Clase Euler - Euler class

En matemáticas , específicamente en topología algebraica , la clase de Euler es una clase característica de paquetes de vectores reales orientados . Al igual que otras clases de características, mide qué tan "retorcido" está el paquete de vectores. En el caso del haz tangente de una variedad suave , generaliza la noción clásica de característica de Euler . Lleva el nombre de Leonhard Euler debido a esto.

A lo largo de este artículo hay un paquete vectorial real orientado de rango sobre un espacio base . ${\ Displaystyle E}$ ${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle X}$

Definicion formal

La clase de Euler es un elemento del grupo de cohomología integral${\ Displaystyle e (E)}$

${\ Displaystyle H ^ {r} (X; \ mathbf {Z}),}$

construido de la siguiente manera. Una orientación de cantidades a una elección continua del generador de la cohomología ${\ Displaystyle E}$

${\ Displaystyle H ^ {r} (\ mathbf {R} ^ {r}, \ mathbf {R} ^ {r} \ setminus \ {0 \}; \ mathbf {Z}) \ cong H ^ {r-1 } (S ^ {r-1}; \ mathbf {Z}) \ cong \ mathbf {Z}}$

de cada fibra en relación con el complemento de cero. Desde el isomorfismo de Thom , esto induce una clase de orientación${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {r}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {r} \ setminus \ {0 \}}$

${\ Displaystyle u \ in H ^ {r} (E, E \ setminus E_ {0}; \ mathbf {Z})}$

en la cohomología de relativo al complemento de la sección cero . Las inclusiones ${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle E \ setminus E_ {0}}$ ${\ Displaystyle E_ {0}}$

${\ displaystyle (X, \ juego vacío) \ hookrightarrow (E, \ juego vacío) \ hookrightarrow (E, E \ setminus E_ {0}),}$

donde se incluye como la sección cero, inducir mapas ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle E}$

${\ Displaystyle H ^ {r} (E, E \ setminus E_ {0}; \ mathbf {Z}) \ to H ^ {r} (E; \ mathbf {Z}) \ to H ^ {r} (X ; \ mathbf {Z}).}$

La clase de Euler e ( E ) es la imagen de u bajo la composición de estos mapas.

Propiedades

La clase Euler satisface estas propiedades, que son axiomas de una clase característica:

• Functorialidad: Si es otro conjunto de vectores reales orientado y es continuo y está cubierto por un mapa que conserva la orientación , entonces . En particular ,.${\ Displaystyle F \ to Y}$${\ Displaystyle f \ colon Y \ to X}$${\ Displaystyle F \ a E}$${\ Displaystyle e (F) = f ^ {*} (e (E))}$${\ Displaystyle e (f ^ {*} (E)) = f ^ {*} (e (E))}$
• Fórmula de la suma de Whitney : sies otro conjunto de vectores reales orientados, entonces la clase de Euler de su suma directa está dada por${\ Displaystyle F \ a X}$${\ Displaystyle e (E \ oplus F) = e (E) \ smile e (F).}$
• Normalización: si posee una sección de ninguna parte cero, entonces .${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle e (E) = 0}$
• Orientación: Si tiene la orientación opuesta, entonces .${\ Displaystyle {\ overline {E}}}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle e ({\ overline {E}}) = - e (E)}$

Tenga en cuenta que la "normalización" es una característica distintiva de la clase Euler. La clase Euler obstruye la existencia de una sección que no desaparece en el sentido de que if then no tiene una sección que no desaparece. ${\ Displaystyle e (E) \ neq 0}$${\ Displaystyle E}$

También a diferencia de otras clases características, se concentra en un grado que depende de la fila del haz: . Por el contrario, las clases de Stiefel Whitney viven independientemente del rango de . Esto refleja el hecho de que la clase de Euler es inestable , como se analiza a continuación. ${\ Displaystyle e (E) \ en H ^ {r} (X)}$${\ Displaystyle w_ {i} (E)}$${\ Displaystyle H ^ {i} (X; \ mathbb {Z} / 2)}$${\ Displaystyle E}$

