Teoría geométrica invariante - Geometric invariant theory

En matemáticas , la teoría geométrica invariante (o GIT ) es un método para construir cocientes por acciones grupales en geometría algebraica , que se utiliza para construir espacios de módulos . Fue desarrollado por David Mumford en 1965, utilizando ideas del artículo ( Hilbert 1893 ) en la teoría invariante clásica .

La teoría invariante geométrica estudia una acción de un grupo G sobre una variedad (o esquema ) algebraico X y proporciona técnicas para formar el 'cociente' de X por G como un esquema con propiedades razonables. Una motivación fue construir espacios de módulos en geometría algebraica como cocientes de esquemas que parametrizan objetos marcados. En las décadas de 1970 y 1980, la teoría desarrolló interacciones con geometría simpléctica y topología equivariante , y se utilizó para construir espacios de módulos de objetos en geometría diferencial , como instantones y monopolos .

Fondo

La teoría de invariantes se refiere a una acción de grupo de un grupo G en una variedad algebraica (o un esquema ) X . Direcciones teoría de invariantes Classical la situación cuando X = V es un espacio vectorial y G es un grupo finito, o uno de los grupos de Lie clásicos que actúa linealmente en V . Esta acción induce una acción lineal de G sobre el espacio de funciones polinomiales R ( V ) sobre V por la fórmula

{\ Displaystyle g \ cdot f (v) = f (g ^ {- 1} v), \ quad g \ in G, v \ in V.}

El polinomio invariantes del G -action en V son aquellas funciones polinómicas f en V que están fijados bajo el 'cambio de variables' debido a la acción del grupo, de modo que g · f = f para todo g en G . Forman un álgebra conmutativa A = R ( V ) ^G , y este álgebra se interpreta como el álgebra de funciones en el ' cociente de teoría invariante ' V // G porque cualquiera de estas funciones da el mismo valor para todos los puntos que son equivalentes (es decir, para todo $g$ ). En el lenguaje de la geometría algebraica moderna , ${\ Displaystyle f (v) = f (gv)}$

{\ displaystyle V / \! \! / G = \ operatorname {Spec} A = \ operatorname {Spec} R (V) ^ {G}.}

Varias dificultades surgen de esta descripción. El primero, abordado con éxito por Hilbert en el caso de un grupo lineal general , es demostrar que el álgebra A se genera de forma finita. Esto es necesario si se desea que el cociente sea una variedad algebraica afín . Si un hecho similar es válido para los grupos arbitrarios G fue el tema del decimocuarto problema de Hilbert , y Nagata demostró que la respuesta era negativa en general. Por otro lado, en el curso del desarrollo de la teoría de la representación en la primera mitad del siglo XX, se identificó una gran clase de grupos para los que la respuesta es positiva; estos se denominan grupos reductivos e incluyen todos los grupos finitos y todos los grupos clásicos .

La generación finita del álgebra A no es más que el primer paso hacia la descripción completa de A , y el progreso en la resolución de esta cuestión más delicada fue bastante modesto. Los invariantes se habían descrito clásicamente solo en una gama restringida de situaciones, y la complejidad de esta descripción más allá de los primeros casos ofrecía pocas esperanzas de una comprensión completa de las álgebras de los invariantes en general. Además, puede suceder que cualquier invariante polinomial f tome el mismo valor en un par dado de puntos u y v en V , pero estos puntos se encuentran en diferentes órbitas de la acción G. Un ejemplo simple lo proporciona el grupo multiplicativo C ^* de números complejos distintos de cero que actúa sobre un espacio vectorial complejo n- dimensional C ⁿ mediante la multiplicación escalar. En este caso, cada invariante polinomial es una constante, pero hay muchas órbitas diferentes de la acción. El vector cero forma una órbita por sí mismo, y los múltiplos distintos de cero de cualquier vector distinto de cero forman una órbita, de modo que las órbitas distintas de cero están parametrizadas por los puntos del espacio proyectivo complejo CP ^{n −1} . Si esto sucede (diferentes órbitas que tienen los mismos valores de función), se dice que "las invariantes no separan las órbitas", y el álgebra A refleja el espacio del cociente topológico X / G de manera bastante imperfecta. De hecho, este último espacio, con la topología del cociente , con frecuencia no está separado (no es de Hausdorff ). (Este es el caso en nuestro ejemplo: la órbita nula no está abierta porque cualquier vecindad del vector nulo contiene puntos en todas las demás órbitas, por lo que en la topología del cociente cualquier vecindad de la órbita nula contiene todas las demás órbitas). En 1893, Hilbert formuló y demostró ser un criterio para determinar aquellas órbitas que no están separadas de la órbita cero por polinomios invariantes. De manera bastante notable, a diferencia de su trabajo anterior en la teoría invariante, que condujo al rápido desarrollo del álgebra abstracta , este resultado de Hilbert siguió siendo poco conocido y poco utilizado durante los siguientes 70 años. Gran parte del desarrollo de la teoría invariante en la primera mitad del siglo XX tuvo que ver con cálculos explícitos con invariantes y, en todo caso, siguió la lógica del álgebra en lugar de la geometría.

