Mersenne prime - Mersenne prime
Lleva el nombre de | Marin Mersenne |
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No. de términos conocidos | 51 |
Conjeturado que no. de términos | Infinito |
Subsecuencia de | Números de Mersenne |
Primeros términos | 3 , 7 , 31 , 127 , 8191 |
Término más grande conocido | 2 82,589,933 - 1 (7 de diciembre de 2018) |
Índice OEIS |
Un primo de Mersenne es un número primo que es uno menos que una potencia de dos . Es decir, es un número primo de la forma M n = 2 n - 1 para algún número entero n . Llevan el nombre de Marin Mersenne , un fraile minim francés , que los estudió a principios del siglo XVII. Si n es un número compuesto, entonces también lo es 2 n - 1 . Por lo tanto, una definición equivalente de los números primos de Mersenne es que son los números primos de la forma M p = 2 p - 1para algunos prime p .
Los exponentes n que dan primos de Mersenne son 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, ... (secuencia A000043 en la OEIS ) y los primos de Mersenne resultantes son 3 , 7 , 31 , 127 , 8191, 131071, 524287, 2147483647 , ... (secuencia A000668 en la OEIS ).
Los números de la forma M n = 2 n - 1 sin el requisito de primalidad pueden llamarse números de Mersenne . A veces, sin embargo, los números de Mersenne se definen para tener el requisito adicional de que n sea primo. El número compuesto de Mersenne más pequeño con exponente primo n es 2 11 - 1 = 2047 = 23 × 89 .
Los números primos de Mersenne se estudiaron en la antigüedad debido a su estrecha conexión con los números perfectos : el teorema de Euclides-Euler afirma una correspondencia uno a uno entre los números perfectos pares y los números primos de Mersenne. Muchos de los números primos más grandes conocidos son números primos de Mersenne porque los números de Mersenne son más fáciles de verificar para determinar si son primarios.
A octubre de 2020, se conocen 51 primos de Mersenne. El número primo más grande conocido , 2 82,589,933 - 1 , es un primo de Mersenne. Desde 1997, todos los números primos de Mersenne recién descubiertos han sido descubiertos por Great Internet Mersenne Prime Search , un proyecto de computación distribuida . En diciembre de 2020, se superó un hito importante en el proyecto después de que todos los exponentes por debajo de 100 millones se verificaron al menos una vez.
Acerca de los primos de Mersenne
¿Hay infinitos números primos de Mersenne?
Muchas preguntas fundamentales sobre los números primos de Mersenne siguen sin resolverse. Ni siquiera se sabe si el conjunto de números primos de Mersenne es finito o infinito. La conjetura de Lenstra-Pomerance-Wagstaff afirma que hay infinitos números primos de Mersenne y predice su orden de crecimiento . Tampoco se sabe si infinitamente muchos números de Mersenne con exponentes primos son compuestos , aunque esto se seguiría de conjeturas ampliamente creídas sobre números primos, por ejemplo, la infinitud de los primos de Sophie Germain congruentes con 3 ( mod 4 ). Para estos primos p , 2 p + 1 (que también es primo) dividirá M p , por ejemplo, 23 | M 11 , 47 | M 23 , 167 | M 83 , 263 | M 131 , 359 | M 179 , 383 | M 191 , 479 | M 239 y 503 | M 251 (secuencia A002515 en la OEIS ). Dado que para estos primos p , 2 p + 1 es congruente con 7 mod 8, entonces 2 es un residuo cuadrático mod 2 p + 1 , y el orden multiplicativo de 2 mod 2 p + 1 debe dividir = p . Como p es primo, debe ser p o 1. Sin embargo, no puede ser 1 ya que 1 no tiene factores primos , por lo que debe ser p . Por tanto, 2 p + 1 se divide y no puede ser primo.
Los primeros cuatro primos de Mersenne son M 2 = 3 , M 3 = 7 , M 5 = 31 y M 7 = 127 y debido a que el primer primo de Mersenne comienza en M 2 , todos los primos de Mersenne son congruentes con 3 (mod 4). Aparte de M 0 = 0 y M 1 = 1 , todos los demás números de Mersenne también son congruentes con 3 (mod 4). En consecuencia, en la factorización prima de un número de Mersenne ( ≥ M 2 ) debe haber al menos un factor primo congruente con 3 (mod 4).
Un teorema básico sobre los números de Mersenne establece que si M p es primo, entonces el exponente p también debe ser primo. Esto se sigue de la identidad
Esto descarta la primacía para los números de Mersenne con un exponente compuesto, como M 4 = 2 4 - 1 = 15 = 3 × 5 = (2 2 - 1) × (1 + 2 2 ) .
Aunque los ejemplos anteriores pueden sugerir que M p es primo para todos los primos p , este no es el caso, y el contraejemplo más pequeño es el número de Mersenne
- M 11 = 2 11 - 1 = 2047 = 23 × 89 .
La evidencia disponible sugiere que un número de Mersenne seleccionado al azar es mucho más probable que sea primo que un número entero impar seleccionado al azar arbitrario de tamaño similar. No obstante, los valores primos de M p parecen volverse cada vez más escasos a medida que aumenta p . Por ejemplo, ocho de los primeros 11 primos p dan lugar a un primo de Mersenne M p (los términos correctos en la lista original de Mersenne), mientras que M p es primo para solo 43 de los primeros dos millones de números primos (hasta 32,452,843).
