Función armónica - Harmonic function

Una función armónica definida en un anillo .

En matemáticas , física matemática y la teoría de los procesos estocásticos , una función armónica es un dos veces continuamente diferenciable función f  : UR , donde U es un subconjunto abierto de R n , que satisface la ecuación de Laplace , que es,

por todas partes en U . Esto generalmente se escribe como

o

Etimología del término "armónico"

El descriptor "armónico" en el nombre función armónica se origina en un punto de una cuerda tensa que está experimentando un movimiento armónico . La solución de la ecuación diferencial para este tipo de movimiento se puede escribir en términos de senos y cosenos, funciones que se denominan armónicas . El análisis de Fourier implica la expansión de funciones en el círculo unitario en términos de una serie de estos armónicos. Considerando análogos dimensionales superiores de los armónicos en la unidad n -esfera , se llega a los armónicos esféricos . Estas funciones satisfacen la ecuación de Laplace y con el tiempo se utilizó "armónico" para referirse a todas las funciones que satisfacen la ecuación de Laplace.

Ejemplos de

Ejemplos de funciones armónicas de dos variables son:

  • Las partes reales e imaginarias de cualquier función holomórfica.
  • La función ; este es un caso especial del ejemplo anterior, ya que , y es una función holomórfica .
  • La función definida en . Esto puede describir el potencial eléctrico debido a una carga lineal o el potencial de gravedad debido a una masa cilíndrica larga.

En la siguiente tabla se dan ejemplos de funciones armónicas de tres variables con :

Función Singularidad
Carga puntual unitaria en origen
dipolo dirigido x en origen
Línea de densidad de carga unitaria en todo el eje z
Línea de densidad de carga unitaria en el eje z negativo
Línea de dipolos dirigidos a x en todo el eje z
Línea de dipolos dirigidos a x en el eje z negativo

Las funciones armónicas que surgen en física están determinadas por sus singularidades y condiciones de contorno (como las condiciones de contorno de Dirichlet o las condiciones de contorno de Neumann ). En regiones sin límites, la adición de la parte real o imaginaria de cualquier función completa producirá una función armónica con la misma singularidad, por lo que en este caso la función armónica no está determinada por sus singularidades; sin embargo, podemos hacer que la solución sea única en situaciones físicas al requerir que la solución se acerque a 0 cuando r se acerque al infinito. En este caso, la unicidad sigue el teorema de Liouville .

Los puntos singulares de las funciones armónicas anteriores se expresan como " cargas " y " densidades de carga " utilizando la terminología de la electrostática , por lo que la función armónica correspondiente será proporcional al potencial electrostático debido a estas distribuciones de carga. Cada función anterior producirá otra función armónica cuando se multiplica por una constante, se gira y / o se agrega una constante. La inversión de cada función producirá otra función armónica que tiene singularidades que son las imágenes de las singularidades originales en un "espejo" esférico. Además, la suma de dos funciones armónicas cualesquiera producirá otra función armónica.

Finalmente, ejemplos de funciones armónicas de n variables son:

  • Las funciones constante, lineal y afín en todo R n (por ejemplo, el potencial eléctrico entre las placas de un condensador y el potencial de gravedad de una losa)
  • La función está activada para n > 2.

Observaciones

El conjunto de funciones armónicas en un conjunto abierto dado U puede verse como el núcleo del operador de Laplace Δ y, por lo tanto, es un espacio vectorial sobre R : las combinaciones lineales de funciones armónicas son nuevamente armónicas.

Si f es una función armónica en U , entonces todas las derivadas parciales de f son también funciones armónicas en U . El operador de Laplace Δ y el operador de derivada parcial conmutarán en esta clase de funciones.

De varias formas, las funciones armónicas son análogos reales a las funciones holomórficas . Todas las funciones armónicas son analíticas , es decir, pueden expresarse localmente como series de potencias . Este es un hecho general sobre los operadores elípticos , de los cuales el Laplaciano es un ejemplo importante.

El límite uniforme de una secuencia convergente de funciones armónicas sigue siendo armónico. Esto es cierto porque toda función continua que satisface la propiedad del valor medio es armónica. Considere la secuencia en (−∞, 0) ×  R definida por . Esta secuencia es armónica y converge uniformemente a la función cero; sin embargo, tenga en cuenta que las derivadas parciales no son uniformemente convergentes a la función cero (la derivada de la función cero). Este ejemplo muestra la importancia de confiar en la propiedad del valor medio y la continuidad para argumentar que el límite es armónico.

