Paquete de vector estable - Stable vector bundle

En matemáticas , un paquete estable vector es un ( holomorphic o algebraica ) haz vector que es estable en el sentido de la teoría de invariantes geométrico . Cualquier paquete de vectores holomórficos se puede construir a partir de los estables usando filtración Harder-Narasimhan . Los paquetes estables fueron definidos por David Mumford en Mumford (1963) y luego construidos por David Gieseker , Fedor Bogomolov , Thomas Bridgeland y muchos otros.

Motivación

Una de las motivaciones para analizar paquetes de vectores estables es su buen comportamiento en las familias. De hecho, los espacios Moduli de paquetes vectoriales estables se pueden construir usando el esquema Quot en muchos casos, mientras que la pila de paquetes vectoriales es una pila Artin cuyo conjunto subyacente es un solo punto. ${\ Displaystyle \ mathbf {B} GL_ {n}}$

A continuación, se muestra un ejemplo de una familia de paquetes de vectores que se degeneran mal. Si tensamos la secuencia de Euler de por hay una secuencia exacta${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {1}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (1)}$

${\ Displaystyle 0 \ a {\ mathcal {O}} (- 1) \ a {\ mathcal {O}} \ oplus {\ mathcal {O}} \ a {\ mathcal {O}} (1) \ a 0 }$

que representa un elemento distinto de cero en ya que la secuencia exacta trivial que representa el vector es${\ Displaystyle v \ in {\ text {Ext}} ^ {1} ({\ mathcal {O}} (1), {\ mathcal {O}} (- 1)) \ cong k}$${\ Displaystyle 0}$

${\ Displaystyle 0 \ to {\ mathcal {O}} (- 1) \ to {\ mathcal {O}} (- 1) \ oplus {\ mathcal {O}} (1) \ to {\ mathcal {O} } (1) \ a 0}$

Si consideramos la familia de paquetes de vectores en la extensión de for , hay secuencias breves y exactas${\ Displaystyle E_ {t}}$${\ Displaystyle t \ cdot v}$${\ Displaystyle t \ in \ mathbb {A} ^ {1}}$

${\ Displaystyle 0 \ a {\ mathcal {O}} (- 1) \ a E_ {t} \ a {\ mathcal {O}} (1) \ a 0}$

que tienen clases Chern genéricamente, pero tienen en el origen. Este tipo de salto de invariantes numéricos no ocurre en espacios de módulos de paquetes de vectores estables. ${\ Displaystyle c_ {1} = 0, c_ {2} = 0}$${\ Displaystyle c_ {1} = 0, c_ {2} = - 1}$

Paquetes de vectores estables sobre curvas

Una pendiente de un paquete de vectores holomórficos W sobre una curva algebraica no singular (o sobre una superficie de Riemann ) es un número racional μ (W) = grados ( W ) / rango ( W ). Un paquete W es estable si y solo si

${\ Displaystyle \ mu (V) <\ mu (W)}$

para todos los subconjuntos V de W adecuados distintos de cero y es semiestable si

${\ Displaystyle \ mu (V) \ leq \ mu (W)}$

para todos los subconjuntos V de W adecuados distintos de cero . De manera informal, esto dice que un paquete es estable si es "más amplio " que cualquier subpaquete adecuado, y es inestable si contiene un subpaquete "más amplio".

Si W y V son paquetes del vector semiestables y μ (W) > μ (V) , entonces no hay mapas no nulo W → V .

Mumford demostró que el espacio de módulos de paquetes estables de rango y grado dados sobre una curva no singular es una variedad algebraica cuasiproyectiva . La cohomología del espacio de módulos de paquetes de vectores estables sobre una curva fue descrita por Harder y Narasimhan (1975) usando geometría algebraica sobre campos finitos y Atiyah y Bott (1983) usando el enfoque de Narasimhan-Seshadri .

Paquetes de vectores estables en dimensiones más altas

Si X es un suave variedad proyectiva de dimensión m y H es una sección hiperplano , a continuación, un paquete de vector (o una libre de torsión gavilla) W se llama estable (o, a veces Gieseker estable ) si

${\ Displaystyle {\ frac {\ chi (V (nH))} {{\ hbox {rango}} (V)}} <{\ frac {\ chi (W (nH))} {{\ hbox {rango} } (W)}} {\ text {para}} n {\ text {grande}}}$

para todos los subhaces adecuados distintos de cero (o subsheaves) V de W , donde χ denota la característica de Euler de un haz de vector algebraico y el vector de haz V (NH) significa que el n -ésimo giro de V por H . W se llama semiestable si lo anterior se cumple con <reemplazado por ≤.

