Género de una secuencia multiplicativa - Genus of a multiplicative sequence

En matemáticas , un género de una secuencia multiplicativa es un homomorfismo de anillo desde el anillo de variedades compactas suaves hasta la equivalencia de delimitar una variedad suave con límite (es decir, hasta un cobordismo adecuado ) a otro anillo, generalmente los números racionales , que tienen el propiedad de que se construyen a partir de una secuencia de polinomios en clases características que surgen como coeficientes en series formales de potencia con buenas propiedades multiplicativas.

Definición

Un género asigna un número a cada variedad X tal que ${\ Displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle \ Phi (X)}$

1. ${\ Displaystyle \ Phi (X \ sqcup Y) = \ Phi (X) + \ Phi (Y)}$ (donde está la unión disjunta); ${\ Displaystyle \ sqcup}$
2. ${\ Displaystyle \ Phi (X \ times Y) = \ Phi (X) \ Phi (Y)}$ ;
3. ${\ Displaystyle \ Phi (X) = 0}$ si X es el límite de una variedad con límite.

Es posible que se requiera que los colectores y los colectores con límite tengan una estructura adicional; por ejemplo, pueden estar orientados, girar, ser establemente complejos, etc. (ver la lista de teorías de cobordismo para ver muchos más ejemplos). El valor está en algún anillo, a menudo el anillo de números racionales, aunque pueden ser otros anillos como o el anillo de formas modulares. ${\ Displaystyle \ Phi (X)}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$

Las condiciones en se pueden reformular diciendo que es un homomorfismo de anillo del anillo de cobordismo de colectores (con estructura adicional) a otro anillo. ${\ Displaystyle \ Phi}$${\ Displaystyle \ varphi}$

Ejemplo: Si es la firma de la variedad X orientada , entonces es un género de variedades orientadas al anillo de números enteros. ${\ Displaystyle \ Phi (X)}$${\ Displaystyle \ Phi}$

El género asociado a una serie de poder formal

Una secuencia de polinomios en variables se llama multiplicativa si ${\ Displaystyle K_ {1}, K_ {2}, \ ldots}$${\ Displaystyle p_ {1}, p_ {2}, \ ldots}$

${\ Displaystyle 1 + p_ {1} z + p_ {2} z ^ {2} + \ cdots = (1 + q_ {1} z + q_ {2} z ^ {2} + \ cdots) (1 + r_ {1} z + r_ {2} z ^ {2} + \ cdots)}$

implica que

${\ Displaystyle \ sum _ {j} K_ {j} (p_ {1}, p_ {2}, \ ldots) z ^ {j} = \ sum _ {j} K_ {j} (q_ {1}, q_ {2}, \ ldots) z ^ {j} \ sum _ {k} K_ {k} (r_ {1}, r_ {2}, \ ldots) z ^ {k}}$

Si es una serie de potencias formales en z con término constante 1, podemos definir una secuencia multiplicativa ${\ Displaystyle Q (z)}$

${\ Displaystyle K = 1 + K_ {1} + K_ {2} + \ cdots}$

por

${\ Displaystyle K (p_ {1}, p_ {2}, p_ {3}, \ ldots) = Q (z_ {1}) Q (z_ {2}) Q (z_ {3}) \ cdots}$ ,

donde es la k- ésima función simétrica elemental de los indeterminados . (En la práctica, las variables a menudo serán clases Pontryagin ). ${\ Displaystyle p_ {k}}$${\ Displaystyle z_ {i}}$${\ Displaystyle p_ {k}}$

El género de variedades compactas , conectadas , lisas y orientadas correspondientes a Q viene dado por ${\ Displaystyle \ Phi}$

${\ Displaystyle \ Phi (X) = K (p_ {1}, p_ {2}, p_ {3}, \ ldots)}$

donde el son las clases de Pontryagin de X . La serie de potencias Q se denomina serie de potencias característica del género . Un teorema de René Thom , que establece que los racionales tensurados con el anillo de cobordismo es un álgebra polinomial en generadores de grado 4 k para enteros positivos k , implica que esto da una biyección entre series de potencias formales Q con coeficientes racionales y coeficiente principal 1, y géneros desde variedades orientadas a números racionales. ${\ Displaystyle p_ {k}}$${\ Displaystyle \ Phi}$

Género L

El género L es el género de la serie de poder formal

${\ Displaystyle {{\ sqrt {z}} \ over \ tanh ({\ sqrt {z}})} = \ sum _ {k \ geq 0} {\ frac {2 ^ {2k} B_ {2k} z ^ {k}} {(2k)!}} = 1+ {z \ over 3} - {z ^ {2} \ over 45} + \ cdots}$

donde los números son los números de Bernoulli . Los primeros valores son: ${\ Displaystyle B_ {2k}}$