Conexiones con la teoría de funciones complejas

La parte real e imaginaria de cualquier rendimiento función holomorfa funciones armónicas en R 2 (estos se dice que son un par de conjugados de armónicos funciones). A la inversa, cualquier función armónica u en un subconjunto abierto Ω de R 2 es localmente la parte real de una función holomórfica. Esto se ve inmediatamente al observar que, escribiendo z  =  x  +  iy , la función compleja g ( z ): =  u x  - i u y es holomorfa en Ω porque satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann . Por lo tanto, g localmente tiene una f primitiva , y u es la parte real de f hasta una constante, ya que u x es la parte real de .

Aunque la correspondencia anterior con funciones holomórficas solo es válida para funciones de dos variables reales, las funciones armónicas en n variables aún disfrutan de una serie de propiedades típicas de las funciones holomórficas. Son (reales) analíticos; tienen un principio máximo y un principio de valor medio; un teorema de eliminación de singularidades así como un teorema de Liouville son válidos para ellos en analogía con los teoremas correspondientes en la teoría de funciones complejas.

Propiedades de las funciones armónicas

Algunas propiedades importantes de las funciones armónicas se pueden deducir de la ecuación de Laplace.

Teorema de regularidad para funciones armónicas

Las funciones armónicas son infinitamente diferenciables en conjuntos abiertos. De hecho, las funciones armónicas son analíticas reales .

Principio máximo

Funciones armónicas satisfacen la siguiente principio del máximo : si K es un no vacío subconjunto compacto de U , entonces f restringido a K alcanza su máximo y mínimo en el límite de K . Si U está conectado , esto significa que f no puede tener máximos o mínimos locales, excepto en el caso excepcional donde f es constante . Se pueden mostrar propiedades similares para funciones subarmónicas .

La propiedad del valor medio

Si B ( x , r ) es una bola con centro x y radio r que está completamente contenida en el conjunto abierto Ω ⊂ R n , entonces el valor u ( x ) de una función armónica u : Ω → R en el centro de la bola viene dada por el valor medio de u en la superficie de la bola; este valor medio también es igual al valor medio de u en el interior de la bola. En otras palabras,

donde ω n es el volumen de la bola unitaria en n dimensiones y σ es la  medida de superficie ( n - 1) dimensional.

A la inversa, todas las funciones integrables localmente que satisfacen la propiedad del valor medio (volumen) son infinitamente diferenciables y armónicas.

En términos de convoluciones , si

denota la función característica de la bola con radio r sobre el origen, normalizada de modo que , la función u es armónica en Ω si y solo si

tan pronto como B ( x , r ) ⊂ Ω.

Bosquejo de la prueba. La prueba de la propiedad del valor medio de las funciones armónicas y su recíproca sigue inmediatamente observando que la ecuación no homogénea, para cualquier 0 < s < r

admite una solución explícita fácil w r, s de clase C 1,1 con soporte compacto en B (0, r ). Por tanto, si u es armónico en Ω

sostiene en el conjunto Ω r de todos los puntos x en con .

Dado que u es continua en Ω, u ∗ χ r converge a u cuando s → 0 mostrando la propiedad del valor medio para u en Ω. Por el contrario, si u es cualquier función que satisfaga la propiedad del valor medio en Ω, es decir,

se mantiene en Ω r para todo 0 < s < r entonces, iterando m veces la convolución con χ r uno tiene:

de modo que u es porque la convolución iterada m veces de χ r es de clase con soporte B (0, mr ). Desde r y m son arbitrarias, u es demasiado. Es más,

para todo 0 < s < r de modo que Δ u = 0 en Ω por el teorema fundamental del cálculo de variaciones, lo que demuestra la equivalencia entre la propiedad de la armonicidad y el valor medio.

Esta declaración de la propiedad del valor medio se puede generalizar de la siguiente manera: Si h es cualquier función simétrica esférica soportada en B ( x , r ) tal que ∫ h = 1, entonces u ( x ) = hu ( x ). En otras palabras, podemos tomar el promedio ponderado de u alrededor de un punto y recuperar u ( x ). En particular, al tomar h como una función C , podemos recuperar el valor de u en cualquier punto incluso si solo sabemos cómo actúa u como distribución . Vea el lema de Weyl .

La desigualdad de Harnack

Sea u una función armónica no negativa en un dominio acotado Ω. Luego, para cada conjunto conectado

La desigualdad de Harnack

se mantiene para alguna constante C que depende solo de V y Ω.

Eliminación de singularidades

El siguiente principio de eliminación de singularidades es válido para funciones armónicas. Si f es una función armónica definida en un subconjunto abierto punteado de R n , que es menos singular en x 0 que la solución fundamental (para ), eso es

entonces f se extiende a una función armónica en Ω (compare el teorema de Riemann para funciones de una variable compleja).

Teorema de Liouville

Teorema : Si f es una función armónica definida en todo R n que está acotado arriba o abajo, entonces f es constante.

