Multivector - Multivector

En álgebra multilineal , un multivector , a veces llamado número Clifford , es un elemento del álgebra exterior Λ ( V ) de un espacio vectorial V . Esta álgebra es graduada , asociativa y alterna , y consta de combinaciones lineales de k -vectores simples (también conocidos como k -vectores descomponibles o k- blades ) de la forma

${\ Displaystyle v_ {1} \ wedge \ cdots \ wedge v_ {k},}$

donde están en V . ${\ Displaystyle v_ {1}, \ ldots, v_ {k}}$

Un k -vector es una combinación lineal que es homogénea de grado k (todos los términos son k- hojas para el mismo k ). Dependiendo de los autores, un "multivector" puede ser un k- vector o cualquier elemento del álgebra exterior (cualquier combinación lineal de k- hojas con valores potencialmente diferentes de k ).

En geometría diferencial , un vector k es un vector en el álgebra exterior del espacio vectorial tangente ; es decir, es un tensor antisimétrico obtenido tomando combinaciones lineales del producto exterior de k vectores tangentes , para algún entero k ≥ 0 . Una forma k diferencial es un vector k en el álgebra exterior del dual del espacio tangente, que también es el dual del álgebra exterior del espacio tangente.

Para k = 0, 1, 2 y 3 , los k -vectores a menudo se denominan respectivamente escalares , vectores , bivectores y trivectores ; son respectivamente duales a formas 0, formas 1, formas 2 y formas 3 .

Producto exterior

El producto exterior (también llamado producto de cuña) que se utiliza para construir multivectores es multilineal (lineal en cada entrada), asociativo y alterno. Esto significa que para los vectores u , v y w en un espacio vectorial V y para los escalares α , β , el producto exterior tiene las propiedades:

• Lineal en una entrada: ${\ Displaystyle \ mathbf {u} \ wedge (\ alpha \ mathbf {v} + \ beta \ mathbf {w}) = \ alpha \ mathbf {u} \ wedge \ mathbf {v} + \ beta \ mathbf {u} \ cuña \ mathbf {w};}$
• De asociación: ${\ Displaystyle (\ mathbf {u} \ wedge \ mathbf {v}) \ wedge \ mathbf {w} = \ mathbf {u} \ wedge (\ mathbf {v} \ wedge \ mathbf {w});}$
• Alterno: ${\ Displaystyle \ mathbf {u} \ wedge \ mathbf {u} = 0.}$

El producto exterior de k vectores o una suma de tales productos (para un solo k ) se llama multivector de grado k , o k -vector. El grado máximo de un multivector es la dimensión del espacio vectorial V .

La linealidad en cualquiera de las entradas junto con la propiedad alterna implica linealidad en la otra entrada. El multilinealidad del producto exterior permite un multivector a ser expresada como una combinación lineal de productos de exterior de vectores de la base de V . El producto exterior de k vectores base de V es la forma estándar de construir cada elemento base para el espacio de k -vectores, que tiene dimensión (ⁿ
_k) en el álgebra exterior de unespacio vectorial n- dimensional.

Área y volumen

El k -vector obtenido del producto exterior de k vectores separados en un espacio n -dimensional tiene componentes que definen los ( k - 1) -volúmenes proyectados del k - paralelootopo generado por los vectores. La raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de estos componentes define el volumen del k -parallelotopo.

Los siguientes ejemplos muestran que un bivector en dos dimensiones mide el área de un paralelogramo, y la magnitud de un bivector en tres dimensiones también mide el área de un paralelogramo. De manera similar, un tres-vector en tres dimensiones mide el volumen de un paralelepípedo.

Es fácil comprobar que la magnitud de un tres-vector en cuatro dimensiones mide el volumen del paralelepípedo atravesado por estos vectores.

