Ecuaciones de Cauchy-Riemann - Cauchy–Riemann equations

Una representación visual de un vector X en un dominio multiplicado por un número complejo z, luego mapeado por f, versus mapeado por f y luego multiplicado por z. Si ambos dan como resultado que el punto termine en el mismo lugar para todo X y z, entonces f satisface la condición de Cauchy-Riemann

En el campo del análisis complejo en matemáticas , las ecuaciones de Cauchy-Riemann , nombradas en honor a Augustin Cauchy y Bernhard Riemann , consisten en un sistema de dos ecuaciones diferenciales parciales que, junto con ciertos criterios de continuidad y diferenciabilidad, forman una condición necesaria y suficiente para una función compleja a ser holomórfica (complejo diferenciable). Este sistema de ecuaciones apareció por primera vez en la obra de Jean le Rond d'Alembert . Posteriormente, Leonhard Euler conectó este sistema a las funciones analíticas . Cauchy luego usó estas ecuaciones para construir su teoría de funciones. La disertación de Riemann sobre la teoría de funciones apareció en 1851.

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann en un par de funciones con valores reales de dos variables reales u ( x , y ) y v ( x , y ) son las dos ecuaciones:

 

 

 

 

( 1a )

 

 

 

 

( 1b )

Típicamente u y v son llevados a ser los reales y partes imaginarias , respectivamente, de un complejo función -valued de una variable compleja única z = x + iy , f ( x + i Y ) = u ( x , Y ) + iv ( x , y ) . Supongamos que u y v son real diferenciable en un punto en un subconjunto abierto de C , que puede considerarse como funciones de R 2 a R . Esto implica que las derivadas parciales de u y v existe (a pesar de que no tienen que ser continua) y se puede aproximar pequeñas variaciones de f linealmente. Entonces f = u + i v es complejamente diferenciable en ese punto si y solo si las derivadas parciales de u y v satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann ( 1a ) y ( 1b ) en ese punto. La sola existencia de derivadas parciales que satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann no es suficiente para asegurar una diferenciabilidad compleja en ese punto. Es necesario que u y v ser real diferenciable, que es una condición más fuerte que la existencia de las derivadas parciales, pero en general, más débil que la diferenciabilidad continua.

La holomorfia es la propiedad de una función compleja de ser diferenciable en cada punto de un subconjunto abierto y conectado de C (esto se llama dominio en C ). En consecuencia, podemos afirmar que una función compleja f , cuyas partes real e imaginaria u y v son funciones reales-diferenciables, es holomorphic si y sólo si, las ecuaciones ( 1a ) y ( 1b ) se satisfacen durante todo el dominio que estamos tratando. Las funciones holomorfas son analíticas y viceversa. Esto significa que, en el análisis complejo, una función que es complejo-diferenciable en un dominio completo (holomorfa) es lo mismo que una función analítica. Esto no es cierto para las funciones diferenciables reales.

Ejemplo simple

Supongamos eso . La función de valor complejo es diferenciable en cualquier punto z del plano complejo.

La parte real y la parte imaginaria son

y sus derivadas parciales son

Vemos que efectivamente se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, y .

Interpretación y reformulación

Las ecuaciones son una forma de ver la condición de una función para ser diferenciable en el sentido de análisis complejo : en otras palabras, encapsulan la noción de función de una variable compleja por medio del cálculo diferencial convencional . En la teoría, hay varias otras formas importantes de considerar esta noción y, a menudo, se necesita la traducción de la condición a otro idioma.

Mapeos conformales

Primero, las ecuaciones de Cauchy-Riemann pueden escribirse en forma compleja

 

 

 

 

( 2 )

De esta forma, las ecuaciones corresponden estructuralmente a la condición de que la matriz jacobiana sea ​​de la forma

donde y . Una matriz de esta forma es la representación matricial de un número complejo . Geométricamente, dicha matriz es siempre la composición de una rotación con una escala y, en particular, conserva los ángulos . El jacobiano de una función f ( z ) toma segmentos de línea infinitesimales en la intersección de dos curvas en zy los gira a los segmentos correspondientes en f ( z ). En consecuencia, una función que satisfaga las ecuaciones de Cauchy-Riemann, con una derivada distinta de cero, conserva el ángulo entre las curvas en el plano. Es decir, las ecuaciones de Cauchy-Riemann son las condiciones para que una función sea conforme .

