Grupo de clase ideal - Ideal class group

En teoría de números , el grupo de clases ideal (o grupo de clases ) de un campo numérico algebraico K es el grupo de cocientes J _K / P _K donde J _K es el grupo de ideales fraccionarios del anillo de números enteros de K , y P _K es su subgrupo de ideales principales . El grupo de clase es una medida del grado en que la factorización única falla en el anillo de los enteros de K . El orden del grupo, que es finito, se llama el número de clase de K .

La teoría se extiende a los dominios de Dedekind y su campo de fracciones , cuyas propiedades multiplicativas están íntimamente ligadas a la estructura del grupo de clases. Por ejemplo, el grupo de clases de un dominio Dedekind es trivial si y solo si el anillo es un dominio de factorización único .

Historia y origen del grupo de clase ideal

Los grupos de clases ideales (o, más bien, lo que eran efectivamente grupos de clases ideales) se estudiaron algún tiempo antes de que se formulara la idea de un ideal . Estos grupos aparecieron en la teoría de las formas cuadráticas : en el caso de las formas cuadráticas integrales binarias, como Carl Friedrich Gauss expresó algo así como una forma final , se definió una ley de composición sobre ciertas clases de equivalencia de formas. Esto dio un grupo abeliano finito , como se reconoció en ese momento.

Más tarde, Ernst Kummer estuvo trabajando hacia una teoría de los campos ciclotómicos . Se había dado cuenta (probablemente por varias personas) que la falla en completar las demostraciones en el caso general del último teorema de Fermat por factorización usando las raíces de la unidad era por una muy buena razón: una falla en la factorización única, es decir, el teorema fundamental de la aritmética. Mantener en los anillos generados por esas raíces de unidad fue un gran obstáculo. Del trabajo de Kummer surgió por primera vez un estudio de la obstrucción a la factorización. Ahora reconocemos esto como parte del grupo de clases ideal: de hecho, Kummer había aislado la p - torsión en ese grupo para el campo de p - raíces de la unidad, para cualquier número primo p , como la razón del fracaso del método estándar de ataque al problema de Fermat (ver cebado regular ).

Algo más tarde, nuevamente, Richard Dedekind formuló el concepto de ideal , habiendo trabajado Kummer de una manera diferente. En este punto se podrían unificar los ejemplos existentes. Se demostró que si bien los anillos de números enteros algebraicos no siempre tienen una factorización única en números primos (porque no necesitan ser dominios ideales principales ), tienen la propiedad de que todo ideal propio admite una factorización única como producto de ideales primos (es decir, , cada anillo de números enteros algebraicos es un dominio de Dedekind ). El tamaño del grupo de clases ideal puede considerarse como una medida de la desviación de un anillo de ser un dominio ideal principal; un anillo es un dominio principal si y solo si tiene un grupo de clase ideal trivial.

Definición

Si R es un dominio de integridad , definir una relación ~ en distintos de cero ideales fraccionarios de R por I ~ J siempre existen elementos distintos de cero una y b de R tal que ( a ) I = ( b ) J . (Aquí la notación ( a ) significa el ideal principal de R que consta de todos los múltiplos de a .) Se muestra fácilmente que se trata de una relación de equivalencia . Las clases de equivalencia se llaman las clases ideales de R . Las clases ideales se pueden multiplicar: si [ I ] denota la clase de equivalencia del I ideal , entonces la multiplicación [ I ] [ J ] = [ IJ ] está bien definida y es conmutativa . Los ideales principales forman la clase ideal [ R ] que sirve como elemento de identidad para esta multiplicación. Así, una clase [ I ] tiene una inversa [ J ] si y solo si hay un ideal J tal que IJ es un ideal principal. En general, tal J puede no existir y, en consecuencia, el conjunto de clases ideales de R solo puede ser un monoide .

Sin embargo, si R es el anillo de enteros algebraicos en un campo de número algebraico , o más generalmente un dominio Dedekind , la multiplicación se define anteriormente gira el conjunto de clases ideales fraccionales en un grupo abeliano , el grupo ideal de la clase de R . La propiedad de grupo de la existencia de elementos inversos se deriva fácilmente del hecho de que, en un dominio de Dedekind, todo ideal distinto de cero (excepto R ) es un producto de ideales primos .

