El principio de Bernoulli - Bernoulli's principle

Un flujo de aire a través de un venturi . La energía cinética aumenta a expensas de la presión del fluido , como lo muestra la diferencia de altura de las dos columnas de agua.
Video de un medidor venturi utilizado en un experimento de laboratorio

En dinámica de fluidos , el principio de Bernoulli estados que un aumento en la velocidad de un fluido se produce simultáneamente con una disminución en la presión estática o una disminución en el fluido 's energía potencial . El principio lleva el nombre de Daniel Bernoulli, quien lo publicó en su libro Hydrodynamica en 1738. Aunque Bernoulli dedujo que la presión disminuye cuando aumenta la velocidad del flujo, fue Leonhard Euler en 1752 quien derivó la ecuación de Bernoulli en su forma habitual. El principio solo es aplicable para flujos isentrópicos : cuando los efectos de procesos irreversibles (como turbulencias ) y procesos no adiabáticos (por ejemplo, radiación de calor ) son pequeños y pueden despreciarse.

El principio de Bernoulli se puede aplicar a varios tipos de flujo de fluidos, lo que da como resultado varias formas de la ecuación de Bernoulli . La forma simple de la ecuación de Bernoulli es válida para flujos incompresibles (por ejemplo, la mayoría de los flujos de líquidos y gases que se mueven a un número de Mach bajo ). Se pueden aplicar formas más avanzadas a flujos comprimibles a números de Mach más altos (ver las derivaciones de la ecuación de Bernoulli ).

El principio de Bernoulli se puede derivar del principio de conservación de la energía . Esto establece que, en un flujo constante, la suma de todas las formas de energía en un fluido a lo largo de una línea de corriente es la misma en todos los puntos de esa línea de corriente. Esto requiere que la suma de energía cinética , energía potencial y energía interna permanezca constante. Por lo tanto, un aumento en la velocidad del fluido, lo que implica un aumento en su energía cinética ( presión dinámica ), ocurre con una disminución simultánea en (la suma de) su energía potencial (incluida la presión estática ) y energía interna. Si el fluido sale de un depósito, la suma de todas las formas de energía es la misma en todas las líneas de corriente porque en un depósito la energía por unidad de volumen (la suma de la presión y el potencial gravitacional ρ g h ) es la misma en todas partes.

El principio de Bernoulli también se puede derivar directamente de la Segunda Ley del Movimiento de Isaac Newton . Si un pequeño volumen de fluido fluye horizontalmente desde una región de alta presión a una región de baja presión, entonces hay más presión detrás que adelante. Esto da una fuerza neta sobre el volumen, acelerándolo a lo largo de la línea de corriente.

Las partículas de fluido están sujetas únicamente a la presión y a su propio peso. Si un fluido fluye horizontalmente y a lo largo de una sección de una línea de corriente, donde la velocidad aumenta, solo puede deberse a que el fluido en esa sección se ha movido de una región de mayor presión a una región de menor presión; y si su velocidad disminuye, solo puede ser porque se ha movido de una región de menor presión a una región de mayor presión. En consecuencia, dentro de un fluido que fluye horizontalmente, la velocidad más alta ocurre donde la presión es más baja y la velocidad más baja ocurre donde la presión es más alta.

Ecuación de flujo incompresible

En la mayoría de los flujos de líquidos y de gases con un número de Mach bajo , la densidad de una parcela de fluido se puede considerar constante, independientemente de las variaciones de presión en el flujo. Por lo tanto, el fluido puede considerarse incompresible y estos flujos se denominan flujos incompresibles. Bernoulli realizó sus experimentos con líquidos, por lo que su ecuación en su forma original es válida solo para flujo incompresible. Una forma común de la ecuación de Bernoulli, válida en cualquier punto arbitrario a lo largo de una línea de corriente , es:

 

 

 

 

( A )

dónde:

v es la velocidad del flujo del fluido en un punto de una línea de corriente,
g es la aceleración debida a la gravedad ,
z es la elevación del punto sobre un plano de referencia, con la dirección z positiva apuntando hacia arriba, por lo que en la dirección opuesta a la aceleración gravitacional,
p es la presión en el punto elegido, y
ρ es la densidad del fluido en todos los puntos del fluido.

