Michael Atiyah - Michael Atiyah


Michael Atiyah

Michael Francis Atiyah.jpg
Michael Atiyah en 2007
Nació
Michael Francis Atiyah

( 22 de abril de 1929 )22 de abril de 1929
Hampstead , Londres , Inglaterra
Murió 11 de enero de 2019 (2019-01-11)(89 años)
Edimburgo , Escocia
Nacionalidad británico
Educación
Conocido por Atiyah algebroid
Conjetura de Atiyah Conjetura de
Atiyah sobre configuraciones
Flujo de
Atiyah Fórmula de
Atiyah-Bott Teorema de punto fijo de Atiyah-Bott
Conjetura de Atiyah-Floer
Secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch
Conjetura de
Atiyah- Jones Teorema de
Atiyah- Hitchin-Singer Teorema de Atiyah-Singer
Teorema de
ADH Teorema de Atiyah-Singer Teorema de ADH construcción
Módulo de Fredholm
Eta invariante
Teoría K Teoría
KR
Grupo de pines
Variedad tórica
Premios
Carrera científica
Los campos Matemáticas
Instituciones
Tesis Algunas aplicaciones de métodos topológicos en geometría algebraica  (1955)
Asesor de doctorado WVD Hodge
Estudiantes de doctorado
Otros estudiantes notables Edward Witten

Sir Michael Francis Atiyah OM FRS FRSE FMedSci FAA FREng ( / ə t i ə / , abril 22, 1929 hasta enero 11, 2019 ) era un británico-libanés matemático especializado en la geometría .

Atiyah creció en Sudán y Egipto, pero pasó la mayor parte de su vida académica en el Reino Unido en la Universidad de Oxford y la Universidad de Cambridge y en los Estados Unidos en el Instituto de Estudios Avanzados . Fue presidente de la Royal Society (1990-1995), director fundador del Instituto Isaac Newton (1990-1996), máster del Trinity College, Cambridge (1990-1997), rector de la Universidad de Leicester (1995-2005) y Presidente de la Royal Society of Edinburgh (2005-2008). Desde 1997 hasta su muerte, fue profesor honorario en la Universidad de Edimburgo .

Los colaboradores matemáticos de Atiyah incluyeron a Raoul Bott , Friedrich Hirzebruch e Isadore Singer , y sus estudiantes incluyeron a Graeme Segal , Nigel Hitchin , Simon Donaldson y Edward Witten . Junto con Hirzebruch, sentó las bases de la teoría K topológica , una herramienta importante en la topología algebraica , que, hablando informalmente, describe las formas en que los espacios se pueden torcer. Su resultado más conocido, el teorema del índice de Atiyah-Singer , fue probado con Singer en 1963 y se utiliza para contar el número de soluciones independientes de ecuaciones diferenciales . Parte de su trabajo más reciente se inspiró en la física teórica, en particular instantones y monopolos , que son responsables de algunas correcciones sutiles en la teoría cuántica de campos . Recibió la Medalla Fields en 1966 y el Premio Abel en 2004.

Temprana edad y educación

Great Court of Trinity College, Cambridge , donde Atiyah fue estudiante y luego maestro

Atiyah nació el 22 de abril de 1929 en Hampstead , Londres , Inglaterra, hijo de Jean (de soltera Levens) y Edward Atiyah . Su madre era escocesa y su padre era un cristiano ortodoxo libanés . Tenía dos hermanos, Patrick (fallecido) y Joe, y una hermana, Selma (fallecida). Atiyah asistió a la escuela primaria en la escuela diocesana de Jartum , Sudán (1934-1941), ya la escuela secundaria en el Victoria College de El Cairo y Alejandría (1941-1945); A la escuela también asistieron la nobleza europea desplazada por la Segunda Guerra Mundial y algunos futuros líderes de las naciones árabes. Regresó a Inglaterra y Manchester Grammar School para sus estudios de HSC (1945-1947) e hizo su servicio nacional con los Ingenieros Mecánicos y Eléctricos Reales (1947-1949). Sus estudios de pregrado y posgrado se llevaron a cabo en Trinity College, Cambridge (1949-1955). Fue estudiante de doctorado de William VD Hodge y se doctoró en 1955 por una tesis titulada Algunas aplicaciones de métodos topológicos en geometría algebraica .

Atiyah era miembro de la Asociación Humanista Británica .

Durante su tiempo en Cambridge, fue presidente de The Archimedeans .

Carrera e investigación

El Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, donde Atiyah fue profesor de 1969 a 1972

Atiyah pasó el año académico 1955-56 en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton , y luego regresó a la Universidad de Cambridge , donde fue investigador y asistente docente (1957-1958), a continuación, una universidad docente y tutorial compañero en Pembroke College (1958-1961). En 1961, se trasladó a la Universidad de Oxford , donde fue lector y profesor en el St Catherine's College (1961-1963). Se convirtió en profesor de geometría de Savilian y miembro del New College, Oxford , de 1963 a 1969. Tomó una cátedra de tres años en el Instituto de Estudios Avanzados en Princeton, después de lo cual regresó a Oxford como profesor de investigación de la Royal Society y becario del St Catherine's College. Fue presidente de la London Mathematical Society de 1974 a 1976.

Comencé cambiando la moneda local por moneda extranjera en todos los lugares a los que viajaba cuando era niño y terminé ganando dinero. Fue entonces cuando mi padre se dio cuenta de que algún día sería matemático.

Michael Atiyah

Atiyah fue presidente de las Conferencias Pugwash sobre Ciencia y Asuntos Mundiales de 1997 a 2002. También contribuyó a la fundación del Panel InterAcademy sobre Asuntos Internacionales , la Asociación de Academias Europeas (ALLEA) y la Sociedad Matemática Europea (EMS).