Propiedades

El grupo de clases ideal es trivial (es decir, tiene un solo elemento) si y solo si todos los ideales de R son principales. En este sentido, el grupo de clase ideal mide qué tan lejos está R de ser un dominio ideal principal y, por lo tanto, de satisfacer la factorización prima única (los dominios de Dedekind son dominios de factorización únicos si y solo si son dominios ideales principales).

El número de clases ideales (el el número de clase deR) puede ser infinito en general. De hecho, cada grupo abeliano es isomórfico al grupo de clase ideal de algún dominio de Dedekind. Pero siRes de hecho un anillo de números enteros algebraicos, entonces el número de clase es siemprefinito. Este es uno de los principales resultados de la teoría de números algebraica clásica.

El cálculo del grupo de clase es difícil, en general; se puede hacer a mano para el anillo de números enteros en un campo numérico algebraico de discriminante pequeño , utilizando la cota de Minkowski . Este resultado da un límite, dependiendo del anillo, de modo que cada clase ideal contiene una norma ideal menor que el límite. En general, el límite no es lo suficientemente nítido para que el cálculo sea práctico para campos con un discriminante grande, pero las computadoras se adaptan bien a la tarea.

El mapeo de anillos de números enteros R a sus grupos de clases correspondientes es funcional, y el grupo de clases puede subsumirse bajo el título de teoría algebraica K , siendo K ₀ ( R ) el functor que asigna a R su grupo de clases ideal; más precisamente, K ₀ ( R ) = Z × C ( R ), donde C ( R ) es el grupo de clases. Los grupos K superiores también se pueden emplear e interpretar aritméticamente en relación con anillos de números enteros.

Relación con el grupo de unidades

Se señaló anteriormente que el grupo de clase ideal proporciona parte de la respuesta a la pregunta de cuánto se comportan como elementos los ideales en un dominio de Dedekind . La otra parte de la respuesta la proporciona el grupo multiplicativo de unidades del dominio Dedekind, ya que el paso de los ideales principales a sus generadores requiere el uso de unidades (y este es el resto de la razón para introducir el concepto de ideal fraccional, como bien):

Defina un mapa de R ^× al conjunto de todos los ideales fraccionarios distintos de cero de R enviando cada elemento al ideal principal (fraccionario) que genera. Este es un homomorfismo de grupo ; su núcleo es el grupo de unidades de R , y su conúcleo es el grupo de la clase ideal de R . El hecho de que estos grupos no sean triviales es una medida del hecho de que el mapa no es un isomorfismo: es decir, el hecho de que los ideales no actúen como elementos de anillo, es decir, como números.

Ejemplos de grupos de clases ideales

• Los anillos Z , Z [ω] y Z [ i ] , donde ω es una raíz cúbica de 1 ei es una cuarta raíz de 1 (es decir, una raíz cuadrada de -1), son todos dominios ideales principales (y de hecho son todos dominios euclidianos ), y también la clase número 1: es decir, tienen grupos de clases ideales triviales.
• Si k es un campo, entonces el anillo polinomial k [ X ₁ , X ₂ , X ₃ , ...] es un dominio integral. Tiene un conjunto infinito de clases ideales.

Números de clase de campos cuadráticos

Si d es un entero libre de cuadrados (un producto de números primos distintos) distinto de 1, entonces Q ( √ d ) es una extensión cuadrática de Q . Si d <0, entonces el número de clase del anillo R de los enteros algebraicos de Q ( √ d ) es igual a 1 para precisamente los siguientes valores de d : d = −1, −2, −3, −7, −11 , −19, −43, −67 y −163. Este resultado fue conjeturado por primera vez por Gauss y probado por Kurt Heegner , aunque la demostración de Heegner no se creyó hasta que Harold Stark dio una demostración posterior en 1967. (Véase el teorema de Stark-Heegner ). Este es un caso especial del famoso problema del número de clase .

Si, por el contrario, d > 0, entonces se desconoce si hay infinitos campos Q ( √ d ) con la clase número 1. Los resultados computacionales indican que hay muchos campos de este tipo. Sin embargo, ni siquiera se sabe si hay infinitos campos numéricos con la clase número 1.

Para d <0, el grupo de clases ideal de Q ( √ d ) es isomorfo al grupo de clases de formas cuadráticas binarias integrales de discriminante igual al discriminante de Q ( √ d ). Para d > 0, el grupo de clases ideal puede tener la mitad del tamaño, ya que el grupo de clases de formas cuadráticas binarias integrales es isomorfo al grupo de clases estrecho de Q ( √ d ).

