Serie Laurent - Laurent series

Una serie de Laurent se define con respecto a un punto c particular y un camino de integración γ. El camino de integración debe estar en un anillo, indicado aquí por el color rojo, dentro del cual f ( z ) es holomórfico ( analítico ).

En matemáticas , la serie de Laurent de una función compleja f ( z ) es una representación de esa función como una serie de potencias que incluye términos de grado negativo. Puede usarse para expresar funciones complejas en los casos en que no se puede aplicar una expansión de la serie de Taylor . La serie Laurent recibió su nombre y fue publicada por primera vez por Pierre Alphonse Laurent en 1843. Karl Weierstrass pudo haberla descubierto por primera vez en un artículo escrito en 1841, pero no se publicó hasta después de su muerte.

La serie de Laurent para una función compleja f ( z ) sobre un punto c está dada por

{\ Displaystyle f (z) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {n} (zc) ^ {n},}

donde a _n y c son constantes, con una _n definida por una integral de línea que generaliza la fórmula integral de Cauchy :

{\ Displaystyle a_ {n} = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ {\ gamma} {\ frac {f (z)} {(zc) ^ {n + 1}}} \ , dz.}

El camino de integración es en sentido antihorario alrededor de una curva de Jordan que encierra cy se encuentra en un anillo A en el que es holomórfico (analítico). La expansión para entonces será válida en cualquier lugar dentro del anillo. El anillo se muestra en rojo en la figura de la derecha, junto con un ejemplo de un camino de integración adecuado etiquetado . Si consideramos que es un círculo , donde , esto equivale a calcular los coeficientes complejos de Fourier de la restricción de a . El hecho de que estas integrales no se modifiquen por una deformación del contorno es una consecuencia inmediata del teorema de Green . ${\ Displaystyle \ gamma}$ ${\ Displaystyle f (z)}$ ${\ Displaystyle f (z)}$ ${\ Displaystyle \ gamma}$ ${\ Displaystyle \ gamma}$ ${\ Displaystyle | zc | = \ varrho}$ ${\ Displaystyle r <\ varrho <R}$ ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle \ gamma}$ ${\ Displaystyle \ gamma}$

También se puede obtener la serie de Laurent para una función compleja f ( z ) en . Sin embargo, esto es lo mismo que cuando (vea el ejemplo a continuación). ${\ Displaystyle z = \ infty}$ ${\ displaystyle R \ rightarrow \ infty}$

En la práctica, la fórmula integral anterior puede no ofrecer el método más práctico para calcular los coeficientes para una función dada ; en cambio, a menudo se ensambla la serie Laurent combinando expansiones conocidas de Taylor. Debido a que la expansión de Laurent de una función es única siempre que existe, cualquier expresión de esta forma que en realidad sea igual a la función dada en algún anillo debe ser en realidad la expansión de Laurent de . ${\ Displaystyle a_ {n}}$ ${\ Displaystyle f (z)}$ ${\ Displaystyle f (z)}$ ${\ Displaystyle f (z)}$

Serie Laurent convergente

e ^{−1 / x ²} y aproximaciones de Laurent: consulte el texto para la clave. A medida que aumenta el grado negativo de la serie Laurent, se acerca a la función correcta.

e ^{−1 / x ²} y sus aproximaciones de Laurent con el grado negativo en aumento. La vecindad alrededor de la singularidad cero nunca puede aproximarse.

Las series de Laurent con coeficientes complejos son una herramienta importante en el análisis complejo , especialmente para investigar el comportamiento de funciones cerca de singularidades .