La constante en el lado derecho de la ecuación depende sólo de la línea de corriente elegido, mientras que v , z y p dependen del punto particular de que línea de corriente.

Se deben cumplir los siguientes supuestos para que se aplique esta ecuación de Bernoulli:

  • el flujo debe ser constante , es decir, los parámetros de flujo (velocidad, densidad, etc.) en cualquier punto no pueden cambiar con el tiempo,
  • el flujo debe ser incompresible, aunque la presión varía, la densidad debe permanecer constante a lo largo de una línea de corriente;
  • la fricción por fuerzas viscosas debe ser insignificante.

Para campos de fuerza conservadores (no limitados al campo gravitacional), la ecuación de Bernoulli se puede generalizar como:

donde Ψ es el potencial de fuerza en el punto considerado en la línea de corriente. Por ejemplo, para la gravedad de la Tierra Ψ = gz .

Al multiplicar por la densidad del fluido ρ , la ecuación ( A ) se puede reescribir como:

o:

dónde

  • q = 1/2ρv 2 es presión dinámica ,
  • h = z +pag/ρges la altura piezométrica o la altura hidráulica (la suma de la elevación z y la altura de presión ) y
  • p 0 = p + q es la presión de estancamiento (la suma de la presión estática py la presión dinámica q ).

La constante de la ecuación de Bernoulli se puede normalizar. Un enfoque común es en términos de carga total o carga de energía H :

Las ecuaciones anteriores sugieren que hay una velocidad de flujo a la que la presión es cero, y a velocidades aún más altas, la presión es negativa. La mayoría de las veces, los gases y líquidos no son capaces de una presión absoluta negativa, o incluso una presión cero, por lo que claramente la ecuación de Bernoulli deja de ser válida antes de que se alcance la presión cero. En líquidos, cuando la presión es demasiado baja, se produce cavitación . Las ecuaciones anteriores utilizan una relación lineal entre la velocidad de flujo al cuadrado y la presión. A velocidades de flujo más altas en gases, o para ondas de sonido en líquido, los cambios en la densidad de la masa se vuelven significativos, por lo que la suposición de densidad constante no es válida.

Forma simplificada

En muchas aplicaciones de la ecuación de Bernoulli, el cambio en el término ρgz a lo largo de la línea de corriente es tan pequeño en comparación con los otros términos que puede ignorarse. Por ejemplo, en el caso de una aeronave en vuelo, el cambio de altura z a lo largo de una línea de corriente es tan pequeño que se puede omitir el término ρgz . Esto permite que la ecuación anterior se presente en la siguiente forma simplificada:

donde p 0 se llama "presión total" yq es " presión dinámica ". Muchos autores se refieren a la presión p como presión estática para distinguirla de la presión total p 0 y la presión dinámica q . En Aerodinámica , LJ Clancy escribe: "Para distinguirlo de las presiones totales y dinámicas, la presión real del fluido, que no está asociada con su movimiento sino con su estado, a menudo se denomina presión estática, pero donde el término se utiliza sólo la presión, se refiere a esta presión estática ".

La forma simplificada de la ecuación de Bernoulli se puede resumir en la siguiente ecuación de palabras memorables:

presión estática + presión dinámica = presión total

Cada punto de un fluido que fluye de manera constante, independientemente de la velocidad del fluido en ese punto, tiene su propia presión estática p y presión dinámica q únicas . Su suma p + q se define como la presión total p 0 . La importancia del principio de Bernoulli se puede resumir ahora como "la presión total es constante a lo largo de una línea de corriente".

