,
,
,

y estas ecuaciones se pueden expresar como la ecuación de matriz única

.

Esta ecuación matricial se refiere los componentes escalares de una en el n base ( u , v , y w ) con los de la e base ( p , q , y r ). Cada elemento de la matriz c jk es la dirección del coseno que relaciona n j con e k . El término coseno de dirección se refiere al coseno del ángulo entre dos vectores unitarios, que también es igual a su producto escalar . Por lo tanto,

Al referirse colectivamente a e 1 , e 2 , e 3 como la base e y an 1 , n 2 , n 3 como la base n , la matriz que contiene toda la c jk se conoce como la " matriz de transformación de e a n " , o la " matriz de rotación de e a n " (porque se puede imaginar como la "rotación" de un vector de una base a otra), o la " matriz de coseno de dirección de e a n " (porque contiene cosenos de dirección) . Las propiedades de una matriz de rotación son tales que su inversa es igual a su transpuesta . Esto significa que la "matriz de rotación de e a n " es la transpuesta de "matriz de rotación de n a e ".

Las propiedades de una matriz de coseno de dirección, C son:

  • el determinante es la unidad, | C | = 1
  • la inversa es igual a la transpuesta,
  • las filas y columnas son vectores unitarios ortogonales, por lo que sus productos escalares son cero.

La ventaja de este método es que una matriz de coseno de dirección generalmente se puede obtener de forma independiente utilizando ángulos de Euler o un cuaternión para relacionar las dos bases vectoriales, por lo que las conversiones de bases se pueden realizar directamente, sin tener que calcular todos los productos escalares descritos anteriormente. .

Aplicando varias multiplicaciones de matrices en sucesión, cualquier vector puede expresarse en cualquier base siempre que se conozca el conjunto de cosenos de dirección que relacionan las bases sucesivas.

Otras dimensiones

Con la excepción de los productos cruzados y triples, las fórmulas anteriores se generalizan a dos dimensiones y dimensiones superiores. Por ejemplo, la suma se generaliza a dos dimensiones como

y en cuatro dimensiones como

El producto cruzado no se generaliza fácilmente a otras dimensiones, aunque sí lo hace el producto exterior estrechamente relacionado , cuyo resultado es un bivector . En dos dimensiones esto es simplemente un pseudoescalar

Un producto cruzado de siete dimensiones es similar al producto cruzado en que su resultado es un vector ortogonal a los dos argumentos; Sin embargo, no existe una forma natural de seleccionar uno de los posibles productos de este tipo.

Física

Los vectores tienen muchos usos en física y otras ciencias.

Longitud y unidades

En espacios vectoriales abstractos, la longitud de la flecha depende de una escala adimensional . Si representa, por ejemplo, una fuerza, la "escala" es de dimensión física longitud / fuerza. Por lo tanto, normalmente hay consistencia en la escala entre cantidades de la misma dimensión, pero de lo contrario, las proporciones de escala pueden variar; por ejemplo, si "1 newton" y "5 m" están representados con una flecha de 2 cm, las escalas son 1 m: 50 N y 1: 250 respectivamente. La misma longitud de vectores de diferente dimensión no tiene un significado particular a menos que exista alguna constante de proporcionalidad inherente al sistema que representa el diagrama. Además, la longitud de un vector unitario (de dimensión longitud, no longitud / fuerza, etc.) no tiene importancia invariante en el sistema de coordenadas.

Funciones con valores vectoriales

A menudo, en áreas de física y matemáticas, un vector evoluciona en el tiempo, lo que significa que depende de un parámetro de tiempo t . Por ejemplo, si r representa el vector de posición de una partícula, entonces r ( t ) da una representación paramétrica de la trayectoria de la partícula. Las funciones con valores vectoriales se pueden diferenciar e integrar diferenciando o integrando los componentes del vector, y muchas de las reglas familiares del cálculo continúan siendo válidas para la derivada y la integral de las funciones con valores vectoriales.

Posición, velocidad y aceleración

La posición de un punto x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) en un espacio tridimensional se puede representar como un vector de posición cuyo punto base es el origen

El vector de posición tiene dimensiones de longitud .

Dados dos puntos x = ( x 1 , x 2 , x 3 ), y = ( y 1 , y 2 , y 3 ) su desplazamiento es un vector

que especifica la posición de y en relación con x . La longitud de este vector da la distancia en línea recta desde x a y . El desplazamiento tiene las dimensiones de la longitud.

