Historia de los axiomas de separación - History of the separation axioms

Axiomas de separación en espacios topológicos
Clasificación de Kolmogorov
T 0	(Kolmogorov)
T 1	(Fréchet)
T 2	(Hausdorff)
T 2 ½	(Urysohn)
completamente T 2	(completamente Hausdorff)
T 3	(Hausdorff regular)
T 3½	(Tychonoff)
T 4	(Hausdorff normal)
T 5	(  Hausdorff completamente normal )
T 6	(  Hausdorff perfectamente normal )
Historia

La historia de los axiomas de separación en la topología general ha sido complicada, con muchos significados compitiendo por los mismos términos y muchos términos compitiendo por el mismo concepto.

Orígenes

Antes de la definición general actual de espacio topológico , se ofrecían muchas definiciones, algunas de las cuales asumían (lo que ahora consideramos) algunos axiomas de separación. Por ejemplo, la definición dada por Felix Hausdorff en 1914 es equivalente a la definición moderna más el axioma de separación de Hausdorff .

Los axiomas de separación, como grupo, se volvieron importantes en el estudio de la metrizabilidad : la cuestión de a qué espacios topológicos se les puede dar la estructura de un espacio métrico . Los espacios métricos satisfacen todos los axiomas de separación; pero, de hecho, estudiar espacios que satisfacen sólo algunos axiomas ayuda a construir la noción de metrisabilidad total.

Los axiomas de separación que se estudiaron juntos por primera vez de esta manera fueron los axiomas para espacios accesibles , espacios de Hausdorff , espacios regulares y espacios normales . Los topólogos asignaron a estas clases de espacios los nombres T ₁ , T ₂ , T ₃ y T ₄ . Posteriormente, este sistema de numeración se amplió para incluir T ₀ , T _2½ , T _3½ (o T _π ), T ₅ y T ₆ .

Pero esta secuencia tuvo sus problemas. Se suponía que la idea era que cada espacio T _i es un tipo especial de espacio T _j si i  > j . Pero esto no es necesariamente cierto, ya que las definiciones varían. Por ejemplo, un espacio regular (llamado T ₃ ) no tiene que ser un espacio de Hausdorff (llamado T ₂ ), al menos no de acuerdo con la definición más simple de espacios regulares.

Diferentes definiciones

Todos los autores estuvieron de acuerdo con T ₀ , T ₁ y T ₂ . Para los otros axiomas, sin embargo, diferentes autores podrían usar definiciones significativamente diferentes, dependiendo de en qué estuvieran trabajando. Estas diferencias podrían desarrollarse porque, si se supone que un espacio topológico satisface el axioma T ₁ , entonces las diversas definiciones son (en la mayoría de los casos) equivalentes. Por lo tanto, si uno va a hacer esa suposición, entonces querrá usar la definición más simple. Pero si uno no asumiera esa suposición, entonces la definición más simple podría no ser la correcta para el concepto más útil; en cualquier caso, destruiría la implicación (transitiva) de T _i por T _j , permitiendo (por ejemplo) espacios regulares que no son de Hausdorff.

Topólogos trabajando en el problema general metrisation hicieron suponer T ₁ ; después de todo, todos los espacios métricos son T ₁ . Por lo tanto, utilizaron las definiciones más simples para T _i . Luego, para aquellas ocasiones en las que no asumieron T ₁ , utilizaron palabras ("regular" y "normal") para las definiciones más complicadas, con el fin de contrastarlas con las más simples. Este enfoque se utilizó hasta 1970 con la publicación de Contraejemplos en topología por Lynn A. Steen y J. Arthur Seebach, Jr.

Por el contrario, los topólogos generales , dirigidos por John L. Kelley en 1955, generalmente no asumieron T ₁ , por lo que estudiaron los axiomas de separación con la mayor generalidad desde el principio. Utilizaron las definiciones más complicadas de T _i , de modo que siempre tendrían una buena propiedad que relacionaba T _i con T _j . Luego, para las definiciones más simples, usaron palabras (nuevamente, "regular" y "normal"). Se podría decir que ambas convenciones siguen los significados "originales"; los diferentes significados son los mismos para los espacios T ₁ , que era el contexto original. Pero el resultado fue que diferentes autores utilizaron los diversos términos de formas exactamente opuestas. Para aumentar la confusión, alguna literatura observará una buena distinción entre un axioma y el espacio que satisface el axioma, de modo que un espacio T ₃ podría necesitar satisfacer los axiomas T ₃ y T ₀ (por ejemplo, en el Diccionario Enciclopédico de Matemáticas , 2a ed.).

Desde 1970, los términos de los topólogos generales han ido ganando popularidad, incluso en otras ramas de las matemáticas, como el análisis . (Por lo tanto, usamos sus términos en Wikipedia). Pero el uso aún no es consistente.

Completamente Hausdorff, Urysohn y T _{2 1 ⁄ 2} espacios

Steen y Seebach definen un espacio de Urysohn como "un espacio con una función de Urysohn para dos puntos cualesquiera". Willard llama a esto un espacio completamente de Hausdorff. Steen & Seebach definen un espacio completamente de Hausdorff o espacio T _{2 1 ⁄ 2} como un espacio en el que cada dos puntos están separados por vecindarios cerrados, que Willard llama un espacio de Urysohn o espacio T _{2 1 ⁄ 2} . (Wikipedia sigue a Willard).

Ver también

• Historia de la topología

Referencias

• John L. Kelley ; Topología general ; ISBN  0-387-90125-6
• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de 1978 ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, MR  0507446
• Stephen Willard, General Topology , Addison-Wesley, 1970. Reimpreso por Dover Publications, Nueva York, 2004. ISBN  0-486-43479-6 (edición Dover).
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general (Primera ed.). Mineola, NY : Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240 .