Espacio Kolmogorov - Kolmogorov space

Axiomas de separación en espacios topológicos
Clasificación de Kolmogorov
T 0	(Kolmogorov)
T 1	(Fréchet)
T 2	(Hausdorff)
T 2 ½	(Urysohn)
completamente T 2	(completamente Hausdorff)
T 3	(Hausdorff regular)
T 3½	(Tychonoff)
T 4	(Hausdorff normal)
T 5	(  Hausdorff completamente normal )
T 6	(  Hausdorff perfectamente normal )
Historia

En topología y ramas relacionadas de las matemáticas , un espacio topológico X es un espacio T ₀ o espacio de Kolmogorov (llamado así por Andrey Kolmogorov ) si por cada par de puntos distintos de X , al menos uno de ellos tiene una vecindad que no contiene al otro. En un espacio T ₀ , todos los puntos son topológicamente distinguibles .

Esta condición, llamada la T ₀ condición , es el más débil de los axiomas de separación . Casi todos los espacios topológicos que se estudian normalmente en matemáticas son espacios T ₀ . En particular, todos los espacios T ₁ , es decir, todos los espacios en los que por cada par de puntos distintos, cada uno tiene una vecindad que no contiene al otro, son espacios T ₀ . Esto incluye todos los espacios T ₂ (o Hausdorff) , es decir, todos los espacios topológicos en los que puntos distintos tienen vecindarios disjuntos. En otra dirección, todo espacio sobrio (que puede no ser T ₁ ) es T ₀ ; esto incluye el espacio topológico subyacente de cualquier esquema . Dado cualquier espacio topológico, se puede construir un espacio T ₀ identificando puntos topológicamente indistinguibles.

Los espacios T ₀ que no son espacios T ₁ son exactamente aquellos espacios para los que el preorden de especialización es un orden parcial no trivial . Tales espacios ocurren naturalmente en la informática , específicamente en la semántica denotacional .

Definición

Un espacio T ₀ es un espacio topológico en el que cada par de puntos distintos es topológicamente distinguible . Es decir, para cualquier par de puntos distintos x y y hay un conjunto abierto que contiene uno de estos puntos y no el otro. Más precisamente, el espacio topológico X es Kolmogorov o si y solo si: ${\ Displaystyle \ mathbf {T} _ {0}}$

Si existe un conjunto abierto O o bien . ${\ Displaystyle a, b \ en X}$${\ Displaystyle (a \ in O) \ wedge (b \ notin O)}$${\ Displaystyle (a \ notin O) \ wedge (b \ in O)}$

Tenga en cuenta que los puntos topológicamente distinguibles son automáticamente distintos. Por otro lado, si los conjuntos de singleton { x } y { Y están} separadas , entonces los puntos x y y deben ser topológicamente distinguibles. Eso es,

separados ⇒ topológicamente distinguibles ⇒ distintos

La propiedad de ser topológicamente distinguible es, en general, más fuerte que ser distinto pero más débil que estar separado. En un espacio T ₀ , la segunda flecha de arriba se invierte; los puntos son distintos si y solo si son distinguibles. Así es como el axioma T ₀ encaja con el resto de los axiomas de separación .

Ejemplos y contraejemplos

Casi todos los espacios topológicos que se estudian normalmente en matemáticas son T ₀ . En particular, todos Hausdorff (T ₂ espacios) , T ₁ espacios y espacios sobrios son T ₀ .

Espacios que no son T ₀

• Un conjunto con más de un elemento, con la topología trivial . No se distinguen puntos.
• El conjunto R ² donde los conjuntos abiertos son el producto cartesiano de un conjunto abierto en R y R mismo, es decir, la topología de producto de R con la topología habitual y R con la topología trivial; los puntos ( a , b ) y ( a , c ) no son distinguibles.
• El espacio de todas las funciones medibles f desde la línea real R hasta el plano complejo C tal que la integral de Lebesgue de | f ( x ) | ² sobre toda la línea real es finito . Dos funciones que son iguales en casi todas partes son indistinguibles. Consulte también a continuación.