Estabilidad de taludes

Para haces sobre curvas, la estabilidad definida por pendientes y por crecimiento del polinomio de Hilbert coinciden. En dimensiones superiores, estas dos nociones son diferentes y tienen diferentes ventajas. La estabilidad de Gieseker tiene una interpretación en términos de teoría geométrica invariante , mientras que la estabilidad μ tiene mejores propiedades para productos tensoriales , retrocesos , etc.

Sea X una variedad proyectiva suave de dimensión n , H su sección de hiperplano . Una pendiente de un paquete de vectores (o, más generalmente, un haz coherente libre de torsión ) E con respecto a H es un número racional definido como

${\ Displaystyle \ mu (E): = {\ frac {c_ {1} (E) \ cdot H ^ {n-1}} {\ operatorname {rk} (E)}}}$

donde c ₁ es la primera clase Chern . La dependencia de H a menudo se omite en la notación.

Una gavilla coherente libre de torsión E es μ-semiestable si para cualquier subhecha distinta de cero F ⊆ E las pendientes satisfacen la desigualdad μ (F) ≤ μ (E). Es estable en μ si, además, para cualquier subhecha distinta de cero F ⊆ E de rango más pequeño se cumple la desigualdad estricta μ (F) <μ (E). Esta noción de estabilidad puede denominarse estabilidad de pendiente, estabilidad μ, ocasionalmente estabilidad de Mumford o estabilidad de Takemoto.

Para un paquete de vectores E, se cumple la siguiente cadena de implicaciones: E es μ-estable ⇒ E es estable ⇒ E es semiestable ⇒ E es μ-semiestable.

Filtración más dura-Narasimhan

Deje que E sea un fibrado vectorial de una curva suave proyectiva X . Entonces existe una filtración única por subpaquetes

${\ Displaystyle 0 = E_ {0} \ subset E_ {1} \ subset \ ldots \ subset E_ {r + 1} = E}$

de manera que los componentes graduados asociados F _i  : = E _{i +1} / E _i son haces de vectores semiestables y las pendientes disminuyen, μ ( F _i )> μ ( F _{i +1} ). Esta filtración se introdujo en Harder & Narasimhan (1975) y se denomina filtración Harder-Narasimhan . Dos paquetes de vectores con grados asociados isomórficos se denominan S-equivalentes .

En variedades de dimensiones superiores, la filtración también existe siempre y es única, pero es posible que los componentes clasificados asociados ya no sean paquetes. Para la estabilidad de Gieseker, las desigualdades entre pendientes deben reemplazarse por desigualdades entre polinomios de Hilbert.

Correspondencia de Kobayashi-Hitchin

El teorema de Narasimhan-Seshadri dice que los paquetes estables en una curva proyectiva no singular son los mismos que los que tienen conexiones unitarias irreducibles proyectivamente planas . Para haces de grado 0, las conexiones proyectivamente planas son planas y, por tanto, los haces estables de grado 0 corresponden a representaciones unitarias irreductibles del grupo fundamental .

Kobayashi y Hitchin conjeturaron un análogo de esto en dimensiones superiores. Donaldson (1985) lo demostró para superficies proyectivas no singulares , quien demostró que en este caso un conjunto de vectores es estable si y sólo si tiene una conexión irreductible de Hermitian-Einstein .

Generalizaciones

Es posible generalizar (μ-) la estabilidad a esquemas proyectivos no suaves y poleas coherentes más generales utilizando el polinomio de Hilbert . Sea X un esquema proyectivo , d un número natural, E una gavilla coherente en X con dim Supp ( E ) = d . Escriba el polinomio de Hilbert de E como P _E ( m ) = Σ^d
_{yo = 0}α _i ( E ) / ( i !) soy ^yo . Defina el polinomio reducido de Hilbert p _E  : = P _E / α _d ( E ).