Considere, por ejemplo, la función con . Como función real, es infinitamente diferenciable en todas partes; como función compleja, sin embargo, no es diferenciable en x = 0 . Reemplazando x con −1 / x ² en la serie de potencias para la función exponencial , obtenemos su serie de Laurent que converge y es igual af ( x ) para todos los números complejos x excepto en la singularidad x = 0 . La gráfica de enfrente muestra e ^{−1 /}^x^² en negro y sus aproximaciones de Laurent ${\ Displaystyle f (x) = e ^ {- 1 / x ^ {2}}}$ ${\ Displaystyle f (0) = 0}$

{\ Displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {N} (- 1) ^ {n} \, {x ^ {- 2n} \ over n!}}

para N = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 y 50 . Cuando N → ∞, la aproximación se vuelve exacta para todos los números (complejos) x excepto en la singularidad x = 0.

De manera más general, la serie de Laurent se puede usar para expresar funciones holomórficas definidas en un anillo , de la misma manera que las series de potencias se usan para expresar funciones holomórficas definidas en un disco .

Suponer

{\ Displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {n} (zc) ^ {n}}

es una serie Laurent dada con coeficientes complejos a _n y un centro de complejo c . Entonces existe un radio interior único r y un radio exterior R tal que:

La serie de Laurent converge en el anillo abierto A ≡ { z : r <| z - c | < R } . Para decir que la serie de Laurent converge, queremos decir que tanto la serie de potencias de grado positivo como la serie de potencias de grado negativo convergen. Además, esta convergencia será uniforme en conjuntos compactos . Finalmente, la serie convergente define una función holomórfica f ( z ) en el anillo abierto.
Fuera del anillo, la serie de Laurent diverge. Es decir, en cada punto del exterior de A , la serie de potencias de grado positivo o la serie de potencias de grado negativo divergen.
Sobre el límite del anillo, no se puede hacer una declaración general, excepto para decir que hay al menos un punto en el límite interno y un punto en el límite externo de modo que f ( z ) no puede continuar holomórficamente hasta esos puntos.

Es posible que r sea cero o que R sea infinito; En el otro extremo, no es necesariamente cierto que r es menor que R . Estos radios se pueden calcular de la siguiente manera:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} r & = \ limsup _ {n \ to \ infty} | a _ {- n} | ^ {\ frac {1} {n}}, \\ {1 \ over R} & = \ limsup _ {n \ to \ infty} | a_ {n} | ^ {\ frac {1} {n}}. \ end {alineado}}}

Consideramos que R es infinito cuando este último límite es cero.

Por el contrario, si comenzamos con un anillo de la forma A ≡ { z : r <| z - c | < R } y una función holomórfica f ( z ) definida en A , entonces siempre existe una serie de Laurent única con centro c que converge (al menos) en A y representa la función f ( z ).

Como ejemplo, considere la siguiente función racional, junto con su expansión de fracción parcial :

{\ Displaystyle f (z) = {\ frac {1} {(z-1) (z-2i)}} = {\ frac {1 + 2i} {5}} \ left ({\ frac {1} { z-1}} - {\ frac {1} {z-2i}} \ derecha).}

Esta función tiene singularidades en z = 1 y z = 2 i , donde el denominador de la expresión es cero y, por tanto, la expresión no está definida. Una serie de Taylor alrededor de z = 0 (que produce una serie de potencias) solo convergerá en un disco de radio 1, ya que "golpea" la singularidad en 1.

Sin embargo, hay tres posibles expansiones de Laurent alrededor de 0, dependiendo del radio de z :

