Multiplicación compleja - Complex multiplication

En matemáticas , la multiplicación compleja ( CM ) es la teoría de las curvas elípticas E que tienen un anillo de endomorfismo más grande que los números enteros ; y también la teoría en dimensiones superiores de las variedades abelianas A que tienen suficientes endomorfismos en un cierto sentido preciso (aproximadamente significa que la acción sobre el espacio tangente en el elemento identidad de A es una suma directa de módulos unidimensionales ). Dicho de otra manera, contiene la teoría de funciones elípticas con simetrías adicionales, como las que son visibles cuando la red de período es la red de enteros de Gauss o la retícula de enteros de Eisenstein .

Tiene un aspecto que pertenece a la teoría de funciones especiales , porque tales funciones elípticas, o funciones abelianas de varias variables complejas , son entonces funciones 'muy especiales' que satisfacen identidades adicionales y toman valores especiales calculables explícitamente en puntos particulares. También ha resultado ser un tema central en la teoría de números algebraica , permitiendo que algunas características de la teoría de campos ciclotómicos se trasladen a áreas de aplicación más amplias.

Se dice que David Hilbert comentó que la teoría de la multiplicación compleja de curvas elípticas no solo era la parte más hermosa de las matemáticas, sino de toda la ciencia.

Ejemplo de extensión de campo cuadrático imaginario

Una curva elíptica sobre los números complejos se obtiene como un cociente del plano complejo por un retículo Λ, aquí dividido por dos períodos fundamentales ω ₁ y ω ₂ . También se muestra la torsión de cuatro, correspondiente a la celosía 1/4 Λ que contiene Λ. El ejemplo de una curva elíptica correspondiente a los enteros gaussianos ocurre cuando ω ₂ = i ω ₁ .

Considere un campo cuadrático imaginario . Se dice que una función elíptica tiene una multiplicación compleja si hay una relación algebraica entre y para todos en . ${\ textstyle K = \ mathbb {Q} \ left ({\ sqrt {-d}} \ right), \, d \ in \ mathbb {Z}, d> 0}$ ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle f (z)}$ ${\ Displaystyle f (\ lambda z)}$ ${\ Displaystyle \ lambda}$ ${\ Displaystyle K}$

Por el contrario, Kronecker conjeturó, en lo que se conoció como Kronecker Jugendtraum , que cada extensión abeliana de podría obtenerse mediante la ecuación (raíces de la) de una curva elíptica adecuada con multiplicación compleja. Hasta el día de hoy, este sigue siendo uno de los pocos casos del duodécimo problema de Hilbert que realmente se ha resuelto. ${\ Displaystyle K}$

Un ejemplo de una curva elíptica con multiplicación compleja es

{\ Displaystyle \ mathbb {C} / (\ theta \ mathbb {Z} [i])}

donde Z [ i ] es el anillo entero de Gauss y θ es cualquier número complejo distinto de cero. Cualquier toro complejo tiene los números enteros gaussianos como anillo de endomorfismo. Se sabe que todas las curvas correspondientes se pueden escribir como

{\ Displaystyle Y ^ {2} = 4X ^ {3} -aX}

para algunos , que tiene dos automorfismos conjugados de orden 4 que envían ${\ Displaystyle a \ in \ mathbb {C}}$

{\ Displaystyle Y \ a \ pm iY, \ quad X \ a -X}

en consonancia con la acción de i sobre las funciones elípticas de Weierstrass .

De manera más general, considere la celosía Λ, un grupo aditivo en el plano complejo, generado por . Luego definimos la función Weierstrass de la variable de la siguiente manera: ${\ Displaystyle \ omega _ {1}, \ omega _ {2}}$ ${\ Displaystyle z}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

{\ Displaystyle \ wp (z; \ Lambda) = \ wp (z; \ omega _ {1}, \ omega _ {2}) = {\ frac {1} {z ^ {2}}} + \ sum _ {(m, n) \ neq (0,0)} \ left \ {{\ frac {1} {(z + m \ omega _ {1} + n \ omega _ {2}) ^ {2}}} - {\ frac {1} {\ left (m \ omega _ {1} + n \ omega _ {2} \ right) ^ {2}}} \ right \},}

y

{\ Displaystyle g_ {2} = 60 \ sum _ {(m, n) \ neq (0,0)} (m \ omega _ {1} + n \ omega _ {2}) ^ {- 4}}

{\ Displaystyle g_ {3} = 140 \ sum _ {(m, n) \ neq (0,0)} (m \ omega _ {1} + n \ omega _ {2}) ^ {- 6}.}

