Homeomorfismo - Homeomorphism
En el campo matemático de la topología , un homeomorfismo , isomorfismo topológico o función bicontinua es una función continua entre espacios topológicos que tiene una función inversa continua . Los homeomorfismos son los isomorfismos en la categoría de espacios topológicos , es decir, son los mapeos que preservan todas las propiedades topológicas de un espacio dado. Dos espacios con un homeomorfismo entre ellos se denominan homeomorfos , y desde un punto de vista topológico son iguales. La palabra homeomorfismo proviene de las palabras griegas ὅμοιος ( homoios ) = similar o igual y μορφή ( morphē ) = forma, forma, introducida a las matemáticas por Henri Poincaré en 1895.
En términos muy generales, un espacio topológico es un objeto geométrico y el homeomorfismo es un estiramiento y flexión continuos del objeto en una nueva forma. Por lo tanto, un cuadrado y un círculo son homeomorfos entre sí, pero una esfera y un toro no lo son. Sin embargo, esta descripción puede ser engañosa. Algunas deformaciones continuas no son homeomorfismos, como la deformación de una línea en un punto. Algunos homeomorfismos no son deformaciones continuas, como el homeomorfismo entre un nudo de trébol y un círculo.
Una broma matemática que se repite con frecuencia es que los topólogos no pueden diferenciar entre una taza de café y una rosquilla, ya que una rosquilla lo suficientemente flexible podría transformarse en una taza de café creando un hoyuelo y agrandándolo progresivamente, mientras se conserva el agujero de la rosquilla. en el asa de la taza.
Definición
Una función entre dos espacios topológicos es un homeomorfismo si tiene las siguientes propiedades:
- es una biyección ( uno a uno y sobre ),
- es continuo ,
- la función inversa es continua ( es un mapeo abierto ).
Un homeomorfismo a veces se denomina función bicontinua . Si existe tal función, y son homeomorfos . Un auto-homeomorfismo es un homeomorfismo de un espacio topológico sobre sí mismo. "Ser homeomorfo" es una relación de equivalencia en espacios topológicos. Sus clases de equivalencia se denominan clases de homeomorfismo .
Ejemplos de
- El intervalo abierto es homeomorfo a los números reales de cualquier . (En este caso, un mapeo directo bicontinuo viene dado por mientras que otros mapeos similares son dados por versiones escaladas y traducidas de las funciones tan o arg tanh ).
- La unidad 2- disco y el cuadrado unitario en R 2 son homeomorfos; ya que el disco de la unidad se puede deformar en el cuadrado de la unidad. Un ejemplo de un mapeo bicontinua de la plaza para el disco es, en coordenadas polares , .
- La gráfica de una función diferenciable es homeomorfa al dominio de la función.
- Una parametrización diferenciable de una curva es un homeomorfismo entre el dominio de la parametrización y la curva.
- Un gráfico de una variedad es un homeomorfismo entre un subconjunto abierto de la variedad y un subconjunto abierto de un espacio euclidiano .
- La proyección estereográfica es un homeomorfismo entre la esfera unitaria en R 3 con un solo punto eliminado y el conjunto de todos los puntos en R 2 (un plano bidimensional ).
- Si es un grupo topológico , su mapa de inversión es un homeomorfismo. Además, para cualquiera , la traducción a la izquierda, la traducción a la derecha y el automorfismo interno son homeomorfismos.
No ejemplos
- R m y R n no son homeomorfos para m ≠ n .
- El euclidiana recta real no es homeomorfo al círculo unidad como un subespacio de R 2 , ya que el círculo de unidad es compacta como un subespacio de euclidiano R 2 pero la línea real no es compacto.
- Los intervalos unidimensionales y no son homeomorfos porque no se pudo realizar una biyección continua.
Notas
El tercer requisito, que sea continuo, es fundamental. Considere, por ejemplo, la función (el círculo unitario en ) definida por . Esta función es biyectiva y continua, pero no un homeomorfismo ( es compacta pero no lo es). La función no es continua en el punto , porque aunque se asigna a , cualquier vecindario de este punto también incluye puntos que la función asigna cerca, pero los puntos que asigna a los números intermedios se encuentran fuera del vecindario.