Una serie se define en el disco interior donde | z | <1; es lo mismo que la serie Taylor, ${\ Displaystyle f (z) = {\ frac {1 + 2i} {5}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {(2i) ^ {n + 1}}} - 1 \ derecha) z ^ {n}.}$ Esto se sigue de la forma de fracción parcial de la función, junto con la fórmula para la suma de una serie geométrica , para . ${\ textstyle {\ frac {1} {za}} = - {\ frac {1} {a}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left ({\ tfrac {z} {a} } \ right) ^ {n}}$ ${\ Displaystyle | z | <| a |}$
La segunda serie se define en el anillo medio donde 1 <| z | está atrapado entre las dos singularidades: ${\ Displaystyle f (z) = {\ frac {1 + 2i} {5}} \ left (\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} z ^ {- n} + \ sum _ {n = 0 } ^ {\ infty} {\ frac {1} {(2i) ^ {n + 1}}} z ^ {n} \ right).}$ Aquí, usamos la forma alternativa de la suma de series geométricas, para . ${\ textstyle {\ frac {1} {za}} = {\ frac {1} {z}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {a} {z}} \ right) ^ {n}}$ ${\ Displaystyle | a | <| z |}$
La tercera serie se define en el anillo exterior infinito donde 2 <| z | <∞ , (que también es la expansión de Laurent en ) ${\ Displaystyle z = \ infty}$ ${\ Displaystyle f (z) = {\ frac {1 + 2i} {5}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1- (2i) ^ {n-1} \ right) z ^ {- n}.}$ Esta serie se puede derivar usando series geométricas como antes, o realizando una división polinomial larga de 1 por ( x - 1) ( x - 2i) , sin detenerse con un resto sino continuar en términos x ^{- n} ; de hecho, la serie "externa" de Laurent de una función racional es análoga a la forma decimal de una fracción. (La expansión de la serie de Taylor "interna" se puede obtener de manera similar, simplemente invirtiendo el orden de los términos en el algoritmo de división).

El caso r = 0; es decir, una función holomórfica f ( z ) que puede no estar definida en un solo punto c , es especialmente importante. El coeficiente a ₋₁ de la expansión de Laurent de dicha función se llama residuo de f ( z ) en la singularidad c ; juega un papel destacado en el teorema del residuo . Para un ejemplo de esto, considere

{\ Displaystyle f (z) = {e ^ {z} \ over z} + e ^ {{1} / {z}}.}

Esta función es holomórfica en todas partes excepto en z = 0.

Para determinar la expansión de Laurent sobre c = 0, usamos nuestro conocimiento de la serie de Taylor de la función exponencial :

{\ Displaystyle f (z) = \ cdots + \ left ({1 \ over 3!} \ right) z ^ {- 3} + \ left ({1 \ over 2!} \ right) z ^ {- 2} + 2z ^ {- 1} +2+ \ left ({1 \ over 2!} \ Right) z + \ left ({1 \ over 3!} \ Right) z ^ {2} + \ left ({1 \ over 4!} \ Right) z ^ {3} + \ cdots.}

Encontramos que el residuo es 2.

Un ejemplo para expandir sobre : ${\ Displaystyle z = \ infty}$

{\ Displaystyle f (z) = {\ sqrt {1 + z ^ {2}}} - z = z \ left ({\ sqrt {1 + {\ frac {1} {z ^ {2}}}}} -1 \ right) = z \ left ({\ frac {1} {2z ^ {2}}} - {\ frac {1} {8z ^ {4}}} + {\ frac {1} {16z ^ { 6}}} - \ cdots \ right) = {\ frac {1} {2z}} - {\ frac {1} {8z ^ {3}}} + {\ frac {1} {16z ^ {5}} } - \ cdots.}

Unicidad

Suponga una función f ( z ) holomórfica en el anillo r <| z - c | < R tiene dos series Laurent:

{\ Displaystyle f (z) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {n} (zc) ^ {n} = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} b_ {n} (zc) ^ {n}.}

Multiplique ambos lados por , donde k es un número entero arbitrario, e integre en una trayectoria γ dentro del anillo, ${\ Displaystyle (zc) ^ {- k-1}}$

{\ Displaystyle \ oint _ {\ gamma} \, \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {n} (zc) ^ {nk-1} \, dz = \ oint _ {\ gamma } \, \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} b_ {n} (zc) ^ {nk-1} \, dz.}

La serie converge uniformemente en , donde ε es un número positivo lo suficientemente pequeño como para que γ esté contenido en el anillo cerrado constreñido, por lo que la integración y la suma pueden intercambiarse. Sustituyendo la identidad ${\ Displaystyle r + \ varepsilon \ leq | zc | \ leq R- \ varepsilon}$

{\ Displaystyle \ oint _ {\ gamma} \, (zc) ^ {nk-1} \, dz = 2 \ pi i \ delta _ {nk}}

en los rendimientos de la suma

{\ Displaystyle a_ {k} = b_ {k}.}

De ahí que la serie Laurent sea única.

