Grupo Virasoro - Virasoro group

En álgebra abstracta , el grupo Virasoro o el grupo Bott-Virasoro (a menudo denotado por Vir ) es un grupo de Lie de dimensión infinita definido como la extensión central universal del grupo de difeomorfismos del círculo . El álgebra de Lie correspondiente es el álgebra de Virasoro , que tiene un papel clave en la teoría de campos conforme (CFT) y la teoría de cuerdas .

El grupo lleva el nombre de Miguel Ángel Virasoro y Raoul Bott .

Fondo

Un difeomorfismo del círculo que conserva la orientación , cuyos puntos están etiquetados por una coordenada real sujeta a la identificación , es un mapa suave tal que y . El conjunto de todos estos mapas abarca un grupo, con la multiplicación dada por la composición de difeomorfismos. Este grupo es la cubierta universal del grupo de difeomorfismos del círculo que conservan la orientación, denotado como . ${\ Displaystyle S ^ {1}}$ ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle x \ sim x + 2 \ pi}$ ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}: x \ mapsto f (x)}$ ${\ Displaystyle f (x + 2 \ pi) = f (x) +2 \ pi}$ ${\ Displaystyle f '(x)> 0}$ ${\ displaystyle {\ widetilde {\ text {Diff}}} {} ^ {+} (S ^ {1})}$

Definición

El grupo Virasoro es la extensión central universal de . La extensión está definida por un ciclo específico de dos , que es una función de valor real de pares de difeomorfismos. Específicamente, la extensión está definida por el ciclo de Bott-Thurston: ${\ displaystyle {\ widetilde {\ text {Diff}}} {} ^ {+} (S ^ {1})}$ ${\ Displaystyle {\ mathsf {C}} (f, g)}$

{\ Displaystyle {\ mathsf {C}} (f, g) \ equiv - {\ frac {1} {48 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ log {\ big [} f '{\ big (} g (x) {\ big)} {\ big]} {\ frac {g' '(x) \, {\ text {d}} x} {g' (x)}}. }

En estos términos, el grupo Virasoro es el conjunto de todos los pares , donde es un difeomorfismo y es un número real, dotado de la operación binaria

{\ Displaystyle {\ widetilde {\ text {Diff}}} {} ^ {+} (S ^ {1}) \ times \ mathbb {R}}

{\ Displaystyle (f, \ alpha)}

{\ Displaystyle f}

{\ Displaystyle \ alpha}

{\ Displaystyle (f, \ alpha) \ cdot (g, \ beta) = {\ big (} f \ circ g, \ alpha + \ beta + {\ mathsf {C}} (f, g) {\ big) }.}

Esta operación es una operación de grupo asociativo. Esta extensión es la única extensión central de la cobertura universal del grupo de difeomorfismos circulares, hasta extensiones triviales. El grupo Virasoro también se puede definir sin el uso de coordenadas explícitas o una elección explícita de ciclo para representar la extensión central, a través de una descripción de la cobertura universal del grupo.

Álgebra de Virasoro

El álgebra de Lie del grupo Virasoro es el álgebra Virasoro . Como espacio vectorial , el álgebra de Lie del grupo Virasoro consta de pares , donde hay un campo vectorial en el círculo y es un número real como antes. El campo vectorial, en particular, puede verse como un difeomorfismo infinitesimal . El corchete de pares de Lie se sigue de la multiplicación definida anteriormente, y se puede demostrar que satisface ${\ Displaystyle (\ xi, \ alpha)}$ ${\ Displaystyle \ xi = \ xi (x) \ parcial _ {x}}$ ${\ Displaystyle \ alpha}$ ${\ Displaystyle f (x) = x + \ epsilon \ xi (x)}$ ${\ Displaystyle (\ xi, \ alpha)}$

{\ Displaystyle {\ big [} (\ xi, \ alpha), (\ zeta, \ beta) {\ big]} = {\ bigg (} [\ xi, \ zeta], - {\ frac {1} { 24 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ text {d}} x \, \ xi (x) \ zeta '' '(x) {\ bigg)}}

donde el soporte de los campos vectoriales en el lado derecho es el habitual : . Al definir los generadores complejos

{\ Displaystyle [\ xi, \ zeta] = (\ xi (x) \ zeta '(x) - \ zeta (x) \ xi' (x)) \ parcial _ {x}}

{\ Displaystyle L_ {m} \ equiv {\ Big (} -ie ^ {imx} \ partial _ {x}, - {\ frac {i} {24}} \ delta _ {m, 0} {\ Big) }, \ qquad Z \ equiv (0, -i),}

el corchete de Lie toma la forma estándar de libro de texto del álgebra de Virasoro:

{\ Displaystyle [L_ {m}, L_ {n}] = (mn) L_ {m + n} + {\ frac {Z} {12}} m (m ^ {2} -1) \ delta _ {m + n}.}

El generador conmuta con todo el álgebra. Dado que su presencia se debe a una extensión central, está sujeto a una regla de superselección que garantiza que, en cualquier sistema físico que tenga simetría Virasoro, el operador que representa sea un múltiplo de la identidad. El coeficiente frente a la identidad se conoce como carga central . ${\ Displaystyle Z}$ ${\ Displaystyle Z}$

Propiedades

Dado que cada difeomorfismo debe especificarse mediante un número infinito de parámetros (por ejemplo, los modos de Fourier de la función periódica ), el grupo Virasoro es de dimensión infinita. ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle f (x) -x}$

Representación conjunta

El corchete de Lie del álgebra de Virasoro puede verse como un diferencial de la representación adjunta del grupo Virasoro. Su representación dual, coadjunta del grupo Virasoro, proporciona la ley de transformación de un tensor de tensión CFT bajo transformaciones conformes. Desde esta perspectiva, la derivada schwarziana de esta ley de transformación surge como consecuencia del ciclo de Bott-Thurston; de hecho, el Schwarzian es el llamado cociclo de Souriau (refiriéndose a Jean-Marie Souriau ) asociado con el cociclo de Bott-Thurston.

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