La falta de una prueba simple para determinar si un número de Mersenne dado es primo hace que la búsqueda de primos de Mersenne sea una tarea difícil, ya que los números de Mersenne crecen muy rápidamente. La prueba de primalidad de Lucas-Lehmer (LLT) es una prueba de primordialidad eficiente que ayuda mucho en esta tarea, lo que hace que sea mucho más fácil probar la primacía de los números de Mersenne que la de la mayoría de los otros números del mismo tamaño. La búsqueda de la prima más grande conocida tiene algo de seguidores de culto . En consecuencia, se ha gastado una gran cantidad de energía informática en la búsqueda de nuevos números primos de Mersenne, gran parte de los cuales ahora se realizan mediante computación distribuida .
Módulo aritmético Un número de Mersenne es particularmente eficiente en una computadora binaria , lo que los convierte en opciones populares cuando se desea un módulo primo, como el generador de números aleatorios de Park-Miller . Para encontrar un polinomio primitivo de orden numérico de Mersenne requiere conocer la factorización de ese número, por lo que los números primos de Mersenne permiten encontrar polinomios primitivos de orden muy alto. Estos trinomios primitivos se utilizan en generadores de números pseudoaleatorios con períodos muy grandes, como el tornado de Mersenne , el registro de desplazamiento generalizado y los generadores de Fibonacci Lagged .
Números perfectos
Los primos de Mersenne M p están estrechamente relacionados con números perfectos . En el siglo IV a. C., Euclides demostró que si 2 p - 1 es primo, entonces 2 p - 1 (2 p - 1 ) es un número perfecto. En el siglo XVIII, Leonhard Euler demostró que, a la inversa, todos los números, incluso perfectos, tienen esta forma. Esto se conoce como el teorema de Euclides-Euler . Se desconoce si existen números perfectos impares .
Historia
2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
23 | 29 | 31 | 37 | 41 | 43 | 47 | 53 |
59 | 61 | 67 | 71 | 73 | 79 | 83 | 89 |
97 | 101 | 103 | 107 | 109 | 113 | 127 | 131 |
137 | 139 | 149 | 151 | 157 | 163 | 167 | 173 |
179 | 181 | 191 | 193 | 197 | 199 | 211 | 223 |
227 | 229 | 233 | 239 | 241 | 251 | 257 | 263 |
269 | 271 | 277 | 281 | 283 | 293 | 307 | 311 |
Los primeros 64 exponentes primos con los correspondientes a los primos de Mersenne sombreados en cian y en negrita, y los que Mersenne cree que lo hacen en rojo y negrita. |
Los números primos de Mersenne toman su nombre del erudito francés del siglo XVII Marin Mersenne , quien compiló lo que se suponía que era una lista de números primos de Mersenne con exponentes hasta 257. Los exponentes enumerados por Mersenne fueron los siguientes:
- 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257.
Su lista reproducía los números primos conocidos de su tiempo con exponentes hasta 19. Su siguiente entrada, 31, era correcta, pero la lista se volvió en gran medida incorrecta, ya que Mersenne incluyó por error M 67 y M 257 (que son compuestos) y omitió M 61 , M 89 y M 107 (que son primos). Mersenne dio pocos indicios de cómo se le ocurrió la lista.
Édouard Lucas demostró en 1876 que M 127 es de hecho prime, como afirmó Mersenne. Este fue el número primo más grande conocido durante 75 años hasta 1951, cuando Ferrier encontró un primo más grande , usando una máquina calculadora de escritorio. Ivan Mikheevich Pervushin determinó que M 61 era primo en 1883 , aunque Mersenne afirmó que era compuesto, y por esta razón a veces se le llama número de Pervushin. Este era el segundo número primo más grande conocido, y permaneció así hasta 1911. Lucas había mostrado otro error en la lista de Mersenne en 1876. Sin encontrar un factor, Lucas demostró que M 67 es en realidad compuesto. No se encontró ningún factor hasta una famosa charla de Frank Nelson Cole en 1903. Sin decir una palabra, fue a un pizarrón y subió 2 a la potencia 67, luego restó uno. En el otro lado del tablero, multiplicó 193,707,721 × 761,838,257,287 y obtuvo el mismo número, luego regresó a su asiento (entre aplausos) sin hablar. Más tarde dijo que el resultado le había llevado "tres años de domingos" para encontrarlo. Una lista correcta de todos los números primos de Mersenne en este rango de números se completó y verificó rigurosamente solo unos tres siglos después de que Mersenne publicara su lista.
Buscando números primos de Mersenne
Hay disponibles algoritmos rápidos para encontrar números primos de Mersenne y, a partir de junio de 2019, los ocho números primos más grandes conocidos son los números primos de Mersenne.
Los primeros cuatro números primos de Mersenne M 2 = 3 , M 3 = 7 , M 5 = 31 y M 7 = 127 se conocían en la antigüedad. El quinto, M 13 = 8191 , fue descubierto de forma anónima antes de 1461; los dos siguientes ( M 17 y M 19 ) fueron encontrados por Pietro Cataldi en 1588. Después de casi dos siglos, Leonhard Euler verificó que M 31 era primo en 1772. El siguiente (en orden histórico, no numérico) fue M 127 , encontrado por Édouard Lucas en 1876, luego M 61 por Ivan Mikheevich Pervushin en 1883. Dos más ( M 89 y M 107 ) fueron encontrados a principios del siglo XX, por RE Powers en 1911 y 1914, respectivamente.