Además, debido a que la composición de una transformación conforme con otra transformación conforme también es conforme, la composición de una solución de las ecuaciones de Cauchy-Riemann con un mapa conforme debe resolver por sí misma las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Por tanto, las ecuaciones de Cauchy-Riemann son conforme invariantes.

Diferenciabilidad compleja

Suponer que

es una función de un número complejo . Entonces la derivada compleja de en un punto se define por

siempre que exista este límite.

Si este límite existe, entonces puede calcularse tomando el límite como a lo largo del eje real o eje imaginario; en cualquier caso, debería dar el mismo resultado. Acercándose por el eje real, se encuentra

Por otro lado, acercándonos por el eje imaginario,

La igualdad de la derivada de f tomada a lo largo de los dos ejes es

que son las ecuaciones de Cauchy-Riemann (2) en el punto  z 0 .

Por el contrario, si f  : C  →  C es una función que es derivable cuando se considera una función en R 2 , entonces f es derivable compleja si y solo si se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann. En otras palabras, si uyv son funciones diferenciables reales de dos variables reales, obviamente u + iv es una función diferenciable real (de valor complejo), pero u + iv es diferenciable complejo si y solo si el método de Cauchy-Riemann las ecuaciones se mantienen.

De hecho, tras Rudin, supongamos que f es una función compleja definida en un conjunto abierto Ω ⊂ C . Entonces, la escritura z = x + i y para cada z  ∈ Ω, uno puede también considerar Ω como un subconjunto abierto de R 2 , y f como una función de dos variables reales x y y , que mapea Ω ⊂ R 2 a C . Consideramos las ecuaciones de Cauchy-Riemann en z  = z 0 . Así asume f es diferenciable en z 0 , como una función de dos variables reales de Ω a C . Esto es equivalente a la existencia de la siguiente aproximación lineal

donde z = x + iy y ηz ) → 0 como Δ z → 0. Dado que y , lo anterior se puede reescribir como

Definiendo los dos derivados de Wirtinger como

en el límite, la igualdad anterior se puede escribir como

Ahora considere los valores potenciales de cuándo se toma el límite en el origen. Para z a lo largo de la línea real, entonces . De manera similar, para z puramente imaginario tenemos que el valor de no está bien definido en el origen. Es fácil verificar que no está bien definido en ningún complejo z , por lo tanto, f es complejo diferenciable en z 0 si y solo si en . Pero estas son exactamente las ecuaciones de Cauchy-Riemann, por lo que f es derivable en z 0 si y sólo si las ecuaciones de Cauchy-Riemann se mantienen en  z 0 .

Independencia del conjugado complejo

La prueba anterior sugiere otra interpretación de las ecuaciones de Cauchy-Riemann. El complejo conjugado de z , denotado , se define por

para x e y reales . Las ecuaciones de Cauchy-Riemann se pueden escribir como una sola ecuación.

 

 

 

 

( 3 )

utilizando la derivada de Wirtinger con respecto a la variable conjugada . De esta forma, las ecuaciones de Cauchy-Riemann se pueden interpretar como el enunciado de que f es independiente de la variable . Como tal, podemos ver las funciones analíticas como funciones verdaderas de una variable compleja en contraposición a funciones complejas de dos variables reales.

Interpretación física

Gráfico de contorno de un par de u y v satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Las líneas de corriente ( v  = constante, rojo) son perpendiculares a los equipotenciales ( u  = constante, azul). El punto (0,0) es un punto estacionario del flujo potencial, con seis líneas de corriente que se encuentran y seis equipotenciales que también se encuentran y bisecan los ángulos formados por las líneas de corriente.

Una interpretación física estándar de las ecuaciones de Cauchy-Riemann que se remonta al trabajo de Riemann sobre la teoría de funciones es que u representa un potencial de velocidad de un flujo de fluido estable incompresible en el plano, y v es su función de corriente . Suponga que el par de funciones (dos veces continuamente diferenciables) satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Tomaremos u como un potencial de velocidad, lo que significa que imaginamos un flujo de fluido en el plano tal que el vector de velocidad del fluido en cada punto del plano es igual al gradiente de u , definido por

Al diferenciar las ecuaciones de Cauchy-Riemann por segunda vez, se muestra que u resuelve la ecuación de Laplace :

Es decir, u es una función armónica . Esto significa que la divergencia del gradiente es cero, por lo que el fluido es incompresible.