Espacios que son T ₀ pero no T ₁

• La topología de Zariski en Spec ( R ), el espectro principal de un anillo conmutativo R es siempre T ₀ pero generalmente no T ₁ . Los puntos no cerrados corresponden a ideales primarios que no son máximos . Son importantes para la comprensión de esquemas .
• La topología de punto particular en cualquier conjunto con al menos dos elementos es T ₀ pero no T ₁ ya que el punto particular no está cerrado (su cierre es todo el espacio). Un caso especial importante es el espacio de Sierpiński, que es la topología de puntos particular del conjunto {0,1}.
• La topología de puntos excluidos en cualquier conjunto con al menos dos elementos es T ₀ pero no T ₁ . El único punto cerrado es el punto excluido.
• La topología de Alexandrov en un conjunto parcialmente ordenado es T ₀ pero no será T _{1 a} menos que el orden sea discreto (concuerde con la igualdad). Todo espacio T ₀ finito es de este tipo. Esto también incluye el punto particular y las topologías de puntos excluidos como casos especiales.
• La topología de orden correcto en un conjunto totalmente ordenado es un ejemplo relacionado.
• La topología de intervalo superpuesto es similar a la topología de puntos particular ya que cada conjunto abierto incluye 0.
• De manera muy general, un espacio topológico X será T ₀ si y solo si el preorden de especialización en X es un orden parcial . Sin embargo, X será T ₁ si y solo si el orden es discreto (es decir, coincide con la igualdad). Entonces, un espacio será T ₀ pero no T ₁ si y solo si el preorden de especialización en X es un pedido parcial no discreto.

Funcionamiento con espacios T ₀

Ejemplos de espacio topológico que se estudian típicamente son T ₀ . De hecho, cuando los matemáticos en muchos campos, en particular el análisis , se encuentran naturalmente con espacios que no son T ₀ , generalmente los reemplazan con espacios T ₀ , de la manera que se describirá a continuación. Para motivar las ideas involucradas, considere un ejemplo bien conocido. El espacio L ² ( R ) está destinado a ser el espacio de todas las funciones medibles f desde la línea real R hasta el plano complejo C de manera que la integral de Lebesgue de | f ( x ) | ² sobre toda la línea real es finito . Este espacio debería convertirse en un espacio vectorial normado definiendo la norma || f || para ser la raíz cuadrada de esa integral. El problema es que esto no es realmente una norma, solo una seminorma , porque hay funciones distintas de la función cero cuyas (semi) normas son cero . La solución estándar es definir L ² ( R ) como un conjunto de clases de equivalencia de funciones en lugar de un conjunto de funciones directamente. Esto construye un espacio cociente del espacio vectorial seminormado original, y este cociente es un espacio vectorial normalizado. Hereda varias propiedades convenientes del espacio seminorizado; vea abajo.

En general, cuando se trata de una topología fija T en un conjunto X , es útil si esa topología es T ₀ . Por otro lado, cuando X es fijo pero T puede variar dentro de ciertos límites, forzar a T a ser T ₀ puede ser inconveniente, ya que las topologías que no son T ₀ son a menudo casos especiales importantes. Por lo tanto, puede ser importante comprender las versiones T ₀ y no T ₀ de las diversas condiciones que se pueden colocar en un espacio topológico.

El cociente de Kolmogorov

La indistinguibilidad topológica de puntos es una relación de equivalencia . No importa con qué espacio topológico X pueda empezar, el espacio del cociente bajo esta relación de equivalencia es siempre T ₀ . Este espacio de cociente se llama cociente de Kolmogorov de X , que denotaremos KQ ( X ). Por supuesto, si X era T ₀ para empezar, entonces KQ ( X ) y X son naturalmente homeomórficos . Categóricamente, los espacios de Kolmogorov son una subcategoría reflectante de espacios topológicos, y el cociente de Kolmogorov es el reflector.