En el Reino Unido, participó en la creación del Instituto Isaac Newton de Ciencias Matemáticas en Cambridge y fue su primer director (1990-1996). Fue presidente de la Royal Society (1990-1995), máster del Trinity College, Cambridge (1990-1997), rector de la Universidad de Leicester (1995-2005) y presidente de la Royal Society of Edinburgh (2005-2008). . Desde 1997 hasta su muerte en 2019 fue profesor honorario en la Universidad de Edimburgo . Fue fideicomisario de la Fundación James Clerk Maxwell .

Colaboraciones

El antiguo Instituto de Matemáticas (ahora Departamento de Estadística) en Oxford , donde Atiyah supervisaba a muchos de sus estudiantes.

Atiyah colaboró ​​con muchos matemáticos. Sus tres colaboraciones principales fueron con Raoul Bott en el teorema del punto fijo de Atiyah-Bott y muchos otros temas, con Isadore M. Singer en el teorema del índice de Atiyah-Singer y con Friedrich Hirzebruch en la teoría K topológica, a todos los cuales conoció en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton en 1955. Entre sus otros colaboradores se incluyen; J. Frank Adams ( Hopf invariante problema), Jürgen Berndt (planos proyectivos), Roger Bielawski (problema Berry-Robbins), Howard Donnelly ( funciones L ), Vladimir G. Drinfeld (instantones), Johan L. Dupont (singularidades de vector campos ), Lars Gårding ( ecuaciones diferenciales hiperbólicas ), Nigel J. Hitchin (monopolos), William VD Hodge (integrales del segundo tipo), Michael Hopkins (teoría K), Lisa Jeffrey (lagrangianos topológicos), John DS Jones (Yang –Teoría de Mills), Juan Maldacena (teoría M), Yuri I. Manin (instantons), Nick S. Manton (Skyrmions), Vijay K. Patodi (asimetría espectral), AN Pressley (convexidad), Elmer Rees (paquetes de vectores) , Wilfried Schmid (representaciones de series discretas), Graeme Segal (teoría K equivariante), Alexander Shapiro (álgebras de Clifford), L. Smith (grupos homotópicos de esferas), Paul Sutcliffe (poliedros), David O. Tall (anillos lambda), John A. Todd ( variedades de Stiefel ), Cumrun Vafa (teoría M), Richard S. Ward (instantons) y Edward Witten (teoría M, topológica teorías cuánticas de campos).

Su investigación posterior sobre las teorías del campo gauge , en particular la teoría de Yang-Mills , estimuló importantes interacciones entre la geometría y la física , sobre todo en el trabajo de Edward Witten.

Si ataca directamente un problema matemático, muy a menudo llega a un callejón sin salida, nada de lo que hace parece funcionar y siente que si pudiera mirar a la vuelta de la esquina, podría haber una solución fácil. No hay nada como tener a alguien más a tu lado, porque normalmente puede mirar a la vuelta de la esquina.

Michael Atiyah

Los estudiantes de Atiyah incluyeron a Peter Braam 1987, Simon Donaldson 1983, K. David Elworthy 1967, Howard Fegan 1977, Eric Grunwald 1977, Nigel Hitchin 1972, Lisa Jeffrey 1991, Frances Kirwan 1984, Peter Kronheimer 1986, Ruth Lawrence 1989, George Lusztig 1971, Jack Morava 1968, Michael Murray 1983, Peter Newstead 1966, Ian R. Porteous 1961, John Roe 1985, Brian Sanderson 1963, Rolph Schwarzenberger 1960, Graeme Segal 1967, David Tall 1966 y Graham White 1982.

Otros matemáticos contemporáneos que influyeron en Atiyah incluyen a Roger Penrose , Lars Hörmander , Alain Connes y Jean-Michel Bismut . Atiyah dijo que el matemático que más admiraba era Hermann Weyl , y que sus matemáticos favoritos de antes del siglo XX eran Bernhard Riemann y William Rowan Hamilton .

Los siete volúmenes de los artículos recopilados de Atiyah incluyen la mayor parte de su trabajo, a excepción de su libro de texto de álgebra conmutativa; los primeros cinco volúmenes están divididos temáticamente y el sexto y séptimo ordenados por fecha.

Geometría algebraica (1952-1958)

Una curva cúbica retorcida , tema del primer artículo de Atiyah

Los primeros artículos de Atiyah sobre geometría algebraica (y algunos artículos generales) se reimprimen en el primer volumen de sus obras completas.

Como estudiante, Atiyah estaba interesado en la geometría proyectiva clásica y escribió su primer artículo: una breve nota sobre cúbicos retorcidos . Comenzó a investigar con WVD Hodge y ganó el premio Smith en 1954 por un enfoque teórico de gavillas de superficies regladas , lo que alentó a Atiyah a continuar en matemáticas, en lugar de cambiar a sus otros intereses: arquitectura y arqueología. Su tesis de doctorado con Hodge fue sobre un enfoque teórico de gavillas de la teoría de integrales de segundo tipo de Solomon Lefschetz sobre variedades algebraicas, y resultó en una invitación para visitar el Instituto de Estudios Avanzados en Princeton durante un año. Mientras estaba en Princeton, clasificó los paquetes de vectores en una curva elíptica (extendiendo la clasificación de Alexander Grothendieck de los paquetes de vectores en una curva de género 0), mostrando que cualquier paquete de vectores es una suma de paquetes de vectores indecomponibles (esencialmente únicos), y luego mostrando que el espacio de los haces de vectores indecomponibles de grado y dimensión positiva dados se puede identificar con la curva elíptica. También estudió los puntos dobles en las superficies, dando el primer ejemplo de un flop , una transformación biracional especial de 3 pliegues que luego se utilizó mucho en el trabajo de Shigefumi Mori sobre modelos mínimos para 3 pliegues. El flop de Atiyah también se puede utilizar para mostrar que la familia marcada universal de superficies K3 no es de Hausdorff .

