Familia de conjuntos - Family of sets

En la teoría de conjuntos y las ramas relacionadas de las matemáticas , una colección F de subconjuntos de A dado conjunto S se llama una familia de subconjuntos de S , o una familia de conjuntos más de S . De manera más general, una colección de todos los conjuntos de ningún tipo que se llama una familia de conjuntos o un conjunto familiar o una puesta a punto del sistema .

El término "colección" se utiliza aquí porque, en algunos contextos, se puede permitir que una familia de conjuntos contenga copias repetidas de cualquier miembro dado, y en otros contextos puede formar una clase adecuada en lugar de un conjunto.

Una familia finita de subconjuntos de un conjunto finito S también se denomina hipergráfico .

Ejemplos de

• El conjunto potencia P ( S ) es una familia de conjuntos de más de S .
• Los k -subconjuntos S ^{( k )} de un conjunto S (es decir, un subconjunto de S con el número de elementos del subconjunto como k ) forman una familia de conjuntos.
• Sea S = {a, b, c, 1,2}, un ejemplo de una familia de conjuntos sobre S (en el sentido de conjuntos múltiples ) viene dado por F = {A ₁ , A ₂ , A ₃ , A ₄ } donde A ₁ = {a, b, c}, A ₂ = {1,2}, A ₃ = {1,2} y A ₄ = {a, b, 1}.
• La clase Ord de todos los números ordinales es una gran familia de conjuntos; es decir, no es un conjunto en sí mismo, sino una clase propiamente dicha .

Propiedades

• Cualquier familia de subconjuntos de S es en sí misma un subconjunto del conjunto de potencias P ( S ) si no tiene miembros repetidos.
• Cualquier familia de conjuntos sin repeticiones es una subclase de la clase V adecuada de todos los conjuntos (el universo ).
• El teorema del matrimonio de Hall , debido a Philip Hall , da las condiciones necesarias y suficientes para que una familia finita de conjuntos no vacíos (se permiten repeticiones) tenga un sistema de representantes distintos .

Conceptos relacionados

Ciertos tipos de objetos de otras áreas de las matemáticas son equivalentes a familias de conjuntos, en el sentido de que pueden describirse simplemente como una colección de conjuntos de objetos de algún tipo:

• Un hipergráfico , también llamado sistema de conjuntos, está formado por un conjunto de vértices junto con otro conjunto de hipergrafias , cada uno de los cuales puede ser un conjunto arbitrario. Los hipergrafos de un hipergrafo forman una familia de conjuntos, y cualquier familia de conjuntos puede interpretarse como un hipergrafo que tiene la union de los conjuntos como sus vrtices.
• Un complejo simplicial abstracto es una abstracción combinatoria de la noción de complejo simplicial , una forma formada por uniones de segmentos de línea, triángulos, tetraedros y simplices de dimensiones superiores , unidos cara a cara. En un complejo simplicial abstracto, cada simplex se representa simplemente como el conjunto de sus vértices. Cualquier familia de conjuntos finitos sin repeticiones en la que los subconjuntos de cualquier conjunto de la familia también pertenecen a la familia forma un complejo simplicial abstracto.
• Una estructura de incidencia consta de un conjunto de puntos , un conjunto de líneas y una relación binaria (arbitraria) , denominada relación de incidencia , que especifica qué puntos pertenecen a qué líneas. Una estructura de incidencia se puede especificar mediante una familia de conjuntos (incluso si dos líneas distintas contienen el mismo conjunto de puntos), los conjuntos de puntos que pertenecen a cada línea y cualquier familia de conjuntos se puede interpretar como una estructura de incidencia de esta manera.
• Un código de bloque binario consta de un conjunto de palabras de código, cada una de las cuales es una cadena de 0 y 1, todas de la misma longitud. Cuando cada par de palabras de código tiene una gran distancia de Hamming , se puede utilizar como código de corrección de errores . Un código de bloque también se puede describir como una familia de conjuntos, describiendo cada palabra de código como el conjunto de posiciones en las que contiene un 1.
• Un espacio topológico consta de un par (X, τ) donde X es un conjunto (llamados puntos ) y τ es una familia de conjuntos (llamados conjuntos abiertos ) sobre X. τ debe contener tanto el conjunto vacío como X, y está cerrado bajo unión de conjuntos e intersección de conjuntos finitos.