La velocidad v de un punto o partícula es un vector, su longitud da la rapidez . Para velocidad constante, la posición en el tiempo t será

donde x 0 es la posición en el tiempo t = 0. La velocidad es la derivada temporal de la posición. Sus dimensiones son longitud / tiempo.

La aceleración a de un punto es un vector que es la derivada de la velocidad en el tiempo . Sus dimensiones son longitud / tiempo 2 .

Fuerza, energía, trabajo

La fuerza es un vector con dimensiones de masa × longitud / tiempo 2 y la segunda ley de Newton es la multiplicación escalar

El trabajo es el producto escalar de fuerza y desplazamiento.

Vectores, pseudovectores y transformaciones

Una caracterización alternativa de los vectores euclidianos, especialmente en física, los describe como listas de cantidades que se comportan de cierta manera bajo una transformación de coordenadas . Se requiere que un vector contravariante tenga componentes que "se transformen en oposición a la base" bajo cambios de base . El vector en sí no cambia cuando se transforma la base; en cambio, los componentes del vector realizan un cambio que cancela el cambio en la base. En otras palabras, si los ejes de referencia (y la base derivada de ellos) se giraran en una dirección, la representación del componente del vector giraría en la forma opuesta para generar el mismo vector final. De manera similar, si los ejes de referencia se estiraran en una dirección, las componentes del vector se reducirían de una manera exactamente compensatoria. Matemáticamente, si la base sufre una transformación descrita por una matriz invertible M , de modo que un vector de coordenadas x se transforma ax ′ = M x , entonces un vector contravariante v debe transformarse de manera similar a través de v ′ = M v . Este importante requisito es lo que distingue a un vector contravariante de cualquier otro triple de cantidades físicamente significativas. Por ejemplo, si v consta de las componentes x , y y z de la velocidad , entonces v es un vector contravariante: si las coordenadas del espacio se estiran, rotan o retuercen, las componentes de la velocidad se transforman de la misma manera. . Por otro lado, por ejemplo, un triple que consta de la longitud, el ancho y la altura de una caja rectangular podría constituir los tres componentes de un vector abstracto , pero este vector no sería contravariante, ya que girar la caja no cambia la largo, ancho y alto de la caja. Los ejemplos de vectores contravariantes incluyen desplazamiento , velocidad , campo eléctrico , momento , fuerza y aceleración .

En el lenguaje de la geometría diferencial , el requisito de que los componentes de un vector se transformen de acuerdo con la misma matriz de la transición de coordenadas es equivalente a definir un vector contravariante como un tensor de rango uno contravariante . Alternativamente, un vector contravariante se define como un vector tangente , y las reglas para transformar un vector contravariante se siguen de la regla de la cadena .

Algunos vectores se transforman como vectores contravariantes, excepto que cuando se reflejan a través de un espejo, se voltean y ganan un signo menos. Se dice que una transformación que cambia de ser diestro a zurdo y viceversa, como lo hace un espejo, cambia la orientación del espacio. Un vector que gana un signo menos cuando cambia la orientación del espacio se llama pseudovector o vector axial . Los vectores ordinarios a veces se denominan vectores verdaderos o vectores polares para distinguirlos de los pseudovectores. Los pseudovectores ocurren con mayor frecuencia como el producto cruzado de dos vectores ordinarios.

Un ejemplo de pseudovector es la velocidad angular . Conduciendo en un automóvil y mirando hacia adelante, cada una de las ruedas tiene un vector de velocidad angular apuntando hacia la izquierda. Si el mundo se refleja en un espejo que cambia el lado izquierdo y derecho del automóvil, el reflejo de este vector de velocidad angular apunta a la derecha, pero el vector de velocidad angular real de la rueda todavía apunta a la izquierda, correspondiente al signo menos. firmar. Otros ejemplos de pseudovectores incluyen el campo magnético , el par o, de manera más general, cualquier producto cruzado de dos vectores (verdaderos).

Esta distinción entre vectores y pseudovectores a menudo se ignora, pero se vuelve importante al estudiar las propiedades de simetría . Ver paridad (física) .

Ver también

Notas

Referencias

Tratamientos matemáticos

Tratamientos fisicos

enlaces externos