Historia del concepto de función - History of the function concept

El concepto matemático de función surgió en el siglo XVII en relación con el desarrollo del cálculo ; por ejemplo, la pendiente de una gráfica en un punto se consideró como una función de la coordenada x del punto. Las funciones no se consideraron explícitamente en la antigüedad, pero algunos precursores del concepto tal vez puedan verse en el trabajo de filósofos y matemáticos medievales como Oresme .

Los matemáticos del siglo XVIII generalmente consideraban que una función estaba definida por una expresión analítica . En el siglo XIX, las exigencias del desarrollo riguroso del análisis por Weierstrass y otros, la reformulación de la geometría en términos de análisis y la invención de la teoría de conjuntos por Cantor , finalmente llevaron al concepto moderno mucho más general de una función como un Mapeo de un solo valor de un conjunto a otro.

Funciones anteriores al siglo XVII

Ya en el siglo XII, el matemático Sharaf al-Din al-Tusi analizó la ecuación x 3 + d = b  ⋅  x 2 en la forma x 2  ⋅ ( b - x ) = d , afirmando que el lado izquierdo debe ser al menos igual el valor de d para que la ecuación tenga una solución. Luego determinó el valor máximo de esta expresión. Es discutible que el aislamiento de esta expresión sea una aproximación temprana a la noción de "función". Un valor menor que d significa que no hay solución positiva; un valor igual ad corresponde a una solución, mientras que un valor mayor que d corresponde a dos soluciones. El análisis de Sharaf al-Din de esta ecuación fue un desarrollo notable en las matemáticas islámicas , pero su trabajo no se prosiguió más en ese momento, ni en el mundo musulmán ni en Europa.

Según Dieudonné y Ponte, el concepto de función surgió en el siglo XVII como resultado del desarrollo de la geometría analítica y el cálculo infinitesimal . Sin embargo, Medvedev sugiere que el concepto implícito de función es uno con un linaje antiguo. Ponte también ve enfoques más explícitos del concepto en la Edad Media :

Históricamente, se puede considerar que algunos matemáticos previeron y se acercaron a una formulación moderna del concepto de función. Entre ellos se encuentra Oresme (1323-1382) . . . En su teoría, parecen estar presentes algunas ideas generales sobre cantidades variables independientes y dependientes.

El desarrollo de la geometría analítica alrededor de 1640 los matemáticos les permite ir entre los problemas geométricos sobre las curvas y las relaciones algebraicas entre variables "coordenadas x e y ." El cálculo se desarrolló utilizando la noción de variables, con su significado geométrico asociado, que persistió hasta bien entrado el siglo XVIII. Sin embargo, la terminología de "función" se empezó a utilizar en las interacciones entre Leibniz y Bernoulli hacia finales del siglo XVII.

La noción de "función" en el análisis

El término "función" fue introducido literalmente por Gottfried Leibniz , en una carta de 1673, para describir una cantidad relacionada con puntos de una curva , como una coordenada o la pendiente de una curva . Johann Bernoulli comenzó a llamar "funciones" a expresiones compuestas por una sola variable. En 1698, estuvo de acuerdo con Leibniz en que cualquier cantidad formada "de manera algebraica y trascendental" puede llamarse función de x . En 1718, llegó a considerar como una función "cualquier expresión formada por una variable y algunas constantes". Alexis Claude Clairaut (aproximadamente en 1734) y Leonhard Euler introdujeron la notación familiar para el valor de una función.

Las funciones consideradas en aquellos tiempos se denominan hoy funciones diferenciables . Para este tipo de función, se puede hablar de límites y derivadas; ambas son medidas de la salida o el cambio en la salida, ya que depende de la entrada o del cambio en la entrada. Tales funciones son la base del cálculo .

Euler

En el primer volumen de su texto fundamental Introductio en infinitorum analysin , publicado en 1748, Euler dio esencialmente la misma definición de una función como su maestro Bernoulli, como una expresión o fórmula que implica variables y constantes por ejemplo, . La propia definición de Euler dice:

Una función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta de cualquier forma por la cantidad variable y los números o cantidades constantes.

Euler también permitió funciones de valores múltiples cuyos valores están determinados por una ecuación implícita.

En 1755, sin embargo, en sus Institutiones calculi differentialis , Euler dio un concepto más general de función:

Cuando ciertas cantidades dependen de otras de tal manera que sufren un cambio cuando las últimas cambian, entonces las primeras se denominan funciones de la segunda. Este nombre tiene un carácter extremadamente amplio; abarca todas las formas en que una cantidad puede determinarse en términos de otras.

Medvedev considera que "en esencia, esta es la definición que se conoció como la definición de Dirichlet". Edwards también acredita a Euler con un concepto general de una función y dice además que

No se piensa que las relaciones entre estas cantidades estén dadas por fórmulas, pero, por otro lado, seguramente no se las considera como el tipo de subconjuntos generales de la teoría de conjuntos, todo vale, de espacios de producto que los matemáticos modernos quieren decir cuando usan la palabra "función".

Fourier

En su Théorie Analytique de la Chaleur, Fourier afirmó que una función arbitraria podría estar representada por una serie de Fourier . Fourier tenía una concepción general de una función, que incluía funciones que no eran continuas ni definidas por una expresión analítica. Preguntas relacionadas sobre la naturaleza y representación de funciones, que surgen de la solución de la ecuación de onda para una cuerda en vibración, ya habían sido objeto de disputa entre d'Alembert y Euler, y tuvieron un impacto significativo en la generalización de la noción de función. . Luzin observa que:

La comprensión moderna de la función y su definición, que nos parece correcta, sólo pudo surgir después del descubrimiento de Fourier. Su descubrimiento mostró claramente que la mayoría de los malentendidos que surgieron en el debate sobre la cuerda vibrante fueron el resultado de confundir dos conceptos aparentemente idénticos pero en realidad muy diferentes, a saber, el de función y el de su representación analítica. De hecho, antes del descubrimiento de Fourier no se trazó ninguna distinción entre los conceptos de "función" y de "representación analítica", y fue este descubrimiento el que provocó su desconexión.