Si el flujo de fluido es irritacional , la presión total en cada línea de corriente es la misma y el principio de Bernoulli se puede resumir como "la presión total es constante en todas partes del flujo de fluido". Es razonable suponer que existe un flujo de irritación en cualquier situación en la que un gran cuerpo de líquido fluye más allá de un cuerpo sólido. Algunos ejemplos son los aviones en vuelo y los barcos que se mueven en cuerpos de agua abiertos. Sin embargo, el principio de Bernoulli no se aplica de manera importante en la capa límite o en el flujo de fluidos a través de tuberías largas .

Si el flujo de fluido en algún punto a lo largo de una línea de corriente se detiene, este punto se llama punto de estancamiento, y en este punto la presión total es igual a la presión de estancamiento .

Aplicabilidad de la ecuación de flujo incompresible al flujo de gases

La ecuación de Bernoulli es válida para fluidos ideales: aquellos que son incompresibles, irrotacionales, no viscosos y sometidos a fuerzas conservadoras. A veces es válido para el flujo de gases: siempre que no haya transferencia de energía cinética o potencial del flujo de gas a la compresión o expansión del gas. Si tanto la presión del gas como el volumen cambian simultáneamente, entonces se trabajará en o por el gas. En este caso, no se puede suponer que la ecuación de Bernoulli, en su forma de flujo incompresible, sea válida. Sin embargo, si el proceso del gas es completamente isobárico o isocórico , entonces no se realiza ningún trabajo sobre el gas o por él (por lo tanto, el balance de energía simple no se altera). De acuerdo con la ley de los gases, un proceso isobárico o isocórico es normalmente la única forma de asegurar una densidad constante en un gas. Además, la densidad del gas será proporcional a la relación de presión y temperatura absoluta ; sin embargo, esta relación variará con la compresión o expansión, sin importar qué cantidad de calor distinta de cero se agregue o elimine. La única excepción es si la transferencia neta de calor es cero, como en un ciclo termodinámico completo, o en un proceso isentrópico ( adiabático sin fricción ) individual , e incluso entonces este proceso reversible debe revertirse, para restaurar el gas a la presión original y específica. volumen y, por tanto, densidad. Solo entonces es aplicable la ecuación de Bernoulli original sin modificar. En este caso, la ecuación se puede utilizar si la velocidad de flujo del gas es suficientemente inferior a la velocidad del sonido , de modo que se pueda ignorar la variación en la densidad del gas (debido a este efecto) a lo largo de cada línea de corriente . El flujo adiabático a menos de Mach 0,3 generalmente se considera lo suficientemente lento.

Flujo potencial inestable

La ecuación de Bernoulli para el flujo potencial inestable se utiliza en la teoría de las ondas superficiales del océano y la acústica .

Para un flujo de irrigación , la velocidad del flujo se puede describir como el gradiente φ de un potencial de velocidad φ . En ese caso, y para una densidad constante ρ , las ecuaciones de momento de las ecuaciones de Euler se pueden integrar a:

que es una ecuación de Bernoulli válida también para flujos inestables o dependientes del tiempo. Aquíφ/tdenota la derivada parcial del potencial de velocidad φ con respecto al tiempo t , y v = | φ | es la velocidad de flujo. La función f ( t ) depende solo del tiempo y no de la posición en el fluido. Como resultado, la ecuación de Bernoulli en algún momento t no solo se aplica a lo largo de una determinada línea de corriente, sino en todo el dominio de los fluidos. Esto también es cierto para el caso especial de un flujo de irritación constante, en cuyo caso f y φ / ∂ t son constantes, por lo que la ecuación ( A ) se puede aplicar en todos los puntos del dominio del fluido.

Además, f ( t ) se puede igualar a cero incorporándolo al potencial de velocidad usando la transformación

Resultando en

Tenga en cuenta que la relación del potencial con la velocidad del flujo no se ve afectada por esta transformación: Φ = ∇ φ .