El método más eficaz que se conoce actualmente para probar la primacía de los números de Mersenne es la prueba de primacía de Lucas-Lehmer . Específicamente, se puede demostrar que para primos p > 2 , M p = 2 p - 1 es primo si y solo si M p divide S p - 2 , donde S 0 = 4 y S k = ( S k - 1 ) 2 - 2 para k > 0 .
Durante la era del cálculo manual, todos los exponentes hasta el 257 inclusive se probaron con la prueba de Lucas-Lehmer y se determinó que eran compuestos. Horace Scudder Uhler, profesor de física retirado de Yale, hizo una contribución notable, quien hizo los cálculos para los exponentes 157, 167, 193, 199, 227 y 229. Desafortunadamente para esos investigadores, el intervalo que estaban probando contiene la brecha relativa más grande conocida entre Primos de Mersenne: el próximo exponente primo de Mersenne, 521, resultaría ser más de cuatro veces mayor que el récord anterior de 127.
La búsqueda de números primos de Mersenne se vio revolucionada por la introducción de la computadora digital electrónica. Alan Turing los buscó en el Manchester Mark 1 en 1949, pero la primera identificación exitosa de un Mersenne prime, M 521 , por este medio se logró a las 10:00 pm del 30 de enero de 1952, utilizando la Oficina Nacional de Estándares Occidental de EE. UU . Automatic Computer (SWAC) en el Instituto de Análisis Numérico de la Universidad de California, Los Ángeles , bajo la dirección de DH Lehmer , con un programa de búsqueda informática escrito y dirigido por el Prof. RM Robinson . Fue la primera prima de Mersenne en ser identificada en treinta y ocho años; el siguiente, M 607 , fue encontrado por la computadora poco menos de dos horas después. Tres más, M 1279 , M 2203 y M 2281 , fueron encontrados por el mismo programa en los siguientes meses. M 4.423 fue el primer primo titánico descubierto , M 44.497 fue el primer primo gigantesco descubierto , y M 6.972.593 fue el primer megaprime que se descubrió, siendo un primo con al menos 1.000.000 de dígitos. El número de dígitos en la representación decimal de M n es igual a ⌊ n × log 10 2⌋ + 1 , donde ⌊ x ⌋ denota la función de piso (o equivalentemente ⌊log 10 M n ⌋ + 1 ).
En septiembre de 2008, los matemáticos de UCLA que participaron en Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) ganaron parte de un premio de $ 100,000 de la Electronic Frontier Foundation por su descubrimiento de un Mersenne prime de casi 13 millones de dígitos. El premio, finalmente confirmado en octubre de 2009, es para el primer prime conocido con al menos 10 millones de dígitos. El principal se encontró en una Dell OptiPlex 745 el 23 de agosto de 2008. Este fue el octavo principal de Mersenne descubierto en UCLA.
El 12 de abril de 2009, un registro del servidor de GIMPS informó que posiblemente se había encontrado un número 47 de Mersenne principal. El hallazgo se notó por primera vez el 4 de junio de 2009 y se verificó una semana después. El primo es 2 42,643,801 - 1 . Aunque cronológicamente es el número 47 de Mersenne principal descubierto, es más pequeño que el más grande conocido en ese momento, que fue el número 45 en ser descubierto.
El 25 de enero de 2013, Curtis Cooper , un matemático de la Universidad de Central Missouri , descubrió un número primo número 48 de Mersenne, 2 57.885.161 - 1 (un número con 17.425.170 dígitos), como resultado de una búsqueda ejecutada por una red de servidores GIMPS.
El 19 de enero de 2016, Cooper publicó su descubrimiento de un número primo 49 de Mersenne, 2 74,207,281 - 1 (un número con 22,338,618 dígitos), como resultado de una búsqueda ejecutada por una red de servidores GIMPS. Este fue el cuarto prime de Mersenne descubierto por Cooper y su equipo en los últimos diez años.
El 2 de septiembre de 2016, Great Internet Mersenne Prime Search terminó de verificar todas las pruebas por debajo de M 37,156,667 , confirmando así oficialmente su posición como la 45th Mersenne Prime.
El 3 de enero de 2018, se anunció que Jonathan Pace, un ingeniero eléctrico de 51 años que vive en Germantown, Tennessee , había encontrado un número primo número 50 de Mersenne, 2 77,232,917 - 1 (un número con 23,249,425 dígitos), como resultado de una búsqueda ejecutada por una red de servidores GIMPS. El descubrimiento fue realizado por una computadora en las oficinas de una iglesia en el mismo pueblo.
El 21 de diciembre de 2018, se anunció que The Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) descubrió el número primo más grande conocido, 2 82,589,933 - 1 , con 24,862,048 dígitos. Una computadora ofrecida por Patrick Laroche de Ocala, Florida, hizo el hallazgo el 7 de diciembre de 2018.