Los homeomorfismos son los isomorfismos en la categoría de espacios topológicos . Como tal, la composición de dos homeomorfismos es nuevamente un homeomorfismo, y el conjunto de todos los auto-homeomorfismos forma un grupo , llamado grupo de homeomorfismo de X , que a menudo se denota . A este grupo se le puede dar una topología, como la topología compacta-abierta , que bajo ciertos supuestos lo convierte en un grupo topológico .
Para algunos propósitos, el grupo de homeomorfismos resulta ser demasiado grande, pero por medio de la relación de isotopía , se puede reducir este grupo al grupo de clases de mapeo .
Del mismo modo, como es habitual en la teoría de categorías, dado dos espacios que son homeomorfa, el espacio de homeomorfismos entre ellos, es un torsor para los grupos homeomorfismo y , y, dado un homeomorfismo específica entre y , se identifican los tres conjuntos.
Propiedades
- Dos espacios homeomorfos comparten las mismas propiedades topológicas . Por ejemplo, si uno de ellos es compacto , el otro también lo es; si uno de ellos está conectado , el otro también lo está; si uno de ellos es Hausdorff , entonces el otro también lo es; sus grupos de homotopía y homología coincidirán. Sin embargo, tenga en cuenta que esto no se extiende a las propiedades definidas mediante una métrica ; hay espacios métricos que son homeomorfos aunque uno de ellos esté completo y el otro no.
- Un homeomorfismo es simultáneamente un mapeo abierto y un mapeo cerrado ; es decir, asigna conjuntos abiertos a conjuntos abiertos y conjuntos cerrados a conjuntos cerrados.
- Cada auto-homeomorfismo en puede extenderse a un auto-homeomorfismo de todo el disco ( truco de Alexander ).
Discusión informal
El criterio intuitivo de estirar, doblar, cortar y pegar juntos requiere cierta cantidad de práctica para aplicarlo correctamente; puede que no sea obvio a partir de la descripción anterior que deformar un segmento de línea en un punto es inadmisible, por ejemplo. Por tanto, es importante darse cuenta de que lo que cuenta es la definición formal dada anteriormente. En este caso, por ejemplo, el segmento de línea posee un número infinito de puntos y, por lo tanto, no se puede colocar en una biyección con un conjunto que contiene solo un número finito de puntos, incluido un solo punto.
Esta caracterización de un homeomorfismo a menudo conduce a una confusión con el concepto de homotopía , que en realidad se define como una deformación continua, pero de una función a otra, en lugar de un espacio a otro. En el caso de un homeomorfismo, imaginar una deformación continua es una herramienta mental para hacer un seguimiento de qué puntos en el espacio X corresponden a qué puntos en Y; uno simplemente los sigue cuando X se deforma. En el caso de la homotopía, la deformación continua de un mapa a otro es esencial, y también es menos restrictiva, ya que ninguno de los mapas involucrados necesita ser uno a uno o sobre. La homotopía conduce a una relación de espacios: equivalencia de homotopía .
Existe un nombre para el tipo de deformación involucrada en la visualización de un homeomorfismo. Es (excepto cuando se requieren corte y regluing) un isotopía entre el mapa de identidad en X y el homeomorfismo de X a Y .
Ver también
- Homeomorfismo local : mapa abierto continuo que, alrededor de cada punto de su dominio, tiene un vecindario en el que se restringe a un homomorfismo
- Diffeomorfismo : isomorfismo de variedades suaves; una biyección suave con un inverso suave
- Isomorfismo uniforme: el homeomorfismo uniformemente continuo es un isomorfismo entre espacios uniformes
- El isomorfismo isométrico es un isomorfismo entre espacios métricos
- Grupo de Homeomorfismo
- Giro de Dehn
- Homeomorfismo (teoría de grafos) : concepto en la teoría de grafos (estrechamente relacionado con la subdivisión de grafos)
- Homotopía # Isotopía - Deformación continua entre dos funciones continuas
- Grupo de clases de mapeo : grupo de clases de isotopía de un grupo de automorfismo topológico
- Conjetura de Poincaré - Teorema en topología geométrica conjeturado por Henri Poincaré y probado por Grigori Perelman
- Homeomorfismo universal
Referencias
enlaces externos
- "Homeomorfismo" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]