Teoría K (1959-1974)

Una banda de Möbius es el ejemplo no trivial más simple de un paquete de vectores .

Las obras de Atiyah sobre la teoría K, incluido su libro sobre la teoría K, se reimprimen en el volumen 2 de sus obras completas.

El ejemplo no trivial más simple de un paquete de vectores es la banda de Möbius (en la imagen de la derecha): una tira de papel con un giro, que representa un paquete de vectores de rango 1 sobre un círculo (el círculo en cuestión es la línea central de Möbius banda). La teoría K es una herramienta para trabajar con análogos de dimensiones superiores de este ejemplo, o en otras palabras, para describir torsiones de dimensiones superiores: los elementos del grupo K de un espacio están representados por paquetes de vectores sobre él, por lo que la banda de Möbius representa un elemento del grupo K de un círculo.

La teoría K topológica fue descubierta por Atiyah y Friedrich Hirzebruch, quienes se inspiraron en la demostración de Grothendieck del teorema de Grothendieck-Riemann-Roch y el trabajo de Bott sobre el teorema de periodicidad . Este artículo solo discutió el grupo K cero; poco después lo extendieron a grupos K de todos los grados, dando el primer ejemplo (no trivial) de una teoría de cohomología generalizada .

Varios resultados mostraron que la teoría K recién introducida era de alguna manera más poderosa que la teoría de la cohomología ordinaria. Atiyah y Todd usaron la teoría K para mejorar los límites inferiores encontrados usando la cohomología ordinaria por Borel y Serre para el número de James , describiendo cuándo un mapa de una variedad Stiefel compleja a una esfera tiene una sección transversal. ( Adams y Grant-Walker demostraron más tarde que el límite encontrado por Atiyah y Todd era lo mejor posible.) Atiyah e Hirzebruch usaron la teoría K para explicar algunas relaciones entre las operaciones de Steenrod y las clases de Todd que Hirzebruch había notado unos años antes. La solución original de las operaciones de un problema invariante de Hopf por JF Adams fue muy larga y complicada, utilizando operaciones de cohomología secundarias. Atiyah mostró cómo las operaciones primarias en la teoría K podrían usarse para dar una solución corta que toma solo unas pocas líneas, y en el trabajo conjunto con Adams también demostró análogos del resultado en números primos impares.

Michael Atiyah y Friedrich Hirzebruch (derecha), los creadores de la teoría K

La secuencia espectral Atiyah-Hirzebruch relaciona la cohomología ordinaria de un espacio con su teoría de cohomología generalizada. (Atiyah e Hirzebruch usaron el caso de la teoría K, pero su método funciona para todas las teorías de cohomología).

Atiyah mostró que para un grupo finito G , la teoría K de su espacio de clasificación , BG , es isomorfa a la finalización de su anillo de caracteres :

El mismo año demostraron el resultado para G cualquier grupo de Lie conectado compacto . Aunque pronto el resultado podría extenderse a todos los grupos compactos de Lie incorporando resultados de la tesis de Graeme Segal , esa extensión fue complicada. Sin embargo, una prueba más simple y más general fue producido por la introducción de K-teoría equivariante , es decir, la equivalencia clases de G -vector haces sobre un compacto G -space X . Se demostró que, en condiciones adecuadas, la realización de la teoría K equivariante de X es isomorfa a la teoría K ordinaria de un espacio , que fibró sobre BG con fibra X :

El resultado original siguió entonces como un corolario al tomar X como un punto: el lado izquierdo se redujo a la finalización de R (G) y el derecho a K (BG) . Consulte el teorema de terminación de Atiyah-Segal para obtener más detalles.

Definió nuevas teorías generalizadas de homología y cohomología llamadas bordismo y cobordismo , y señaló que muchos de los resultados profundos sobre el cobordismo de variedades encontrados por René Thom , CTC Wall y otros podrían reinterpretarse naturalmente como afirmaciones sobre estas teorías de cohomología. Algunas de estas teorías de cohomología, en particular el cobordismo complejo, resultaron ser algunas de las teorías de cohomología más poderosas conocidas.

"El álgebra es la oferta que hace el diablo al matemático. El diablo dice: 'Te daré esta poderosa máquina, responderá cualquier pregunta que quieras. Todo lo que necesitas hacer es darme tu alma: abandona la geometría y tú tendrá esta maravillosa máquina ".

Michael Atiyah

Introdujo el grupo J J ( X ) de un complejo finito X , definido como el grupo de clases de equivalencia de homotopía de fibras estables de haces de esferas ; esto fue estudiado más tarde en detalle por JF Adams en una serie de artículos, lo que llevó a la conjetura de Adams .

Con Hirzebruch extendió el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch a incrustaciones analíticas complejas, y en un artículo relacionado mostraron que la conjetura de Hodge para la cohomología integral es falsa. La conjetura de Hodge para la cohomología racional es, en 2008, un gran problema sin resolver.

El teorema de la periodicidad de Bott fue un tema central en el trabajo de Atiyah sobre la teoría K, y volvió repetidamente a él, reelaborando la demostración varias veces para comprenderla mejor. Con Bott elaboró ​​una prueba elemental y dio otra versión en su libro. Con Bott y Shapiro analizó la relación de la periodicidad de Bott con la periodicidad de las álgebras de Clifford ; aunque este artículo no tenía una prueba del teorema de la periodicidad, poco después R. Wood encontró una prueba similar. Encontró una prueba de varias generalizaciones utilizando operadores elípticos ; esta nueva demostración usó una idea que usó para dar una prueba particularmente corta y fácil del teorema de periodicidad original de Bott.