A fines de 2020, GIMPS comenzó a usar una nueva técnica para descartar posibles primos de Mersenne llamada prueba de primo probable (PRP), basada en el desarrollo de Robert Gerbicz en 2017, y una forma sencilla de verificar las pruebas desarrolladas por Krzysztof Pietrzak en 2018. la baja tasa de error y la facilidad de prueba, esto casi redujo a la mitad el tiempo de cálculo para descartar posibles números primos sobre la prueba de Lucas-Lehmer (ya que dos usuarios ya no tendrían que realizar la misma prueba para confirmar el resultado del otro), aunque los exponentes que pasan el La prueba de PRP aún requiere una para confirmar su originalidad.
Teoremas sobre los números de Mersenne
- Si una y p son números naturales tales que un p - 1 es primo, entonces un = 2 o p = 1 .
- Prueba : a ≡ 1 ( mod a - 1) . Entonces a p ≡ 1 (mod a - 1) , entonces a p - 1 ≡ 0 (mod a - 1) . Por tanto, a - 1 | a p - 1 . Sin embargo, a p - 1 es primo, entonces a - 1 = a p - 1 o a - 1 = ± 1 . En el primer caso, a = a p , por lo tanto a = 0, 1 (lo cual es una contradicción, ya que ni −1 ni 0 son primos) o p = 1. En el último caso, a = 2 o a = 0 . Sin embargo, si a = 0 , 0 p - 1 = 0 - 1 = −1 que no es primo. Por tanto, a = 2 .
- Si 2 p - 1 es primo, entonces p es primo.
- Demostración : suponga que p es compuesto, por lo tanto, se puede escribir p = ab con a y b > 1 . Entonces 2 p - 1 = 2 ab - 1 = (2 a ) b - 1 = (2 a - 1) ( (2 a ) b −1 + (2 a ) b −2 +… + 2 a + 1 ) entonces 2 p - 1 es compuesto. Por contrapositivo, si 2 p - 1 es primo, entonces p es primo.
- Si p es un primo impar, entonces todo primo q que divide 2 p - 1 debe ser 1 más un múltiplo de 2 p . Esto se mantiene incluso cuando 2 p - 1 es primo.
- Por ejemplo, 2 5 - 1 = 31 es primo y 31 = 1 + 3 × (2 × 5) . Un ejemplo compuesto es 2 11 - 1 = 23 × 89 , donde 23 = 1 + (2 × 11) y 89 = 1 + 4 × (2 × 11) .
- Prueba : Por el pequeño teorema de Fermat , q es un factor de 2 q -1 - 1 . Dado que q es un factor de 2 p - 1 , para todos los enteros positivos c , q también es un factor de 2 pc - 1 . Dado que p es primo y q no es un factor de 2 1 - 1 , p también es el entero positivo más pequeño x tal que q es un factor de 2 x - 1 . Como resultado, para todos los enteros positivos x , q es un factor de 2 x - 1 si y solo si p es un factor de x . Por lo tanto, puesto que q es un factor de 2 q -1 - 1 , p es un factor de q - 1 de modo q ≡ 1 (mod p ) . Además, dado que q es un factor de 2 p - 1 , que es impar, q es impar. Por lo tanto, q ≡ 1 (mod 2 p ) .
- Este hecho conduce a una demostración del teorema de Euclides , que afirma la infinitud de los primos, distintos de la prueba escrita por Euclides: para cada primo impar p , todos los primos que dividen 2 p - 1 son mayores que p ; por lo tanto, siempre hay números primos más grandes que cualquier primo en particular.
- De este hecho se deduce que por cada primo p > 2 , hay al menos un primo de la forma 2 kp +1 menor o igual que M p , para algún entero k .
- Si p es un primo impar, entonces todo primo q que divide 2 p - 1 es congruente con ± 1 (mod 8) .
- Prueba : 2 p +1 ≡ 2 (mod q ) , entonces 2 1/2(p + 1) es una raíz cuadrada de 2 mod q . Por reciprocidad cuadrática , cada módulo primo en el que el número 2 tiene una raíz cuadrada es congruente con ± 1 ( módulo 8) .
- Una prima de Mersenne no puede ser una prima de Wieferich .
- Demostración : Demostramos que si p = 2 m - 1 es un primo de Mersenne, entonces la congruencia 2 p −1 ≡ 1 (mod p 2 ) no se cumple. Por el pequeño teorema de Fermat, m | p - 1 . Por lo tanto, se puede escribir p - 1 = mλ . Si se satisface la congruencia dada, entonces p 2 | 2 mλ - 1 , por lo tanto 0 ≡2 mλ - 1/2 m - 1 = 1 + 2 m + 2 2 m + ... + 2 ( λ - 1) m ≡ - λ mod (2 m - 1) . Por tanto, 2 m - 1 | λ , y por lo tanto λ ≥ 2 m - 1 . Esto conduce a p - 1 ≥ m (2 m - 1) , lo cual es imposible ya que m ≥ 2 .
- Si m y n son números naturales, entonces m y n son primos entre sí si y sólo si 2 m - 1 y 2 n - 1 son primos entre sí. En consecuencia, un número primo divide como máximo un número de Mersenne de exponente primo. Es decir, el conjunto de números perniciosos de Mersenne es coprimo por pares.