${\ Displaystyle L_ {0} = 1}$

${\ Displaystyle L_ {1} = {\ tfrac {1} {3}} p_ {1}}$

${\ Displaystyle L_ {2} = {\ tfrac {1} {45}} (7p_ {2} -p_ {1} ^ {2})}$

${\ displaystyle L_ {3} = {\ tfrac {1} {945}} (62p_ {3} -13p_ {1} p_ {2} + 2p_ {1} ^ {3})}$

${\ displaystyle L_ {4} = {\ tfrac {1} {14175}} (381p_ {4} -71p_ {1} p_ {3} -19p_ {2} ^ {2} + 22p_ {1} ^ {2} p_ {2} -3p_ {1} ^ {4})}$

(para más L- polinomios, ver o OEIS :  A237111 ). Ahora sea M una variedad cerrada de orientación suave de dimensión 4 n con clases Pontrjagin . Friedrich Hirzebruch mostró que la L género de M en dimensión 4 n evaluados sobre la clase fundamental de , denotado , es igual a , la firma de M (es decir, la firma del formulario de intersección en la 2 n -ésimo grupo cohomology de M ): ${\ Displaystyle p_ {i} = p_ {i} (M)}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle [M]}$${\ Displaystyle \ sigma (M)}$

${\ Displaystyle \ sigma (M) = \ langle L_ {n} (p_ {1} (M), \ ldots, p_ {n} (M)), [M] \ rangle}$ .

Esto ahora se conoce como el teorema de la firma de Hirzebruch (o, a veces, el teorema del índice de Hirzebruch ).

John Milnor utilizó el hecho de que siempre es integral para un colector suave para dar un ejemplo de un colector PL de 8 dimensiones sin una estructura suave . Los números de Pontryagin también se pueden definir para las variedades PL, y Milnor demostró que su variedad PL tenía un valor no integral de , por lo que no se podía suavizar. ${\ Displaystyle L_ {2}}$${\ Displaystyle p_ {2}}$

Aplicación sobre superficies K3

Dado que las superficies proyectivas K3 son variedades complejas suaves de dimensión dos, su única clase Pontryagin no trivial está en . Se puede calcular como -48 usando la secuencia tangente y comparaciones con clases chern complejas. Desde entonces , tenemos su firma. Esto se puede usar para calcular su forma de intersección como una celosía unimodular ya que lo tiene , y usando la clasificación de celosías unimodulares. ${\ Displaystyle p_ {1}}$${\ Displaystyle H ^ {4} (X)}$${\ Displaystyle L_ {1} = - 16}$${\ Displaystyle {\ text {dim}} (H ^ {2} (X)) = 22}$

Género Todd

El género Todd es el género de la serie formal de poder.

${\ Displaystyle {\ frac {z} {1- \ exp (-z)}} = 1 + {\ frac {1} {2}} z + \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} (- 1 ) ^ {i + 1} {\ frac {B_ {2i}} {(2i)!}} z ^ {2i}}$

con como antes, números de Bernoulli. Los primeros valores son ${\ Displaystyle B_ {2k}}$

${\ Displaystyle Td_ {0} = 1}$

${\ Displaystyle Td_ {1} = {\ frac {1} {2}} c_ {1}}$

${\ Displaystyle Td_ {2} = {\ frac {1} {12}} \ left (c_ {2} + c_ {1} ^ {2} \ right)}$

${\ Displaystyle Td_ {3} = {\ frac {1} {24}} c_ {1} c_ {2}}$

${\ Displaystyle Td_ {4} = {\ frac {1} {720}} \ left (-c_ {1} ^ {4} + 4c_ {2} c_ {1} ^ {2} + 3c_ {2} ^ { 2} + c_ {3} c_ {1} -c_ {4} \ right)}$

El género Todd tiene la propiedad particular de que asigna el valor 1 a todos los espacios proyectivos complejos (es decir ), y esto es suficiente para mostrar que el género Todd concuerda con el género aritmético para las variedades algebraicas ya que el género aritmético también es 1 para los espacios proyectivos complejos. . Esta observación es una consecuencia del teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch y, de hecho, es uno de los desarrollos clave que llevaron a la formulación de ese teorema. ${\ Displaystyle \ mathrm {Td} _ {n} (\ mathbb {CP} ^ {n}) = 1}$

 género

El género  es el género asociado a la serie de potencia característica.