Teoría de índices (1963-1984)

Isadore Singer (en 1977), quien trabajó con Atiyah en la teoría de índices

El trabajo de Atiyah sobre la teoría de índices se reimprime en los volúmenes 3 y 4 de sus obras completas.

El índice de un operador diferencial está estrechamente relacionado con el número de soluciones independientes (más precisamente, son las diferencias del número de soluciones independientes del operador diferencial y su adjunto). Hay muchos problemas difíciles y fundamentales en matemáticas que pueden reducirse fácilmente al problema de encontrar el número de soluciones independientes de algún operador diferencial, por lo que si uno tiene algún medio para encontrar el índice de un operador diferencial, estos problemas a menudo pueden resolverse. Esto es lo que hace el teorema del índice de Atiyah-Singer: da una fórmula para el índice de ciertos operadores diferenciales, en términos de invariantes topológicos que parecen bastante complicados pero que en la práctica suelen ser fáciles de calcular.

Varios teoremas profundos, como el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch , son casos especiales del teorema del índice de Atiyah-Singer. De hecho, el teorema del índice dio un resultado más poderoso, porque su demostración se aplicó a todas las variedades compactas complejas, mientras que la prueba de Hirzebruch solo funcionó para las variedades proyectivas. También hubo muchas aplicaciones nuevas: una típica es calcular las dimensiones de los espacios de módulos de instantons. El teorema del índice también se puede ejecutar "a la inversa": el índice es obviamente un número entero, por lo que la fórmula para ello también debe dar un número entero, que a veces da condiciones sutiles de integralidad en invariantes de variedades. Un ejemplo típico de esto es el teorema de Rochlin , que se deriva del teorema del índice.

El consejo más útil que le daría a un estudiante de matemáticas es siempre sospechar un teorema que suene impresionante si no tiene un caso especial que sea a la vez simple y no trivial.

Michael Atiyah

El problema del índice para los operadores diferenciales elípticos fue planteado en 1959 por Gel'fand . Observó la invariancia de homotopía del índice y pidió una fórmula para ello mediante invariantes topológicos . Algunos de los ejemplos motivadores incluyeron el teorema de Riemann-Roch y su generalización, el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch y el teorema de la firma de Hirzebruch . Hirzebruch y Borel habían demostrado la integralidad del género  de una variedad de espín, y Atiyah sugirió que esta integralidad podría explicarse si fuera el índice del operador de Dirac (que fue redescubierto por Atiyah y Singer en 1961).

El primer anuncio del teorema de Atiyah-Singer fue su artículo de 1963. La prueba esbozada en este anuncio se inspiró en la prueba de Hirzebruch del teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch y nunca fue publicada por ellos, aunque se describe en el libro de Palais. Su primera prueba publicada fue más similar a la prueba de Grothendieck del teorema de Grothendieck-Riemann-Roch , reemplazando la teoría del cobordismo de la primera prueba con la teoría K , y usaron este enfoque para dar pruebas de varias generalizaciones en una secuencia de artículos de 1968 hasta 1971.

En lugar de un solo operador elíptica, se puede considerar una familia de operadores elípticos parametrizado por un poco de espacio Y . En este caso, el índice es un elemento de la teoría K de Y , en lugar de un número entero. Si los operadores de la familia son reales, entonces el índice se encuentra en el K-teoría real de Y . Esto proporciona un poco de información adicional, ya que el mapa de la teoría K real de Y a la teoría K compleja no siempre es inyectivo.

El ex alumno de Atiyah, Graeme Segal (en 1982), quien trabajó con Atiyah en la teoría K equivariante

Con Bott, Atiyah encontró un análogo de la fórmula de punto fijo de Lefschetz para operadores elípticos, dando el número de Lefschetz de un endomorfismo de un complejo elíptico en términos de una suma sobre los puntos fijos del endomorfismo. Como casos especiales, su fórmula incluía la fórmula del carácter de Weyl y varios resultados nuevos sobre curvas elípticas con multiplicación compleja, algunos de los cuales inicialmente no fueron creídos por los expertos. Atiyah y Segal combinaron este teorema del punto fijo con el teorema del índice de la siguiente manera. Si hay una acción de grupo compacto de un grupo G sobre la variedad compacta X , conmutando con el operador elíptico, entonces se puede reemplazar la teoría K ordinaria en el teorema del índice con la teoría K equivariante . Para los grupos triviales G, esto da el teorema del índice, y para un grupo finito G que actúa con puntos fijos aislados, da el teorema de punto fijo de Atiyah-Bott. En general se da el índice como una suma sobre subvariedades punto fijo del grupo G .

Atiyah resolvió un problema planteado independientemente por Hörmander y Gel'fand, sobre si los poderes complejos de las funciones analíticas definen distribuciones . Atiyah usó la resolución de singularidades de Hironaka para responder afirmativamente. Una solución ingeniosa y elemental fue encontrada casi al mismo tiempo por J. Bernstein y discutida por Atiyah.

Como aplicación del teorema del índice equivariante, Atiyah e Hirzebruch demostraron que las variedades con acciones circulares efectivas tienen un género  que desaparece . (Lichnerowicz demostró que si una variedad tiene una métrica de curvatura escalar positiva, entonces el género  desaparece).