- Si p y 2 p + 1 son primos (lo que significa que p es un primo de Sophie Germain ), y p es congruente con 3 (mod 4) , entonces 2 p + 1 divide 2 p - 1 .
- Ejemplo : 11 y 23 son primos y 11 = 2 × 4 + 3 , por lo que 23 divide 2 11 - 1 .
- Prueba : Let q sea 2 p + 1 . Según el pequeño teorema de Fermat, 2 2 p ≡ 1 (mod q ) , entonces 2 p ≡ 1 (mod q ) o 2 p ≡ −1 (mod q ) . Suponiendo que esto último sea cierto, entonces 2 p +1 = (21/2( p + 1) ) 2 ≡ −2 (mod q ) , entonces −2 sería un residuo cuadrático mod q . Sin embargo, dado que p es congruente con 3 (mod 4) , q es congruente con 7 (mod 8) y por lo tanto 2 es un residuo cuadrático mod q . Además, dado que q es congruente con 3 (mod 4) , −1 es un mod q de no residuo cuadrático, entonces −2 es el producto de un residuo y un no residuo y, por lo tanto, es un no residuo, lo cual es una contradicción. Por tanto, la primera congruencia debe ser verdadera y 2 p + 1 divide a M p .
- Todos los divisores compuestos de números de Mersenne con exponente primo son pseudoprimos fuertes en base 2.
- Con la excepción de 1, un número de Mersenne no puede ser una potencia perfecta. Es decir, y de acuerdo con el teorema de Mihăilescu , la ecuación 2 m - 1 = n k no tiene soluciones donde m , n y k son números enteros con m > 1 y k > 1 .
Lista de primos conocidos de Mersenne
En octubre de 2021, los 51 números primos de Mersenne conocidos son 2 p - 1 para los siguientes p :
- 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 43732161801 82589933. (secuencia A000043 en la OEIS )
Factorización de números compuestos de Mersenne
Dado que son números primos, los números primos de Mersenne son divisibles solo entre 1 y ellos mismos. Sin embargo, no todos los números de Mersenne son números primos de Mersenne. Los números de Mersenne son casos de prueba muy buenos para el algoritmo de tamiz de campo numérico especial , por lo que a menudo el número más grande factorizado con este algoritmo ha sido un número de Mersenne. A junio de 2019, 2 1,193 - 1 es el poseedor del récord, habiendo sido factorizado con una variante del tamiz de campo de números especiales que permite la factorización de varios números a la vez. Consulte los registros de factorización de enteros para obtener enlaces a más información. El tamiz de campo de números especiales puede factorizar números con más de un factor grande. Si un número tiene solo un factor muy grande, otros algoritmos pueden factorizar números más grandes encontrando primero factores pequeños y luego ejecutando una prueba de primalidad en el cofactor. A julio de 2021, la factorización más grande con factores primos probables permitidos es 2 10,443,557 - 1 = 37,289,325,994,807 × q , donde q es un número primo probable de 3,143,811 dígitos. Fue descubierto por un participante de GIMPS con el apodo "fre_games". En julio de 2021, el número de Mersenne M 1277 es el número compuesto de Mersenne más pequeño sin factores conocidos; no tiene factores primos por debajo de 2 68 .
La siguiente tabla muestra factorizaciones para los primeros 20 números compuestos de Mersenne (secuencia A244453 en la OEIS ).
pags | M p | Factorización de M p |
---|---|---|
11 | 2047 | 23 × 89 |
23 | 8388607 | 47 × 178,481 |
29 | 536870911 | 233 × 1.103 × 2.089 |
37 | 137438953471 | 223 × 616,318,177 |
41 | 2199023255551 | 13,367 × 164,511,353 |
43 | 8796093022207 | 431 × 9,719 × 2,099,863 |
47 | 140737488355327 | 2,351 × 4,513 × 13,264,529 |
53 | 9007199254740991 | 6.361 × 69.431 × 20.394.401 |
59 | 57646075230343487 | 179,951 × 3,203,431,780,337 (13 dígitos) |
67 | 147573952589676412927 | 193,707,721 × 761,838,257,287 (12 dígitos) |
71 | 2361183241434822606847 | 228,479 × 48,544,121 × 212,885,833 |
73 | 9444732965739290427391 | 439 × 2.298.041 × 9.361.973.132.609 (13 dígitos) |
79 | 604462909807314587353087 | 2.687 × 202.029.703 × 1.113.491.139.767 (13 dígitos) |
83 | 967140655691 ... 033397649407 | 167 × 57,912,614,113,275,649,087,721 (23 dígitos) |
97 | 158456325028 ... 187087900671 | 11,447 × 13,842,607,235,828,485,645,766,393 (26 dígitos) |
101 | 253530120045 ... 993406410751 | 7,432,339,208,719 (13 dígitos) × 341,117,531,003,194,129 (18 dígitos) |
103 | 101412048018 ... 973625643007 | 2,550,183,799 × 3,976,656,429,941,438,590,393 (22 dígitos) |
109 | 649037107316 ... 312041152511 | 745,988,807 × 870,035,986,098,720,987,332,873 (24 dígitos) |
113 | 103845937170 ... 992658440191 | 3.391 × 23.279 × 65.993 × 1.868.569 × 1.066.818.132.868.207 (16 dígitos) |
131 | 272225893536 ... 454145691647 | 263 × 10,350,794,431,055,162,386,718,619,237,468,234,569 (38 dígitos) |
El número de factores para los primeros 500 números de Mersenne se puede encontrar en (secuencia A046800 en la OEIS ).