(Compare el teorema de Liouville para funciones de una variable compleja ).

Edward Nelson dio una prueba particularmente breve de este teorema para el caso de funciones acotadas, usando la propiedad del valor medio mencionada anteriormente:

Dados dos puntos, elija dos bolas con los puntos dados como centros y de igual radio. Si el radio es lo suficientemente grande, las dos bolas coincidirán excepto por una proporción arbitrariamente pequeña de su volumen. Dado que f está acotada, sus promedios sobre las dos bolas son arbitrariamente cercanos, por lo que f asume el mismo valor en dos puntos cualesquiera.

La prueba se puede adaptar al caso en el que la función armónica f está simplemente delimitada por encima o por debajo. Al sumar una constante y posiblemente multiplicar por , podemos suponer que f no es negativo. Luego, para dos puntos cualesquiera y , y cualquier número positivo , dejamos . Luego consideramos las bolas y , según la desigualdad del triángulo, la primera bola está contenida en la segunda.

Por la propiedad de promediar y la monotonicidad de la integral, tenemos

(Tenga en cuenta que dado que es independiente de , lo denotamos simplemente como ). En la última expresión, podemos multiplicar y dividir por y usar la propiedad de promediado nuevamente, para obtener

Pero como , la cantidad

tiende a 1. Así, . El mismo argumento con los roles de y al revés muestra eso , entonces eso .

Generalizaciones

Función débilmente armónica

Una función (o, más generalmente, una distribución ) es débilmente armónica si satisface la ecuación de Laplace

en un sentido débil (o, de manera equivalente, en el sentido de distribuciones). Una función débilmente armónica coincide casi en todas partes con una función fuertemente armónica y, en particular, es suave. Una distribución débilmente armónica es precisamente la distribución asociada a una función fuertemente armónica y, por tanto, también es suave. Este es el lema de Weyl .

Hay otras formulaciones débiles de la ecuación de Laplace que a menudo son útiles. Uno de los cuales es el principio de Dirichlet , que representa funciones armónicas en el espacio de Sobolev H 1 (Ω) como minimizadores de la integral de energía de Dirichlet.

con respecto a las variaciones locales, es decir, todas las funciones tales que J ( u ) ≤ J ( u + v ) se cumple para todos o de manera equivalente, para todos

Funciones armónicas en colectores

Las funciones armónicas se pueden definir en una variedad riemanniana arbitraria , utilizando el operador Δ de Laplace-Beltrami . En este contexto, una función se llama armónica si

Muchas de las propiedades de las funciones armónicas en dominios en el espacio euclidiano se trasladan a esta configuración más general, incluido el teorema del valor medio (sobre bolas geodésicas ), el principio máximo y la desigualdad de Harnack. Con la excepción del teorema del valor medio, estas son consecuencias fáciles de los resultados correspondientes para las ecuaciones diferenciales parciales elípticas lineales generales de segundo orden.

Funciones subarmónicas

Una función C 2 que satisface Δ f ≥ 0 se llama subarmónica. Esta condición garantiza que se mantendrá el principio máximo, aunque otras propiedades de las funciones armónicas pueden fallar. De manera más general, una función es subarmónica si y solo si, en el interior de cualquier bola en su dominio, su gráfica se encuentra por debajo de la de la función armónica interpolando sus valores límite en la bola.

Formas armónicas

Una generalización del estudio de las funciones armónicas es el estudio de las formas armónicas en las variedades de Riemann , y está relacionada con el estudio de la cohomología . Además, es posible definir funciones armónicas con valores vectoriales, o mapas armónicos de dos variedades de Riemann, que son puntos críticos de una energía funcional de Dirichlet generalizada (esto incluye funciones armónicas como un caso especial, resultado conocido como principio de Dirichlet ). Este tipo de mapa armónico aparece en la teoría de superficies mínimas. Por ejemplo, una curva, es decir, un mapa de un intervalo en R a una variedad de Riemann, es un mapa armónico si y solo si es una geodésica .

Mapas de armónicos entre variedades

Si M y N son dos variedades de Riemann, entonces un mapa armónico u  : MN se define como un punto crítico de la energía de Dirichlet.

en el que du  : TMTN es el diferencial de u , y la norma es la inducida por la métrica en M y la de N en el paquete de producto tensorial T * Mu −1 TN .

Los casos especiales importantes de mapas armónicos entre variedades incluyen superficies mínimas , que son precisamente las inmersiones armónicas de una superficie en el espacio euclidiano tridimensional. De manera más general, las subvariedades mínimas son inmersiones armónicas de una variedad en otra. Las coordenadas armónicas son un difeomorfismo armónico de una variedad a un subconjunto abierto de un espacio euclidiano de la misma dimensión.

Ver también

Notas

Referencias

enlaces externos