Cauchy

Durante el siglo XIX, los matemáticos comenzaron a formalizar todas las diferentes ramas de las matemáticas. Uno de los primeros en hacerlo fue Cauchy ; sus resultados algo imprecisos fueron luego hechos completamente rigurosos por Weierstrass , quien defendió construir el cálculo sobre la aritmética más que sobre la geometría , lo que favoreció la definición de Euler sobre la de Leibniz (ver aritmetización del análisis ). Según Smithies, Cauchy pensaba que las funciones se definían mediante ecuaciones que implicaban números reales o complejos , y supuso tácitamente que eran continuas:

Cauchy hace algunas observaciones generales sobre las funciones en el Capítulo I, Sección 1 de su Analyse algébrique (1821). Por lo que dice allí, queda claro que normalmente considera que una función está definida por una expresión analítica (si es explícita) o por una ecuación o un sistema de ecuaciones (si es implícita); donde se diferencia de sus predecesores es que está preparado para considerar la posibilidad de que una función pueda definirse solo para un rango restringido de la variable independiente.

Lobachevsky y Dirichlet

A Nikolai Lobachevsky y Peter Gustav Lejeune Dirichlet se les atribuye tradicionalmente el mérito de dar de forma independiente la definición "formal" moderna de una función como una relación en la que cada primer elemento tiene un segundo elemento único.

Lobachevsky (1834) escribe que

El concepto general de función requiere que una función de x se defina como un número dado para cada x y que varíe gradualmente con x . El valor de la función puede estar dado por una expresión analítica o por una condición que proporcione un medio para examinar todos los números y elegir uno de ellos; o finalmente la dependencia puede existir pero permanecer desconocida.

mientras que Dirichlet (1837) escribe

Si ahora un único finito y correspondiente a cada x , y además de tal manera que cuando x varía continuamente en el intervalo de a a b , también varía continuamente, entonces y se llama una función continua de x para este intervalo. No es en absoluto necesario aquí que y esté dado en términos de x por una y la misma ley a lo largo de todo el intervalo, y no es necesario que se considere como una dependencia expresada mediante operaciones matemáticas.

Eves afirma que "el estudiante de matemáticas generalmente cumple con la definición de función de Dirichlet en su curso introductorio de cálculo.

Imre Lakatos ha cuestionado la afirmación de Dirichlet sobre esta formalización :

No existe tal definición en las obras de Dirichlet. Pero existe una amplia evidencia de que no tenía idea de este concepto. En su artículo [de 1837], por ejemplo, cuando analiza las funciones continuas por partes, dice que en los puntos de discontinuidad la función tiene dos valores : ...

Sin embargo, Gardiner dice "... me parece que Lakatos va demasiado lejos, por ejemplo, cuando afirma que 'hay amplia evidencia de que [Dirichlet] no tenía idea del concepto [de función moderna]'". Además, como se señaló anteriormente, el artículo de Dirichlet parece incluir una definición en la línea de lo que generalmente se le atribuye, aunque (como Lobachevsky) lo establece solo para funciones continuas de una variable real.

De manera similar, Lavine observa que:

Es una cuestión de controversia cuánto crédito merece Dirichlet por la definición moderna de una función, en parte porque restringió su definición a funciones continuas ... Creo que Dirichlet definió la noción de función continua para dejar claro que ninguna regla o se requiere ley incluso en el caso de funciones continuas, no solo en general. Esto habría merecido un énfasis especial debido a la definición de Euler de una función continua como una dada por una sola expresión o ley. Pero también dudo que haya pruebas suficientes para resolver la disputa.

Debido a que Lobachevsky y Dirichlet han sido reconocidos como los primeros en introducir la noción de correspondencia arbitraria, esta noción a veces se denomina definición de función de Dirichlet o Lobachevsky-Dirichlet. Bourbaki (1939) utilizó más tarde una versión general de esta definición , y algunos en la comunidad educativa se refieren a ella como la definición de función de "Dirichlet-Bourbaki".

Dedekind

Dieudonné , que fue uno de los miembros fundadores del grupo Bourbaki, atribuye a Dedekind una definición moderna, precisa y general, de una función en su obra Was sind und was sollen die Zahlen , que apareció en 1888 pero ya había sido redactada en 1878. Dieudonné observa que en lugar de limitarse, como en concepciones anteriores, a funciones reales (o complejas), Dedekind define una función como un mapeo de un solo valor entre dos conjuntos cualesquiera:

Lo nuevo y lo que iba a ser esencial para el conjunto de las matemáticas era la concepción completamente general de una función .

Resistente

Hardy 1908 , pp. 26-28 definido una función como una relación entre dos variables x e y tales que "para algunos valores de x en cualquier valores se corresponden tasa de y ." No requirió que la función se definiera para todos los valores de x ni que asociara cada valor de x a un solo valor de  y . Esta amplia definición de una función abarca más relaciones de las que se consideran normalmente funciones en las matemáticas contemporáneas. Por ejemplo, la definición de Hardy incluye funciones multivalor y lo que en la teoría de la computabilidad se llaman funciones parciales .

La "función" del lógico antes de 1850

Los lógicos de esta época estaban principalmente involucrados con el análisis de silogismos (las formas aristotélicas de 2000 años y otras), o como Augustus De Morgan (1847) lo dijo: "el examen de esa parte del razonamiento que depende de la manera en que las inferencias se forman, y la investigación de máximas y reglas generales para la construcción de argumentos ". En este momento, la noción de "función" (lógica) no es explícita, pero al menos en el trabajo de De Morgan y George Boole está implícita: vemos la abstracción de las formas de los argumentos, la introducción de variables, la introducción de una álgebra con respecto a estas variables y algunas de las nociones de la teoría de conjuntos.

De Morgan de 1847 "LÓGICA FORMAL O, El cálculo de la inferencia, necesario y probable" observa que "[una] verdad lógica depende de la estructura del enunciado , y no de los asuntos particulares de los que se habla"; no pierde el tiempo (prefacio, página i) abstrayendo: "En la forma de la proposición, la cópula se hace tan abstracta como los términos". Inmediatamente (p. 1) proyecta lo que él llama "la proposición" ( función o relación proposicional actual ) en una forma como "X es Y", donde los símbolos X, "es" e Y representan, respectivamente, el sujeto , la cópula y el predicado. Si bien la palabra "función" no aparece, la noción de "abstracción" está ahí, las "variables" están ahí, la noción de inclusión en su simbolismo "todo el Δ está en el О" (p. 9) está ahí, y por último hay un nuevo simbolismo para el análisis lógico de la noción de "relación" (usa la palabra con respecto a este ejemplo "X) Y" (p. 75)):

"A 1 X) Y Para sacar una X hay que sacar una Y" [o Para ser una X hay que ser una Y]
"A 1 Y) X Para sacar una Y basta con sacar una X" [o Para ser una Y basta con ser una X], etc.