Con Elmer Rees , Atiyah estudió el problema de la relación entre los paquetes de vectores topológicos y holomórficos en el espacio proyectivo. Resolvieron el caso desconocido más simple, mostrando que todos los paquetes de vectores de rango 2 sobre el espacio 3 proyectivo tienen una estructura holomórfica. Horrocks había encontrado anteriormente algunos ejemplos no triviales de tales paquetes de vectores, que luego fueron utilizados por Atiyah en su estudio de instantons en la 4-esfera.

Raoul Bott , quien trabajó con Atiyah en fórmulas de punto fijo y varios otros temas.

Atiyah, Bott y Vijay K. Patodi dieron una nueva demostración del teorema del índice usando la ecuación del calor .

Si se permite que la variedad tenga un límite, entonces se deben poner algunas restricciones en el dominio del operador elíptico para asegurar un índice finito. Estas condiciones pueden ser locales (como exigir que las secciones del dominio desaparezcan en el límite) o condiciones globales más complicadas (como exigir que las secciones del dominio resuelvan alguna ecuación diferencial). El caso local fue elaborado por Atiyah y Bott, pero demostraron que muchos operadores interesantes (por ejemplo, el operador de firma ) no admiten las condiciones de los límites locales. Para manejar estos operadores, Atiyah, Patodi y Singer introdujeron condiciones de contorno globales equivalentes a unir un cilindro al colector a lo largo del límite y luego restringir el dominio a aquellas secciones que son cuadradas integrables a lo largo del cilindro, y también introdujeron el Atiyah – Patodi – Singer eta invariante . Esto dio lugar a una serie de artículos sobre asimetría espectral, que más tarde se utilizaron inesperadamente en física teórica, en particular en el trabajo de Witten sobre anomalías.

Las lagunas discutidas por Petrovsky, Atiyah, Bott y Gårding son similares a los espacios entre ondas de choque de un objeto supersónico.

Las soluciones fundamentales de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas lineales a menudo tienen lagunas de Petrovsky : regiones en las que desaparecen de forma idéntica. Estos fueron estudiados en 1945 por IG Petrovsky , quien encontró condiciones topológicas que describen qué regiones eran lagunas. En colaboración con Bott y Lars Gårding , Atiyah escribió tres artículos actualizando y generalizando el trabajo de Petrovsky.

Atiyah mostró cómo extender el teorema del índice a algunas variedades no compactas, sobre las que actúa un grupo discreto con cociente compacto. El núcleo del operador elíptico es en general de dimensión infinita en este caso, pero es posible obtener un índice finito usando la dimensión de un módulo sobre un álgebra de von Neumann ; este índice es, en general, real en lugar de un valor entero. Esta versión se llama el teorema del índice L 2 , y fue utilizada por Atiyah y Schmid para dar una construcción geométrica, utilizando espinores armónicos integrables cuadrados, de las representaciones en series discretas de Harish-Chandra de grupos de Lie semisimplejos . En el curso de este trabajo encontraron una prueba más elemental del teorema fundamental de Harish-Chandra sobre la integrabilidad local de los caracteres de los grupos de Lie.

Con H. Donnelly e I. Singer, extendió la fórmula de Hirzebruch (relacionando el defecto de firma en las cúspides de las superficies modulares de Hilbert con los valores de las funciones L) de los campos cuadráticos reales a todos los campos totalmente reales.

Teoría del calibre (1977-1985)

A la izquierda, dos monopolos cercanos de la misma polaridad se repelen, y a la derecha dos monopolos cercanos de polaridad opuesta forman un dipolo . Estos son monopolos abelianos; los no abelianos estudiados por Atiyah son más complicados.

Muchos de sus artículos sobre la teoría del calibre y temas relacionados se reimprimen en el volumen 5 de sus obras completas. Un tema común de estos artículos es el estudio de los espacios de módulos de soluciones para ciertas ecuaciones diferenciales parciales no lineales , en particular las ecuaciones para instantones y monopolos. Esto a menudo implica encontrar una correspondencia sutil entre las soluciones de dos ecuaciones aparentemente bastante diferentes. Un ejemplo temprano de esto que Atiyah usó repetidamente es la transformada de Penrose , que a veces puede convertir soluciones de una ecuación no lineal sobre una variedad real en soluciones de algunas ecuaciones holomórficas lineales sobre una variedad compleja diferente.

En una serie de artículos con varios autores, Atiyah clasificó todos los instantes en el espacio euclidiano de 4 dimensiones. Es más conveniente clasificar instantones en una esfera ya que esta es compacta, y esto es esencialmente equivalente a clasificar instantones en el espacio euclidiano, ya que esto es conformemente equivalente a una esfera y las ecuaciones para instantones son conforme invariantes. Con Hitchin y Singer calculó la dimensión del espacio de módulos de conexiones auto-duales irreductibles (instantons) para cualquier paquete principal sobre una variedad compacta de Riemann de 4 dimensiones (el teorema de Atiyah-Hitchin-Singer ). Por ejemplo, la dimensión del espacio de SU 2 instantons de rango k > 0 es 8 k −3. Para hacer esto, utilizaron el teorema del índice de Atiyah-Singer para calcular la dimensión del espacio tangente del espacio de módulos en un punto; el espacio tangente es esencialmente el espacio de soluciones de un operador diferencial elíptico, dado por la linealización de las ecuaciones no lineales de Yang-Mills. Estos espacios de módulos fueron posteriormente utilizados por Donaldson para construir sus invariantes de 4 variedades . Atiyah y Ward utilizaron la correspondencia de Penrose para reducir la clasificación de todos los instanones en las 4 esferas a un problema de geometría algebraica. Con Hitchin usó ideas de Horrocks para resolver este problema, dando la construcción ADHM de todos los instantes en una esfera; Manin y Drinfeld encontraron la misma construcción al mismo tiempo, lo que llevó a un artículo conjunto de los cuatro autores. Atiyah reformuló esta construcción usando cuaterniones y escribió un relato pausado de esta clasificación de instantones en el espacio euclidiano como un libro.

