Teorema de Rokhlin - Rokhlin's theorem

En la topología de 4 dimensiones, una rama de las matemáticas, el teorema de Rokhlin establece que si una M de 4 variedades suave y cerrada tiene una estructura de espín (o, de manera equivalente, la segunda clase Stiefel-Whitney desaparece), entonces la firma de su forma de intersección , una forma cuadrática en el segundo grupo de cohomología , es divisible por 16. El teorema lleva el nombre de Vladimir Rokhlin , quien lo demostró en 1952. ${\ Displaystyle w_ {2} (M)}$ ${\ Displaystyle H ^ {2} (M)}$

Ejemplos de

• La forma de intersección en M

${\ Displaystyle Q_ {M} \ colon H ^ {2} (M, \ mathbb {Z}) \ times H ^ {2} (M, \ mathbb {Z}) \ rightarrow \ mathbb {Z}}$

es unimodular en por la dualidad de Poincaré , y la desaparición de implica que la forma intersección es par. Según un teorema de Cahit Arf , cualquier retícula unimodular tiene una firma divisible por 8, por lo que el teorema de Rokhlin obliga a un factor adicional de 2 para dividir la firma. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle w_ {2} (M)}$

• Una superficie K3 es compacta, de 4 dimensiones y se desvanece, y la firma es −16, por lo que 16 es el mejor número posible en el teorema de Rokhlin. ${\ Displaystyle w_ {2} (M)}$
• Una superficie compleja en grado es spin si y solo si es uniforme. Tiene la firma , que se puede ver a partir de Friedrich Hirzebruch 's teorema de la firma . El caso devuelve el último ejemplo de una superficie K3 . ${\ Displaystyle \ mathbb {CP} ^ {3}}$${\ Displaystyle d}$${\ Displaystyle d}$${\ displaystyle (4-d ^ {2}) d / 3}$${\ Displaystyle d = 4}$
• La variedad E8 de Michael Freedman es una variedad topológica compacta simplemente conectada con una forma de fuga e intersección de la firma 8. El teorema de Rokhlin implica que esta variedad no tiene una estructura uniforme . Esta variedad muestra que el teorema de Rokhlin falla para el conjunto de variedades meramente topológicas (en lugar de suaves). ${\ Displaystyle w_ {2} (M)}$${\ Displaystyle E_ {8}}$
• Si el colector M está simplemente conectado (o más generalmente si el primer grupo de homología no tiene torsión 2), entonces la desaparición de es equivalente a que la forma de intersección sea pareja. Esto no es cierto en general: una superficie de Enriques es una variedad compacta lisa de 4 y tiene una forma de intersección uniforme II _1,9 de firma −8 (no divisible por 16), pero la clase no desaparece y está representada por un elemento de torsión en el segundo grupo de cohomología. ${\ Displaystyle w_ {2} (M)}$${\ Displaystyle w_ {2} (M)}$

Pruebas

El teorema de Rokhlin se puede deducir del hecho de que el tercer grupo de esferas de homotopía estable es cíclico de orden 24; este es el enfoque original de Rokhlin. ${\ Displaystyle \ pi _ {3} ^ {S}}$

También se puede deducir del teorema del índice de Atiyah-Singer . Véase  género y teorema de Rochlin .

Robion Kirby  ( 1989 ) da una demostración geométrica.

El invariante de Rokhlin

Dado que el teorema de Rokhlin establece que la firma de una variedad de espín suave es divisible por 16, la definición del invariante de Rohkhlin se deduce de la siguiente manera:

Para 3-colector y una estructura de giro en , el invariante Rokhlin en se define como la firma de cualquier compacto giro 4-múltiple liso con límite de giro . ${\ Displaystyle N}$ ${\ Displaystyle s}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle \ mu (N, s)}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / 16 \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle (N, s)}$

Si N es un distribuidor de 3 espines , entonces limita un distribuidor M de 4 espines . La firma de M es divisible por 8, y una aplicación fácil de espectáculos teorema de Rokhlin que su valor MOD 16 depende sólo de N y no en la elección de M . Las 3 esferas de homología tienen una estructura de espín única , por lo que podemos definir el invariante de Rokhlin de una esfera 3 de homología como el elemento de , donde M cualquier multiplicidad de espín 4 que limita la esfera de homología. ${\ Displaystyle \ operatorname {signo} (M) / 8}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / 2Z}$

Por ejemplo, la esfera de homología de Poincaré limita una variedad de espín 4 con forma de intersección , por lo que su invariante de Rokhlin es 1. Este resultado tiene algunas consecuencias elementales: la esfera de homología de Poincaré no admite una incrustación suave ni une una variedad de Mazur . ${\ Displaystyle E_ {8}}$${\ Displaystyle S ^ {4}}$

Más en general, si N es un giro 3-colector (por ejemplo, cualquier esfera de homología), entonces la firma de cualquier giro 4-colector M con límite N está bien definido mod 16, y se llama el invariante Rokhlin de N . En un topológica 3-colector de N , el invariante Rokhlin generalizada refiere a la función cuyo dominio es el estructuras de espín en N , y que evalúa a la invariante Rokhlin del par , donde s es una estructura de giro en N . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle (N, s)}$

El invariante de Rokhlin de M es igual a la mitad del invariante de Casson mod 2. El invariante de Casson se considera como la elevación del valor Z del invariante de Rokhlin de homología integral 3-esfera.