Locus de desaparición de la sección genérica

La clase de Euler corresponde al lugar de fuga de una sección de de la siguiente manera. Supongamos que es una variedad de dimensiones suave orientada . Sea una sección suave que cruce transversalmente la sección cero. Sea el lugar geométrico cero de . Entonces es una subvariedad de codimensión que representa una clase de homología y es el dual de Poincaré . ${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle d}$${\ Displaystyle \ sigma \ colon X \ to E}$${\ Displaystyle Z \ subseteq X}$${\ Displaystyle \ sigma}$${\ Displaystyle Z}$ ${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle [Z] \ in H_ {dr} (X; \ mathbf {Z})}$${\ Displaystyle e (E)}$${\ Displaystyle [Z]}$

Auto-intersección

Por ejemplo, si es una subvariedad compacta, entonces la clase de Euler del paquete normal de in se identifica naturalmente con la autointersección de in . ${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle X}$

Relaciones con otros invariantes

En el caso especial en el que el paquete E en cuestión es el paquete tangente de una variedad r- dimensional compacta, orientada, la clase de Euler es un elemento de la cohomología superior de la variedad, que se identifica naturalmente con los números enteros mediante la evaluación de clases de cohomología. en la clase de homología fundamental . Bajo esta identificación, la clase de Euler del paquete tangente es igual a la característica de Euler de la variedad. En el lenguaje de los números característicos , la característica de Euler es el número característico correspondiente a la clase de Euler.

Por tanto, la clase de Euler es una generalización de la característica de Euler a conjuntos de vectores distintos de los conjuntos tangentes. A su vez, la clase de Euler es el arquetipo para otras clases características de paquetes de vectores, en el sentido de que cada clase característica "superior" es igual a la clase de Euler, como sigue.

Modificar por 2 induce un mapa

${\ Displaystyle H ^ {r} (X, \ mathbf {Z}) \ to H ^ {r} (X, \ mathbf {Z} / 2 \ mathbf {Z}).}$

La imagen de la clase Euler debajo de este mapa es la clase superior Stiefel-Whitney w _r ( E ). Se puede ver esta clase de Stiefel-Whitney como "la clase de Euler, ignorando la orientación".

Cualquier conjunto de vectores complejos E de rango complejo d puede considerarse como un conjunto de vectores reales orientados E de rango real 2 d . La clase Euler de E viene dada por la clase Chern dimensional más alta${\ Displaystyle e (E) = c_ {d} (E) \ in H ^ {2d} (X)}$

Cuadrados para encabezar la clase Pontryagin

La clase de Pontryagin se define como la clase de Chern de la complejización de E : . ${\ Displaystyle p_ {r} (E)}$${\ Displaystyle p_ {r} (E) = c_ {2r} (\ mathbf {C} \ otimes E)}$

La complexificación es isomorfa como un paquete orientado a . Comparando las clases de Euler, vemos que ${\ Displaystyle \ mathbf {C} \ otimes E}$${\ Displaystyle E \ oplus E}$

${\ Displaystyle e (E) \ smile e (E) = e (E \ oplus E) = e (E \ otimes \ mathbf {C}) = c_ {r} (E \ otimes \ mathbf {C}) \ in H ^ {2r} (X, \ mathbf {Z}).}$

Si el rango r de E es par, ¿ dónde está la clase de Pontryagin dimensional superior ? ${\ Displaystyle e (E) \ smile e (E) = c_ {r} (E) = p_ {r / 2} (E)}$${\ Displaystyle p_ {r / 2} (E)}$${\ Displaystyle E}$

Inestabilidad

Una clase de característica es estable si where es un paquete trivial de rango uno. A diferencia de la mayoría de las otras clases de características, la clase de Euler es inestable . De hecho, . ${\ Displaystyle c}$${\ Displaystyle c (E \ oplus {\ underline {R}} ^ {1}) = c (E)}$${\ Displaystyle {\ underline {R}} ^ {1}}$${\ Displaystyle e (E \ oplus {\ underline {R}} ^ {1}) = e (E) \ smile e ({\ underline {R}} ^ {1}) = 0}$

La clase de Euler está representada por una clase de cohomología en el espacio de clasificación BSO ( k ) . La inestabilidad de la clase Euler muestra que no es el retroceso de una clase dentro de la inclusión . ${\ Displaystyle e \ in H ^ {k} (\ mathrm {BSO} (k))}$${\ Displaystyle H ^ {k} (\ mathrm {BSO} (k + 1))}$${\ Displaystyle \ mathrm {BSO} (k) \ to \ mathrm {BSO} (k + 1)}$