Una gavilla coherente E es semiestable si se cumplen las dos condiciones siguientes:

• E es puro de dimensión d , es decir, todos los números primos asociados de E tienen dimensión d ;
• para cualquier subhecha diferente de cero F ⊆ E, los polinomios de Hilbert reducidos satisfacen p _F ( m ) ≤ p _E ( m ) para m grande .

Una gavilla se llama estable si la desigualdad estricta p _F ( m ) < p _E ( m ) se cumple para m grande .

Sea Coh _d (X) la subcategoría completa de poleas coherentes en X con soporte de dimensión ≤ d . La pendiente de un objeto F en Coh _d puede definirse utilizando los coeficientes del polinomio de Hilbert como si α _d ( F ) ≠ 0 y 0 en caso contrario. La dependencia de en d normalmente se omite de la notación. ${\ Displaystyle {\ hat {\ mu}} _ {d} (F) = \ alpha _ {d-1} (F) / \ alpha _ {d} (F)}$${\ Displaystyle {\ hat {\ mu}} _ {d}}$

Una gavilla coherente E con se llama μ-semiestable si se cumplen las dos condiciones siguientes: ${\ Displaystyle \ operatorname {dim} \, \ operatorname {Supp} (E) = d}$

• la torsión de E tiene una dimensión ≤ d -2;
• para cualquier subobjeto distinto de cero F ⊆ E en la categoría de cociente Coh _d (X) / Coh _d-1 (X) tenemos .${\ Displaystyle {\ hat {\ mu}} (F) \ leq {\ hat {\ mu}} (E)}$

E es μ-estable si la desigualdad estricta se cumple para todos los subobjetos de E distintos de cero .

Tenga en cuenta que Coh _d es una subcategoría de Serre para cualquier d , por lo que existe la categoría de cociente. Un subobjeto en la categoría de cociente en general no proviene de una subhecha, pero para las poleas sin torsión, la definición original y la general para d = n son equivalentes.

También hay otras direcciones para generalizaciones, por ejemplo , las condiciones de estabilidad de Bridgeland .

Se pueden definir paquetes principales estables en analogía con los paquetes de vectores estables.

Ver también

• Correspondencia de Kobayashi-Hitchin
• Correspondencia Corlette-Simpson
• Esquema de cotización

Referencias

• Atiyah, Michael Francis ; Bott, Raoul (1983), "Las ecuaciones de Yang-Mills sobre superficies de Riemann", Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres. Serie A. Ciencias físicas y matemáticas , 308 (1505): 523–615, doi : 10.1098 / rsta.1983.0017 , ISSN  0080-4614 , JSTOR  37156 , MR  0702806
• Donaldson, SK (1985), "Conexiones Yang-Mills anti-auto-duales sobre superficies algebraicas complejas y paquetes de vectores estables", Proceedings of the London Mathematical Society , Third Series, 50 (1): 1–26, doi : 10.1112 / plms /s3-50.1.1 , ISSN  0024-6115 , Sr.  0765366
• Friedman, Robert (1998), Superficies algebraicas y paquetes de vectores holomórficos , Universitext, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98361-5, MR  1600388
• Harder, G .; Narasimhan, MS (1975), "Sobre los grupos de cohomología de espacios de módulos de paquetes vectoriales en curvas", Mathematische Annalen , 212 (3): 215–248, doi : 10.1007 / BF01357141 , ISSN  0025-5831 , MR  0364254
• Huybrechts, Daniel ; Lehn, Manfred (2010), The Geometry of Moduli Spaces of Sheaves , Cambridge Mathematical Library (2a ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0521134200
• Mumford, David (1963), "Invariantes proyectivos de estructuras y aplicaciones proyectivas", Proc. Internat. Congr. Matemáticos (Estocolmo, 1962) , Djursholm: Inst. Mittag-Leffler, págs. 526–530, MR  0175899
• Mumford, David ; Fogarty, J .; Kirwan, F. (1994), Teoría invariante geométrica , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Resultados en matemáticas y áreas relacionadas (2)], 34 (3ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-56963-3, MR  1304906 especialmente el apéndice 5C.
• Narasimhan, MS; Seshadri, CS (1965), "Paquetes de vectores unitarios y estables en una superficie compacta de Riemann", Annals of Mathematics , Segunda serie, The Annals of Mathematics, vol. 82, No. 3, 82 (3): 540–567, doi : 10.2307 / 1970710 , ISSN  0003-486X , JSTOR  1970710 , MR  0184252