Multivectores en R ²

Las propiedades de los multivectores se pueden ver considerando el espacio vectorial bidimensional V = R ² . Dejar que los vectores de la base sean e ₁ y e ₂ , por lo que u y v están dadas por

${\ Displaystyle \ mathbf {u} = u_ {1} \ mathbf {e} _ {1} + u_ {2} \ mathbf {e} _ {2}, \ quad \ mathbf {v} = v_ {1} \ mathbf {e} _ {1} + v_ {2} \ mathbf {e} _ {2},}$

y el multivector u ∧ v , también llamado bivector, se calcula para ser

${\ Displaystyle \ mathbf {u} \ wedge \ mathbf {v} \ = \ {\ begin {vmatrix} u_ {1} & v_ {1} \\ u_ {2} & v_ {2} \ end {vmatrix}} \ ( \ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {2}).}$

Las barras verticales denotan el determinante de la matriz, que es el área del paralelogramo generado por los vectores u y v . La magnitud de u ∧ v es el área de este paralelogramo. Tenga en cuenta que debido a V tiene dimensión dos la base bivector e ₁ ∧ e ₂ es la única multivector en Λ V .

La relación entre la magnitud de un multivector y el área o volumen abarcado por los vectores es una característica importante en todas las dimensiones. Además, la versión funcional lineal de un multivector que calcula este volumen se conoce como forma diferencial.

Multivectores en R ³

Se pueden ver más características de multivectores considerando el espacio vectorial tridimensional V = R ³ . En este caso, dejar que los vectores de la base sean e ₁ , e ₂ , y e ₃ , por lo que u , v y w están dadas por

${\ Displaystyle \ mathbf {u} = u_ {1} \ mathbf {e} _ {1} + u_ {2} \ mathbf {e} _ {2} + u_ {3} \ mathbf {e} _ {3} , \ quad \ mathbf {v} = v_ {1} \ mathbf {e} _ {1} + v_ {2} \ mathbf {e} _ {2} + v_ {3} \ mathbf {e} _ {3} , \ quad \ mathbf {w} = w_ {1} \ mathbf {e} _ {1} + w_ {2} \ mathbf {e} _ {2} + w_ {3} \ mathbf {e} _ {3} ,}$

y el bivector u ∧ v se calcula como

${\ Displaystyle \ mathbf {u} \ wedge \ mathbf {v} \ = \ {\ begin {vmatrix} u_ {2} & v_ {2} \\ u_ {3} & v_ {3} \ end {vmatrix}} \ ( \ mathbf {e} _ {2} \ wedge \ mathbf {e} _ {3}) + {\ begin {vmatrix} u_ {1} & v_ {1} \\ u_ {3} & v_ {3} \ end {vmatrix }} \ (\ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {3}) + {\ begin {vmatrix} u_ {1} & v_ {1} \\ u_ {2} & v_ {2} \ end {vmatrix}} \ (\ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {2}).}$

Los componentes de este bivector son los mismos que los componentes del producto cruzado. La magnitud de este bivector es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes.

Esto muestra que la magnitud de la bivector u ∧ v es el área del paralelogramo abarcado por los vectores u y v tal como se encuentra en el espacio tridimensional V . Los componentes del bivector son las áreas proyectadas del paralelogramo en cada uno de los tres planos de coordenadas.

Tenga en cuenta que debido a V tiene dimensión tres, hay una base de tres vector en Λ V . Calcule el tres-vector

${\ Displaystyle \ mathbf {u} \ wedge \ mathbf {v} \ wedge \ mathbf {w} \ = \ {\ begin {vmatrix} u_ {1} & v_ {1} & w_ {1} \\ u_ {2} & v_ {2} & w_ {2} \\ u_ {3} & v_ {3} & w_ {3} \ end {vmatrix}} \ (\ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {2} \ cuña \ mathbf {e} _ {3}).}$

Esto muestra que la magnitud de los tres vectores u ∧ v ∧ w es el volumen del paralelepípedo generado por los tres vectores u , v y w .

En espacios de dimensiones superiores, los tres vectores componentes son proyecciones del volumen de un paralelepípedo sobre los tres espacios de coordenadas, y la magnitud del trivector es el volumen del paralelepípedo que se encuentra en el espacio de dimensiones superiores.

