Conjunto (matemáticas) -Set (mathematics)
Un conjunto es el modelo matemático para una colección de cosas diferentes; un conjunto contiene elementos o miembros , que pueden ser objetos matemáticos de cualquier tipo: números, símbolos, puntos en el espacio, líneas, otras formas geométricas, variables o incluso otros conjuntos. El conjunto sin elemento es el conjunto vacío ; un conjunto con un solo elemento es un singleton . Un conjunto puede tener un número finito de elementos o ser un conjunto infinito . Dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos elementos.
Los conjuntos son omnipresentes en las matemáticas modernas. De hecho, la teoría de conjuntos , más específicamente la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , ha sido la forma estándar de proporcionar fundamentos rigurosos para todas las ramas de las matemáticas desde la primera mitad del siglo XX.
Historia
El concepto de conjunto surgió en las matemáticas a finales del siglo XIX. La palabra alemana para conjunto, Menge , fue acuñada por Bernard Bolzano en su obra Paradojas del Infinito .
Georg Cantor , uno de los fundadores de la teoría de conjuntos, dio la siguiente definición al comienzo de su Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre :
Un conjunto es una reunión en un todo de objetos definidos y distintos de nuestra percepción o de nuestro pensamiento, que se denominan elementos del conjunto.
Bertrand Russell llamó a un conjunto una clase :
Cuando los matemáticos tratan con lo que llaman una variedad, un agregado, un Menge , un conjunto o algún nombre equivalente, es común, especialmente cuando el número de términos involucrados es finito, considerar el objeto en cuestión (que de hecho es una clase) como definido por la enumeración de sus términos, y como compuesto posiblemente de un solo término, que en ese caso es la clase.
Teoría de conjuntos ingenua
La principal propiedad de un conjunto es que puede tener elementos, también llamados miembros . Dos conjuntos son iguales cuando tienen los mismos elementos. Más precisamente, los conjuntos A y B son iguales si todo elemento de A es un elemento de B y todo elemento de B es un elemento de A ; esta propiedad se llama extensionalidad de los conjuntos .
El simple concepto de un conjunto ha demostrado ser enormemente útil en matemáticas, pero surgen paradojas si no se imponen restricciones sobre cómo se pueden construir los conjuntos:
- La paradoja de Russell muestra que el "conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos ", es decir, { x | x es un conjunto y x ∉ x }, no puede existir.
- La paradoja de Cantor muestra que "el conjunto de todos los conjuntos" no puede existir.
La teoría ingenua de conjuntos define un conjunto como cualquier colección bien definida de elementos distintos, pero surgen problemas debido a la vaguedad del término bien definido .
Teoría axiomática de conjuntos
En esfuerzos posteriores por resolver estas paradojas desde la época de la formulación original de la teoría de conjuntos ingenua, las propiedades de los conjuntos han sido definidas por axiomas . La teoría axiomática de conjuntos toma el concepto de conjunto como una noción primitiva . El propósito de los axiomas es proporcionar un marco básico a partir del cual deducir la verdad o falsedad de determinadas proposiciones matemáticas (enunciados) sobre conjuntos, utilizando la lógica de primer orden . Sin embargo, de acuerdo con los teoremas de incompletitud de Gödel , no es posible utilizar la lógica de primer orden para demostrar que una teoría de conjuntos axiomática particular está libre de paradojas.
Cómo se definen los conjuntos y la notación de conjuntos
Los textos matemáticos comúnmente denotan conjuntos con letras mayúsculas en cursiva , como A , B , C. Un conjunto también puede llamarse colección o familia , especialmente cuando sus elementos son en sí mismos conjuntos.
notación de lista
La notación de lista o enumeración define un conjunto enumerando sus elementos entre llaves , separados por comas:
- A = {4, 2, 1, 3}
- B = {azul, blanco, rojo} .
En un conjunto, todo lo que importa es si cada elemento está en él o no, por lo que el orden de los elementos en notación de lista es irrelevante (en contraste, en una secuencia , una tupla o una permutación de un conjunto, el orden de los elementos). los términos importan). Por ejemplo, {2, 4, 6} y {4, 6, 4, 2} representan el mismo conjunto.
Para conjuntos con muchos elementos, especialmente aquellos que siguen un patrón implícito, la lista de miembros se puede abreviar usando puntos suspensivos ' ... '. Por ejemplo, el conjunto de los primeros mil enteros positivos puede especificarse en notación de lista como
- {1, 2, 3, ..., 1000} .