Los problemas matemáticos que se han resuelto o las técnicas que han surgido de la física en el pasado han sido el elemento vital de las matemáticas.

Michael Atiyah

El trabajo de Atiyah sobre espacios instanton moduli se utilizó en el trabajo de Donaldson sobre la teoría de Donaldson . Donaldson demostró que el espacio de módulos de (grado 1) instantons sobre un 4-múltiple compacto simplemente conectado con forma de intersección definida positiva puede compactarse para dar un cobordismo entre el múltiple y una suma de copias del espacio proyectivo complejo. Dedujo de esto que la forma de intersección debe ser una suma de las unidimensionales, lo que llevó a varias aplicaciones espectaculares para suavizar 4-variedades, como la existencia de estructuras suaves no equivalentes en el espacio euclidiano de 4 dimensiones. Donaldson pasó a utilizar los otros espacios de módulos estudiados por Atiyah para definir los invariantes de Donaldson , que revolucionaron el estudio de las variedades 4 suaves y demostraron que eran más sutiles que las variedades suaves en cualquier otra dimensión, y también bastante diferentes de las variedades 4 topológicas. colectores. Atiyah describió algunos de estos resultados en una charla sobre una encuesta.

Las funciones de Green para ecuaciones diferenciales parciales lineales a menudo se pueden encontrar utilizando la transformada de Fourier para convertir esto en un problema algebraico. Atiyah utilizó una versión no lineal de esta idea. Usó la transformada de Penrose para convertir la función de Green para el Laplaciano conforme invariante en un objeto analítico complejo, que resultó ser esencialmente la incrustación diagonal del espacio twistor de Penrose en su cuadrado. Esto le permitió encontrar una fórmula explícita para la función de Green conformemente invariante en una variedad 4.

En su artículo con Jones, estudió la topología del espacio de módulos de instantones SU (2) sobre una esfera de 4. Mostraron que el mapa natural de este espacio de módulos al espacio de todas las conexiones induce epimorfismos de grupos de homología en un cierto rango de dimensiones, y sugirieron que podría inducir isomorfismos de grupos de homología en el mismo rango de dimensiones. Esto se conoció como la conjetura de Atiyah-Jones , y más tarde fue probada por varios matemáticos.

Harder y MS Narasimhan describieron la cohomología de los espacios de módulos de paquetes vectoriales estables sobre superficies de Riemann contando el número de puntos de los espacios de módulos sobre campos finitos y luego utilizando las conjeturas de Weil para recuperar la cohomología sobre los números complejos. Atiyah y R. Bott utilizaron la teoría de Morse y las ecuaciones de Yang-Mills sobre una superficie de Riemann para reproducir y ampliar los resultados de Harder y Narasimhan.

Un resultado antiguo debido a Schur y Horn establece que el conjunto de posibles vectores diagonales de una matriz hermitiana con valores propios dados es el casco convexo de todas las permutaciones de los valores propios. Atiyah demostró una generalización de esto que se aplica a todas las variedades simplécticas compactas sobre las que actúa un toro, mostrando que la imagen de la variedad bajo el mapa de momentos es un poliedro convexo, y con Pressley dio una generalización relacionada con los grupos de bucles de dimensión infinita.

Duistermaat y Heckman encontraron una fórmula sorprendente, diciendo que el avance de la medida de Liouville de un mapa de momentos para una acción de toro viene dado exactamente por la aproximación de la fase estacionaria (que en general es solo una expansión asintótica en lugar de exacta). Atiyah y Bott demostraron que esto podría deducirse de una fórmula más general en cohomología equivariante , que era una consecuencia de teoremas de localización bien conocidos . Atiyah demostró que el mapa de momentos estaba estrechamente relacionado con la teoría geométrica invariante , y esta idea fue desarrollada mucho más tarde por su alumno F. Kirwan . Witten poco después aplicó la fórmula de Duistermaat-Heckman a los espacios de bucle y demostró que esto proporcionaba formalmente el teorema del índice de Atiyah-Singer para el operador de Dirac; Atiyah dio una conferencia sobre esta idea.

Con Hitchin trabajó en monopolos magnéticos y estudió su dispersión utilizando una idea de Nick Manton . Su libro con Hitchin ofrece una descripción detallada de su trabajo sobre monopolos magnéticos. El tema principal del libro es un estudio de un espacio modular de monopolos magnéticos; esto tiene una métrica de Riemann natural, y un punto clave es que esta métrica es completa e hiperkähler . La métrica se usa luego para estudiar la dispersión de dos monopolos, usando una sugerencia de N. Manton de que el flujo geodésico en el espacio de módulos es la aproximación de baja energía a la dispersión. Por ejemplo, muestran que una colisión frontal entre dos monopolos resulta en una dispersión de 90 grados, con la dirección de la dispersión dependiendo de las fases relativas de los dos monopolos. También estudió monopolos en el espacio hiperbólico.

Atiyah demostró que los instantones en 4 dimensiones se pueden identificar con los instantones en 2 dimensiones, que son mucho más fáciles de manejar. Por supuesto, hay una trampa: al pasar de 4 a 2 dimensiones, el grupo de estructura de la teoría de gauge cambia de un grupo de dimensión finita a un grupo de bucles de dimensión infinita. Esto da otro ejemplo en el que los espacios de módulos de soluciones de dos ecuaciones diferenciales parciales no lineales aparentemente no relacionadas resultan ser esencialmente los mismos.