La función v también satisface la ecuación de Laplace, mediante un análisis similar. Además, las ecuaciones de Cauchy-Riemann implican que el producto escalar . Esto implica que el gradiente de u debe apuntar a lo largo de las curvas; así que estas son las líneas de flujo del flujo. Las curvas son las curvas equipotenciales del flujo.

Por tanto, se puede visualizar una función holomórfica trazando las dos familias de curvas de nivel y . Cerca de los puntos donde el gradiente de u (o, equivalentemente, v ) no es cero, estas familias forman una familia ortogonal de curvas. En los puntos donde , los puntos estacionarios del flujo, se cruzan las curvas equipotenciales de . Las líneas de corriente también se cruzan en el mismo punto, bisecando los ángulos formados por las curvas equipotenciales.

Campo de vector armónico

Otra interpretación de las ecuaciones de Cauchy-Riemann se puede encontrar en Pólya & Szegő. Supongamos que u y v satisfacer las ecuaciones de Cauchy-Riemann en un abierto de R 2 , y considerar el campo vectorial

considerado como un vector (real) de dos componentes. Luego, la segunda ecuación de Cauchy-Riemann ( 1b ) afirma que es irrotacional (su rizo es 0):

La primera ecuación de Cauchy-Riemann ( 1a ) afirma que el campo vectorial es solenoide (o libre de divergencia ):

Debido, respectivamente, al teorema de Green y al teorema de la divergencia , tal campo es necesariamente conservador , y está libre de fuentes o sumideros, con un flujo neto igual a cero a través de cualquier dominio abierto sin huecos. (Estas dos observaciones se combinan como partes reales e imaginarias en el teorema de la integral de Cauchy ). En dinámica de fluidos , tal campo vectorial es un flujo potencial . En magnetostática , tales campos vectoriales modelan campos magnéticos estáticos en una región del plano que no contiene corriente. En electrostática , modelan campos eléctricos estáticos en una región del plano que no contiene carga eléctrica.

Esta interpretación puede reformularse de manera equivalente en el lenguaje de las formas diferenciales . El par u , v satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann si y solo si la forma única es tanto cerrada como cocerrada (una forma diferencial armónica ).

Preservación de estructura compleja.

Otra formulación de las ecuaciones de Cauchy-Riemann involucra la estructura compleja en el plano, dada por

Esta es una estructura compleja en el sentido de que el cuadrado de J es el negativo de la matriz de identidad 2 × 2: . Como arriba, si u ( x , y ), v ( x , y ) son dos funciones en el plano, ponga

La matriz jacobiana de f es la matriz de derivadas parciales

Entonces el par de funciones u , v satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann si y sólo si la matriz 2 × 2 Df conmuta con J .

Esta interpretación es útil en geometría simpléctica , donde es el punto de partida para el estudio de curvas pseudoholomorfas .

Otras representaciones

Otras representaciones de las ecuaciones de Cauchy-Riemann surgen ocasionalmente en otros sistemas de coordenadas . Si (1a) y (1b) son válidos para un par diferenciable de funciones u y v , entonces también lo hacen

para cualquier sistema de coordenadas ( n ( x , y ), s ( x , y )) tal que el par (∇ n , ∇ s ) sea ortonormal y esté orientado positivamente . Como consecuencia, en particular, en el sistema de coordenadas dado por la representación polar z = r e , las ecuaciones toman la forma

La combinación de estos en una ecuación para f da

Las ecuaciones no homogéneas de Cauchy-Riemann consisten en las dos ecuaciones para un par de funciones desconocidas u ( x , y ) y v ( x , y ) de dos variables reales

para algunas funciones dadas α ( x , y ) y β ( x , y ) definidas en un subconjunto abierto de R 2 . Estas ecuaciones generalmente se combinan en una sola ecuación.

donde f = u + i v y φ = ( α + i β ) / 2.

Si φ es C k , entonces la ecuación no homogénea es explícitamente resoluble en cualquier dominio acotado D , a condición de φ es continua en el cierre de D . De hecho, por la fórmula integral de Cauchy ,

para todos zetaD .