Conjuntos infinitos en notación de lista
Un conjunto infinito es un conjunto con una lista interminable de elementos. Para describir un conjunto infinito en notación de lista, se colocan puntos suspensivos al final de la lista, o en ambos extremos, para indicar que la lista continúa para siempre. Por ejemplo, el conjunto de enteros no negativos es
- {0, 1, 2, 3, 4, ...} ,
y el conjunto de todos los enteros es
- {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} .
Definición semántica
Otra forma de definir un conjunto es usar una regla para determinar cuáles son los elementos:
- Sea A el conjunto cuyos miembros son los primeros cuatro enteros positivos .
- Sea B el conjunto de colores de la bandera francesa .
Tal definición se llama descripción semántica .
Notación de constructor de conjuntos
La notación de creación de conjuntos especifica un conjunto como una selección de un conjunto más grande, determinado por una condición en los elementos. Por ejemplo, un conjunto F se puede definir de la siguiente manera:
- F
En esta notación, la barra vertical "|" significa "tal que", y la descripción puede interpretarse como " F es el conjunto de todos los números n tales que n es un número entero en el rango de 0 a 19 inclusive". Algunos autores usan dos puntos ":" en lugar de la barra vertical.
Clasificación de los métodos de definición
La filosofía utiliza términos específicos para clasificar tipos de definiciones:
- Una definición intencional utiliza una regla para determinar la pertenencia. Las definiciones semánticas y las definiciones que utilizan la notación de creación de conjuntos son ejemplos.
- Una definición extensional describe un conjunto enumerando todos sus elementos . Estas definiciones también se denominan enumerativas .
- Una definición ostensiva es aquella que describe un conjunto dando ejemplos de elementos; una lista con puntos suspensivos sería un ejemplo.
Afiliación
Si B es un conjunto y x es un elemento de B , esto se escribe de forma abreviada como x ∈ B , que también se puede leer como " x pertenece a B ", o " x está en B ". El enunciado " y no es un elemento de B " se escribe como y ∉ B , que también se puede leer como o " y no está en B ".
Por ejemplo, con respecto a los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} , B = {azul, blanco, rojo} y F = { n | n es un número entero, y 0 ≤ n ≤ 19} ,
- 4 ∈ A y 12 ∈ F ; y
- 20 ∉ F y verde ∉ B .
el conjunto vacio
El conjunto vacío (o conjunto nulo ) es el conjunto único que no tiene miembros. Se denota ∅ o o { } o ϕ (o ϕ ).
Conjuntos únicos
Un conjunto singleton es un conjunto con exactamente un elemento; tal conjunto también puede llamarse conjunto de unidades . Cualquier conjunto de este tipo se puede escribir como { x }, donde x es el elemento. El conjunto { x } y el elemento x significan cosas diferentes; Halmos establece la analogía de que una caja que contiene un sombrero no es lo mismo que el sombrero.
subconjuntos
Si cada elemento del conjunto A también está en B , entonces A se describe como un subconjunto de B , o contenido en B , escrito A ⊆ B , o B ⊇ A . La última notación puede leerse B contiene A , B incluye A o B es un superconjunto de A . La relación entre conjuntos establecida por ⊆ se denomina inclusión o contención . Dos conjuntos son iguales si se contienen entre sí: A ⊆ B y B ⊆ A es equivalente a A = B .
Si A es un subconjunto de B , pero A no es igual a B , entonces A se llama subconjunto propio de B . Esto se puede escribir A ⊊ B . Asimismo, B ⊋ A significa que B es un superconjunto propio de A , es decir, B contiene A y no es igual a A .
Un tercer par de operadores ⊂ y ⊃ son usados de manera diferente por diferentes autores: algunos autores usan A ⊂ B y B ⊃ A para indicar que A es cualquier subconjunto de B (y no necesariamente un subconjunto propio), mientras que otros reservan A ⊂ B y B ⊃ A para casos donde A es un subconjunto propio de B .
Ejemplos:
- El conjunto de todos los humanos es un subconjunto propio del conjunto de todos los mamíferos.
- {1, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4}.
- {1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}.
El conjunto vacío es un subconjunto de todo conjunto, y todo conjunto es un subconjunto de sí mismo:
- ∅ ⊆ UN .
- UN ⊆ UN .
Diagramas de Euler y Venn
Un diagrama de Euler es una representación gráfica de una colección de conjuntos; cada conjunto se representa como una región plana encerrada por un bucle, con sus elementos dentro. Si A es un subconjunto de B , entonces la región que representa a A está completamente dentro de la región que representa a B. Si dos conjuntos no tienen elementos en común, las regiones no se superponen.