${\ Displaystyle Q (z) = {{\ sqrt {z}} / 2 \ over \ sinh ({\ sqrt {z}} / 2)} = 1 - {\ frac {z} {24}} + {\ frac {7z ^ {2}} {5760}} - \ cdots}$

(También hay un género  que se utiliza con menos frecuencia, asociado a la serie característica ). Los primeros valores son ${\ Displaystyle Q (16z)}$

${\ displaystyle {\ hat {A}} _ {0} = 1}$

${\ Displaystyle {\ hat {A}} _ {1} = - {\ tfrac {1} {24}} p_ {1}}$

${\ Displaystyle {\ hat {A}} _ {2} = {\ tfrac {1} {5760}} (- 4p_ {2} + 7p_ {1} ^ {2})}$

${\ displaystyle {\ hat {A}} _ {3} = {\ tfrac {1} {967680}} (- 16p_ {3} + 44p_ {2} p_ {1} -31p_ {1} ^ {3}) }$

${\ displaystyle {\ hat {A}} _ {4} = {\ tfrac {1} {464486400}} (- 192p_ {4} + 512p_ {3} p_ {1} + 208p_ {2} ^ {2} - 904p_ {2} p_ {1} ^ {2} + 381p_ {1} ^ {4})}$

El género  de una variedad de espín es un número entero, y un número entero par si la dimensión es 4 mod 8 (que en la dimensión 4 implica el teorema de Rochlin ); para las variedades generales, el género  no siempre es un número entero. Esto fue probado por Hirzebruch y Armand Borel ; este resultado motivó y luego fue explicado por el teorema del índice de Atiyah-Singer , que mostró que el género  de una variedad de espín es igual al índice de su operador de Dirac .

Al combinar este resultado de índice con una fórmula de Weitzenbock para Dirac Laplacian, André Lichnerowicz dedujo que si una variedad de espín compacta admite una métrica con curvatura escalar positiva, su género  debe desaparecer. Esto solo da una obstrucción a la curvatura escalar positiva cuando la dimensión es un múltiplo de 4, pero Nigel Hitchin descubrió más tarde una obstrucción con valor análogo en las dimensiones 1 o 2 mod 8. Estos resultados son esencialmente nítidos. De hecho, Mikhail Gromov , H. Blaine Lawson y Stephan Stolz demostraron más tarde que el género  y el análogo valorado por Hitchin son los únicos obstáculos a la existencia de métricas de curvatura escalar positiva en variedades de espín simplemente conectadas de dimensión mayor o igual que a 5. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$

Género elíptico

Un género se llama género elíptico si la serie de potencias satisface la condición ${\ Displaystyle Q (z) = z / f (z)}$

${\ Displaystyle {f '} ^ {2} = 1-2 \ delta f ^ {2} + \ epsilon f ^ {4}}$

para constantes y . (Como de costumbre, Q es la serie de potencia característica del género). ${\ Displaystyle \ delta}$${\ Displaystyle \ epsilon}$

Una expresión explícita para f ( z ) es

${\ Displaystyle f (z) = {\ frac {{\ rm {sn}} \ left (az, {\ frac {\ sqrt {\ epsilon}} {{a} ^ {2}}} \ right)} { un}}}$

dónde

${\ Displaystyle a = {\ sqrt {\ delta + {\ sqrt {{\ delta} ^ {2} - \ epsilon}}}}}$

y sn es la función elíptica de Jacobi.

Ejemplos:

• ${\ Displaystyle \ delta = \ epsilon = 1, f (z) = \ tanh (z)}$ . Este es el género L.
• ${\ Displaystyle \ delta = -1 / 8, \ epsilon = 0, f (z) = 2 \ sinh (z / 2)}$ . Este es el género Â.
• ${\ Displaystyle \ epsilon = \ delta ^ {2}, f (z) = {\ frac {\ tanh ({\ sqrt {\ delta}} z)} {\ sqrt {\ delta}}}}$ . Esta es una generalización del género L.