La ecuación de Bernoulli para el flujo potencial inestable también parece desempeñar un papel central en el principio variacional de Luke , una descripción variacional de los flujos de superficie libre utilizando el Lagrangiano (que no debe confundirse con las coordenadas Lagrangianas ).

Ecuación de flujo compresible

Bernoulli desarrolló su principio a partir de sus observaciones sobre líquidos, y su ecuación es aplicable solo a fluidos incompresibles y fluidos compresibles estables hasta aproximadamente Mach número 0.3. Es posible utilizar los principios fundamentales de la física para desarrollar ecuaciones similares aplicables a fluidos compresibles. Existen numerosas ecuaciones, cada una diseñada para una aplicación particular, pero todas son análogas a la ecuación de Bernoulli y todas se basan únicamente en los principios fundamentales de la física, como las leyes del movimiento de Newton o la primera ley de la termodinámica .

Flujo compresible en dinámica de fluidos

Para un fluido compresible, con una ecuación de estado barotrópica , y bajo la acción de fuerzas conservadoras ,

dónde:

En situaciones de ingeniería, las elevaciones son generalmente pequeñas en comparación con el tamaño de la Tierra, y las escalas de tiempo del flujo de fluidos son lo suficientemente pequeñas como para considerar la ecuación de estado como adiabática . En este caso, la ecuación anterior para un gas ideal se convierte en:

donde, además de los términos enumerados anteriormente:

En muchas aplicaciones de flujo compresible, los cambios de elevación son insignificantes en comparación con los otros términos, por lo que se puede omitir el término gz . Entonces, una forma muy útil de la ecuación es:

dónde:

Flujo compresible en termodinámica

La forma más general de la ecuación, adecuada para su uso en termodinámica en caso de flujo (cuasi) constante, es:

Aquí w es la entalpía por unidad de masa (también conocida como entalpía específica), que a menudo también se escribe como h (no debe confundirse con "cabeza" o "altura").

Tenga en cuenta que dónde está la energía termodinámica por unidad de masa, también conocida como energía interna específica . Entonces, para energía interna constante, la ecuación se reduce a la forma de flujo incompresible.

La constante del lado derecho a menudo se denomina constante de Bernoulli y se denota b . Para un flujo adiabático no viscoso constante sin fuentes adicionales o sumideros de energía, b es constante a lo largo de cualquier línea de corriente dada. De manera más general, cuando b puede variar a lo largo de las líneas de corriente, sigue siendo un parámetro útil, relacionado con la "altura" del fluido (ver más abajo).

Cuando se puede ignorar el cambio en Ψ , una forma muy útil de esta ecuación es:

donde w 0 es la entalpía total. Para un gas calóricamente perfecto como un gas ideal, la entalpía es directamente proporcional a la temperatura, y esto lleva al concepto de temperatura total (o estancamiento).

Cuando hay ondas de choque , en un marco de referencia en el que el choque es estacionario y el flujo es estable, muchos de los parámetros de la ecuación de Bernoulli sufren cambios abruptos al pasar por el choque. Sin embargo, el parámetro de Bernoulli en sí no se ve afectado. Una excepción a esta regla son los choques radiativos, que violan los supuestos que conducen a la ecuación de Bernoulli, es decir, la falta de sumideros o fuentes de energía adicionales.

Flujo potencial inestable

Para un fluido compresible, con una ecuación de estado barotrópica , la ecuación de conservación del momento inestable

Con el supuesto de irritación , es decir, la velocidad del flujo se puede describir como el gradienteφ de un potencial de velocidad φ . La ecuación de conservación del momento inestable se convierte en

lo que lleva a

En este caso, la ecuación anterior para el flujo isentrópico se convierte en:

Derivaciones de la ecuación de Bernoulli

Aplicaciones

Condensación visible sobre la superficie superior de un ala de un Airbus A340 causada por la caída de temperatura que acompaña a la caída de presión.