Esto se puede ver intuitivamente en que la clase de Euler es una clase cuyo grado depende de la dimensión del paquete (o variedad, si es el paquete tangente): la clase de Euler es un elemento de donde es la dimensión del paquete, mientras que el otro las clases tienen una dimensión fija (por ejemplo, la primera clase de Stiefel-Whitney es un elemento de ). ${\ Displaystyle H ^ {d} (X)}$${\ Displaystyle d}$${\ Displaystyle H ^ {1} (X)}$

El hecho de que la clase de Euler sea inestable no debe verse como un "defecto": más bien, significa que la clase de Euler "detecta fenómenos inestables". Por ejemplo, el haz tangente de una esfera de dimensión uniforme es establemente trivial pero no trivial (la inclusión habitual de la esfera tiene un haz normal trivial, por lo tanto, el haz tangente de la esfera más un haz de líneas trivial es el haz tangente del espacio euclidiano, restringido to , que es trivial), por lo tanto, todas las demás clases características desaparecen para la esfera, pero la clase de Euler no desaparece para las esferas pares, lo que proporciona una invariante no trivial. ${\ Displaystyle S ^ {n} \ subseteq \ mathrm {R} ^ {n + 1}}$${\ Displaystyle S ^ {n}}$

Ejemplos de

Esferas

La característica de Euler de la n -esfera S ⁿ es:

${\ Displaystyle \ chi (\ mathbf {S} ^ {n}) = 1 + (- 1) ^ {n} = {\ begin {cases} 2 & n {\ text {even}} \\ 0 & n {\ text {impar }}. \ end {casos}}}$

Por lo tanto, no hay una sección que no desaparezca del haz tangente de esferas pares (esto se conoce como el teorema de la bola peluda ). En particular, el paquete tangente de una esfera par no es trivial, es decir, no es una variedad paralelizable y no puede admitir una estructura de grupo de Lie . ${\ Displaystyle S ^ {2n}}$

Para esferas impares, S ^{2 n −1} ⊂ R ^{2 n} , una sección de fuga en ninguna parte está dada por

${\ Displaystyle (x_ {2}, - x_ {1}, x_ {4}, - x_ {3}, \ dots, x_ {2n}, - x_ {2n-1})}$

lo que muestra que la clase Euler se desvanece; esto es solo n copias de la sección habitual sobre el círculo.

Como corresponde a la clase de Euler para una esfera par , podemos usar el hecho de que la clase de Euler de una suma de Whitney de dos paquetes es solo el producto de taza de la clase de Euler de los dos paquetes para ver que no hay subconjuntos no triviales del haz tangente de una esfera par. ${\ Displaystyle 2 [S ^ {2n}] \ in H ^ {2n} (S ^ {2n}, \ mathbf {Z})}$

Dado que el haz tangente de la esfera es establemente trivial pero no trivial, todas las demás clases características se desvanecen en él, y la clase de Euler es la única clase de cohomología ordinaria que detecta la no trivialidad del haz tangente de esferas: para probar más resultados, uno debe utilizar operaciones de cohomología secundarias o K-teoría .

Circulo

El cilindro es un haz de líneas sobre el círculo, según la proyección natural . Es un haz de líneas trivial, por lo que posee una sección en ninguna parte cero, por lo que su clase de Euler es 0. También es isomorfo al haz tangente del círculo; el hecho de que su clase de Euler sea 0 corresponde al hecho de que la característica de Euler del círculo es 0. ${\ Displaystyle \ mathrm {R} ^ {1} \ times S ^ {1} \ to S ^ {1}}$

Ver también

• Polinomio de Vandermonde
• Isomorfismo de Thom
• Teorema generalizado de Gauss-Bonnet

Otras clases

• Clase Chern
• Clase Pontryagin
• Clase Stiefel-Whitney

Referencias

• Bott, Raoul y Tu, Loring W. (1982). Formas diferenciales en topología algebraica . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90613-4.CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
• Bredon, Glen E. (1993). Topología y geometría . Springer-Verlag. ISBN 0-387-97926-3.
• Milnor, John W .; Stasheff, James D. (1974). Clases de características . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 0-691-08122-0.