Coordenadas de Grassmann

En esta sección, consideramos multivectores en un espacio proyectivo P ⁿ , que proporcionan un conjunto conveniente de coordenadas para líneas, planos e hiperplanos que tienen propiedades similares a las coordenadas homogéneas de puntos, llamadas coordenadas de Grassmann .

Los puntos en un espacio proyectivo real P ⁿ se definen como líneas que atraviesan el origen del espacio vectorial R ^{n +1} . Por ejemplo, el plano proyectivo P ² es el conjunto de líneas que pasan por el origen de R ³ . Por tanto, los multivectores definidos en R ^{n +1} pueden verse como multivectores en P ⁿ .

Una forma conveniente de ver un multivector en P ⁿ es examinarlo en un componente afín de P ⁿ , que es la intersección de las líneas a través del origen de R ^{n +1} con un hiperplano seleccionado, como H: x _{n +1} = 1 . Las líneas que pasan por el origen de R ³ intersecan el plano E: z = 1 para definir una versión afín del plano proyectivo que solo carece de los puntos para los cuales z = 0 , llamados puntos en el infinito.

Multivectores en P ²

Los puntos en el componente afín E: z = 1 del plano proyectivo tienen coordenadas x = ( x , y , 1) . Una combinación lineal de dos puntos p = ( p ₁ , p ₂ , 1) y q = ( q ₁ , q ₂ , 1) define un plano en R ³ que interseca a E en la línea que une p y q . El multivector p ∧ q define un paralelogramo en R ³ dado por

${\ Displaystyle \ mathbf {p} \ wedge \ mathbf {q} \ = \ (p_ {2} -q_ {2}) (\ mathbf {e} _ {2} \ wedge \ mathbf {e} _ {3} ) + (p_ {1} -q_ {1}) (\ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {3}) + (p_ {1} q_ {2} -q_ {1} p_ {2}) (\ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {2}).}$

Nótese que la sustitución de α p + β q para p se multiplica este multivector por una constante. Por tanto, las componentes de p ∧ q son coordenadas homogéneas para el plano que pasa por el origen de R ³ .

El conjunto de puntos x = ( x , y , 1) en la línea a través de p y q es la intersección del plano definido por p ∧ q con el plano E: Z = 1 . Estos puntos satisfacen x ∧ p ∧ q = 0 , es decir,

${\ Displaystyle \ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {p} \ wedge \ mathbf {q} \ = \ (x \ mathbf {e} _ {1} + y \ mathbf {e} _ {2} + \ mathbf {e} _ {3}) \ wedge {\ big (} (p_ {2} -q_ {2}) (\ mathbf {e} _ {2} \ wedge \ mathbf {e} _ {3}) + ( p_ {1} -q_ {1}) (\ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {3}) + (p_ {1} q_ {2} -q_ {1} p_ {2 }) (\ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {2}) {\ big)} = 0,}$

que se simplifica a la ecuación de una línea

${\ Displaystyle \ lambda: x (p_ {2} -q_ {2}) + y (p_ {1} -q_ {1}) + (p_ {1} q_ {2} -q_ {1} p_ {2} ) = 0.}$

Esta ecuación se satisface con los puntos x = α p + β q para valores reales de α y β.

Los tres componentes de p ∧ q que definen la línea λ se denominan coordenadas de Grassmann de la línea. Debido a que tres coordenadas homogéneas definen tanto un punto como una línea, se dice que la geometría de los puntos es dual con la geometría de las líneas en el plano proyectivo. A esto se le llama el principio de dualidad .