Números de Mersenne en la naturaleza y en otros lugares
En el problema matemático Tower of Hanoi , resolver un rompecabezas con una torre de n discos requiere M n pasos, suponiendo que no se cometan errores. El número de granos de arroz en todo el tablero de ajedrez en el problema del trigo y el tablero de ajedrez es M 64 .
El asteroide con el número de planeta menor 8191 se llama 8191 Mersenne en honor a Marin Mersenne, porque 8191 es un primo de Mersenne ( 3 Juno , 7 Iris , 31 Euphrosyne y 127 Johanna fueron descubiertos y nombrados durante el siglo XIX).
En geometría , un triángulo rectángulo entero que es primitivo y tiene su cateto par una potencia de 2 ( ≥ 4 ) genera un triángulo rectángulo único tal que su radio interno es siempre un número de Mersenne. Por ejemplo, si el cateto par es 2 n + 1 , debido a que es primitivo, restringe el cateto impar a 4 n - 1 , la hipotenusa a 4 n + 1 y su radio interno a 2 n - 1 .
Los números de Mersenne se estudiaron con respecto al número total de caminos de aceptación de máquinas de Turing de tiempo polinomial no determinista en 2018 y se descubrieron inclusiones intrigantes.
Primos de Mersenne-Fermat
Un número de Mersenne-Fermat se define como2 p r - 1/2 p r - 1 - 1, con p primo, r número natural, y se puede escribir como MF ( p , r ) . Cuando r = 1 , es un número de Mersenne. Cuando p = 2 , es un número de Fermat . Los únicos números primos conocidos de Mersenne-Fermat con r > 1 son
- MF (2, 2), MF (2, 3), MF (2, 4), MF (2, 5), MF (3, 2), MF (3, 3), MF (7, 2) y MF (59, 2) .
De hecho, MF ( p , r ) = Φ p r (2) , donde Φ es el polinomio ciclotómico .
Generalizaciones
Los primos de Mersenne generalizados más simples son números primos de la forma f (2 n ) , donde f ( x ) es un polinomio de bajo grado con coeficientes enteros pequeños . Un ejemplo es 2 64 - 2 32 + 1 , en este caso, n = 32 , y f ( x ) = x 2 - x + 1 ; otro ejemplo es 2 192 - 2 64 - 1 , en este caso, n = 64 , y f ( x ) = x 3 - x - 1 .
También es natural intentar generalizar los números primos de la forma 2 n - 1 a los números primos de la forma b n - 1 (para b ≠ 2 y n > 1 ). Sin embargo (véanse también los teoremas anteriores ), b n - 1 siempre es divisible por b - 1 , por lo que, a menos que el último sea una unidad , el primero no es un primo. Esto se puede remediar permitiendo que b sea un número entero algebraico en lugar de un número entero:
Números complejos
En el anillo de los enteros (en números reales ), si b - 1 es una unidad , entonces b es 2 o 0. Pero 2 n - 1 son los números primos habituales de Mersenne, y la fórmula 0 n - 1 no conduce a nada. interesante (ya que siempre es −1 para todo n > 0 ). Por tanto, podemos considerar un anillo de "enteros" en números complejos en lugar de números reales , como enteros de Gauss y enteros de Eisenstein .
Primos gaussianos de Mersenne
Si consideramos el anillo de los enteros gaussianos , obtenemos el caso b = 1 + i y b = 1 - i , y podemos preguntar ( WLOG ) para cuál n el número (1 + i ) n - 1 es un primo gaussiano que será luego se llamará un primo gaussiano de Mersenne .
(1 + i ) n - 1 es un primo gaussiano para el siguiente n :
- 2, 3, 5, 7, 11, 19, 29, 47, 73, 79, 113, 151, 157, 163, 167, 239, 241, 283, 353, 367, 379, 457, 997, 1367, 3041, 10141, 14699, 27529, 49207, 77291, 85237, 106693, 160423, 203789, 364289, 991961, 1203793, 1667321, 3704053, 4792057, ... (secuencia A057429 en la OEIS )
Al igual que la secuencia de exponentes de los números primos habituales de Mersenne, esta secuencia contiene solo números primos (racionales).
Como para todos los números primos gaussianos, las normas (es decir, cuadrados de valores absolutos) de estos números son primos racionales:
Eisenstein Mersenne primos
Se pueden encontrar casos en los que dicho número primo de Mersenne sea también un número primo de Eisenstein , siendo de la forma b = 1 + ω y b = 1 - ω . En estos casos, estos números se denominan números primos de Eisenstein Mersenne .