En la vida cotidiana moderna hay muchas observaciones que pueden explicarse con éxito mediante la aplicación del principio de Bernoulli, aunque ningún fluido real es completamente invisible y una pequeña viscosidad a menudo tiene un gran efecto en el flujo.

  • El principio de Bernoulli se puede utilizar para calcular la fuerza de sustentación en un perfil aerodinámico, si se conoce el comportamiento del flujo de fluido en las proximidades del perfil. Por ejemplo, si el aire que pasa por la superficie superior del ala de un avión se mueve más rápido que el aire que pasa por la superficie inferior, entonces el principio de Bernoulli implica que la presión sobre las superficies del ala será menor arriba que abajo. Esta diferencia de presión da como resultado una fuerza de elevación hacia arriba . Siempre que se conozca la distribución de la velocidad más allá de las superficies superior e inferior de un ala, las fuerzas de sustentación se pueden calcular (con una buena aproximación) utilizando las ecuaciones de Bernoulli, establecidas por Bernoulli más de un siglo antes de que las primeras alas artificiales se usaran para la propósito del vuelo. El principio de Bernoulli no explica por qué el aire pasa más rápido por la parte superior del ala y más lento por la parte inferior. Consulte el artículo sobre elevación aerodinámica para obtener más información.
  • El carburador utilizado en muchos motores alternativos contiene un venturi para crear una región de baja presión para extraer combustible al carburador y mezclarlo completamente con el aire entrante. La baja presión en la garganta de un venturi puede explicarse por el principio de Bernoulli; en la garganta estrecha, el aire se mueve a su velocidad más rápida y, por lo tanto, está a su presión más baja.
  • Un inyector en una locomotora de vapor (o caldera estática).
  • El tubo de Pitot y el puerto estático de una aeronave se utilizan para determinar la velocidad aérea de la aeronave. Estos dos dispositivos están conectados al indicador de velocidad del aire , que determina la presión dinámica del flujo de aire que pasa por la aeronave. La presión dinámica es la diferencia entre la presión de estancamiento y la presión estática . El principio de Bernoulli se utiliza para calibrar el indicador de velocidad aerodinámica de modo que muestre la velocidad aerodinámica indicada apropiada a la presión dinámica.
  • Una boquilla De Laval utiliza el principio de Bernoulli para crear una fuerza al convertir la energía de presión generada por la combustión de los propulsores en velocidad. Esto genera un empuje mediante la tercera ley del movimiento de Newton .
  • La velocidad de flujo de un fluido se puede medir usando un dispositivo como un medidor Venturi o una placa de orificio , que se puede colocar en una tubería para reducir el diámetro del flujo. Para un dispositivo horizontal, la ecuación de continuidad muestra que para un fluido incompresible, la reducción del diámetro provocará un aumento en la velocidad del flujo del fluido. Posteriormente, el principio de Bernoulli muestra que debe haber una disminución de la presión en la región de diámetro reducido. Este fenómeno se conoce como efecto Venturi .
  • La tasa de drenaje máxima posible para un tanque con un orificio o grifo en la base se puede calcular directamente a partir de la ecuación de Bernoulli, y se encuentra que es proporcional a la raíz cuadrada de la altura del fluido en el tanque. Esta es la ley de Torricelli , que muestra que la ley de Torricelli es compatible con el principio de Bernoulli. La viscosidad reduce esta tasa de drenaje. Esto se refleja en el coeficiente de descarga, que es una función del número de Reynolds y la forma del orificio.
  • La empuñadura Bernoulli se basa en este principio para crear una fuerza adhesiva sin contacto entre una superficie y la pinza.
  • El principio de Bernoulli también es aplicable al balanceo de una pelota de cricket. Durante un partido de cricket, los jugadores de bolos continuamente pulen un lado de la pelota. Después de un tiempo, un lado está bastante rugoso y el otro todavía está liso. Por tanto, cuando la bola se lanza y pasa por el aire, la velocidad en un lado de la bola es más rápida que en el otro, debido a esta diferencia de suavidad, y esto da como resultado una diferencia de presión entre los lados; esto lleva a que la bola gire ("balanceándose") mientras viaja por el aire, dando ventaja a los jugadores de bolos.

