Coordenadas normales - Normal coordinates

En geometría diferencial , las coordenadas normales en un punto p en una variedad diferenciable equipada con una conexión afín simétrica son un sistema de coordenadas local en un vecindario de p obtenido aplicando el mapa exponencial al espacio tangente en p . En un sistema de coordenadas normal, los símbolos de Christoffel de la conexión desaparecen en el punto p , lo que a menudo simplifica los cálculos locales. En coordenadas normales asociadas a la conexión Levi-Civita de una variedad de Riemann , se puede disponer adicionalmente que el tensor métrico sea el delta de Kronecker en el punto p , y que las primeras derivadas parciales de la métrica en p desaparezcan.

Un resultado básico de la geometría diferencial establece que las coordenadas normales en un punto siempre existen en una variedad con una conexión afín simétrica. En tales coordenadas, la derivada covariante se reduce a una derivada parcial ( solo en p ), y las geodésicas a través de p son funciones localmente lineales de t (el parámetro afín). Esta idea fue implementada de manera fundamental por Albert Einstein en la teoría general de la relatividad : el principio de equivalencia utiliza coordenadas normales a través de marcos inerciales . Las coordenadas normales siempre existen para la conexión Levi-Civita de una variedad riemanniana o pseudo-riemanniana . Por el contrario, en general no hay forma de definir las coordenadas normales para las variedades de Finsler de manera que el mapa exponencial sea dos veces diferenciable ( Busemann 1955 ).

Coordenadas normales geodésicas

Las coordenadas geodésicas normales son coordenadas locales en una variedad con una conexión afín definida por medio del mapa exponencial

{\ Displaystyle \ exp _ {p}: T_ {p} M \ supset V \ rightarrow M}

y un isomorfismo

{\ Displaystyle E: \ mathbb {R} ^ {n} \ rightarrow T_ {p} M}

dada por cualquier base del espacio tangente en el punto de base fija p ∈ M . Si se impone la estructura adicional de una métrica de Riemann, entonces la base definida por E puede ser necesaria además de ser ortonormal , y el sistema de coordenadas resultante se conoce como sistema de coordenadas normal de Riemann .

Existen coordenadas normales en un barrio normal de un punto p en M . Un barrio normal de U es un subconjunto de M de tal manera que existe un entorno adecuado V del origen en el espacio tangente T _p M , y exp _p actúa como un difeomorfismo entre U y V . En la vecindad normal U de p en M , la gráfica viene dada por:

{\ Displaystyle \ varphi: = E ^ {- 1} \ circ \ exp _ {p} ^ {- 1}: U \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {n}}

El isomorfismo E puede ser cualquier isomorfismo entre los dos espacios vectoriales, así que hay tantas tablas como hay diferentes bases ortonormales en el dominio de E .

Propiedades

Las propiedades de las coordenadas normales a menudo simplifican los cálculos. A continuación, suponga que es una vecindad normal centrada en un punto de y son coordenadas normales en . ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle x ^ {i}}$ ${\ Displaystyle U}$

Sea algún vector de con componentes en coordenadas locales, y sea la geodésica al pasar por el punto con vector de velocidad , entonces se representa en coordenadas normales por mientras esté en . ${\ Displaystyle V}$ ${\ Displaystyle T_ {p} M}$ ${\ Displaystyle V ^ {i}}$ ${\ Displaystyle \ gamma _ {V}}$ ${\ Displaystyle t = 0}$ ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle V}$ ${\ Displaystyle \ gamma _ {V}}$ ${\ Displaystyle \ gamma _ {V} (t) = (tV ^ {1}, ..., tV ^ {n})}$ ${\ Displaystyle U}$
Las coordenadas de un punto son ${\ Displaystyle p}$ ${\ displaystyle (0, ..., 0)}$
En coordenadas normales de Riemann en un punto los componentes de la métrica de Riemann se simplifican a , es decir, . ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle g_ {ij}}$ ${\ Displaystyle \ delta _ {ij}}$ ${\ Displaystyle g_ {ij} (p) = \ delta _ {ij}}$
Los símbolos de Christoffel se desvanecen en , es decir, . En el caso de Riemann, también lo hacen las primeras derivadas parciales de , es decir, . ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle \ Gamma _ {ij} ^ {k} (p) = 0}$ ${\ Displaystyle g_ {ij}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ parcial g_ {ij}} {\ parcial x ^ {k}}} (p) = 0, \, \ forall i, j, k}$