Polinomios de Laurent

Un polinomio de Laurent es una serie de Laurent en la que solo un número finito de coeficientes son distintos de cero. Los polinomios de Laurent se diferencian de los polinomios ordinarios en que pueden tener términos de grado negativo.

Parte principal

La parte principal de una serie de Laurent es la serie de términos con grado negativo, es decir

{\ Displaystyle \ sum _ {k = - \ infty} ^ {- 1} a_ {k} (zc) ^ {k}.}

Si la parte principal de f es una suma finita, entonces f tiene un polo en c de orden igual (negativo) al grado del término más alto; por otro lado, si f tiene una singularidad esencial en c , la parte principal es una suma infinita (lo que significa que tiene infinitos términos distintos de cero).

Si el radio interno de convergencia de la serie de Laurent para f es 0, entonces f tiene una singularidad esencial en c si y solo si la parte principal es una suma infinita y tiene un polo en caso contrario.

Si el radio interno de convergencia es positivo, f puede tener infinitos términos negativos pero aún ser regular en c , como en el ejemplo anterior, en cuyo caso está representado por una serie de Laurent diferente en un disco alrededor de c .

Las series de Laurent con solo un número finito de términos negativos se comportan bien (son una serie de potencias divididas por y pueden analizarse de manera similar) mientras que las series de Laurent con infinitos términos negativos tienen un comportamiento complicado en el círculo interno de convergencia. ${\ Displaystyle z ^ {k}}$

Multiplicación y suma

En general, las series de Laurent no se pueden multiplicar. Algebraicamente, la expresión de los términos del producto puede involucrar infinitas sumas que no necesitan converger (no se puede tomar la convolución de sucesiones enteras). Geométricamente, las dos series de Laurent pueden tener anillos de convergencia no superpuestos.

Se pueden multiplicar dos series de Laurent con sólo un número finito de términos negativos: algebraicamente, las sumas son todas finitas; geométricamente, estos tienen polos en c , y un radio interior de convergencia 0, por lo que ambos convergen en un anillo superpuesto.

Por lo tanto, al definir una serie formal de Laurent , se requiere una serie de Laurent con solo un número finito de términos negativos.

De manera similar, la suma de dos series de Laurent convergentes no necesita converger, aunque siempre se define formalmente, pero la suma de dos delimitadas por debajo de la serie de Laurent (o cualquier serie de Laurent en un disco perforado) tiene un anillo de convergencia no vacío.

Además, para un campo , por la suma y la multiplicación definidas anteriormente, la serie formal de Laurent formaría un campo que es también el campo de fracciones del anillo de la serie formal de potencia . ${\ Displaystyle F}$ ${\ Displaystyle F ((x))}$ ${\ Displaystyle F [[x]]}$

Ver también

Serie Puiseux
Teorema de Mittag-Leffler
Serie formal de Laurent - Serie de Laurent considerada formalmente , con coeficientes de un anillo conmutativo arbitrario , sin tener en cuenta la convergencia, y con solo un número finito de términos negativos, por lo que la multiplicación siempre está definida.
Transformada Z : el caso especial en el que la serie de Laurent se toma alrededor de cero tiene mucho uso en el análisis de series de tiempo.
Serie de Fourier : la sustitución transforma una serie de Laurent en una serie de Fourier, o viceversa. Esto se usa en la expansión de la serie q de la invariante j . ${\ Displaystyle z = e ^ {\ pi iw}}$
Aproximante de Padé : otra técnica utilizada cuando una serie de Taylor no es viable.

Referencias

enlaces externos

"Serie Laurent" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Laurent series" , archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
Weisstein, Eric W. "Serie Laurent" . MathWorld .
Conjunto Laurent Series y Mandelbrot de Robert Munafo

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