En su 1848 The Nature of Logic Boole afirma que "la lógica ... es en un sentido más especial la ciencia del razonamiento por signos", y analiza brevemente las nociones de "pertenencia a" y "clase": "Un individuo puede poseer una gran variedad de atributos y por lo tanto pertenecer a una gran variedad de clases diferentes ". Como De Morgan, utiliza la noción de "variable" extraída del análisis; él da un ejemplo de "representar [ing] la clase bueyes por x y la de caballos por y y la conjunción y por el signo +... podríamos representar la clase agregada bueyes y caballos por x  +  y ".

En el contexto de "el cálculo diferencial", Boole definió (circa 1849) la noción de función de la siguiente manera:

"Esa cantidad cuya variación es uniforme ... se llama variable independiente. Esa cantidad cuya variación se refiere a la variación de la primera se dice que es una función de ella. El cálculo diferencial nos permite en todos los casos pasar de la función hasta el límite. Esto lo hace mediante una cierta Operación. Pero en la idea misma de una Operación está ... la idea de una operación inversa. Efectuar esa operación inversa en el caso presente es asunto del Cálculo Int [egral] . "

La "función" de los lógicos 1850-1950

Eves observa "que los lógicos se han esforzado por reducir aún más el nivel inicial del desarrollo definitorio de las matemáticas y derivar la teoría de conjuntos , o clases , a partir de una base en la lógica de las proposiciones y funciones proposicionales". Pero a fines del siglo XIX, la investigación de los lógicos sobre los fundamentos de las matemáticas estaba experimentando una división importante. Bertrand Russell 1903 probablemente puede resumir mejor la  dirección del primer grupo, los lógicos : "cumplir dos objetos, primero, mostrar que todas las matemáticas se derivan de la lógica simbólica, y segundo, descubrir, en la medida de lo posible, lo que son los principios de la propia lógica simbólica ".

El segundo grupo de lógicos, los teóricos de conjuntos, surgieron con la "teoría de conjuntos" de Georg Cantor (1870-1890), pero fueron impulsados ​​en parte como resultado del descubrimiento de Russell de una paradoja que podría derivarse de la concepción de Frege de "función ", sino también como reacción contra la solución propuesta por Russell. La respuesta de Zermelo a la teoría de conjuntos fueron sus Investigaciones de 1908 sobre los fundamentos de la teoría de conjuntos I , la primera teoría de conjuntos axiomática ; aquí también juega un papel la noción de "función proposicional".

Las leyes del pensamiento de George Boole, 1854; La lógica simbólica de John Venn 1881

En su Investigación sobre las leyes del pensamiento, Boole ahora definió una función en términos de un símbolo x de la siguiente manera:

"8. Definición. - Cualquier expresión algebraica que involucre el símbolo x se denomina función de x , y puede representarse mediante la forma abreviada f ( x )"

Luego, Boole usó expresiones algebraicas para definir nociones algebraicas y lógicas , por ejemplo, 1 -  x es NO lógico ( x ), xy es el Y lógico ( x , y ), x  +  y es el O lógico ( x , y ), x ( x  +  y ) es xx  +  xy , y "la ley especial" xx = x 2 = x .

En su Lógica simbólica de 1881, Venn estaba usando las palabras "función lógica" y el simbolismo contemporáneo ( x = f ( y ), y = f  −1 ( x ), cf página xxi) más los diagramas circulares históricamente asociados con Venn para describir "relaciones de clase", las nociones "'cuantificación' de nuestro predicado", "proposiciones con respecto a su extensión", "la relación de inclusión y exclusión de dos clases entre sí" y "función proposicional" (todas en la p. 10 ), la barra sobre una variable para indicar not- x (página 43), etc. De hecho, él equiparó inequívocamente la noción de "función lógica" con "clase" [moderno "conjunto"]: "... en el punto de vista adoptado en En este libro, f ( x ) nunca representa nada más que una clase lógica. Puede ser una clase compuesta agregada de muchas clases simples; puede ser una clase indicada por ciertas operaciones lógicas inversas, puede estar compuesta de dos grupos de clases iguales entre sí, o lo que es lo mismo, su diferencia declarada igual a cero, es decir, una ecuación lógica. ed o derivado, f ( x ) con nosotros nunca será otra cosa que una expresión general para las clases lógicas de cosas que puedan encontrar un lugar en la lógica ordinaria ".

Begriffsschrift de Frege 1879

La Begriffsschrift de Gottlob Frege (1879) precedió a Giuseppe Peano (1889), pero Peano no tenía conocimiento de Frege 1879 error harvnb: múltiples objetivos (2 ×): CITEREFFrege1879 ( ayuda ) hasta después de haber publicado su 1889. Ambos escritores influyeron fuertemente en Russell (1903) . Russell, a su vez, influyó en gran parte de las matemáticas y la lógica del siglo XX a través de sus Principia Mathematica (1913), escrito conjuntamente con Alfred North Whitehead .

Al principio Frege abandona los tradicionales "conceptos sujeto y predicado ", reemplazándolos con argumento y función respectivamente, que él cree que "resistirán la prueba del tiempo. Es fácil ver cómo considerar un contenido como una función de un argumento conduce a la formación de conceptos. Además, la demostración de la conexión entre los significados de las palabras si, y, no, o hay, algunos, todos, etc., merece atención ".