(1 + ω ) n - 1 es un primo de Eisenstein para el siguiente n :
- 2, 5, 7, 11, 17, 19, 79, 163, 193, 239, 317, 353, 659, 709, 1049, 1103, 1759, 2029, 5153, 7541, 9049, 10453, 23743, 255361, 534827, 2237561, ... (secuencia A066408 en la OEIS )
Las normas (es decir, cuadrados de valores absolutos) de estos números primos de Eisenstein son primos racionales:
Dividir un entero
Repunit primos
La otra forma de lidiar con el hecho de que b n - 1 siempre es divisible por b - 1 , es simplemente sacar este factor y preguntar qué valores de n hacen
ser primo. (El entero b puede ser positivo o negativo). Si, por ejemplo, tomamos b = 10 , obtenemos n valores de:
- 2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343, ... (secuencia A004023 en la OEIS ),
correspondiente a los primos 11, 1111111111111111111, 11111111111111111111111, ... (secuencia A004022 en la OEIS ).
Estos números primos se denominan números primos repunit. Otro ejemplo es cuando tomamos b = −12 , obtenemos n valores de:
- 2, 5, 11, 109, 193, 1483, 11353, 21419, 21911, 24071, 106859, 139739, ... (secuencia A057178 en la OEIS ),
correspondientes a los primos −11, 19141, 57154490053, ....
Es una conjetura que por cada entero b que no es una potencia perfecta , hay infinitos valores de n tales queb n - 1/b - 1es primo. (Cuando b es una potencia perfecta, se puede demostrar que hay como máximo un valor n tal queb n - 1/b - 1 es primordial)
Al menos n tal queb n - 1/b - 1es primo son (comenzando con b = 2 , 0 si no existe tal n )
- 2, 3, 2, 3, 2, 5, 3, 0, 2, 17, 2, 5, 3, 3, 2, 3, 2, 19, 3, 3, 2, 5, 3, 0, 7, 3, 2, 5, 2, 7, 0, 3, 13, 313, 2, 13, 3, 349, 2, 3, 2, 5, 5, 19, 2, 127, 19, 0, 3, 4229, 2, 11, 3, 17, 7, 3, 2, 3, 2, 7, 3, 5, 0, 19, 2, 19, 5, 3, 2, 3, 2, ... (secuencia A084740 en el OEIS )
Para bases negativas b , son (comenzando con b = −2 , 0 si no existe tal n )
- 3, 2, 2, 5, 2, 3, 2, 3, 5, 5, 2, 3, 2, 3, 3, 7, 2, 17, 2, 3, 3, 11, 2, 3, 11, 0, 3, 7, 2, 109, 2, 5, 3, 11, 31, 5, 2, 3, 53, 17, 2, 5, 2, 103, 7, 5, 2, 7, 1153, 3, 7, 21943, 2, 3, 37, 53, 3, 17, 2, 7, 2, 3, 0, 19, 7, 3, 2, 11, 3, 5, 2, ... (secuencia A084742 en el OEIS ) (observe que esta secuencia OEIS no permite n = 2 )
Mínimo base b tal queb primo ( n ) - 1/b - 1 es primo son
- 2, 2, 2, 2, 5, 2, 2, 2, 10, 6, 2, 61, 14, 15, 5, 24, 19, 2, 46, 3, 11, 22, 41, 2, 12, 22, 3, 2, 12, 86, 2, 7, 13, 11, 5, 29, 56, 30, 44, 60, 304, 5, 74, 118, 33, 156, 46, 183, 72, 606, 602, 223, 115, 37, 52, 104, 41, 6, 338, 217, ... (secuencia A066180 en la OEIS )
Para bases negativas b , son
- 3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 7, 2, 16, 61, 2, 6, 10, 6, 2, 5, 46, 18, 2, 49, 16, 70, 2, 5, 6, 12, 92, 2, 48, 89, 30, 16, 147, 19, 19, 2, 16, 11, 289, 2, 12, 52, 2, 66, 9, 22, 5, 489, 69, 137, 16, 36, 96, 76, 117, 26, 3, ... (secuencia A103795 en la OEIS )
Otros primos generalizados de Mersenne
Otro número de Mersenne generalizado es
con a , b cualquier entero coprimo , a > 1 y - a < b < a . (Dado que a n - b n siempre es divisible por a - b , la división es necesaria para que haya alguna posibilidad de encontrar números primos. De hecho, este número es el mismo que el número de Lucas U n ( a + b , ab ) , ya que una y b son las raíces de la ecuación cuadrática x 2 - ( un + b ) x + ab = 0 , y este número es igual a 1 cuando n = 1 ) podemos pedir la cual n hace que este número primo. Se puede demostrar que tales n deben ser primos o iguales a 4, y n puede ser 4 si y solo si a + b = 1 y a 2 + b 2 es primo. (Ya quea 4 - b 4/a - b= ( a + b ) ( a 2 + b 2 ) . Por tanto, en este caso el par ( a , b ) debe ser ( x + 1, - x ) y x 2 + ( x + 1) 2 debe ser primo. Es decir, x deben estar en OEIS : A027861 ). Es una conjetura que para cualquier par ( un , b ) tal que para cada número natural r > 1 , una y B no son ambos perfecta r º poderes, y -4 ab no es un cuarto poder perfecto . hay infinitos valores de n tales quea n - b n/a - bes primo. (Cuando un y b son ambos perfecta r º poderes para un r > 1 , o cuando -4 ab es un cuarto poder perfecto, se puede demostrar que hay a lo sumo dos n valores con esta propiedad, ya que si es así, entoncesa n - b n/a - bse puede factorizar algebraicamente) Sin embargo, esto no ha sido probado para ningún valor individual de ( a , b ) .