Atiyah y Singer encontraron que las anomalías en la teoría cuántica de campos podrían interpretarse en términos de la teoría de índices del operador de Dirac; esta idea más tarde fue ampliamente utilizada por los físicos.

Trabajo posterior (1986-2019)

Edward Witten , cuyo trabajo sobre invariantes de variedades y teorías de campos cuánticos topológicos fue influenciado por Atiyah

Muchos de los artículos del sexto volumen de sus obras recopiladas son encuestas, obituarios y charlas generales. Atiyah continuó publicando posteriormente, incluidas varias encuestas, un libro popular y otro artículo con Segal sobre la teoría K retorcida.

Un artículo es un estudio detallado de la función eta de Dedekind desde el punto de vista de la topología y el teorema del índice.

Varios de sus artículos de esta época estudian las conexiones entre la teoría cuántica de campos, los nudos y la teoría de Donaldson. Introdujo el concepto de una teoría de campo cuántica topológica , inspirada en el trabajo de Witten y la definición de Segal de una teoría de campo conforme. Su libro describe los nuevos invariantes de nudos encontrados por Vaughan Jones y Edward Witten en términos de teorías de campos cuánticos topológicos , y su artículo con L. Jeffrey explica el Lagrangiano de Witten dando los invariantes de Donaldson .

Estudió los skyrmions con Nick Manton, encontró una relación con los monopolos magnéticos y los instantones , y dio una conjetura para la estructura del espacio de módulos de dos skyrmions como un cierto subquotiente del complejo 3-espacio proyectivo.

Varios artículos se inspiraron en una pregunta de Jonathan Robbins (llamada el problema de Berry-Robbins ), quien preguntó si existe un mapa desde el espacio de configuración de n puntos en el espacio tridimensional hasta la variedad de banderas del grupo unitario. Atiyah dio una respuesta afirmativa a esta pregunta, pero sintió que su solución era demasiado computacional y estudió una conjetura que le daría una solución más natural. También relacionó la pregunta con la ecuación de Nahm e introdujo la conjetura de Atiyah sobre las configuraciones .

Pero para la mayoría de los propósitos prácticos, solo usa los grupos clásicos. Los excepcionales grupos de Lie están ahí para mostrarte que la teoría es un poco más amplia; es bastante raro que alguna vez aparezcan.

Michael Atiyah

Con Juan Maldacena y Cumrun Vafa , y E. Witten describió la dinámica de la teoría M sobre variedades con holonomía G 2 . Estos artículos parecen ser la primera vez que Atiyah ha trabajado en grupos de Lie excepcionales.

En sus artículos con M. Hopkins y G. Segal volvió a su interés anterior por la teoría K, describiendo algunas formas retorcidas de la teoría K con aplicaciones en la física teórica.

En octubre de 2016, reclamó una breve prueba de la inexistencia de estructuras complejas en la 6-esfera. Su prueba, como muchos predecesores, es considerada defectuosa por la comunidad matemática, incluso después de que la prueba fue reescrita en una forma revisada.

En septiembre de 2018, en el Heidelberg Laureate Forum , reclamó una prueba simple de la hipótesis de Riemann , el octavo problema de Hilbert y uno de los problemas restantes sin resolver del Millennium Prize en matemáticas, a partir de 2021.

Bibliografía

Libros

Esta subsección enumera todos los libros escritos por Atiyah; omite algunos libros que editó.

  • Atiyah, Michael F .; Macdonald, Ian G. (1969), Introducción al álgebra conmutativa , Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ontario, MR  0242802. Un libro de texto clásico que cubre el álgebra conmutativa estándar.
  • Atiyah, Michael F. (1970), Campos vectoriales en colectores , Arbeitsgemeinschaft für Forschung des Landes Nordrhein-Westfalen, Heft 200, Colonia: Westdeutscher Verlag, MR  0263102. Reimpreso como ( Atiyah 1988b , ítem 50).
  • Atiyah, Michael F. (1974), Operadores elípticos y grupos compactos , Lecture Notes in Mathematics, Vol. 401, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , MR  0482866. Reimpreso como ( Atiyah 1988c , ítem 78).
  • Atiyah, Michael F. (1979), Geometría de los campos Yang-Mills , Scuola Normale Superiore Pisa, Pisa, MR  0554924. Reimpreso como ( Atiyah 1988e , ítem 99).
  • Atiyah, Michael F .; Hitchin, Nigel (1988), La geometría y dinámica de los monopolos magnéticos , MB Porter Lectures, Princeton University Press , doi : 10.1515 / 9781400859306 , ISBN 978-0-691-08480-0, MR  0934202. Reimpreso como ( Atiyah 2004 , tema 126).
  • Atiyah, Michael F. (1988a), Obras completas. Vol. 1 Artículos iniciales: artículos generales , Oxford Science Publications, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853275-0, MR  0951892.
  • Atiyah, Michael F. (1988b), Obras completas. Vol. 2 Teoría K , Publicaciones científicas de Oxford, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853276-7, MR  0951892.
  • Atiyah, Michael F. (1988c), Obras completas. Vol. 3 Teoría del índice: 1 , Oxford Science Publications, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853277-4, MR  0951892.
  • Atiyah, Michael F. (1988d), Obras completas. Vol. 4 Teoría del índice: 2 , Oxford Science Publications, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853278-1, MR  0951892.
  • Atiyah, Michael F. (1988e), Obras completas. Vol. 5 teorías de calibre , publicaciones científicas de Oxford, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853279-8, MR  0951892.
  • Atiyah, Michael F. (1989), teoría K , Advanced Book Classics (2a ed.), Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-09394-0, MR  1043170. Primera edición (1967) reimpresa como ( Atiyah 1988b , ítem 45).
  • Atiyah, Michael F. (1990), La geometría y física de los nudos , Lezioni Lincee. [Lincei Lectures], Cambridge University Press , doi : 10.1017 / CBO9780511623868 , ISBN 978-0-521-39521-2, MR  1078014. Reimpreso como ( Atiyah 2004 , tema 136).
  • Atiyah, Michael F. (2004), Obras completas. Vol. 6 , Publicaciones científicas de Oxford, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853099-2, MR  2160826.
  • Atiyah, Michael F. (2007), Siamo tutti matematici (italiano: todos somos matemáticos) , Roma: Di Renzo Editore, p. 96, ISBN 978-88-8323-157-5
  • Atiyah, Michael (2014), Obras completas. Vol. 7. 2002-2013 , Oxford Science Publications, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-968926-2, MR  3223085.
  • Atiyah, Michael F .; Iagolnitzer, Daniel; Chong, Chitat (2015), Fields Medalists 'Lectures (3rd Edition) , World Scientific, doi : 10.1142 / 9652 , ISBN 978-981-4696-18-0.