Un diagrama de Venn , por el contrario, es una representación gráfica de n conjuntos en los que los n bucles dividen el plano en 2 n zonas tales que para cada forma de seleccionar algunos de los n conjuntos (posiblemente todos o ninguno), hay una zona para los elementos que pertenecen a todos los conjuntos seleccionados ya ninguno de los demás. Por ejemplo, si los conjuntos son A , B y C , debe haber una zona para los elementos que están dentro de A y C y fuera de B (incluso si tales elementos no existen).
Conjuntos especiales de números en matemáticas.
Hay conjuntos de tal importancia matemática, a los que los matemáticos se refieren con tanta frecuencia, que han adquirido nombres especiales y convenciones de notación para identificarlos.
Muchos de estos conjuntos importantes están representados en textos matemáticos usando negrita (p. ej .) o negrita de pizarra (p. ej .). Éstos incluyen
- o , el conjunto de todos los números naturales : (a menudo, los autores excluyen 0 );
- o , el conjunto de todos los números enteros (ya sean positivos, negativos o cero): ;
- o , el conjunto de todos los números racionales (es decir, el conjunto de todas las fracciones propias e impropias ): . Por ejemplo, − 7/4∈ Q y 5 =5/1∈ Q ;
- o , el conjunto de todos los números reales , incluidos todos los números racionales y todos los números irracionales (que incluyen números algebraicos como el que no se puede reescribir como fracciones, así como números trascendentales como π y e );
- o , el conjunto de todos los números complejos : C = { a + bi | a , b ∈ R } , por ejemplo, 1 + 2 i ∈ C .
Cada uno de los conjuntos de números anteriores tiene un número infinito de elementos. Cada uno es un subconjunto de los conjuntos enumerados a continuación.
Los conjuntos de números positivos o negativos a veces se denotan con signos de más y menos en superíndice, respectivamente. Por ejemplo, representa el conjunto de los números racionales positivos.
Funciones
Una función (o mapeo ) de un conjunto A a un conjunto B es una regla que asigna a cada elemento de "entrada" de A una "salida" que es un elemento de B ; más formalmente, una función es un tipo especial de relación , que relaciona cada elemento de A con exactamente un elemento de B. Una función se llama
- inyectivo (o uno a uno) si asigna dos elementos diferentes de A a elementos diferentes de B ,
- sobreyectiva (o sobre) si para cada elemento de B , hay al menos un elemento de A que se aplica a él, y
- biyectiva (o una correspondencia uno a uno) si la función es tanto inyectiva como sobreyectiva; en este caso, cada elemento de A se empareja con un elemento único de B , y cada elemento de B se empareja con un elemento único de A , para que no haya elementos desapareados.
Una función inyectiva se llama inyección , una función sobreyectiva se llama sobreyección y una función biyectiva se llama biyección o correspondencia uno a uno .
Cardinalidad
La cardinalidad de un conjunto S , denotada | S | , es el número de miembros de S . Por ejemplo, si B = {azul, blanco, rojo} , entonces | B | = 3 . Los miembros repetidos en notación de lista no se cuentan, por lo que | {azul, blanco, rojo, azul, blanco} | = 3 , también.
Más formalmente, dos conjuntos comparten la misma cardinalidad si existe una correspondencia biunívoca entre ellos.
La cardinalidad del conjunto vacío es cero.
Conjuntos infinitos y cardinalidad infinita
La lista de elementos de algunos conjuntos es interminable, o infinita . Por ejemplo, el conjunto de los números naturales es infinito. De hecho, todos los conjuntos especiales de números mencionados en la sección anterior son infinitos. Los conjuntos infinitos tienen cardinalidad infinita .
Algunas cardinalidades infinitas son mayores que otras. Podría decirse que uno de los resultados más significativos de la teoría de conjuntos es que el conjunto de números reales tiene mayor cardinalidad que el conjunto de números naturales. Los conjuntos con cardinalidad menor o igual a la de se denominan conjuntos contables ; estos son conjuntos finitos o conjuntos contablemente infinitos (conjuntos de la misma cardinalidad que ); algunos autores usan "contable" para significar "contablemente infinito". Los conjuntos con cardinalidad estrictamente mayor que la de se denominan conjuntos incontables .
Sin embargo, se puede demostrar que la cardinalidad de una línea recta (es decir, el número de puntos en una línea) es la misma que la cardinalidad de cualquier segmento de esa línea, de todo el plano y, de hecho, de cualquier euclidiana de dimensión finita. espacio _
La hipótesis del continuo
La Hipótesis del Continuo, formulada por Georg Cantor en 1878, es la afirmación de que no existe ningún conjunto con cardinalidad estrictamente entre la cardinalidad de los números naturales y la cardinalidad de una línea recta. En 1963, Paul Cohen demostró que la hipótesis del continuo es independiente del sistema de axiomas ZFC que consiste en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección . (ZFC es la versión más estudiada de la teoría axiomática de conjuntos).