Los primeros valores de tales géneros son:

${\ Displaystyle {\ frac {1} {3}} \ delta p_ {1}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {90}} \ left [\ left (-4 \ delta ^ {2} +18 \ epsilon \ right) p_ {2} + \ left (7 \ delta ^ {2} - 9 \ epsilon \ right) p_ {1} ^ {2} \ right]}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {1890}} \ left [\ left (16 \ delta ^ {3} +108 \ delta \ epsilon \ right) p_ {3} + \ left (-44 \ delta ^ {3) } +18 \ delta \ epsilon \ right) p_ {2} p_ {1} + \ left (31 \ delta ^ {3} -27 \ delta \ epsilon \ right) p_ {1} ^ {3} \ right]}$

Ejemplo (género elíptico para plano proyectivo cuaterniónico):

${\ Displaystyle \ Phi _ {ell} (HP ^ {2}) = \ int _ {HP ^ {2}} {\ tfrac {1} {90}} {\ big [} (- 4 \ delta ^ {2 } +18 \ epsilon) p_ {2} + (7 \ delta ^ {2} -9 \ epsilon) p_ {1} ^ {2} {\ big]}}$

${\ Displaystyle \ Phi _ {ell} (HP ^ {2}) = \ int _ {HP ^ {2}} {\ tfrac {1} {90}} {\ big [} (- 4 \ delta ^ {2 } +18 \ epsilon) (7u ^ {2}) + (7 \ delta ^ {2} -9 \ epsilon) (2u) ^ {2} {\ big]}}$

${\ Displaystyle \ Phi _ {ell} (HP ^ {2}) = \ int _ {HP ^ {2}} [u ^ {2} \ epsilon]}$

${\ Displaystyle \ Phi _ {ell} (HP ^ {2}) = \ epsilon \ int _ {HP ^ {2}} [u ^ {2}]}$

${\ Displaystyle \ Phi _ {ell} (HP ^ {2}) = \ epsilon * 1 = \ epsilon}$

Ejemplo (género elíptico para plano proyectivo octoniónico (plano de Cayley)):

${\ Displaystyle \ Phi _ {ell} (OP ^ {2}) = \ int _ {OP ^ {2}} {\ tfrac {1} {113400}} \ left [(- 192 \ delta ^ {4} + 1728 \ delta ^ {2} \ epsilon +1512 \ epsilon ^ {2}) p_ {4} + (208 \ delta ^ {4} -1872 \ delta ^ {2} \ epsilon +1512 \ epsilon ^ {2}) p_ {2} ^ {2} \ right]}$

${\ Displaystyle \ Phi _ {ell} (OP ^ {2}) = \ int _ {OP ^ {2}} {\ tfrac {1} {113400}} {\ big [} (- 192 \ delta ^ {4 } +1728 \ delta ^ {2} \ epsilon +1512 \ epsilon ^ {2}) (39u ^ {2}) + (208 \ delta ^ {4} -1872 \ delta ^ {2} \ epsilon +1512 \ epsilon ^ {2}) (6u) ^ {2} {\ big]}}$

${\ Displaystyle \ Phi _ {ell} (OP ^ {2}) = \ int _ {OP ^ {2}} {\ big [} \ epsilon ^ {2} u ^ {2} {\ big]}}$

${\ Displaystyle \ Phi _ {ell} (OP ^ {2}) = \ epsilon ^ {2} \ int _ {OP ^ {2}} {\ big [} u ^ {2} {\ big]}}$

${\ Displaystyle \ Phi _ {ell} (OP ^ {2}) = \ epsilon ^ {2} * 1 = \ epsilon ^ {2}}$

${\ Displaystyle \ Phi _ {ell} (OP ^ {2}) = \ Phi _ {ell} (HP ^ {2}) ^ {2}}$

Género Witten

El género Witten es el género asociado a la serie de potencia característica.

${\ Displaystyle Q (z) = {\ frac {z} {\ sigma _ {L} (z)}} = \ exp \ left (\ sum _ {k \ geq 2} {2G_ {2k} (\ tau) z ^ {2k} \ over (2k)!} \ right)}$

donde σ _L es la función sigma de Weierstrass para la red L , y G es un múltiplo de una serie de Eisenstein .

El género Witten de un colector de giro suave orientado compacto de 4 k dimensiones con la primera clase Pontryagin que desaparece es una forma modular de peso 2 k , con coeficientes de Fourier integrales.

Ver también

• Teorema del índice de Atiyah-Singer
• Lista de teorías de cohomología

Notas

Referencias

• Friedrich Hirzebruch Topological Methods in Algebraic Geometry ISBN   3-540-58663-6 Texto de la versión original en alemán: http://hirzebruch.mpim-bonn.mpg.de/120/6/NeueTopologischeMethoden_2.Aufl.pdf
• Friedrich Hirzebruch, Thomas Berger, Rainer Jung Manifolds and Modular Forms ISBN   3-528-06414-5
• Milnor, Stasheff, clases de características , ISBN   0-691-08122-0
• AF Kharshiladze (2001) [1994], "Clase Pontryagin" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• "Géneros elípticos" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]