Empuje hacia adelante (diferencial) - Pushforward (differential)

Si un mapa, φ , lleva todos los puntos en el colector M a colector N entonces el pushforward de φ lleva vectores en el espacio tangente en cada punto de M a un espacio de tangente en cada punto en N .

En geometría diferencial , pushforward es una aproximación lineal de mapas suaves en espacios tangentes. Suponga que φ  : M → N es un mapa uniforme entre variedades suaves ; entonces el diferencial de φ, ,${\ Displaystyle d \ varphi}$ en un punto x es, en cierto sentido, la mejor aproximación lineal de φ cerca de x . Puede verse como una generalización de la derivada total del cálculo ordinario. Explícitamente, el diferencial es un mapa lineal del espacio tangente de M en x en el espacio de las tangentes de N en φ ( x ), . Por lo tanto puede ser utilizado para empujar vectores tangentes en M hacia adelante a vectores tangentes en N . El diferencial de un mapa φ también es llamado, por varios autores, la derivada o la derivada total de φ . ${\ Displaystyle d \ varphi: T_ {x} M \ a T _ {\ varphi (x)} N}$

Motivación

Sea φ  : U → V un mapa uniforme de un subconjunto abierto U de a un subconjunto abierto V de . Para cualquier punto x en U , el jacobiano de φ en x (con respecto a las coordenadas estándar) es la representación matricial de la derivada total de φ en x , que es un mapa lineal${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ Displaystyle d \ varphi _ {x}: \ mathbb {R} ^ {m} \ to \ mathbb {R} ^ {n}.}$

Deseamos generalizar esto al caso de que φ es una función suave entre los múltiples lisos M y N .

El diferencial de un mapa suave

Sea φ  : M → N un mapa uniforme de variedades suaves. Dado algún x ∈ M , el diferencial de φ en x es un mapa lineal

${\ Displaystyle d \ varphi _ {x}: T_ {x} M \ a T _ {\ varphi (x)} N \,}$

desde el espacio tangente de M en x hasta el espacio tangente de N en φ ( x ). La aplicación de dφ _x a un vector tangente X a veces se denomina empuje hacia adelante de X por φ . La definición exacta de este empuje hacia adelante depende de la definición que se utilice para los vectores tangentes (para las diversas definiciones, consulte el espacio tangente ).

Si los vectores tangentes se definen como clases de equivalencia de curvas a través de x, entonces el diferencial está dado por ${\ Displaystyle \ gamma}$

${\ Displaystyle d \ varphi _ {x} (\ gamma '(0)) = (\ varphi \ circ \ gamma)' (0).}$

Aquí γ es una curva en M con γ (0) = x y es un vector tangente a la curva γ en 0. En otras palabras, el empuje hacia adelante del vector tangente a la curva γ en 0 es el vector tangente a la curva en 0 . ${\ Displaystyle \ gamma '(0)}$${\ Displaystyle \ varphi \ circ \ gamma}$

Alternativamente, si los vectores tangentes se definen como derivaciones que actúan sobre funciones suaves de valor real, entonces el diferencial está dado por

${\ Displaystyle d \ varphi _ {x} (X) (f) = X (f \ circ \ varphi),}$

para una función arbitraria y una derivación arbitraria en el punto (una derivación se define como un mapa lineal que satisface la regla de Leibniz , ver: definición de espacio tangente vía derivaciones ). Por definición, el pushforward de es en y por lo tanto sí es una derivación, . ${\ Displaystyle f \ en C ^ {\ infty} (N)}$${\ Displaystyle X \ en T_ {x} M}$${\ Displaystyle x \ in M}$ ${\ Displaystyle X: C ^ {\ infty} (M) \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle T _ {\ varphi (x)} N}$${\ Displaystyle d \ varphi _ {x} (X): C ^ {\ infty} (N) \ to \ mathbb {R}}$

Después de elegir dos gráficos alrededor de xy alrededor de φ ( x ), φ se determina localmente mediante un mapa uniforme

${\ Displaystyle {\ widehat {\ varphi}}: U \ a V}$

entre conjuntos abiertos de y , y dφ _x tiene representación (en x ) ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ Displaystyle d \ varphi _ {x} \ left ({\ frac {\ parcial} {\ parcial u ^ {a}}} \ right) = {\ frac {\ parcial {\ widehat {\ varphi}} ^ { b}} {\ parcial u ^ {a}}} {\ frac {\ parcial} {\ parcial v ^ {b}}},}$

en la notación de suma de Einstein , donde las derivadas parciales se evalúan en el punto en U correspondiente ax en el gráfico dado.