Conjuntos de poder
El conjunto potencia de un conjunto S es el conjunto de todos los subconjuntos de S. El conjunto vacío y el propio S son elementos del conjunto potencia de S , porque ambos son subconjuntos de S. Por ejemplo, el conjunto potencia de {1, 2, 3} es {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1 , 2, 3}} . El conjunto potencia de un conjunto S se escribe comúnmente como P ( S ) o 2 S .
Si S tiene n elementos, entonces P ( S ) tiene 2 n elementos. Por ejemplo, {1, 2, 3} tiene tres elementos y su conjunto potencia tiene 2 3 = 8 elementos, como se muestra arriba.
Si S es infinito (ya sea contable o incontable ), entonces P ( S ) es incontable. Además, el conjunto potencia siempre es estrictamente "más grande" que el conjunto original, en el sentido de que cualquier intento de emparejar los elementos de S con los elementos de P ( S ) dejará algunos elementos de P ( S ) sin emparejar. (Nunca hay una biyección de S sobre P ( S ) .)
Particiones
Una partición de un conjunto S es un conjunto de subconjuntos no vacíos de S , tal que cada elemento x en S está exactamente en uno de estos subconjuntos. Es decir, los subconjuntos son separados por pares (lo que significa que dos conjuntos cualesquiera de la partición no contienen ningún elemento en común) y la unión de todos los subconjuntos de la partición es S .
Operaciones básicas
Hay varias operaciones fundamentales para construir nuevos conjuntos a partir de conjuntos dados.
sindicatos
Se pueden unir dos conjuntos: la unión de A y B , denotada por A ∪ B , es el conjunto de todas las cosas que son miembros de A o de B o de ambos.
Ejemplos:
- {1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}.
- {1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}.
- {1, 2, 3} ∪ {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}.
Algunas propiedades básicas de las uniones:
- UN ∪ segundo = segundo ∪ UN .
- UN ∪ ( segundo ∪ C ) = ( UN ∪ segundo ) ∪ C .
- UN ⊆ ( UN ∪ B ).
- UN ∪ UN = UN .
- UN ∪ ∅ = UN .
- A ⊆ B si y solo si A ∪ B = B .
Intersecciones
También se puede construir un nuevo conjunto determinando qué miembros tienen dos conjuntos "en común". La intersección de A y B , denotada por A ∩ B , es el conjunto de todas las cosas que son miembros tanto de A como de B. Si A ∩ B = ∅, entonces se dice que A y B son disjuntos .
Ejemplos:
- {1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}.
- {1, 2} ∩ {2, 3} = {2}.
- {1, 2} ∩ {3, 4} = ∅.
Algunas propiedades básicas de las intersecciones:
- UN ∩ segundo = segundo ∩ UN .
- UN ∩ ( segundo ∩ C ) = ( UN ∩ segundo ) ∩ C .
- UN ∩ segundo ⊆ UN .
- UN ∩ UN = UN .
- UN ∩ ∅ = ∅.
- A ⊆ B si y solo si A ∩ B = A .
complementos
También se pueden "restar" dos conjuntos. El complemento relativo de B en A (también llamado diferencia teórica de conjuntos de A y B ), denotado por A \ B (o A − B ), es el conjunto de todos los elementos que son miembros de A, pero no miembros de B . Es válido "sustraer" miembros de un conjunto que no están en el conjunto, como quitar el elemento verde del conjunto {1, 2, 3}; hacerlo no afectará a los elementos del conjunto.
En ciertos entornos, todos los conjuntos en discusión se consideran subconjuntos de un conjunto universal U dado . En tales casos, U \ A se denomina complemento absoluto o simplemente complemento de A , y se denota por A ′ o A c .
- A ′ = U \ A
Ejemplos:
- {1, 2} \ {1, 2} = ∅.
- {1, 2, 3, 4} \ {1, 3} = {2, 4}.
- Si U es el conjunto de enteros, E es el conjunto de enteros pares y O es el conjunto de enteros impares, entonces U \ E = E ′ = O .
Algunas propiedades básicas de los complementos incluyen las siguientes:
- UN \ segundo ≠ segundo \ UN para UN ≠ segundo .
- UN ∪ UN ′ = T .
- UN ∩ UN ′ = ∅.
- ( UN ′) ′ = UN .
- ∅ \ A = ∅.
- UN \ ∅ = UN .