Frege comienza su discusión sobre la "función" con un ejemplo: comience con la expresión "El hidrógeno es más liviano que el dióxido de carbono". Ahora elimine el signo de hidrógeno (es decir, la palabra "hidrógeno") y reemplácelo con el signo de oxígeno (es decir, la palabra "oxígeno"); esto hace una segunda declaración. Haga esto nuevamente (usando cualquiera de las declaraciones) y sustituya el signo por nitrógeno (es decir, la palabra "nitrógeno") y observe que "Esto cambia el significado de tal manera que" oxígeno "o" nitrógeno "entran en las relaciones en las que" el hidrógeno "estaba delante". Hay tres declaraciones:

  • "El hidrógeno es más ligero que el dióxido de carbono".
  • "El oxígeno es más ligero que el dióxido de carbono".
  • "El nitrógeno es más ligero que el dióxido de carbono".

Ahora observe en los tres un "componente estable, que representa la totalidad de [las] ​​relaciones"; llamar a esto la función , es decir,

"... es más ligero que el dióxido de carbono", es la función.

Frege llama al argumento de la función "[el] signo [por ejemplo, hidrógeno, oxígeno o nitrógeno], considerado reemplazable por otros que denota el objeto que se encuentra en estas relaciones". Señala que también podríamos haber derivado la función como "El hidrógeno es más ligero que ...", con una posición de argumento a la derecha ; Peano hace la observación exacta (ver más abajo). Finalmente, Frege admite el caso de dos (o más) argumentos. Por ejemplo, elimine "dióxido de carbono" para obtener la parte invariante (la función) como:

  • "... es más ligero que ..."

La función de un argumento que Frege generaliza en la forma Φ (A) donde A es el argumento y Φ () representa la función, mientras que la función de dos argumentos que él simboliza como Ψ (A, B) con A y B los argumentos y Ψ (,) la función y advierte que "en general Ψ (A, B) difiere de Ψ (B, A)". Usando su simbolismo único, traduce para el lector el siguiente simbolismo:

"Podemos leer | --- Φ (A) como" A tiene la propiedad Φ. | --- Ψ (A, B) se puede traducir por "B se encuentra en la relación Ψ con A" o "B es el resultado de una aplicación del procedimiento Ψ al objeto A".

Los principios de la aritmética de Peano 1889

Peano definió la noción de "función" de una manera algo similar a Frege, pero sin la precisión. Primero, Peano define el signo "K significa clase , o conjunto de objetos", cuyos objetos satisfacen tres condiciones de igualdad simples, a = a , ( a = b ) = ( b = a ), IF (( a = b ) Y ( b = c )) ENTONCES ( a = c ). Luego introduce φ, "un signo o un agregado de signos de manera que si x es un objeto de la clase s , la expresión φ x denota un nuevo objeto". Peano agrega dos condiciones a estos nuevos objetos: Primero, que las tres condiciones de igualdad se cumplen para los objetos φ x ; en segundo lugar, que "si x e y son objetos de la clase s y si x = y , suponemos que es posible deducir φ x = φ Y ". Dado que se cumplen todas estas condiciones, φ es una "función predefinida". Asimismo, identifica una "función posseñal". Por ejemplo, si φ es la función presign a +, entonces φ x produce a + x , o si φ es la función postsign + a, entonces x φ produce x + a .

Los principios de las matemáticas de Bertrand Russell 1903

Si bien la influencia de Cantor y Peano fue primordial, en el Apéndice A "Las doctrinas lógicas y aritméticas de Frege" de Los principios de las matemáticas , Russell llega a una discusión sobre la noción de función de Frege , "... un punto en el que el trabajo de Frege es muy importante y requiere un examen cuidadoso ". En respuesta a su intercambio de cartas de 1902 con Frege sobre la contradicción que descubrió en la Begriffsschrift de Frege, Russell agregó esta sección en el último momento.

Para Russell, la noción endemoniada es la de "variable": "6. Las proposiciones matemáticas no sólo se caracterizan por el hecho de que afirman implicaciones, sino también por el hecho de que contienen variables . La noción de variable es una de las más difíciles que la lógica tiene que tratar. Por el momento, deseo abiertamente dejar claro que hay variables en todas las proposiciones matemáticas, incluso cuando a primera vista parezcan estar ausentes ... Encontraremos siempre, en todas las proposiciones matemáticas proposiciones, que las palabras cualquiera o algunos ocurren; y estas palabras son las marcas de una variable y una implicación formal ".

Como expresó Russell "el proceso de transformar constantes en una proposición en variables conduce a lo que se llama generalización, y nos da, por así decirlo, la esencia formal de una proposición ... Siempre que cualquier término en nuestra proposición pueda convertirse en una variable, nuestra proposición se puede generalizar; y mientras esto sea posible, es tarea de las matemáticas hacerlo "; Estas generalizaciones Russell nombró funciones proposicionales ". De hecho, cita y cita la Begriffsschrift de Frege y presenta un ejemplo vívido de la Function und Begriff de Frege de 1891 : que" la esencia de la función aritmética 2 x 3  +  x es lo que queda cuando se toma x de distancia, es decir, en el caso anterior 2 () 3  + (). El argumento x no pertenece a la función, pero los dos tomados juntos forman el todo ". Russell estuvo de acuerdo con la noción de" función "de Frege en un sentido:" Él considera las funciones - y en esto estoy de acuerdo con él - como más fundamentales que los predicados y las relaciones", pero Russell rechazados de Frege 'teoría del sujeto y la afirmación', en particular 'piensa que, si un término de una ocurre en una proposición, la proposición siempre se puede analizar en una y una afirmación sobre una '.

Evolución de la noción de "función" de Russell 1908-1913

Russell llevaría adelante sus ideas en su lógica matemática de 1908 basada en la teoría de tipos y en su Principia Mathematica de 1910-1913 y el de Whitehead . En la época de los Principia Mathematica , Russell, al igual que Frege, consideraba fundamental la función proposicional: "Las funciones proposicionales son el tipo fundamental del que proceden los tipos más habituales de funciones, como" sin x "o log x o" el padre de x ". derivadas. Estas funciones derivadas ... se denominan "funciones descriptivas". Las funciones de proposiciones ... son un caso particular de funciones proposicionales ".