La extensión por linealidad da la siguiente matriz

${\ Displaystyle \ left (d \ varphi _ {x} \ right) _ {a} ^ {\; b} = {\ frac {\ parcial {\ widehat {\ varphi}} ^ {b}} {\ parcial u ^ {a}}}.}$

Así, el diferencial es una transformación lineal, entre espacios tangentes, asociada al mapa suave φ en cada punto. Por lo tanto, en algunas coordenadas locales elegidas, está representado por la matriz jacobiana del correspondiente mapa suave de a . En general, el diferencial no necesita ser invertible. Si φ es un difeomorfismo local , entonces el pushforward en x es invertible y su inversa da la retirada de T _{φ ( x )} N . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

El diferencial se expresa con frecuencia utilizando una variedad de otras notaciones, como

${\ Displaystyle D \ varphi _ {x}, \ left (\ varphi _ {*} \ right) _ {x}, \ varphi '(x), T_ {x} \ varphi.}$

Se desprende de la definición de que el diferencial de un compuesto es el compuesto de las diferencias (es decir, funtorial comportamiento). Esta es la regla de la cadena para mapas suaves.

Además, el diferencial de un difeomorfismo local es un isomorfismo lineal de espacios tangentes.

El diferencial en el haz tangente

El diferencial de un mapa uniforme φ induce, de manera obvia, un mapa de paquete (de hecho, un homomorfismo de paquete vectorial ) desde el paquete tangente de M al paquete tangente de N , denotado por dφ o φ _∗ , que encaja en lo siguiente diagrama conmutativo :

donde π _M y π _N denotan las proyecciones de haz de los haces tangentes de M y N respectivamente.

${\ Displaystyle \ operatorname {d} \! \ varphi}$induce un mapa de paquete de TM al paquete de retroceso φ ^∗ TN sobre M a través de

${\ Displaystyle (m, v_ {m}) \ mapsto (m, \ operatorname {d} \! \ varphi (m, v_ {m})),}$

donde y Este último mapa puede a su vez ser visto como una sección de la fibrado vectorial Hom ( TM , φ ^* TN ) sobre M . El mapa de paquete dφ también se denota por Tφ y se denomina mapa de tangente . De esta forma, T es un funtor . ${\ Displaystyle m \ in M}$${\ Displaystyle v_ {m} \ in T_ {m} M.}$

Impulso de campos vectoriales

Dado un mapa liso φ  : M → N y un campo de vectores X en M , no es generalmente posible identificar un pushforward de X por φ con algún campo vector Y en N . Por ejemplo, si el mapa φ no es sobreyectivo, no hay una forma natural de definir tal empuje hacia adelante fuera de la imagen de φ . Además, si φ no es inyectable, puede haber más de una opción de empuje hacia adelante en un punto dado. Sin embargo, se puede precisar esta dificultad utilizando la noción de un campo vectorial a lo largo de un mapa.

Una sección de φ ^∗ TN sobre M se llama campo vectorial a lo largo de φ . Por ejemplo, si M es una subvariedad de N y φ es la inclusión, entonces un campo vectorial a lo largo de φ es solo una sección del haz tangente de N a lo largo de M ; en particular, un campo vectorial en M define dicha sección mediante la inclusión de TM dentro de TN . Esta idea se generaliza a mapas suaves arbitrarios.

Suponga que X es un campo vectorial en M , es decir, una sección de TM . Entonces, los rendimientos, en el sentido anterior, el pushforward φ _* X , que es un campo vectorial a lo largo de φ , es decir, una sección de φ ^* TN sobre M . ${\ Displaystyle \ operatorname {d} \! \ phi \ circ X}$

Cualquier campo vectorial Y en N define una sección de retroceso φ ^∗ Y de φ ^∗ TN con ( φ ^∗ Y ) _x = Y _{φ ( x )} . Un campo de vectores X en M y un campo vectorial Y en N se dice que son φ relacionados con la PI si φ _* X = φ ^* Y como campos de vectores a lo largo de φ . En otras palabras, para todo x en M , dφ _x ( X ) = Y _{φ ( x )} .

En algunas situaciones, dado un X campo vectorial en M , hay un campo de vector único Y en N que es φ -relacionado con X . Esto es cierto en particular cuando φ es un difeomorfismo . En este caso, el empuje hacia adelante define un campo vectorial Y en N , dado por

${\ Displaystyle Y_ {y} = \ phi _ {*} \ left (X _ {\ phi ^ {- 1} (y)} \ right).}$

Surge una situación más general cuando φ es sobreyectiva (por ejemplo, la proyección de un haz de fibras). Entonces, se dice que un campo vectorial X en M es proyectable si para todo y en N , dφ _x ( X _x ) es independiente de la elección de x en φ ⁻¹ ({ y }). Esta es precisamente la condición que garantiza que un empuje hacia adelante de X , como un campo vectorial en N , esté bien definido.

Ver también

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Referencias

• Lee, John M. (2003). Introducción a los colectores lisos . Springer Graduate Texts in Mathematics. 218 .
• Jost, Jürgen (2002). Geometría Riemanniana y Análisis Geométrico . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-42627-2. Consulte la sección 1.6 .
• Abraham, Ralph ; Marsden, Jerrold E. (1978). Fundamentos de la Mecánica . Londres: Benjamin-Cummings. ISBN 0-8053-0102-X. Consulte la sección 1.7 y 2.3 .