Para anillos enteros cuadráticos reales, el número de clase se da en OEIS A003649 ; para el caso imaginario, se dan en OEIS A000924 .

Ejemplo de un grupo de clases no trivial

El anillo entero cuadrático R = Z [ √ −5 ] es el anillo de números enteros de Q ( √ −5 ). No , no poseen factorización única; de hecho, el grupo de clases de R es cíclico de orden 2. De hecho, el ideal

J = (2, 1 + √ −5 )

no es principal, lo cual puede probarse por contradicción de la siguiente manera. tiene una función norma , que satisface , y si y solo si es una unidad en . En primer lugar, porque el anillo del cociente del módulo ideal es isomorfo a , de modo que el anillo del cociente del módulo es isomorfo a . Si J fuera generado por un elemento x de R , entonces x dividiría tanto a 2 como a 1 + √ −5 . Entonces la norma dividiría a ambos y , entonces N (x) dividiría 2. Si , entonces es una unidad y , una contradicción. Pero tampoco puede ser 2, porque R no tiene elementos de norma 2, porque la ecuación Diofántica no tiene soluciones en números enteros, ya que no tiene soluciones módulo 5. ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle N (a + b {\ sqrt {-5}}) = a ^ {2} + 5b ^ {2}}$${\ Displaystyle N (uv) = N (u) N (v)}$${\ Displaystyle N (u) = 1}$${\ Displaystyle u}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle J \ neq R}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle (1 + {\ sqrt {-5}})}$${\ Displaystyle \ mathbf {Z} / 6 \ mathbf {Z}}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle J}$${\ Displaystyle \ mathbf {Z} / 2 \ mathbf {Z}}$${\ Displaystyle N (x)}$${\ Displaystyle N (2) = 4}$${\ Displaystyle N (1 + {\ sqrt {-5}}) = 6}$${\ Displaystyle N (x) = 1}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle J = R}$${\ Displaystyle N (x)}$ ${\ Displaystyle b ^ {2} + 5c ^ {2} = 2}$

También se calcula que J ² = (2), que es principal, por lo que la clase de J en el grupo de clases ideal tiene el orden dos. Demostrar que no hay otras clases ideales requiere más esfuerzo.

El hecho de que este J no sea principal también está relacionado con el hecho de que el elemento 6 tiene dos factorizaciones distintas en irreducibles:

6 = 2 × 3 = (1 + √ −5 ) × (1 - √ −5 ).

Conexiones con la teoría del campo de clases

La teoría de campos de clases es una rama de la teoría de números algebraica que busca clasificar todas las extensiones abelianas de un campo numérico algebraico dado, es decir, extensiones de Galois con un grupo de Galois abeliano . Un ejemplo particularmente hermoso se encuentra en el campo de clase de Hilbert de un campo numérico, que puede definirse como la extensión abeliana no ramificada máxima de dicho campo. El campo de clase de Hilbert L de un campo numérico K es único y tiene las siguientes propiedades:

• Cada ideal del anillo de los enteros de K se convierte en principal en L , es decir, si I es un ideal integral de K a continuación, la imagen de I es una de ideales principales en L .
• L es una extensión de Galois de K con el grupo de Galois isomorfo al grupo de la clase ideal de K .

Ninguna propiedad es particularmente fácil de probar.

Ver también

• Fórmula del número de clase
• Problema de número de clase
• Teorema de Brauer-Siegel: una fórmula asintótica para el número de clase
• Lista de campos numéricos con la clase número uno
• Dominio ideal principal
• Teoría K algebraica
• Teoría de Galois
• Último teorema de Fermat
• Grupo de clase reducido
• Grupo Picard: una generalización del grupo de clase que aparece en geometría algebraica.
• Grupo de clase Arakelov

Notas

Referencias

• Claborn, Luther (1966), "Cada grupo abeliano es un grupo de clase" , Pacific Journal of Mathematics , 18 : 219–222, doi : 10.2140 / pjm.1966.18.219 , archivado desde el original el 7 de junio de 2011
• Fröhlich, Albrecht ; Taylor, Martin (1993), teoría de números algebraica , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 27 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-43834-6, MR  1215934
• Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie . Grundlehren der mathischen Wissenschaften . 322 . Berlín: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. Señor  1697859 . Zbl  0956.11021 .