Artículos seleccionados

Premios y honores

Las instalaciones de la Royal Society , donde Atiyah fue presidente de 1990 a 1995

En 1966, cuando tenía treinta y siete años, recibió la Medalla Fields , por su trabajo en el desarrollo de la teoría K, un teorema generalizado del punto fijo de Lefschetz y el teorema de Atiyah-Singer, por el que también ganó el Premio Abel. junto con Isadore Singer en 2004. Entre otros premios que ha recibido están la Medalla Real de la Royal Society en 1968, la Medalla De Morgan de la London Mathematical Society en 1980, el Premio Antonio Feltrinelli de la Accademia Nazionale dei Lincei en 1981, el Premio Internacional Rey Faisal de Ciencia en 1987, la Medalla Copley de la Royal Society en 1988, la Medalla Benjamin Franklin por Logros Distinguidos en las Ciencias de la Sociedad Filosófica Americana en 1993, la Medalla del Centenario del Nacimiento Jawaharlal Nehru de la Academia Nacional de Ciencias de la India en 1993, Medalla del Presidente del Instituto de Física en 2008, la Grande Médaille de la Academia de Ciencias de Francia en 2010 y el Gran Oficial de la Légion d'honneur francesa en 2011.

Así que no creo que para las matemáticas haga mucha diferencia saber que hay diferentes tipos de grupos simples o no. Es un buen punto final intelectual, pero no creo que tenga una importancia fundamental.

Michael Atiyah, comentando sobre la clasificación de grupos simples finitos

Fue elegido miembro extranjero de la Academia Nacional de Ciencias , la Academia Estadounidense de Artes y Ciencias (1969), la Académie des Sciences , la Akademie Leopoldina , la Real Academia Sueca , la Real Academia Irlandesa , la Real Sociedad de Edimburgo , la American Philosophical Society , la Academia Nacional India de Ciencias , la Academia china de Ciencias , la Academia australiana de Ciencias , la Academia rusa de Ciencias , la Academia de Ciencias de Ucrania , la Academia de Ciencia de Georgia , la Academia Venezuela de la Ciencia , la Academia Noruega de Ciencia y Letras , Real Academia Española de Ciencias , Accademia dei Lincei y Sociedad Matemática de Moscú . En 2012, se convirtió en miembro de la American Mathematical Society . También fue nombrado miembro honorario de la Real Academia de Ingeniería en 1993.

Atiyah recibió títulos honoríficos de las universidades de Birmingham, Bonn, Chicago, Cambridge, Dublín, Durham, Edimburgo, Essex, Gante, Helsinki, Líbano, Leicester, Londres, México, Montreal, Oxford, Reading, Salamanca, St. Andrews, Sussex. , Gales, Warwick, American University of Beirut, Brown University, Charles University en Praga, Harvard University, Heriot – Watt University, Hong Kong (Universidad China), Keele University, Queen's University (Canadá), The Open University, Universidad de Waterloo , Universidad Wilfrid Laurier, Universidad Politécnica de Cataluña y UMIST.

¡Tuve que usar una especie de chaleco antibalas después de eso!

Michael Atiyah, comentando la reacción a la cita anterior.

Atiyah fue nombrado Caballero Soltero en 1983 y miembro de la Orden del Mérito en 1992.

El edificio Michael Atiyah en la Universidad de Leicester y la Cátedra Michael Atiyah en Ciencias Matemáticas en la Universidad Americana de Beirut recibieron su nombre.

Vida personal

Atiyah se casó con Lily Brown el 30 de julio de 1955, con quien tuvo tres hijos, John, David y Robin. El hijo mayor de Atiyah, John, murió el 24 de junio de 2002 durante unas vacaciones a pie en los Pirineos con su esposa Maj-Lis. Lily Atiyah murió el 13 de marzo de 2018 a la edad de 90 años.

Sir Michael Atiyah murió el 11 de enero de 2019, a los 89 años.

Referencias

Fuentes

enlaces externos

Asociaciones profesionales y académicas
Precedido por
57º presidente de la Royal Society
1990-1995
Sucesor
Precedido por
42º presidente de la Royal Society of Edinburgh
2005-2008
Sucesor
Oficinas académicas
Precedido por
35º Máster del Trinity College, Cambridge
1990-1997
Sucesor
Precedido por
Cuarto rector de la Universidad de Leicester
1995-2005
Sucesor
Premios y logros
Precedido por
Medalla Copley
1988
Sucesor