Generalizaciones

El teorema de Goursat y sus generalizaciones

Suponga que f = u  + i v es una función de valores complejos que es derivable como una función f  : R 2R 2 . Entonces , el teorema de Goursat afirma que f es analítica en un dominio complejo abierto Ω si y solo si satisface la ecuación de Cauchy-Riemann en el dominio. En particular, no es necesario suponer la diferenciabilidad continua de f .

Las hipótesis del teorema de Goursat pueden debilitarse significativamente. Si f = u  + i v es continua en un conjunto abierto Ω y las derivadas parciales de f con respecto a x e y existe en Ω, y satisfacer las ecuaciones de Cauchy-Riemann en todo Ω, entonces f es holomorfa (y por tanto analítica). Este resultado es el teorema de Looman-Menchoff .

La hipótesis de que f obedece a las ecuaciones de Cauchy-Riemann en todo el dominio Ω es fundamental. Es posible construir una función continua que satisfaga las ecuaciones de Cauchy-Riemann en un punto, pero que no sea analítica en el punto (por ejemplo, f ( z ) = z 5  / | z | 4 ) . De manera similar, se necesitan algunos supuestos adicionales además de las ecuaciones de Cauchy-Riemann (como la continuidad), como ilustra el siguiente ejemplo

que satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en todas partes, pero no es continuo en z  = 0.

Sin embargo, si una función satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en un conjunto abierto en un sentido débil , entonces la función es analítica. Más precisamente:

Si f ( z ) es localmente integrable en un dominio abierto Ω ⊂  C , y satisface débilmente las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces f concuerda casi en todas partes con una función analítica en Ω.

Este es, de hecho, un caso especial de un resultado más general sobre la regularidad de las soluciones de ecuaciones diferenciales parciales hipoelípticas .

Varias variables

Hay ecuaciones de Cauchy-Riemann, apropiadamente generalizadas, en la teoría de varias variables complejas . Forman un importante sistema sobredeterminado de PDE. Esto se hace usando una generalización sencilla de la derivada de Wirtinger , donde se requiere que la función en cuestión haga que la derivada de Wirtinger (parcial) con respecto a cada variable compleja desaparezca.

Formas diferenciales complejas

Como se formula a menudo, el operador de la barra d

aniquila las funciones holomorfas. Esto generaliza más directamente la formulación

dónde

Transformada de Bäcklund

Vistas como funciones armónicas conjugadas , las ecuaciones de Cauchy-Riemann son un ejemplo simple de una transformada de Bäcklund . Las transformadas de Bäcklund más complicadas, generalmente no lineales, como en la ecuación sinusoidal de Gordon , son de gran interés en la teoría de solitones y sistemas integrables .

Definición en el álgebra de Clifford

En el álgebra de Clifford, el número complejo se representa como dónde . El operador de la derivada fundamental en el álgebra de Clifford de números complejos se define como . La función se considera analítica si y solo si , que se puede calcular de la siguiente manera:

Agrupación por y :

Por lo tanto, en notación tradicional:

Mapeos conformales en dimensiones superiores

Sea Ω un conjunto abierto en el espacio euclidiano R n . La ecuación para que un mapeo que preserva la orientación sea ​​un mapeo conforme (es decir, que preserva el ángulo) es que

donde Df es la matriz jacobiana, con transposición , e I denota la matriz identidad. Para n = 2 , este sistema es equivalente a las ecuaciones estándar de Cauchy-Riemann de variables complejas y las soluciones son funciones holomórficas. En la dimensión n > 2 , esto todavía a veces se denomina sistema de Cauchy-Riemann, y el teorema de Liouville implica, bajo supuestos de suavidad adecuados, que cualquier mapeo de este tipo es una transformación de Möbius .

Ver también

Referencias

  • Gray, JD; Morris, SA (abril de 1978). "¿Cuándo es analítica una función que satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann?". The American Mathematical Monthly . 85 (4): 246-256. doi : 10.2307 / 2321164 . JSTOR  2321164 .
  • Looman, H. (1923). "Über die Cauchy – Riemannschen Differentialgleichungen". Göttinger Nachrichten (en alemán): 97–108.
  • Rudin, Walter (1966). Análisis real y complejo (3ª ed.). McGraw Hill (publicado en 1987). ISBN 0-07-054234-1.

Notas al pie

Otras lecturas

enlaces externos