El libro de Mumford

La teoría invariante geométrica fue fundada y desarrollada por Mumford en una monografía, publicada por primera vez en 1965, que aplicó ideas de la teoría invariante del siglo XIX, incluidos algunos resultados de Hilbert , a cuestiones de geometría algebraica moderna. (El libro se amplió enormemente en dos ediciones posteriores, con apéndices adicionales de Fogarty y Mumford, y un capítulo sobre cocientes simplécticos de Kirwan). El libro utiliza tanto la teoría de esquemas como las técnicas computacionales disponibles en los ejemplos. El ajuste abstracto que se utiliza es el de una acción de grupo en un esquema X . La simple idea de un espacio orbital

G \ X ,

es decir, el espacio cociente de X por la acción del grupo, encuentra dificultades en la geometría algebraica, por razones que son explicables en términos abstractos. De hecho, no hay una razón general por la que las relaciones de equivalencia deban interactuar bien con las funciones regulares (bastante rígidas) (funciones polinomiales), que están en el corazón de la geometría algebraica. Las funciones en el espacio órbita G \ X que deben ser considerados son los de X que son invariantes bajo la acción de G . La aproximación directa se puede hacer, por medio del campo de función de una variedad (es decir, funciones racionales ): tome las funciones racionales G -invariantes en él, como el campo de función de la variedad cociente . Desafortunadamente, esto, el punto de vista de la geometría biracional , solo puede dar una primera aproximación a la respuesta. Como lo expresó Mumford en el prefacio del libro:

El problema es que, dentro del conjunto de todos los modelos de la clase biracional resultante, hay un modelo cuyos puntos geométricos clasifican el conjunto de órbitas en alguna acción, o el conjunto de objetos algebraicos en algún problema de módulos .

En el capítulo 5 aísla aún más el problema técnico específico abordado, en un problema de módulos de tipo bastante clásico: clasificar el gran "conjunto" de todas las variedades algebraicas sujetas sólo a ser no singulares (y una condición necesaria en la polarización ). Se supone que los módulos describen el espacio de parámetros. Por ejemplo, para las curvas algebraicas se sabe desde la época de Riemann que debería haber componentes conectados de dimensiones

0, 1, 3, 6, 9,…

según el género g = 0, 1, 2, 3, 4,…, y los módulos son funciones en cada componente. En el problema de los módulos gruesos, Mumford considera que las obstrucciones son:

topología no separada en el espacio de módulos (es decir, no hay suficientes parámetros en regla)
infinitamente muchos componentes irreductibles (lo cual no es evitable, pero la finitud local puede sostenerse)
fracaso de los componentes para ser representables como esquemas, aunque respetables topológicamente.

Es el tercer punto que motivó toda la teoría. Como dice Mumford, si se resuelven las dos primeras dificultades

[la tercera pregunta] se vuelve esencialmente equivalente a la pregunta de si existe un espacio orbital de algún subconjunto localmente cerrado de los esquemas de Hilbert o Chow por el grupo proyectivo .

Para hacer frente a esto, introdujo una noción (de hecho tres) de estabilidad . Esto le permitió abrir el área previamente traicionera; mucho se había escrito, en particular por Francesco Severi , pero los métodos de la literatura tenían limitaciones. El punto de vista biracional puede permitirse ser descuidado con los subconjuntos de la codimensión 1. Tener un espacio de módulos como esquema es, por un lado, una cuestión de caracterizar esquemas como functores representables (como lo vería la escuela de Grothendieck ); pero geométricamente se parece más a una cuestión de compactación , como revelaron los criterios de estabilidad. La restricción a variedades no singulares no conducirá a un espacio compacto en ningún sentido como espacio de módulos: las variedades pueden degenerar en singularidades. Por otro lado, los puntos que corresponderían a variedades muy singulares son definitivamente demasiado "malos" para incluirlos en la respuesta. El término medio correcto, de puntos lo suficientemente estables para ser admitidos, fue aislado por el trabajo de Mumford. El concepto no era del todo nuevo, ya que ciertos aspectos del mismo se encontraban en las ideas finales de David Hilbert sobre la teoría invariante, antes de pasar a otros campos.

El prefacio del libro también enuncia la conjetura de Mumford , más tarde probada por William Haboush .

Estabilidad

Si un grupo reductor G actúa linealmente en un espacio vectorial V , entonces un punto distinto de cero de V se llama

inestable si 0 está en el cierre de su órbita,
semi-estable si 0 no está en el cierre de su órbita,
estable si su órbita es cerrada y su estabilizador es finito.