Multivectores en P ³

Espacio proyectivo tridimensional, P ³ consta de todas las líneas que pasan por el origen de R ⁴ . Sea el hiperplano tridimensional, H: w = 1 , el componente afín del espacio proyectivo definido por los puntos x = ( x , y , z , 1) . El multivector p ∧ q ∧ r define un paralelepípedo en R ⁴ dado por

${\ Displaystyle \ mathbf {p} \ wedge \ mathbf {q} \ wedge \ mathbf {r} = {\ begin {vmatrix} p_ {2} & q_ {2} & r_ {2} \\ p_ {3} & q_ {3 } & r_ {3} \\ 1 & 1 & 1 \ end {vmatrix}} \ mathbf {e} _ {2} \ wedge \ mathbf {e} _ {3} \ wedge \ mathbf {e} _ {4} + {\ begin { vmatrix} p_ {1} & q_ {1} & r_ {1} \\ p_ {3} & q_ {3} & r_ {3} \\ 1 & 1 & 1 \ end {vmatrix}} \ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {3} \ wedge \ mathbf {e} _ {4} + {\ begin {vmatrix} p_ {1} & q_ {1} & r_ {1} \\ p_ {2} & q_ {2} & r_ {2 } \\ 1 & 1 & 1 \ end {vmatrix}} \ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {2} \ wedge \ mathbf {e} _ {4} + {\ begin {vmatrix} p_ { 1} & q_ {1} & r_ {1} \\ p_ {2} & q_ {2} & r_ {2} \\ p_ {3} & q_ {3} & r_ {3} \ end {vmatrix}} \ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {2} \ wedge \ mathbf {e} _ {3}.}$

Observe que la sustitución de α p + β q + γ r por p multiplica este multivector por una constante. Por lo tanto, las componentes de p ∧ q ∧ r son coordenadas homogéneas para el espacio tridimensional a través del origen de R ⁴ .

Un plano en el componente afín H: w = 1 es el conjunto de puntos x = ( x , y , z , 1) en la intersección de H con el espacio tridimensional definido por p ∧ q ∧ r . Estos puntos satisfacen x ∧ p ∧ q ∧ r = 0 , es decir,

${\ Displaystyle \ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {p} \ wedge \ mathbf {q} \ wedge \ mathbf {r} = (x \ mathbf {e} _ {1} + y \ mathbf {e} _ { 2} + z \ mathbf {e} _ {3} + \ mathbf {e} _ {4}) \ wedge \ mathbf {p} \ wedge \ mathbf {q} \ wedge \ mathbf {r} = 0,}$

que se simplifica a la ecuación de un plano

${\ Displaystyle \ lambda: x {\ begin {vmatrix} p_ {2} & q_ {2} & r_ {2} \\ p_ {3} & q_ {3} & r_ {3} \\ 1 & 1 & 1 \ end {vmatrix}} + y {\ begin {vmatrix} p_ {1} & q_ {1} & r_ {1} \\ p_ {3} & q_ {3} & r_ {3} \\ 1 & 1 & 1 \ end {vmatrix}} + z {\ begin {vmatrix} p_ {1} & q_ {1} & r_ {1} \\ p_ {2} & q_ {2} & r_ {2} \\ 1 & 1 & 1 \ end {vmatrix}} + {\ begin {vmatrix} p_ {1} & q_ {1} & r_ {1} \\ p_ {2} & q_ {2} & r_ {2} \\ p_ {3} & q_ {3} & r_ {3} \ end {vmatrix}} = 0.}$

Esta ecuación se satisface con los puntos x = α p + β q + γ r para valores reales de α , β y γ .

Los cuatro componentes de p ∧ q ∧ r que definen el plano λ se denominan coordenadas de Grassmann del plano. Debido a que cuatro coordenadas homogéneas definen tanto un punto como un plano en el espacio proyectivo, la geometría de los puntos es dual a la geometría de los planos.