Tipos especiales de familias de conjuntos

Una familia Sperner es una familia de conjuntos en la que ninguno de los conjuntos contiene a los demás. El teorema de Sperner limita el tamaño máximo de una familia de Sperner.

Una familia Helly es una familia de conjuntos tal que cualquier subfamilia mínima con intersección vacía tiene un tamaño limitado. El teorema de Helly establece que los conjuntos convexos en los espacios euclidianos de dimensión acotada forman familias de Helly.

Un complejo simplicial extracto es un conjunto familiar F que está hacia abajo-cerrado , es decir, cada subconjunto de un conjunto en F también está en F . Un matroide es un complejo simplicial abstracto con una propiedad adicional llamada propiedad de aumento .

Las familias de los conjuntos${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$ más${\ Displaystyle \ Omega}$
Necesariamente cerrado bajo :	${\ Displaystyle A \ cap B}$	${\ displaystyle {\ begin {alignedat} {4} & A_ {1} \ cap A_ {2} \ cap \ cdots \, \\ & {\ text {donde}} A_ {i} \ Searrow \ end {alignedat}} }$	${\ Displaystyle A_ {1} \ cap A_ {2} \ cap \ cdots}$	FIP	Dirigido por${\ Displaystyle \, \ supseteq}$	${\ Displaystyle A \ cup B}$	${\ Displaystyle A_ {1} \ sqcup A_ {2} \ sqcup \ cdots}$	${\ displaystyle {\ begin {alignedat} {4} & A_ {1} \ cup A_ {2} \ cup \ cdots \, \\ & {\ text {donde}} A_ {i} \ nearrow \ end {alignedat}} }$	${\ Displaystyle A_ {1} \ cup A_ {2} \ cup \ cdots}$	${\ Displaystyle \ Omega \ setminus A}$	${\ Displaystyle A \ setminus B}$	${\ Displaystyle \ varnothing \ in {\ mathcal {F}}}$	${\ Displaystyle \ Omega \ in {\ mathcal {F}}}$
Clase monótona
π -sistema
𝜆-sistema ( sistema Dynkin)
Anillo (teoría del orden)
Anillo (teoría de la medida)
Anillo δ
𝜎-Anillo
Álgebra (campo)
𝜎-Álgebra (𝜎-Campo)
Ideal dual
Filtrar												${\ Displaystyle \ varnothing \ not \ in {\ mathcal {F}}}$
Prefiltro (base del filtro)												${\ Displaystyle \ varnothing \ not \ in {\ mathcal {F}}}$
Filtrar subbase												${\ Displaystyle \ varnothing \ not \ in {\ mathcal {F}}}$
Necesariamente cerrado bajo :	intersecciones finitas	intersecciones decrecientes contables	intersecciones contables	Propiedad de intersección finita	Dirigido hacia abajo	uniones finitas	uniones disjuntas contables	uniones crecientes contables	uniones contables	complementos	complementos relativos	contiene ${\ Displaystyle \ varnothing}$	contiene ${\ Displaystyle \ Omega}$
Se supone que todas las familias no están vacías. ${\ Displaystyle A, B, A_ {1}, A_ {2}, \ ldots}$son elementos arbitrarios de denota una unión de conjuntos disjuntos por pares (denominada unión disjunta ). Además, un semialgebra o semiring es un π -sistema que cada complemento es igual a una unión disjunta de conjuntos finitos de${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}.}$ ${\ Displaystyle \, \ sqcup \,}$ ${\ Displaystyle \ Omega \ setminus A}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}.}$

Ver también

• Álgebra de conjuntos
• Clase (teoría de conjuntos)
• Diseño combinatorio
• anillo δ
• Campo de conjuntos
• Familia indexada
• sistema λ (sistema Dynkin)
• sistema π
• Anillo de conjuntos
• La paradoja de Russell (o conjunto de conjuntos que no se contienen a sí mismos )
• σ-álgebra
• anillo σ

Notas

Referencias

• Biggs, Norman L. (1985), Matemáticas discretas , Oxford: Clarendon Press, ISBN 0-19-853252-0
• Brualdi, Richard A. (2010), Introducción a la combinatoria (5a ed.), Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall, ISBN 0-13-602040-2
• Roberts, Fred S .; Tesman, Barry (2009), Applied Combinatorics (2.a ed.), Boca Raton: CRC Press, ISBN 978-1-4200-9982-9

enlaces externos

• Medios relacionados con las familias Set en Wikimedia Commons