Funciones proposicionales : debido a que su terminología es diferente de la contemporánea, el lector puede confundirse con la "función proposicional" de Russell. Un ejemplo puede ayudar. Russell escribe una función proposicional en su forma bruta, por ejemplo, como φŷ : " ŷ está herido". (Observe el circunflejo o "sombrero" sobre la variable y ). Para nuestro ejemplo, asignaremos solo 4 valores a la variable ŷ : "Bob", "Este pájaro", "Emily el conejo" e " y ". La sustitución de uno de estos valores por la variable ŷ produce una proposición ; esta proposición se llama un "valor" de la función proposicional. En nuestro ejemplo hay cuatro valores de la función proposicional, por ejemplo, "Bob está herido", "Este pájaro está herido", "Emily el conejo está herido" e " y está herido". Una proposición, si es significativa ,esdecir, si su verdad es determinada, tiene un valor de verdad de verdad o falsedad . Si el valor de verdad de una proposición es "verdad", se dice que el valor de la variable satisface la función proposicional. Finalmente, según la definición de Russell, "una clase [conjunto] son ​​todos los objetos que satisfacen alguna función proposicional" (p. 23). Note la palabra "todos" - así es como las nociones contemporáneas de "Para todos ∀" y "existe al menos una instancia ∃" entran en el tratamiento (p. 15).

Para continuar con el ejemplo: Supongamos (desde fuera de las matemáticas / lógica) que uno determina que las proposiciones "Bob está herido" tienen un valor de verdad de "falsedad", "Este pájaro está herido" tiene un valor de verdad de "verdad", "Emily el conejo está herido "tiene un valor de verdad indeterminado porque" Emily el conejo "no existe, y" y está herido "es ambiguo en cuanto a su valor de verdad porque el argumento y en sí es ambiguo. Mientras que las dos proposiciones "Bob está herido" y "Este pájaro está herido" son significativas (ambas tienen valores de verdad), solo el valor "Este pájaro" de la variable ŷ satisface la función proposicional φŷ : " ŷ está herido". Cuando se pasa a formar la clase α: φŷ : " ŷ está herido", solo se incluye "Este pájaro", dados los cuatro valores "Bob", "Este pájaro", "Emily el conejo" e " y " para la variable ŷ y sus respectivos valores de verdad: falsedad, verdad, indeterminado, ambiguo.

Russell define funciones de proposiciones con argumentos y funciones de verdad f ( p) . Por ejemplo, supongamos que uno forma la "función de proposiciones con argumentos" p 1 : "NO ( p ) Yq " y asigna a sus variables los valores de p : "Bob está herido" yq : "Este pájaro está herido". . (Estamos restringidos a las vinculaciones lógicas NOT, AND, OR y lo indica, y sólo podemos asignar proposiciones "significativas" a las variables p y q ). Entonces la "función de las proposiciones con argumentos" es p 1 : NOT ("Bob está herido") Y "Este pájaro está herido". Para determinar el valor de verdad de esta "función de proposiciones con argumentos" la sometemos a una "función de verdad", por ejemplo, f ( p 1 ): f (NOT ("Bob está herido") Y "Este pájaro está herido") , que produce un valor de verdad de "verdad".

La noción de una "relación funcional" de "muchos-uno" : Russell primero discute la noción de "identidad", luego define una función descriptiva (páginas 30 y siguientes) como el valor único ιx que satisface la función proposicional (de 2 variables) (es decir, "relación") φŷ .

NB ¡ Aquí se debe advertir al lector que el orden de las variables se invierte! y es la variable independiente y x es la variable dependiente, por ejemplo, x = sin ( y ).

Russell simboliza la función descriptiva como "el pie objeto en relación con Y ": R'y = DEF ( ιx ) ( x Ry ). Russell repite que " R'y es una función de y , pero no una función proposicional [sic]; la llamaremos función descriptiva . Todas las funciones ordinarias de las matemáticas son de este tipo. Así, en nuestra notación" sin  y "sería se escribiría "pecado  'y ", y "pecado" representaría la relación que el pecado  ' y tiene con y ".

La "función" del formalista: la axiomatización de las matemáticas por David Hilbert (1904-1927)

David Hilbert se propuso el objetivo de "formalizar" las matemáticas clásicas "como una teoría axiomática formal, y se demostrará que esta teoría es consistente , es decir, libre de contradicciones". En Hilbert 1927 The Foundations of Mathematics , enmarca la noción de función en términos de la existencia de un "objeto":

13. A (a) -> A (ε (A)) Aquí ε (A) representa un objeto del cual la proposición A (a) ciertamente se cumple si se aplica a cualquier objeto; llamemos a ε la función ε lógica ". [La flecha indica" implica ".]

Hilbert luego ilustra las tres formas en que se debe usar la función ε, en primer lugar como las nociones "para todos" y "existe", en segundo lugar para representar el "objeto del cual [una proposición] es válida" y, por último, cómo emitir en la función de elección .

Teoría de la recursividad y computabilidad : Pero el resultado inesperado del esfuerzo de Hilbert y su alumno Bernays fue el fracaso; ver los teoremas de incompletitud de Gödel de 1931. Aproximadamente al mismo tiempo, en un esfuerzo por resolver el problema de Entscheidungs de Hilbert , los matemáticos se dispusieron a definir lo que se quería decir con una "función efectivamente calculable" ( Alonzo Church 1936), es decir, "método efectivo" o " algoritmo ", es decir, un procedimiento explícito paso a paso que lograría calcular una función. Varios modelos de algoritmos aparecieron, en rápida sucesión, incluyendo Iglesia de cálculo lambda (1936), de Stephen Kleene 's funciones mu-recursivo (1936) y Alan Turing ' noción de sustitución de 'ordenadores' con humanos totalmente mecánico-s (1936-7) "máquinas de computación" (ver máquinas de Turing ). Se demostró que todos estos modelos podían calcular la misma clase de funciones computables . La tesis de Church sostiene que esta clase de funciones agota todas las funciones teóricas de números que pueden ser calculadas por un algoritmo. Los resultados de estos esfuerzos fueron demostraciones vívidas de que, en palabras de Turing, "no puede haber un proceso general para determinar si una fórmula U dada del cálculo funcional K [ Principia Mathematica ] es demostrable"; ver más en Independencia (lógica matemática) y Teoría de computabilidad .