Los espacios topológicos X e Y son equivalentes de Kolmogorov cuando sus cocientes de Kolmogorov son homeomórficos. Muchas propiedades de los espacios topológicos se conservan mediante esta equivalencia; es decir, si X e Y son equivalentes a Kolmogorov, entonces X tiene tal propiedad si y solo si Y la tiene. Por otro lado, la mayoría de las otras propiedades de los espacios topológicos implican T ₀ -ness; es decir, si X tiene tal propiedad, entonces X debe ser T ₀ . Solo unas pocas propiedades, como ser un espacio indiscreto , son excepciones a esta regla general. Aún mejor, muchas estructuras definidas en espacios topológicos se pueden transferir entre X y KQ ( X ). El resultado es que, si tiene un espacio topológico que no es T ₀ con una determinada estructura o propiedad, normalmente puede formar un espacio T ₀ con las mismas estructuras y propiedades tomando el cociente de Kolmogorov.

El ejemplo de L ² ( R ) muestra estas características. Desde el punto de vista de la topología, el espacio vectorial seminorizado con el que comenzamos tiene mucha estructura extra; por ejemplo, es un espacio vectorial y tiene una seminorma, y ​​estos definen una estructura pseudométrica y uniforme que son compatibles con la topología. Además, hay varias propiedades de estas estructuras; por ejemplo, la seminorma satisface la identidad del paralelogramo y la estructura uniforme está completa . El espacio no es T ₀ ya que dos funciones cualesquiera en L ² ( R ) que son iguales en casi todas partes son indistinguibles con esta topología. Cuando formamos el cociente de Kolmogorov, el L ² ( R ) real , estas estructuras y propiedades se conservan. Por tanto, L ² ( R ) es también un espacio vectorial seminormado completo que satisface la identidad del paralelogramo. Pero en realidad obtenemos un poco más, ya que el espacio ahora es T ₀ . Una seminorma es una norma si y solo si la topología subyacente es T ₀ , entonces L ² ( R ) es en realidad un espacio vectorial normalizado completo que satisface la identidad del paralelogramo, también conocido como espacio de Hilbert . Y es un espacio de Hilbert que los matemáticos (y físicos , en mecánica cuántica ) generalmente quieren estudiar. Tenga en cuenta que la notación L ² ( R ) generalmente denota el cociente de Kolmogorov, el conjunto de clases de equivalencia de funciones cuadradas integrables que difieren en conjuntos de medida cero, en lugar de simplemente el espacio vectorial de funciones cuadradas integrables que sugiere la notación.

Eliminando T ₀

Aunque las normas se definieron históricamente primero, a la gente también se le ocurrió la definición de seminorma, que es una especie de versión no T ₀ de una norma. En general, es posible definir versiones distintas de T ₀ tanto de propiedades como de estructuras de espacios topológicos. Primero, considere una propiedad de los espacios topológicos, como ser Hausdorff . Luego, se puede definir otra propiedad de los espacios topológicos definiendo el espacio X para satisfacer la propiedad si y solo si el cociente de Kolmogorov KQ ( X ) es de Hausdorff. Esta es una propiedad sensata, aunque menos famosa; en este caso, dicho espacio X se llama preregular . (Incluso resulta que hay una definición más directa de prerregularidad). Ahora considere una estructura que se puede colocar en espacios topológicos, como una métrica . Podemos definir una nueva estructura en espacios topológicos permitiendo que un ejemplo de la estructura en X sea ​​simplemente una métrica en KQ ( X ). Esta es una estructura sensible en X ; es una pseudometría . (Nuevamente, existe una definición más directa de pseudométrico).

De esta manera, existe una forma natural de eliminar la T ₀ de los requisitos para una propiedad o estructura. En general, es más fácil estudiar espacios que son T ₀ , pero también puede ser más fácil permitir que las estructuras que no son T ₀ obtengan una imagen más completa. El requisito de T ₀ puede agregarse o eliminarse arbitrariamente utilizando el concepto de cociente de Kolmogorov.

Ver también

• Espacio sobrio

Referencias

• Lynn Arthur Steen y J. Arthur Seebach, Jr., contraejemplos en topología . Springer-Verlag, Nueva York, 1978. Reimpreso por Dover Publications, Nueva York, 1995. ISBN   0-486-68735-X (edición de Dover).