Hay formas equivalentes de expresarlos (este criterio se conoce como criterio de Hilbert-Mumford ):

Un punto x distinto de cero es inestable si y solo si hay un subgrupo de 1 parámetro de G cuyos pesos con respecto ax son positivos.
Un punto x distinto de cero es inestable si y solo si cada polinomio invariante tiene el mismo valor en 0 y x .
Un punto x distinto de cero es semiestable si y solo si no hay un subgrupo de 1 parámetro de G cuyos pesos con respecto a x sean positivos.
Un punto x distinto de cero es semiestable si y solo si algún polinomio invariante tiene valores diferentes en 0 y x .
Un punto x distinto de cero es estable si y solo si cada subgrupo de 1 parámetro de G tiene pesos positivos (y negativos) con respecto a x .
Un punto x distinto de cero es estable si y solo si para cada y que no está en la órbita de x hay algún polinomio invariante que tiene valores diferentes en y y x , y el anillo de polinomios invariantes tiene un grado de trascendencia dim ( V ) −dim ( G ).

Un punto del espacio proyectivo correspondiente de V se llama inestable, semi-estable o estable si es la imagen de un punto en V con la misma propiedad. "Inestable" es lo opuesto a "semiestable" (no "estable"). Los puntos inestables forman un conjunto cerrado de Zariski de espacio proyectivo, mientras que los puntos semiestables y estables forman ambos conjuntos abiertos de Zariski (posiblemente vacíos). Estas definiciones son de ( Mumford 1977 ) y no equivalen a las de la primera edición del libro de Mumford.

Muchos espacios de módulos pueden construirse como cocientes del espacio de puntos estables de algún subconjunto del espacio proyectivo mediante alguna acción grupal. Estos espacios a menudo se pueden compactar agregando ciertas clases de equivalencia de puntos semiestables. Diferentes órbitas estables corresponden a diferentes puntos en el cociente, pero dos órbitas semiestables diferentes pueden corresponder al mismo punto en el cociente si sus cierres se cruzan.

Ejemplo: ( Deligne & Mumford 1969 ) Una curva estable es una curva conectada reducida de género ≥2 tal que sus únicas singularidades son puntos dobles ordinarios y cada componente racional no singular se encuentra con los otros componentes en al menos 3 puntos. El espacio de módulos de curvas estables del género g es el cociente de un subconjunto del esquema de Hilbert de curvas en P ^{5 g -6} con el polinomio de Hilbert (6 n -1) ( g -1) por el grupo PGL _{5 g -5} .

Ejemplo: un paquete de vectores W sobre una curva algebraica (o sobre una superficie de Riemann ) es un paquete de vectores estable si y solo si

{\ Displaystyle \ Displaystyle {\ frac {\ deg (V)} {{\ hbox {rango}} (V)}} <{\ frac {\ deg (W)} {{\ hbox {rango}} (W) }}}

para todos los subconjuntos V de W adecuados distintos de cero y es semiestable si esta condición se cumple con <reemplazado por ≤.

Ver también

Referencias

Deligne, Pierre ; Mumford, David (1969), "La irreductibilidad del espacio de curvas de un género dado" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 36 (1): 75–109, doi : 10.1007 / BF02684599 , MR 0262240
Hilbert, D. (1893), "Über die vollen Invariantensysteme", Math. Annalen , 42 (3): 313, doi : 10.1007 / BF01444162
Kirwan, Frances, Cohomología de cocientes en geometría simpléctica y algebraica . Notas matemáticas, 31. Princeton University Press, Princeton, Nueva Jersey, 1984. i + 211 págs. MR 0766741 ISBN 0-691-08370-3
Kraft, Hanspeter, Geometrische Methoden in der Invariantentheorie . (Alemán) (Métodos geométricos en teoría invariante) Aspectos de las matemáticas, D1. Friedr. Vieweg y Sohn, Braunschweig, 1984. x + 308 págs. MR 0768181 ISBN 3-528-08525-8
Mumford, David (1977), "Estabilidad de las variedades proyectivas" , L'Enseignement Mathématique , 2e Série, 23 (1): 39–110, ISSN 0013-8584 , MR 0450272 , archivado desde el original el 7 de julio de 2011
Mumford, David ; Fogarty, J .; Kirwan, F. (1994), Teoría invariante geométrica , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Resultados en matemáticas y áreas relacionadas (2)], 34 (3ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-3-642-57916-5 , hdl : 2433/102881 , ISBN 978-3-540-56963-3 , MR 1304906 ; MR 0214602 (1ª ed. 1965); MR 0719371 (2.a ed.)
VL Popov , EB Vinberg , Teoría invariante , en geometría algebraica . IV. Enciclopedia de Ciencias Matemáticas, 55 (traducida de la edición rusa de 1989) Springer-Verlag, Berlín, 1994. vi + 284 págs. ISBN 3-540-54682-0

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