Semidiferenciabilidad - Semi-differentiability

En el cálculo , una rama de las matemáticas , las nociones de diferenciabilidad de un solo lado y semi-diferenciabilidad de un verdadero -valued función f de una variable real son más débiles que diferenciabilidad . Específicamente, se dice que la función f es derivable a la derecha en un punto a si, en términos generales, se puede definir una derivada cuando el argumento de la función x se mueve a a desde la derecha, y se puede diferenciar a la izquierda en a si la derivada se puede definir como x se mueve a a desde la izquierda.

Caso unidimensional

Esta función no tiene derivada en el punto marcado, ya que la función no es continua allí. Sin embargo, tiene una derivada derecha en todos los puntos, siendo constantemente igual a 0.

{\ estilo de visualización \ parcial _ {+} f (a)}

En matemáticas , una derivada izquierda y una derivada derecha son derivadas (tasas de cambio de una función) definidas para el movimiento en una sola dirección (izquierda o derecha; es decir, a valores más bajos o más altos) por el argumento de una función.

Definiciones

Sea f una función de valor real definida en un subconjunto I de los números reales.

Si $a \in I$ es un punto límite de $I \cap$ $[a, \infty)$ y el límite unilateral

{\ Displaystyle \ parcial _ {+} f (a): = \ lim _ {\ scriptstyle x \ to a ^ {+} \ sobre \ scriptstyle x \ in I} {\ frac {f (x) -f (a )} {xa}}}

existe como un número real, entonces f se llama derecho diferenciable en una y el límite ∂ ₊ f ( un ) se llama el derivado derecha de f en una .

Si $a \in I$ es un punto límite de $I \cap$ $(-\infty, a]$ y el límite unilateral

{\ Displaystyle \ parcial _ {-} f (a): = \ lim _ {\ scriptstyle x \ to a ^ {-} \ sobre \ scriptstyle x \ in I} {\ frac {f (x) -f (a )} {xa}}}

existe como un número real, entonces f se llama dejó diferenciable en una y el límite ∂ _- f ( a ) se denomina derivado izquierda de f en una .

Si $a \in I$ es un punto límite de $I \cap$ $[a, \infty)$ y $I \cap (-\infty, a]$ y si f es diferenciable por la izquierda y por la derecha en a , entonces f se llama semidiferenciable en a .

Si las derivadas izquierda y derecha son iguales, entonces tienen el mismo valor que la derivada habitual ("bidireccional"). También se puede definir una derivada simétrica , que es igual a la media aritmética de las derivadas izquierda y derecha (cuando ambas existen), por lo que la derivada simétrica puede existir cuando la derivada habitual no existe.

Observaciones y ejemplos

Una función es diferenciable en un punto interior de una de su dominio si y sólo si es semi-diferenciable en una y el derivado de la izquierda es igual a la derivada derecha.
Un ejemplo de función semidiferenciable, que no es diferenciable, es el valor absoluto en a = 0.
Si una función es semidiferenciable en un punto a , implica que es continua en a .
La función del indicador 1 _{[0, ∞)} es diferenciable en cada derecho real de una , pero discontinua en cero (nota que esta función indicadora no se deja diferenciable en cero).

Solicitud

Si una función diferenciable f de valor real , definida en un intervalo I de la recta real, tiene derivada cero en todas partes, entonces es constante, como muestra una aplicación del teorema del valor medio . El supuesto de diferenciabilidad puede debilitarse a la continuidad y diferenciabilidad unilateral de f . La versión para funciones diferenciables a la derecha se da a continuación, la versión para funciones diferenciables a la izquierda es análoga.

Teorema - Sea f una función continua de valor real , definida en un intervalo arbitrario I de la línea real. Si f es derivable a la derecha en todos los puntos $a \in I$ , que no es el superior del intervalo, y si esta derivada derecha es siempre cero, entonces f es constante .

Prueba -

Para una prueba por contradicción , suponga que existe $a < b$ en I tal que $f (a) \neq f (b)$ . Luego

{\ Displaystyle \ varepsilon: = {\ frac {| f (b) -f (a) |} {2 (ba)}}> 0.}

Definir c como el mínimo de todos aquellos x en el intervalo $(a, b]$ para los cuales el cociente de diferencia de f excede ε en valor absoluto, es decir

{\ Displaystyle c = \ inf \ {\, x \ in (a, b] \ mid | f (x) -f (a) |> \ varepsilon (xa) \, \}.}

Debido a la continuidad de f , se deduce que $c < b$ y $| f (c) - f (a) | = ε (c - a)$ . En c, la derivada derecha de f es cero por supuesto, por lo tanto existe d en el intervalo $(c, b]$ con $| f (x) - f (c) | \leq ε (x - c)$ para todo x en $(c, d]$ . Por lo tanto, por la desigualdad del triángulo ,

{\ Displaystyle | f (x) -f (a) | \ leq | f (x) -f (c) | + | f (c) -f (a) | \ leq \ varepsilon (xa)}

para todo x en $[c, d)$ , lo que contradice la definición de c .

Operadores diferenciales que actúan a izquierda o derecha.

Otro uso común es describir las derivadas tratadas como operadores binarios en notación infija , en la que las derivadas deben aplicarse a los operandos izquierdo o derecho . Esto es útil, por ejemplo, al definir generalizaciones del paréntesis de Poisson . Para un par de funciones f y g, las derivadas izquierda y derecha se definen respectivamente como

{\ Displaystyle f {\ stackrel {\ leftarrow} {\ parcial}} _ {x} g = {\ frac {\ parcial f} {\ parcial x}} \ cdot g}

{\ Displaystyle f {\ stackrel {\ rightarrow} {\ parcial}} _ {x} g = f \ cdot {\ frac {\ parcial g} {\ parcial x}}.}

En notación bra-ket , el operador de derivada puede actuar en el operando derecho como derivada regular o en el izquierdo como derivada negativa.

Caso de mayor dimensión

Esta definición anterior se puede generalizar a funciones de valor real f definidas en subconjuntos de R ⁿ usando una versión más débil de la derivada direccional . Sea a un punto interior del dominio de f . Entonces f se llama semidiferenciable en el punto a si para cada dirección u ∈ R ⁿ el límite

{\ Displaystyle \ parcial _ {u} f (a) = \ lim _ {h \ to 0 ^ {+}} {\ frac {f (a + h \, u) -f (a)} {h}} }

existe como un número real.

La semidiferenciabilidad es, por tanto, más débil que la diferenciabilidad de Gateaux , para la cual se toma el límite por encima de h → 0 sin restringir h solo a valores positivos.

Por ejemplo, la función es semidiferenciable en , pero no Gateaux diferenciable allí. ${\ Displaystyle f (x, y) = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle (0,0)}$

(Tenga en cuenta que esta generalización no es equivalente a la definición original para n = 1 ya que el concepto de puntos límite unilaterales se reemplaza por el concepto más fuerte de puntos interiores).

Propiedades

Cualquier función convexa en un subconjunto abierto convexo de R ⁿ es semidiferenciable.
Si bien cada función semidiferenciable de una variable es continua; esto ya no es cierto para varias variables.

Generalización

En lugar de funciones con valores reales, se pueden considerar funciones que toman valores en R ⁿ o en un espacio de Banach .

Ver también

Referencias

Preda, V .; Chiţescu, I. (1999). "Sobre la calificación de restricciones en problemas de optimización multiobjetivo: caso semidiferenciable". J. Optim. Teoría Appl . 100 (2): 417–433. doi : 10.1023 / A: 1021794505701 .

Languages

In other projects