Generalizaciones

El teorema de Kervaire-Milnor ( Kervaire & Milnor 1960 ) establece que si es una esfera característica en una M de 4 variedades compacta y suave , entonces error de harv: sin destino: CITEREFKervaireMilnor1960 ( ayuda ) ${\ Displaystyle \ Sigma}$

${\ Displaystyle \ operatorname {firma} (M) = \ Sigma \ cdot \ Sigma {\ bmod {1}} 6}$ .

Una esfera característica es una 2-esfera incrustada cuya clase de homología representa la clase Stiefel-Whitney . Si se desvanece, podemos considerar que es cualquier esfera pequeña, que tiene el número de autointersección 0, por lo que sigue el teorema de Rokhlin. ${\ Displaystyle w_ {2} (M)}$${\ Displaystyle w_ {2} (M)}$${\ Displaystyle \ Sigma}$

El teorema de Freedman-Kirby ( Freedman y Kirby 1978 ) establece que si es una superficie característica en una M de 4 variedades compacta y lisa , entonces error de harv: sin destino: CITEREFFreedmanKirby1978 ( ayuda ) ${\ Displaystyle \ Sigma}$

${\ Displaystyle \ operatorname {firma} (M) = \ Sigma \ cdot \ Sigma +8 \ operatorname {Arf} (M, \ Sigma) {\ bmod {1}} 6}$ .

donde es el invariante Arf de una determinada forma cuadrática en . Este invariante Arf es obviamente 0 si es una esfera, por lo que el teorema de Kervaire-Milnor es un caso especial. ${\ Displaystyle \ operatorname {Arf} (M, \ Sigma)}$${\ Displaystyle H_ {1} (\ Sigma, \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z})}$${\ Displaystyle \ Sigma}$

Una generalización del teorema de Freedman-Kirby a variedades topológicas (en lugar de suaves) establece que

${\ Displaystyle \ operatorname {firma} (M) = \ Sigma \ cdot \ Sigma +8 \ operatorname {Arf} (M, \ Sigma) +8 \ operatorname {ks} (M) {\ bmod {1}} 6}$ ,

donde es la invariante Kirby-Siebenmann de M . El invariante de Kirby-Siebenmann de M es 0 si M es suave. ${\ Displaystyle \ operatorname {ks} (M)}$

Armand Borel y Friedrich Hirzebruch demostraron el siguiente teorema: si X es una variedad de espín compacto suave de dimensión divisible por 4, entonces el género  es un número entero, y es incluso si la dimensión de X es 4 mod 8. Esto se puede deducir de la Teorema del índice de Atiyah-Singer : Michael Atiyah e Isadore Singer demostraron que el género  es el índice del operador Atiyah-Singer, que siempre es integral, e incluso en dimensiones 4 mod 8. Para una variedad de 4 dimensiones, la firma de Hirzebruch El teorema muestra que la firma es −8 veces el género Â, por lo que en la dimensión 4 esto implica el teorema de Rokhlin.

Ochanine (1980) demostró que si X es un colector de giro suave orientado compacto de dimensión 4 mod 8, entonces su firma es divisible por 16. error de harvtxt: sin destino: CITEREFOchanine1980 ( ayuda )

Referencias

• Freedman, Michael ; Kirby, Robion , "Una prueba geométrica del teorema de Rochlin", en: Topología algebraica y geométrica (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, Calif., 1976), Parte 2, págs. 85-97, Proc. . Simpos. Matemáticas puras., XXXII, Amer. Matemáticas. Soc., Providence, RI, 1978. MR 0520525 ISBN   0-8218-1432-X
• Kirby, Robion (1989), The topology of 4-manifolds , Lecture Notes in Mathematics, 1374 , Springer-Verlag, doi : 10.1007 / BFb0089031 , ISBN   0-387-51148-2 , MR   1001966
• Kervaire, Michel A .; Milnor, John W. , "Números de Bernoulli, grupos de homotopía y un teorema de Rohlin", 1960 Proc. Internat. Congreso de Matemáticas. 1958, págs. 454–458, Cambridge University Press , Nueva York. Señor 0121801
• Kervaire, Michel A .; Milnor, John W. , Sobre 2 esferas en 4 variedades. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 47 (1961), 1651-1657. Señor 0133134
• Matsumoto, Yoichirou (1986). "Una prueba elemental del teorema de la firma de Rochlin y su extensión por Guillou y Marin" (PDF) . Cite journal requiere |journal= ( ayuda )
• Michelsohn, Marie-Louise ; Lawson, H. Blaine (1989), Geometría de giro , Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press , ISBN   0-691-08542-0 , Señor   1031992 (especialmente la página 280)
• Ochanine, Serge, "Signature modulo 16, invariants de Kervaire généralisés et nombres caractéristiques dans la K-théorie réelle", Mém. Soc. Matemáticas. Francia 1980/81, no. 5, 142 págs. MR 1809832
• Rokhlin, Vladimir A. , Nuevos resultados en la teoría de variedades tetradimensionales , Doklady Acad. Nauk. SSSR (NS) 84 (1952) 221–224. Señor 0052101
• Scorpan, Alexandru (2005), El mundo salvaje de 4 variedades , American Mathematical Society , ISBN   978-0-8218-3749-8 , MR   2136212 .
• Szűcs, András (2003), "Two Theorems of Rokhlin", Journal of Mathematical Sciences , 113 (6): 888–892, doi : 10.1023 / A: 1021208007146 , MR   1809832