Desarrollo de la definición teórica de conjuntos de "función"

La teoría de conjuntos comenzó con el trabajo de los lógicos con la noción de "clase" ("conjunto" moderno), por ejemplo, De Morgan (1847) , Jevons (1880), Venn (1881) , Frege (1879) error de harvtxt: objetivos múltiples ( 2 ×): CITEREFFrege1879 ( ayuda ) y Peano (1889) . Fue impulsado por el intento de Georg Cantor de definir el infinito en el tratamiento de la teoría de conjuntos (1870-1890) y un descubrimiento posterior de una antinomia (contradicción, paradoja) en este tratamiento ( la paradoja de Cantor ), por el descubrimiento de Russell (1902 ) de una antinomia en 1879 de Frege ( la paradoja de Russell ), por el descubrimiento de más antinomias a principios del siglo XX (por ejemplo, la paradoja de Burali-Forti de 1897 y la paradoja de Richard de 1905 ), y por la resistencia al tratamiento complejo de Russell de la lógica y el desagrado. de su axioma de reducibilidad (1908, 1910-1913) que propuso como un medio para evadir las antinomias.

La paradoja de Russell 1902

En 1902 Russell envió una carta a Frege señalando que la Begriffsschrift de Frege de 1879 permitía que una función fuera un argumento de sí misma: "Por otro lado, también puede ser que el argumento sea determinado y la función indeterminada ..." De esto situación sin restricciones Russell fue capaz de formar una paradoja:

"Usted afirma ... que una función, también, puede actuar como el elemento indeterminado. Esto yo creía anteriormente, pero ahora este punto de vista me parece dudoso debido a la siguiente contradicción. Sea w el predicado: ser un predicado que no puede ser predicado de sí mismo. ¿Se puede predicar w de sí mismo? "

Frege respondió de inmediato que "Su descubrimiento de la contradicción me causó la mayor sorpresa y, casi diría, consternación, ya que ha sacudido la base sobre la que pretendía construir la aritmética".

Desde este punto en adelante, el desarrollo de los fundamentos de las matemáticas se convirtió en un ejercicio de cómo esquivar la "paradoja de Russell", enmarcada como estaba en "las nociones [teóricas de conjuntos] desnudas de conjunto y elemento".

Teoría de conjuntos de Zermelo (1908) modificada por Skolem (1922)

La noción de "función" aparece como el axioma III de Zermelo: el axioma de separación (Axiom der Aussonderung). Este axioma nos obliga a usar una función proposicional Φ ( x ) para "separar" un subconjunto M Φ de un conjunto previamente formado M :

"AXIOMA III. (Axioma de separación). Siempre que la función proposicional Φ ( x ) es definida para todos los elementos de un conjunto M , M posee un subconjunto M Φ que contiene como elementos precisamente aquellos elementos x de M para los cuales Φ ( x ) es cierto".

Como no hay un conjunto universal - los conjuntos se originan por medio del Axioma II a partir de elementos del dominio (no conjunto) B - "... esto elimina la antinomia de Russell en lo que a nosotros respecta". Pero el "criterio definido" de Zermelo es impreciso y está fijado por Weyl , Fraenkel , Skolem y von Neumann .

De hecho, Skolem en su 1922 se refirió a este "criterio definido" o "propiedad" como una "proposición definida":

" ... una expresión finita construido a partir de proposiciones elementales de la forma un ε B o un = b por medio de las cinco operaciones [conjunción lógica, disyunción, negación, cuantificación universal, y cuantificación existencial].

van Heijenoort resume:

"Una propiedad es definida en el sentido de Skolem si se expresa ... mediante una fórmula bien formada en el cálculo de predicados simple de primer orden en el que las únicas constantes de predicado son ε y posiblemente, =. ... Hoy una axiomatización de conjunto La teoría suele estar incrustada en un cálculo lógico, y es el enfoque de Weyl y Skolem para la formulación del axioma de separación el que se adopta generalmente.

En esta cita, el lector puede observar un cambio en la terminología: en ninguna parte se menciona la noción de "función proposicional", sino que se ven las palabras "fórmula", "cálculo de predicados", "predicado" y "cálculo lógico". Este cambio en la terminología se discute más en la sección que cubre "función" en la teoría de conjuntos contemporánea.

Definición de "par ordenado" de Wiener-Hausdorff-Kuratowski 1914-1921

La historia de la noción de " par ordenado " no está clara. Como se señaló anteriormente, Frege (1879) propuso un ordenamiento intuitivo en su definición de una función de dos argumentos Ψ (A, B). Norbert Wiener en su 1914 (ver más abajo) observa que su propio tratamiento esencialmente "revierte (n) al tratamiento de Schröder de una relación como una clase de parejas ordenadas". Russell (1903) consideró la definición de una relación (como Ψ (A, B)) como una "clase de parejas" pero la rechazó:

"Existe la tentación de considerar una relación como definible en extensión como una clase de parejas. Ésta es la ventaja formal de que evita la necesidad de la proposición primitiva que afirma que cada pareja tiene una relación que no existe entre otros pares de términos. Es necesario dar sentido a la pareja, distinguir el referente [ dominio ] del relatum [ dominio inverso ]: así, una pareja se vuelve esencialmente distinta de una clase de dos términos, y debe introducirse ella misma como una idea primitiva. Por tanto, parece más correcto adoptar una visión intensional de las relaciones e identificarlas más con conceptos de clase que con clases ".

Para 1910-1913 y Principia Mathematica Russell había renunciado al requisito de una definición intensional de una relación, afirmando que "las matemáticas siempre se preocupan por extensiones en lugar de intensiones" y "Las relaciones, como las clases, deben tomarse en extensión ". Para demostrar la noción de una relación en extensión, Russell ahora abrazó la noción de pareja ordenada : "Podemos considerar una relación ... como una clase de parejas ... la relación determinada por φ ( x, y ) es la clase de parejas ( x, y ) para el cual φ ( x, y ) es verdadero ". En una nota a pie de página, aclaró su noción y llegó a esta definición:

"Una pareja así tiene sentido , es decir, la pareja ( x, y ) es diferente de la pareja ( y, x ) a menos que x  =  y . La llamaremos" pareja con sentido "... también puede ser llamó a una pareja ordenada .

Pero continúa diciendo que no introduciría más a las parejas ordenadas en su "tratamiento simbólico"; propone su "matriz" y su impopular axioma de reducibilidad en su lugar.