Sea la derivada de . Entonces obtenemos un isomorfismo de grupos de Lie complejos: ${\ Displaystyle \ wp '}$ ${\ Displaystyle \ wp}$

{\ Displaystyle w \ mapsto (\ wp (w): \ wp '(w): 1) \ in \ mathbb {P} ^ {2} (\ mathbb {C})}

del complejo grupo toroide a la curva elíptica proyectiva definida en coordenadas homogéneas por ${\ Displaystyle \ mathbb {C} / \ Lambda}$

{\ Displaystyle E = \ left \ {(x: y: z) \ in \ mathbb {C} ^ {3} \ mid y ^ {2} z = 4x ^ {3} -g_ {2} xz ^ {2 } -g_ {3} z ^ {3} \ right \}}

y donde el punto en el infinito, el elemento cero de la ley de grupo de la curva elíptica, se toma por convención . Si el enrejado que define la curva elíptica se conserva en realidad bajo la multiplicación por (posiblemente un subanillo adecuado de) el anillo de enteros de , entonces el anillo de automorfismos analíticos de resulta ser isomorfo a este (sub) anillo. ${\ displaystyle (0: 1: 0)}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {o}} _ {K}}$ ${\ Displaystyle K}$ ${\ Displaystyle E = \ mathbb {C} / \ Lambda}$

Si reescribimos dónde y , entonces ${\ Displaystyle \ tau = \ omega _ {1} / \ omega _ {2}}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Im} \ tau> 0}$ ${\ Displaystyle \ Delta (\ Lambda) = g_ {2} (\ Lambda) ^ {3} -27g_ {3} (\ Lambda) ^ {3}}$

{\ Displaystyle j (\ tau) = j (E) = j (\ Lambda) = 2 ^ {6} 3 ^ {3} g_ {2} (\ Lambda) ^ {3} / \ Delta (\ Lambda) \ .}

Esto significa que el invariante j de es un número algebraico , que se encuentra en , si tiene una multiplicación compleja. ${\ Displaystyle E}$ ${\ Displaystyle K}$ ${\ Displaystyle E}$

Teoría abstracta de endomorfismos

El anillo de endomorfismos de una curva elíptica puede tener una de estas tres formas: los números enteros Z ; un orden en un campo numérico cuadrático imaginario ; o una orden en un definido álgebra de cuaterniones sobre Q .

Cuando el campo de definición es un campo finito , siempre hay endomorfismos no triviales de una curva elíptica, que provienen del mapa de Frobenius , por lo que cada curva tiene una multiplicación compleja (y la terminología no se aplica a menudo). Pero cuando el campo base es un campo numérico, la multiplicación compleja es la excepción. Se sabe que, en un sentido general, el caso de la multiplicación compleja es el más difícil de resolver para la conjetura de Hodge .

Extensiones de Kronecker y abelian

Kronecker postuló primero que los valores de las funciones elípticas en los puntos de torsión deberían ser suficientes para generar todas las extensiones abelianas para campos cuadráticos imaginarios, una idea que se remonta a Eisenstein en algunos casos, e incluso a Gauss . Esto se conoció como Kronecker Jugendtraum ; y fue ciertamente lo que impulsó la observación de Hilbert anterior, ya que hace explícita la teoría de campos de clases en la forma en que lo hacen las raíces de la unidad para las extensiones abelianas del campo de números racionales , a través de la ley de reciprocidad de Shimura .

Antes bien, sea K sea un campo cuadrático imaginario con campo de clase H . Deje que E sea una curva elíptica con la multiplicación compleja por los números enteros de K , definidas sobre H . A continuación, la extensión abeliana maximal de K es generado por el x coordenadas x de los puntos de orden finito en algún modelo Weierstrass para E sobre H .

Se han buscado muchas generalizaciones de las ideas de Kronecker; sin embargo, se encuentran un tanto oblicuamente con respecto a la idea central de la filosofía de Langlands , y actualmente no se conoce una declaración definitiva.

Consecuencia de la muestra

No es casualidad que

{\ Displaystyle e ^ {\ pi {\ sqrt {163}}} = 262537412640768743.99999999999925007 \ dots \,}

o equivalente,

{\ Displaystyle e ^ {\ pi {\ sqrt {163}}} = 640320 ^ {3} +743,99999999999925007 \ dots \,}

está tan cerca de un número entero. Este hecho notable se explica por la teoría de la multiplicación compleja, junto con algunos conocimientos de formas modulares , y el hecho de que

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} \ left [{\ frac {1 + {\ sqrt {-163}}} {2}} \ right]}

es un dominio de factorización único .