Una línea como la unión de dos puntos: En el espacio proyectivo la línea λ a través de dos puntos p y q puede ser vista como la intersección de la espacio afín H: w = 1 con el plano x = α p + β q en R ⁴ . El multivector p ∧ q proporciona coordenadas homogéneas para la línea

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ lambda: \ mathbf {p} \ wedge \ mathbf {q} & = (p_ {1} \ mathbf {e} _ {1} + p_ {2} \ mathbf {e} _ {2} + p_ {3} \ mathbf {e} _ {3} + \ mathbf {e} _ {4}) \ wedge (q_ {1} \ mathbf {e} _ {1} + q_ {2} \ mathbf {e} _ {2} + q_ {3} \ mathbf {e} _ {3} + \ mathbf {e} _ {4}), \\ & = {\ begin {vmatrix} p_ {1} & q_ {1} \\ 1 & 1 \ end {vmatrix}} \ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {4} + {\ begin {vmatrix} p_ {2} & q_ {2} \\ 1 & 1 \ end {vmatrix}} \ mathbf {e} _ {2} \ wedge \ mathbf {e} _ {4} + {\ begin {vmatrix} p_ {3} & q_ {3} \\ 1 & 1 \ end {vmatrix}} \ mathbf {e} _ {3} \ wedge \ mathbf {e} _ {4} + {\ begin {vmatrix} p_ {2} & q_ {2} \\ p_ {3} & q_ {3} \ end {vmatrix} } \ mathbf {e} _ {2} \ wedge \ mathbf {e} _ {3} + {\ begin {vmatrix} p_ {3} & q_ {3} \\ p_ {1} & q_ {1} \ end {vmatrix }} \ mathbf {e} _ {3} \ wedge \ mathbf {e} _ {1} + {\ begin {vmatrix} p_ {1} & q_ {1} \\ p_ {2} & q_ {2} \ end { vmatrix}} \ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {2}. \ end {alineado}}}$

Se conocen como las coordenadas de Plücker de la línea, aunque también son un ejemplo de coordenadas de Grassmann.

Una línea como la intersección de dos planos: Una línea μ en el espacio proyectivo también se puede definir como el conjunto de puntos x que forman la intersección de dos planos π y ρ definidos por multivectores de grado tres, por lo que los puntos x son las soluciones a la ecuaciones lineales

${\ Displaystyle \ mu: \ mathbf {x} \ wedge \ pi = 0, \ mathbf {x} \ wedge \ rho = 0.}$

Para obtener las coordenadas de Plucker de la línea μ , mapee los multivectores π y ρ a sus coordenadas de punto dual usando el operador de estrella de Hodge ,

${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {1} = {\ star} (\ mathbf {e} _ {2} \ wedge \ mathbf {e} _ {3} \ wedge \ mathbf {e} _ {4}) , - \ mathbf {e} _ {2} = {\ star} (\ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {3} \ wedge \ mathbf {e} _ {4}), \ mathbf {e} _ {3} = {\ star} (\ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {2} \ wedge \ mathbf {e} _ {4}), - \ mathbf {e} _ {4} = {\ estrella} (\ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {2} \ wedge \ mathbf {e} _ {3}),}$

luego

${\ Displaystyle {\ estrella} \ pi = \ pi _ {1} \ mathbf {e} _ {1} + \ pi _ {2} \ mathbf {e} _ {2} + \ pi _ {3} \ mathbf {e} _ {3} + \ pi _ {4} \ mathbf {e} _ {4}, \ quad {\ star} \ rho = \ rho _ {1} \ mathbf {e} _ {1} + \ rho _ {2} \ mathbf {e} _ {2} + \ rho _ {3} \ mathbf {e} _ {3} + \ rho _ {4} \ mathbf {e} _ {4}.}$

Entonces, las coordenadas de Plücker de la línea μ están dadas por

${\ Displaystyle \ mu: ({\ star} \ pi) \ wedge ({\ star} \ rho) = {\ begin {vmatrix} \ pi _ {1} & \ rho _ {1} \\\ pi _ { 4} & \ rho _ {4} \ end {vmatrix}} \ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {4} + {\ begin {vmatrix} \ pi _ {2} & \ rho _ {2} \\\ pi _ {4} & \ rho _ {4} \ end {vmatrix}} \ mathbf {e} _ {2} \ wedge \ mathbf {e} _ {4} + {\ begin {vmatrix} \ pi _ {3} & \ rho _ {3} \\\ pi _ {4} & \ rho _ {4} \ end {vmatrix}} \ mathbf {e} _ {3} \ wedge \ mathbf {e} _ {4} + {\ begin {vmatrix} \ pi _ {2} & \ rho _ {2} \\\ pi _ {3} & \ rho _ {3} \ end {vmatrix}} \ mathbf {e} _ {2} \ wedge \ mathbf {e} _ {3} + {\ begin {vmatrix} \ pi _ {3} & \ rho _ {3} \\\ pi _ {1} & \ rho _ {1} \ end {vmatrix}} \ mathbf {e} _ {3} \ wedge \ mathbf {e} _ {1} + {\ begin {vmatrix} \ pi _ {1} & \ rho _ {1} \ \\ pi _ {2} & \ rho _ {2} \ end {vmatrix}} \ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {2}.}$