- UN \ UN = ∅.
- A \ U = ∅.
- A \ A ′ = A y A ′ \ A = A ′.
- U ′ = ∅ y ∅′ = U .
- UN \ segundo = UN ∩ segundo ′ .
- si A ⊆ B entonces A \ B = ∅.
Una extensión del complemento es la diferencia simétrica , definida para los conjuntos A , B como
Por ejemplo, la diferencia simétrica de {7, 8, 9, 10} y {9, 10, 11, 12} es el conjunto {7, 8, 11, 12}. El conjunto potencia de cualquier conjunto se convierte en un anillo booleano con la diferencia simétrica como la suma del anillo (con el conjunto vacío como elemento neutro) y la intersección como la multiplicación del anillo.
producto cartesiano
Se puede construir un nuevo conjunto asociando cada elemento de un conjunto con cada elemento de otro conjunto. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B , denotado por A × B, es el conjunto de todos los pares ordenados ( a , b ) tales que a es un miembro de A y b es un miembro de B.
Ejemplos:
- {1, 2} × {rojo, blanco, verde} = {(1, rojo), (1, blanco), (1, verde), (2, rojo), (2, blanco), (2, verde) }.
- {1, 2} × {1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.
- {a, b, c} × {d, e, f} = {(a, d), (a, e), (a, f), (b, d), (b, e), (b, f), (c, d), (c, e), (c, f)}.
Algunas propiedades básicas de los productos cartesianos:
- A × ∅ = ∅.
- UN × ( segundo ∪ C ) = ( UN × segundo ) ∪ ( UN × C ).
- ( UN ∪ segundo ) × C = ( UN × C ) ∪ ( segundo × C ) .
Sean A y B conjuntos finitos; entonces la cardinalidad del producto cartesiano es el producto de las cardinalidades:
- | A × B | = | B × A | = | un | × | B |.
Aplicaciones
Los conjuntos son omnipresentes en las matemáticas modernas. Por ejemplo, las estructuras en álgebra abstracta , como grupos , campos y anillos , son conjuntos cerrados bajo una o más operaciones.
Una de las principales aplicaciones de la teoría ingenua de conjuntos es en la construcción de relaciones . Una relación de un dominio A a un codominio B es un subconjunto del producto cartesiano A × B. Por ejemplo, considerando el conjunto S = {piedra, papel, tijera} de formas en el juego del mismo nombre, la relación "latidos" de S a S es el conjunto B = {(tijeras, papel), (papel, piedra ), (piedra, tijeras)} ; por lo tanto, x vence a y en el juego si el par ( x , y ) es miembro de B. Otro ejemplo es el conjunto F de todos los pares ( x , x 2 ) , donde x es real. Esta relación es un subconjunto de R × R , porque el conjunto de todos los cuadrados es un subconjunto del conjunto de todos los números reales. Dado que para cada x en R , se encuentra uno y solo un par ( x ,...) en F , se llama función . En notación funcional, esta relación se puede escribir como F ( x ) = x 2 .
Principio de inclusión y exclusión
El principio de inclusión-exclusión es una técnica de conteo que se puede usar para contar el número de elementos en una unión de dos conjuntos, si se conocen el tamaño de cada conjunto y el tamaño de su intersección. Se puede expresar simbólicamente como
Se puede usar una forma más general del principio para encontrar la cardinalidad de cualquier unión finita de conjuntos:
leyes de de morgan
Augustus De Morgan enunció dos leyes sobre los conjuntos.
Si A y B son dos conjuntos cualesquiera, entonces,
- ( UN ∪ segundo ) ′ = UN ′ ∩ segundo ′
El complemento de A unión B es igual al complemento de A intersecado con el complemento de B.
- ( UN ∩ segundo ) ′ = UN ′ ∪ segundo ′
El complemento de A cortado con B es igual al complemento de A unido al complemento de B.
Ver también
notas
Referencias
- Dauben, Joseph W. (1979). Georg Cantor: Sus Matemáticas y Filosofía del Infinito . Boston: Prensa de la Universidad de Harvard . ISBN 0-691-02447-2.
- Halmos, Paul R. (1960). Teoría de conjuntos ingenua . Princeton, Nueva Jersey: Van Nostrand. ISBN 0-387-90092-6.
- Stoll, Robert R. (1979). Teoría y Lógica de Conjuntos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover . ISBN 0-486-63829-4.
- Velleman, Daniel (2006). Cómo demostrarlo: un enfoque estructurado . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-67599-5.
enlaces externos
- La definición del diccionario de conjunto en Wikcionario
- "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre" de Cantor (en alemán)