Malentendidos sobre la generación de ascensor.

Se pueden encontrar muchas explicaciones para la generación de sustentación (en superficies aerodinámicas , palas de hélices , etc.); algunas de estas explicaciones pueden ser engañosas y otras son falsas. Se ha debatido si la elevación se presenta mejor a los estudiantes utilizando el principio de Bernoulli o las leyes del movimiento de Newton . Los escritos modernos están de acuerdo en que tanto el principio de Bernoulli como las leyes de Newton son relevantes, y cualquiera de ellas puede usarse para describir correctamente la sustentación.

Varias de estas explicaciones utilizan el principio de Bernoulli para conectar la cinemática del flujo con las presiones inducidas por el flujo. En los casos de explicaciones incorrectas (o parcialmente correctas) que se basan en el principio de Bernoulli , los errores generalmente ocurren en los supuestos sobre la cinemática de flujo y cómo se producen. No es el principio de Bernoulli en sí lo que se cuestiona, porque este principio está bien establecido (el flujo de aire sobre el ala es más rápido, la pregunta es por qué es más rápido).

Aplicaciones erróneas del principio de Bernoulli en demostraciones comunes en el aula

Hay varias demostraciones comunes en el aula que a veces se explican incorrectamente utilizando el principio de Bernoulli. Una implica sostener un trozo de papel horizontalmente de modo que caiga hacia abajo y luego soplar sobre la parte superior. Cuando el demostrador sopla sobre el papel, el papel se eleva. Luego se afirma que esto se debe a que "el aire que se mueve más rápido tiene una presión más baja".

Un problema con esta explicación se puede ver al soplar a lo largo de la parte inferior del papel: si la desviación se debiera simplemente a un aire que se mueve más rápido, se esperaría que el papel se desvíe hacia abajo, pero el papel se desvíe hacia arriba independientemente de si el aire que se mueve más rápido está en el arriba o abajo. Otro problema es que cuando el aire sale de la boca del demostrador tiene la misma presión que el aire circundante; el aire no tiene una presión más baja solo porque se está moviendo; en la demostración, la presión estática del aire que sale de la boca del demostrador es igual a la presión del aire circundante. Un tercer problema es que es falso hacer una conexión entre el flujo en los dos lados del papel usando la ecuación de Bernoulli, ya que el aire arriba y abajo son campos de flujo diferentes y el principio de Bernoulli solo se aplica dentro de un campo de flujo.

Dado que la redacción del principio puede cambiar sus implicaciones, es importante enunciar el principio correctamente. Lo que el principio de Bernoulli dice en realidad es que dentro de un flujo de energía constante, cuando el fluido fluye a través de una región de menor presión, se acelera y viceversa. Por lo tanto, el principio de Bernoulli se ocupa de los cambios en la velocidad y los cambios en la presión dentro de un campo de flujo. No se puede utilizar para comparar diferentes campos de flujo.

Una explicación correcta de por qué el papel se eleva observaría que la pluma sigue la curva del papel y que una línea de corriente curva desarrollará un gradiente de presión perpendicular a la dirección del flujo, con la menor presión en el interior de la curva. El principio de Bernoulli predice que la disminución de la presión está asociada con un aumento de la velocidad, es decir, que a medida que el aire pasa sobre el papel se acelera y se mueve más rápido de lo que se movía cuando salió de la boca del demostrador. Pero esto no se desprende de la demostración.

Otras demostraciones comunes en el aula, como soplar entre dos esferas suspendidas, inflar una bolsa grande o suspender una pelota en una corriente de aire, a veces se explican de una manera igualmente engañosa diciendo que "el aire que se mueve más rápido tiene menor presión".

Ver también

Notas

Referencias

enlaces externos