Debido a que las seis coordenadas homogéneas de una línea se pueden obtener de la unión de dos puntos o de la intersección de dos planos, se dice que la línea es auto-dual en el espacio proyectivo.

Producto de Clifford

WK Clifford combinó multivectores con el producto interno definido en el espacio vectorial, con el fin de obtener una construcción general para números hipercomplejos que incluye los números complejos habituales y los cuaterniones de Hamilton .

El producto Clifford entre dos vectores u y v es bilineal y asociativa como el producto exterior, y tiene la propiedad adicional de que el multivector uv está acoplado al producto interno u ⋅ v por relación de Clifford,

${\ Displaystyle \ mathbf {u} \ mathbf {v} + \ mathbf {v} \ mathbf {u} = 2 \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v}.}$

La relación de Clifford conserva la propiedad anticonmutación para los vectores que son perpendiculares. Esto se puede ver en los vectores unitarios mutuamente ortogonales e _i , i = 1, ..., n en R ⁿ : la relación de Clifford produce

${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {i} \ mathbf {e} _ {j} + \ mathbf {e} _ {j} \ mathbf {e} _ {i} = 2 \ mathbf {e} _ {i } \ cdot \ mathbf {e} _ {j} = \ delta _ {i, j},}$

lo que muestra que los vectores base se anticonmutan mutuamente,

${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {i} \ mathbf {e} _ {j} = - \ mathbf {e} _ {j} \ mathbf {e} _ {i}, \ quad i \ neq j = 1 , \ ldots, n.}$

En contraste con el producto exterior, el producto de Clifford de un vector consigo mismo no es cero. Para ver esto, calcule el producto

${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {i} \ mathbf {e} _ {i} + \ mathbf {e} _ {i} \ mathbf {e} _ {i} = 2 \ mathbf {e} _ {i } \ cdot \ mathbf {e} _ {i} = 2,}$

cuyos rendimientos

${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {i} \ mathbf {e} _ {i} = 1, \ quad i = 1, \ ldots, n.}$

El conjunto de multivectores construidos utilizando el producto de Clifford produce un álgebra asociativa conocida como álgebra de Clifford . Se pueden usar productos internos con diferentes propiedades para construir diferentes álgebras de Clifford.

Álgebra geométrica

El término k-blade se utilizó en Clifford Algebra to Geometric Calculus (1984)

Los multivectores juegan un papel central en la formulación matemática de la física conocida como álgebra geométrica. Según David Hestenes ,

Los vectores k [no escalares] a veces se denominan k-blades o simplemente blades , para enfatizar el hecho de que, en contraste con los vectores 0 (escalares), tienen "propiedades direccionales".

En 2003, C. Doran y A. Lasenby utilizaron el término hoja para un multivector que puede escribirse como el producto exterior de [un escalar y] un conjunto de vectores. Aquí, mediante la declaración "Cualquier multivector puede expresarse como la suma de hojas", los escalares se definen implícitamente como 0 hojas.

En álgebra geométrica , un multivector se define como la suma de k- blades de diferentes grados , como la suma de un escalar , un vector y un 2-vector. Una suma de solo componentes de grado k se denomina vector k , o multivector homogéneo .

El elemento de mayor grado en un espacio se llama pseudoescalar .