Fórmulas explícitas

En la vecindad de cualquier punto equipado con un sistema de coordenadas localmente ortonormal en el que y el tensor de Riemann en toma el valor , podemos ajustar las coordenadas de modo que los componentes del tensor métrico que se alejen de se conviertan en ${\ displaystyle p = (0, \ ldots 0)}$ ${\ Displaystyle g _ {\ mu \ nu} (0) = \ delta _ {\ mu \ nu}}$ ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle R _ {\ mu \ sigma \ nu \ tau} (0)}$ ${\ displaystyle x ^ {\ mu}}$ ${\ Displaystyle p}$

{\ Displaystyle g _ {\ mu \ nu} (x) = \ delta _ {\ mu \ nu} - {\ frac {1} {3}} R _ {\ mu \ sigma \ nu \ tau} (0) x ^ {\ sigma} x ^ {\ tau} + O (| x | ^ {3}).}

Los correspondientes símbolos de Christoffel de conexión Levi-Civita son

{\ Displaystyle {\ Gamma ^ {\ lambda}} _ {\ mu \ nu} (x) = - {\ frac {1} {3}} (R _ {\ lambda \ nu \ mu \ tau} (0) + R _ {\ lambda \ mu \ nu \ tau} (0)) x ^ {\ tau} + O (| x | ^ {2}).}

De manera similar, podemos construir coframas locales en los que

{\ Displaystyle e _ {\ mu} ^ {* a} (x) = \ delta _ {a \ mu} - {\ frac {1} {6}} R_ {a \ sigma \ mu \ tau} (0) x ^ {\ sigma} x ^ {\ tau} + O (x ^ {2}),}

y los coeficientes de conexión de espín toman los valores

{\ Displaystyle {\ omega ^ {a}} _ {b \ mu} (x) = - {\ frac {1} {2}} {R ^ {a}} _ {b \ mu \ tau} (0) x ^ {\ tau} + O (| x | ^ {2}).}

Coordenadas polares

En una variedad de Riemann, un sistema de coordenadas normal en p facilita la introducción de un sistema de coordenadas esféricas , conocidas como coordenadas polares . Estas son las coordenadas en M obtenidos mediante la introducción de la norma esférica sistema de coordenadas en el espacio euclidiano T _p M . Es decir, se introduce en T _p M el sistema de coordenadas esféricas estándar ( r , φ) donde r ≥ 0 es el parámetro radial y φ = (φ ₁ , ..., φ _{n −1} ) es una parametrización de ( n −1) -esfera . La composición de ( r , φ) con la inversa del mapa exponencial en p es un sistema de coordenadas polares.

Las coordenadas polares proporcionan una serie de herramientas fundamentales en la geometría de Riemann. La coordenada radial es la más significativa: geométricamente representa la distancia geodésica ap de puntos cercanos. El lema de Gauss afirma que el gradiente de r es simplemente la derivada parcial . Eso es, ${\ estilo de visualización \ parcial / \ parcial r}$

{\ Displaystyle \ langle df, dr \ rangle = {\ frac {\ parcial f} {\ parcial r}}}

para cualquier función suave ƒ . Como resultado, la métrica en coordenadas polares asume una forma diagonal de bloque

{\ displaystyle g = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & \ cdots \ 0 \\ 0 && \\\ vdots && g _ {\ phi \ phi} (r, \ phi) \\ 0 && \ end {bmatrix}}.}

Referencias

Busemann, Herbert (1955), "En coordenadas normales en espacios de Finsler", Mathematische Annalen , 129 : 417–423, doi : 10.1007 / BF01362381 , ISSN 0025-5831 , MR 0071075 .
Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Fundamentos de la geometría diferencial , vol. 1 (Nueva ed.), Wiley Interscience , ISBN 0-471-15733-3 .
Chern, SS; Chen, WH; Lam, KS; Conferencias sobre geometría diferencial , World Scientific, 2000

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