Pseudoescalar - Pseudoscalar

En álgebra lineal , un pseudoescalar es una cantidad que se comporta como un escalar , excepto que cambia de signo bajo una inversión de paridad, mientras que un escalar verdadero no lo hace.

Cualquier producto escalar entre un pseudovector y un vector ordinario es un pseudoescalar. El ejemplo prototípico de un pseudoescalar es el producto triple escalar , que se puede escribir como el producto escalar entre uno de los vectores en el producto triple y el producto cruzado entre los otros dos vectores, donde este último es un pseudovector. Un pseudoescalar, cuando se multiplica por un vector ordinario , se convierte en un pseudovector (vector axial) ; una construcción similar crea el pseudotensor .

Matemáticamente, un pseudoescalar es un elemento de la máxima potencia exterior de un espacio vectorial , o la máxima potencia de un álgebra de Clifford ; ver pseudoescalar (álgebra de Clifford) . De manera más general, es un elemento del paquete canónico de una variedad diferenciable .

En física

En física , un pseudoescalar denota una cantidad física análoga a un escalar . Ambas son cantidades físicas que asumen un valor único que es invariante bajo rotaciones adecuadas . Sin embargo, bajo la transformación de paridad , los pseudoescalares invierten sus signos mientras que los escalares no lo hacen. Como los reflejos a través de un plano son la combinación de una rotación con la transformación de paridad, los pseudoescalares también cambian de signo bajo los reflejos.

Una de las ideas más poderosas de la física es que las leyes físicas no cambian cuando se cambia el sistema de coordenadas utilizado para describir estas leyes. Que un pseudoescalar invierta su signo cuando los ejes de coordenadas están invertidos sugiere que no es el mejor objeto para describir una cantidad física. En el espacio tridimensional, las cantidades descritas por un pseudovector son tensores antisimétricos de orden 2, que son invariantes bajo inversión. El pseudovector puede ser una representación más simple de esa cantidad, pero sufre el cambio de signo bajo inversión. De manera similar, en el espacio tridimensional , el dual de Hodge de un escalar es igual a una constante multiplicada por el pseudotensor tridimensional Levi-Civita (o pseudotensor de "permutación"); mientras que el dual de Hodge de un pseudoescalar es un tensor antisimétrico (puro) de orden tres. El pseudotensor Levi-Civita es un pseudotensor completamente antisimétrico de orden 3. Dado que el dual del pseudoescalar es el producto de dos "pseudo-cantidades", el tensor resultante es un tensor verdadero y no cambia de signo tras una inversión de ejes. La situación es similar a la situación de los pseudovectores y tensores antisimétricos de orden 2. El dual de un pseudovector es un tensor antisimétrico de orden 2 (y viceversa). El tensor es una cantidad física invariante bajo una inversión de coordenadas, mientras que el pseudovector no es invariante.

La situación se puede extender a cualquier dimensión. Generalmente, en un espacio n- dimensional, el dual de Hodge de un tensor de orden r será un pseudotensor antisimétrico de orden ( n - r ) y viceversa. En particular, en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones de la relatividad especial, un pseudoescalar es el dual de un tensor de cuarto orden y es proporcional al pseudotensor de Levi-Civita de cuatro dimensiones .

Ejemplos de

• La función de corriente para un flujo de fluido incompresible bidimensional . ${\ Displaystyle \ psi (x, y)}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} \ izquierda (x, y \ derecha) = \ izquierda \ langle \ parcial _ {y} \ psi, - \ parcial _ {x} \ psi \ derecha \ rangle}$
• La carga magnética es un pseudoescalar como se define matemáticamente, independientemente de si existe físicamente.
• El flujo magnético es el resultado de un producto escalar entre un vector (la superficie normal ) y un pseudovector (el campo magnético ).
• La helicidad es la proyección (producto escalar ) de un pseudovector de espín en la dirección del momento (un vector verdadero).
• Partículas pseudoescalares, es decir, partículas con espín 0 y paridad impar, es decir, una partícula sin espín intrínseco con función de onda que cambia de signo bajo inversión de paridad . Algunos ejemplos son los mesones pseudoescalares .

En álgebra geométrica

Un pseudoescalar en un álgebra geométrica es un elemento de mayor grado del álgebra. Por ejemplo, en dos dimensiones hay dos vectores de base ortogonales , y el elemento de base de grado más alto asociado es ${\ Displaystyle e_ {1}}$${\ Displaystyle e_ {2}}$

${\ Displaystyle e_ {1} e_ {2} = e_ {12}.}$

Entonces, un pseudoescalar es un múltiplo de e ₁₂ . El elemento e ₁₂ cuadra a −1 y conmuta con todos los elementos pares, comportándose, por tanto, como el escalar imaginario i en los números complejos . Son estas propiedades escalares las que dan origen a su nombre.

En este escenario, un pseudoescalar cambia de signo bajo una inversión de paridad, ya que si

( E ₁ , e ₂ ) → ( u ₁ , u ₂ )

es un cambio de base que representa una transformación ortogonal, entonces

e ₁ e ₂ → u ₁ u ₂ = ± e ₁ e ₂ ,

donde el signo depende del determinante de la transformación. Por tanto, los pseudoescalares en álgebra geométrica corresponden a los pseudoescalares en física.

Referencias