Un intento de resolver el problema de las antinomias llevó a Russell a proponer su "doctrina de tipos" en un apéndice B de su 1903 The Principles of Mathematics . En unos pocos años refinaría esta noción y propondría en su Teoría de los tipos de 1908 dos axiomas de reducibilidad , cuyo propósito era reducir las funciones proposicionales (de una sola variable) y las relaciones (de variable dual) a una forma "inferior". (y finalmente en una forma completamente extensiva ); él y Alfred North Whitehead trasladarían este tratamiento a Principia Mathematica 1910-1913 con un refinamiento adicional llamado "una matriz". El primer axioma es * 12.1; el segundo es * 12.11. Para citar a Wiener, el segundo axioma * 12.11 "está involucrado sólo en la teoría de las relaciones". Sin embargo, ambos axiomas se encontraron con escepticismo y resistencia; ver más en Axiom of reducibility . En 1914 Norbert Wiener, usando el simbolismo de Whitehead y Russell, eliminó el axioma * 12.11 (la versión de "dos variables" (relacional) del axioma de reducibilidad) al expresar una relación como un par ordenado usando el conjunto nulo. Aproximadamente al mismo tiempo, Hausdorff (1914, p. 32) dio la definición del par ordenado ( a , b ) como {{ a , 1}, { b , 2}}. Unos años más tarde, Kuratowski (1921) ofreció una definición que se ha utilizado ampliamente desde entonces, a saber, {{ a , b }, { a }} ". Como señaló Suppes (1960) " Esta definición. . . fue históricamente importante para reducir la teoría de relaciones a la teoría de conjuntos.

Observe que mientras Wiener "redujo" la forma relacional * 12.11 del axioma de reducibilidad, no redujo ni cambió de otra manera la forma de función proposicional * 12.1; de hecho, declaró que esto era "esencial para el tratamiento de la identidad, las descripciones, las clases y las relaciones".

La noción de Schönfinkel de "función" como una "correspondencia" de muchos uno 1924

No está claro exactamente de dónde se deriva la noción general de "función" como una correspondencia de muchos a uno. Russell en su Introducción a la Filosofía Matemática de 1920 afirma que "Debe observarse que todas las funciones matemáticas resultan de relaciones uno-muchos [sic - el uso contemporáneo es muchos-uno] ... Las funciones en este sentido son funciones descriptivas ". Una posibilidad razonable es la noción de Principia Mathematica de "función descriptiva" - R 'y = DEF (ι x ) ( x R y ): "el objeto singular que tiene una relación R con y ". Cualquiera que sea el caso, en 1924, Moses Schönfinkel expresó la noción, afirmando que era "bien conocida":

"Como es bien sabido, por función entendemos, en el caso más simple, una correspondencia entre los elementos de algún dominio de cantidades, el dominio del argumento, y los de un dominio de valores de función ... tal que a cada valor de argumento corresponde como máximo un valor de función ".

Según Willard Quine , Schönfinkel 1924 "proporciona [s] para ... todo el alcance de la teoría de conjuntos abstracta. El quid de la cuestión es que Schönfinkel permite que las funciones se mantengan como argumentos. Para Schönfinkel, sustancialmente como para Frege, las clases son clases especiales de funciones. Son funciones proposicionales, funciones cuyos valores son valores de verdad. Todas las funciones, proposicionales y de otro tipo, son para funciones de un lugar de Schönfinkel ". Sorprendentemente, Schönfinkel reduce todas las matemáticas a un cálculo funcional extremadamente compacto que consta de solo tres funciones: constancia, fusión (es decir, composición) y exclusividad mutua. Quine señala que Haskell Curry (1958) llevó adelante este trabajo "bajo el encabezado de la lógica combinatoria ".

Teoría de conjuntos de von Neumann 1925

En 1925, Abraham Fraenkel (1922) y Thoralf Skolem (1922) habían enmendado la teoría de conjuntos de Zermelo de 1908. Pero von Neumann no estaba convencido de que esta axiomatización no pudiera conducir a las antinomias. Así que propuso su propia teoría, su 1925 Una axiomatización de la teoría de conjuntos . Contiene explícitamente una versión teórica de conjuntos "contemporánea" de la noción de "función":

"[A diferencia de la teoría de conjuntos de Zermelo] [preferimos, sin embargo, axiomatizar no" conjunto "sino" función ". La última noción ciertamente incluye la primera. (Más precisamente, las dos nociones son completamente equivalentes, ya que una función puede ser considerado como un conjunto de pares, y un conjunto como una función que puede tomar dos valores.) ".

En primer lugar comienza con I-objetos y II-objetos , dos objetos A y B que son I-objetos (primer axioma), y dos tipos de "operaciones" que asumen de pedido como una propiedad estructural obtenida de los objetos resultantes [ x , y ] y ( x , y ). Los dos "dominios de objetos" se denominan "argumentos" (objetos I) y "funciones" (objetos II); donde se superponen son las "funciones de argumento" (las llama objetos I-II). Introduce dos "operaciones universales de dos variables": (i) la operación [ x , y ]: "... Lee 'el valor de la función x para el argumento y ... él mismo es un objeto de tipo I", y (ii) la operación ( x , y ):..."(leer 'el par ordenado x , y' ) cuyas variables x y y debe ser tanto argumentos y que por sí mismo produce un argumento ( x , y ) Su más. La propiedad importante es que x 1 = x 2 y y 1 = y 2 se siguen de ( x 1 = y 2 ) = ( x 2 = y 2 ) ". Para aclarar el par de funciones, señala que "En lugar de f ( x ) escribimos [ f, x ] para indicar que f , al igual que x , debe considerarse como una variable en este procedimiento". Para evitar las "antinomias de la teoría de conjuntos ingenua, en primer lugar de Russell ... debemos renunciar a tratar ciertas funciones como argumentos". Adopta una noción de Zermelo para restringir estas "determinadas funciones".

Suppes observa que Bernays modificó la axiomatización de von Neumann "para permanecer más cerca del sistema original de Zermelo ... Introdujo dos relaciones de pertenencia: una entre conjuntos y otra entre conjuntos y clases". Luego, Gödel [1940] modificó aún más la teoría: "sus nociones primitivas son las de conjunto, clase y pertenencia (aunque la membresía por sí sola es suficiente)". Esta axiomatización ahora se conoce como teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel .

Bourbaki 1939

En 1939, Bourbaki , además de dar la conocida definición de par ordenado de una función como cierto subconjunto del producto cartesiano E × F , dio lo siguiente:

"Sean E y F dos conjuntos, que pueden o no ser distintos. Una relación entre un elemento variable x de E y un elemento variable y de F se llama relación funcional en y si, para todo x ∈ E , existe un único y ∈ F que está en la relación dada con x . Le damos el nombre de función a la operación que de esta manera asocia con cada elemento x ∈ E el elemento y ∈ F que está en la relación dada con x , y el se dice que la función está determinada por la relación funcional dada. Dos relaciones funcionales equivalentes determinan la misma función ".

Desde 1950

Noción de "función" en la teoría de conjuntos contemporánea

Tanto las formas axiomáticas como ingenuas de la teoría de conjuntos de Zermelo modificada por Fraenkel (1922) y Skolem (1922) definen "función" como una relación, definen una relación como un conjunto de pares ordenados y definen un par ordenado como un conjunto de dos " conjuntos "disimétricos".

Mientras que el lector de Suppes (1960) Axiomatic Set Theory o Halmos (1970) Naive Set Theory observa el uso del simbolismo funcional en el axioma de separación , por ejemplo, φ ( x ) (en Suppes) y S ( x ) (en Halmos). ), no verán ninguna mención de "proposición" o incluso "cálculo de predicados de primer orden". En su lugar están " expresiones del lenguaje objeto", "fórmulas atómicas", "fórmulas primitivas" y "oraciones atómicas".

Kleene (1952) define las palabras de la siguiente manera: "En los lenguajes de palabras, una proposición se expresa mediante una oración. Luego, un 'predicado' se expresa mediante una oración incompleta o un esqueleto de oración que contiene un lugar abierto. Por ejemplo," ___ es un hombre "expresa un predicado ... El predicado es una función proposicional de una variable . Los predicados a menudo se llaman 'propiedades' ... El cálculo de predicados tratará la lógica de los predicados en este sentido general de 'predicado', es decir, como proposicional función".

En 1954, Bourbaki, en la p. 76 en el Capítulo II de Theorie des Ensembles (teoría de conjuntos), dio una definición de una función como una triple f = ( F , A , B ). Aquí F es un gráfico funcional , es decir, un conjunto de pares donde no hay dos pares que tengan el mismo primer miembro. En P. 77 ( op. Cit. ) Bourbaki afirma (traducción literal): "A menudo usaremos, en el resto de este Tratado, la palabra función en lugar de gráfico funcional ".

Suppes (1960) en Axiomatic Set Theory , define formalmente una relación (p. 57) como un conjunto de pares, y una función (p. 86) como una relación donde no hay dos pares que tengan el mismo primer miembro.

Forma relacional de una función

La razón de la desaparición de las palabras "función proposicional", por ejemplo, en Suppes (1960) y Halmos (1970) , es explicada por Tarski (1946) junto con una explicación adicional de la terminología:

"Una expresión como x es un número entero , que contiene variables y, en el reemplazo de estas variables por constantes se convierte en una oración, se llama FUNCIÓN SENTENCIAL [es decir, proposicional de su índice]. Pero los matemáticos, por cierto, no son muy Aficionado a esta expresión, porque usan el término "función" con un significado diferente ... funciones oraciones oraciones compuestas enteramente de símbolos matemáticos (y no palabras del lenguaje cotidiano), tales como: x  +  y = 5 generalmente se refieren a los matemáticos como FÓRMULAS. En lugar de "función oracional" a veces diremos simplemente "oración", pero sólo en los casos en que no hay peligro de ningún malentendido ".

Por su parte, Tarski llama a la forma relacional de función una "RELACIÓN FUNCIONAL o simplemente una FUNCIÓN". Después de una discusión de esta "relación funcional", afirma que:

"El concepto de función que estamos considerando ahora difiere esencialmente de los conceptos de función oracional [proposicional] y de función designante ... Estrictamente hablando ... [estos] no pertenecen al dominio de la lógica o las matemáticas; denotan ciertas categorías de expresiones que sirven para componer enunciados lógicos y matemáticos, pero no denotan cosas tratadas en esos enunciados ... El término "función" en su nuevo sentido, por otro lado, es una expresión de un carácter puramente lógico; designa un cierto tipo de cosas tratadas en lógica y matemáticas ".

Vea más sobre "la verdad bajo una interpretación" en Alfred Tarski .

Notas

Referencias

Otras lecturas

  • Dubinsky, Ed; Harel, Guershon (1992). El concepto de función: aspectos de la epistemología y la pedagogía . Asociación Matemática de América. ISBN 0-88385-081-8.
  • Frege, Gottlob (1879). Begriffsschrift: eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens . Halle.
  • Kleiner, Israel (1989). "Evolución del concepto de función: una breve encuesta". The College Mathematics Journal . Asociación Matemática de América. 20 (4): 282–300. doi : 10.2307 / 2686848 . JSTOR  2686848 .
  • Lützen, Jesper (2003). "Entre el rigor y las aplicaciones: avances en el concepto de función en el análisis matemático" . En Roy Porter (ed.). La historia de la ciencia de Cambridge: las ciencias físicas y matemáticas modernas . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0521571995. Una presentación histórica accesible y divertida.
  • Malik, MA (1980). "Aspectos históricos y pedagógicos de la definición de función". Revista Internacional de Educación Matemática en Ciencia y Tecnología . 11 (4): 489–492. doi : 10.1080 / 0020739800110404 .
  • Monna, AF (1972). "El concepto de función en los siglos XIX y XX, en particular en lo que respecta a las discusiones entre Baire, Borel y Lebesgue". Archivo de Historia de las Ciencias Exactas . 9 (1): 57–84. doi : 10.1007 / BF00348540 . S2CID  120506760 .
  • Reichenbach, Hans (1947) Elementos de lógica simbólica , Dover Publishing Inc., Nueva York NY, ISBN  0-486-24004-5 .
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enlaces externos