Si un elemento dado es homogéneo de un grado k , entonces es un k -vector, pero no necesariamente una k- hoja. Tal elemento es una k- cuchilla cuando se puede expresar como el producto exterior de k vectores. Un álgebra geométrica generada por un espacio vectorial de 4 dimensiones ilustra el punto con un ejemplo: la suma de dos hojas cualesquiera con una tomada del plano XY y la otra tomada del plano ZW formará un 2-vector que no es una de 2 palas. En un álgebra geométrica generada por un espacio vectorial de dimensión 2 o 3, todas las sumas de 2 hojas se pueden escribir como una sola 2 hojas.

Ejemplos de

Orientación definida por un conjunto ordenado de vectores.

La orientación invertida corresponde a negar el producto exterior.

Interpretación geométrica de elementos de grado n en un álgebra exterior real para n = 0 (punto con signo), 1 (segmento de línea dirigido o vector), 2 (elemento plano orientado), 3 (volumen orientado). El producto exterior de n vectores se puede visualizar como cualquier forma n- dimensional (p. Ej. N - paralelootopo , n - elipsoide ); con magnitud ( hipervolumen ), y orientación definida por eso en su límite ( n - 1) -dimensional y en qué lado está el interior.

• Los vectores 0 son escalares;
• 1-los vectores son vectores;
• Los 2 vectores son bivectores ;
• ( n - 1) -vectores son pseudovectores ;
• n -vectores son pseudoescalares .

En presencia de una forma de volumen (como dado un producto interno y una orientación), los pseudovectores y pseudoescalares se pueden identificar con vectores y escalares, lo cual es rutinario en el cálculo vectorial , pero sin una forma de volumen esto no se puede hacer sin hacer un cálculo arbitrario. elección.

En el álgebra del espacio físico (el álgebra geométrica del 3-espacio euclidiano, usado como modelo de (3 + 1) -espacio-tiempo), la suma de un escalar y un vector se llama paravector , y representa un punto en el espacio-tiempo ( el vector el espacio, el escalar el tiempo).

Bivectores

Un bivector es un elemento del tensor antisimétrico producto de un espacio tangente consigo mismo.

En álgebra geométrica , también, un bivector es un elemento de grado 2 (un 2-vector) que resulta del producto de cuña de dos vectores, por lo que es geométricamente un área orientada , de la misma manera que un vector es un segmento de línea orientado. Si a y b son dos vectores, el bivector a ∧ b tiene

• una norma que es su área, dada por

  ${\ Displaystyle \ left \ | \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b} \ right \ | = \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \, \ left \ | \ mathbf {b} \ right \ | \, \ sin (\ phi _ {a, b})}$

• una dirección: el plano en el que este área se encuentra en, es decir, el plano determinado por un y b , siempre que son linealmente independientes;
• una orientación (de dos), determinada por el orden en que se multiplican los vectores de origen.

Los bivectores están conectados a pseudovectores y se utilizan para representar rotaciones en álgebra geométrica.

Como los bivectores son elementos de un espacio vectorial Λ ² V (donde V es un espacio vectorial de dimensión finita con dim V = n ), tiene sentido definir un producto interno en este espacio vectorial de la siguiente manera. Primero, escriba cualquier elemento F ∈ Λ ² V en términos de una base ( e _i ∧ e _j ) _{1 ≤ i < j ≤ n} de Λ ² V como

${\ Displaystyle F = F ^ {ab} \ mathbf {e} _ {a} \ wedge \ mathbf {e} _ {b} \ quad (1 \ leq a <b \ leq n),}$

donde se utiliza la convención de suma de Einstein .

Ahora defina un mapa G: Λ ² V × Λ ² V → R insistiendo en que

${\ Displaystyle G (F, H): = G_ {abcd} F ^ {ab} H ^ {cd},}$

donde hay un conjunto de números. ${\ Displaystyle G_ {abcd}}$

Aplicaciones

Los bivectores juegan muchos papeles importantes en la física, por ejemplo, en la clasificación de campos electromagnéticos .

Ver también

• Hoja (geometría)
• Paravector

Referencias