Aquí satisface α ² = α - 41 . En general, S [ α ] denota el conjunto de todos los polinomios expresiones en α con coeficientes en S , que es el anillo más pequeño que contiene α y S . Debido a que α satisface esta ecuación cuadrática, los polinomios requeridos pueden limitarse al grado uno. ${\ Displaystyle (1 + {\ sqrt {-163}}) / 2}$

Alternativamente,

{\ Displaystyle e ^ {\ pi {\ sqrt {163}}} = 12 ^ {3} (231 ^ {2} -1) ^ {3} +743,99999999999925007 \ dots \,}

una estructura interna debido a ciertas series de Eisenstein , y con expresiones simples similares para los otros números de Heegner .

Módulos singulares

Los puntos del semiplano superior τ que corresponden a las relaciones de período de las curvas elípticas sobre los números complejos con multiplicación compleja son precisamente los números cuadráticos imaginarios. Los invariantes modulares correspondientes j ( τ ) son los módulos singulares , provenientes de una terminología más antigua en la que "singular" se refería a la propiedad de tener endomorfismos no triviales en lugar de referirse a una curva singular .

La función modular j ( τ ) es algebraica en números cuadráticos imaginarios τ : estos son los únicos números algebraicos en el semiplano superior para los cuales j es algebraico.

Si Λ es una red con una relación de período τ, entonces escribimos j (Λ) para j ( τ ). Si además Λ es un ideal a en el anillo de números enteros O _K de un campo imaginario cuadrático K, entonces escribimos j ( a ) para el módulo singular correspondiente. Los valores j ( a ) son entonces enteros algebraicos reales, y generan el campo de clase Hilbert H de K : el grado de extensión del campo [ H : K ] = h es el número de clase de K y el H / K es una extensión de Galois con Galois grupo isomorfo al grupo ideal de la clase de K . El grupo de clases actúa sobre los valores j ( a ) por [ b ]: j ( a ) → j ( ab ).

En particular, si K tiene la clase número uno, entonces j ( a ) = j ( O ) es un número entero racional: por ejemplo, j ( Z [i]) = j (i) = 1728.

Ver también

Variedad abeliana de tipo CM , dimensiones superiores
Carácter algebraico de Hecke
Punto de Heegner
Duodécimo problema de Hilbert
Grupo formal Lubin-Tate , campos locales
Drinfeld shtuka , caso de campo de función global

Citas

Referencias

Borel, A .; Chowla, S .; Herz, CS; Iwasawa, K .; Serre, J.-P. Seminario de multiplicación compleja . Seminario celebrado en el Instituto de Estudios Avanzados, Princeton, Nueva Jersey, 1957–58. Lecture Notes in Mathematics, No. 21 Springer-Verlag, Berlín-Nueva York, 1966
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Lang, Serge (1983). Multiplicación compleja . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas]. 255 . Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 0-387-90786-6. Zbl 0536.14029 .
Serre, J.-P. (1967). "XIII. Multiplicación compleja". En Cassels, JWS ; Fröhlich, Albrecht (eds.). Teoría algebraica de números . Prensa académica. págs. 292-296.
Shimura, Goro (1971). Introducción a la teoría aritmética de funciones automórficas . Publicaciones de la Sociedad Matemática de Japón. 11 . Tokio: Iwanami Shoten. Zbl 0221.10029 .
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Silverman, Joseph H. (1986). La aritmética de curvas elípticas . Textos de Posgrado en Matemáticas . 106 . Springer-Verlag . ISBN 0-387-96203-4. Zbl 0585.14026 .
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Silverman, Joseph H. (1994). Temas avanzados en aritmética de curvas elípticas . Textos de Posgrado en Matemáticas . 151 . Springer-Verlag . ISBN 0-387-94328-5. Zbl 0911.14015 .

enlaces externos

Multiplicación compleja de PlanetMath.org
Ejemplos de curvas elípticas con multiplicación compleja de PlanetMath.org
Ribet, Kenneth A. (octubre de 1995). "Representaciones de Galois y formas modulares". Boletín de la American Mathematical Society . 32 (4): 375–402. arXiv : matemáticas / 9503219 . CiteSeerX 10.1.1.125.6114 . doi : 10.1090 / s0273-0979-1995-00616-6 .

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