a | B | números n tales quea n - b n/a - bes primo (algunos términos grandes son solo números primos probables , estos n se comprueban hasta 100000 para | b | ≤ 5 o | b | = a - 1 , 20000 para 5 <| b | < a - 1 ) |
Secuencia OEIS |
---|---|---|---|
2 | 1 | 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, ... 74207281, ..., 77232917, ..., 82589933, ... | A000043 |
2 | −1 | 3, 4 * , 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 79, 101, 127, 167, 191, 199, 313, 347, 701, 1709, 2617, 3539, 5807 , 10501, 10691, 11279, 12391, 14479, 42737, 83339, 95369, 117239, 127031, 138937, 141079, 267017, 269987, 374321, 986191, 4031399, ..., 13347311, 13372531, ... | A000978 |
3 | 2 | 2, 3, 5, 17, 29, 31, 53, 59, 101, 277, 647, 1061, 2381, 2833, 3613, 3853, 3929, 5297, 7417, 90217, 122219, 173191, 256199, 336353, 485977, 591827, 1059503, ... | A057468 |
3 | 1 | 3, 7, 13, 71, 103, 541, 1091, 1367, 1627, 4177, 9011, 9551, 36913, 43063, 49681, 57917, 483611, 877843, ... | A028491 |
3 | −1 | 2 * , 3, 5, 7, 13, 23, 43, 281, 359, 487, 577, 1579, 1663, 1741, 3191, 9209, 11257, 12743, 13093, 17027, 26633, 104243, 134227, 152287, 700897 , 1205459, ... | A007658 |
3 | −2 | 3, 4 * , 7, 11, 83, 149, 223, 599, 647, 1373, 8423, 149497, 388897, ... | A057469 |
4 | 3 | 2, 3, 7, 17, 59, 283, 311, 383, 499, 521, 541, 599, 1193, 1993, 2671, 7547, 24019, 46301, 48121, 68597, 91283, 131497, 148663, 184463, 341233, ... | A059801 |
4 | 1 | 2 (no otros) | |
4 | −1 | 2 * , 3 (no otros) | |
4 | −3 | 3, 5, 19, 37, 173, 211, 227, 619, 977, 1237, 2437, 5741, 13463, 23929, 81223, 121271, ... | A128066 |
5 | 4 | 3, 43, 59, 191, 223, 349, 563, 709, 743, 1663, 5471, 17707, 19609, 35449, 36697, 45259, 91493, 246497, 265007, 289937, ... | A059802 |
5 | 3 | 13, 19, 23, 31, 47, 127, 223, 281, 2083, 5281, 7411, 7433, 19051, 27239, 35863, 70327, ... | A121877 |
5 | 2 | 2, 5, 7, 13, 19, 37, 59, 67, 79, 307, 331, 599, 1301, 12263, 12589, 18443, 20149, 27983, ... | A082182 |
5 | 1 | 3, 7, 11, 13, 47, 127, 149, 181, 619, 929, 3407, 10949, 13241, 13873, 16519, 201359, 396413, 1888279, ... | A004061 |
5 | −1 | 5, 67, 101, 103, 229, 347, 4013, 23297, 30133, 177337, 193939, 266863, 277183, 335429, ... | A057171 |
5 | −2 | 2 * , 3, 17, 19, 47, 101, 1709, 2539, 5591, 6037, 8011, 19373, 26489, 27427, ... | A082387 |
5 | −3 | 2 * , 3, 5, 7, 17, 19, 109, 509, 661, 709, 1231, 12889, 13043, 26723, 43963, 44789, ... | A122853 |
5 | −4 | 4 * , 5, 7, 19, 29, 61, 137, 883, 1381, 1823, 5227, 25561, 29537, 300893, ... | A128335 |
6 | 5 | 2, 5, 11, 13, 23, 61, 83, 421, 1039, 1511, 31237, 60413, 113177, 135647, 258413, ... | A062572 |
6 | 1 | 2, 3, 7, 29, 71, 127, 271, 509, 1049, 6389, 6883, 10613, 19889, 79987, 608099, ... | A004062 |
6 | −1 | 2 * , 3, 11, 31, 43, 47, 59, 107, 811, 2819, 4817, 9601, 33581, 38447, 41341, 131891, 196337, ... | A057172 |
6 | −5 | 3, 4 * , 5, 17, 397, 409, 643, 1783, 2617, 4583, 8783, ... | A128336 |
7 | 6 | 2, 3, 7, 29, 41, 67, 1327, 1399, 2027, 69371, 86689, 355039, ... | A062573 |
7 | 5 | 3, 5, 7, 113, 397, 577, 7573, 14561, 58543, ... | A128344 |
7 | 4 | 2, 5, 11, 61, 619, 2879, 2957, 24371, 69247, ... | A213073 |
7 | 3 | 3, 7, 19, 109, 131, 607, 863, 2917, 5923, 12421, ... | A128024 |
7 | 2 | 3, 7, 19, 79, 431, 1373, 1801, 2897, 46997, ... | A215487 |
7 | 1 | 5, 13, 131, 149, 1699, 14221, 35201, 126037, 371669, 1264699, ... | A004063 |
7 | −1 | 3, 17, 23, 29, 47, 61, 1619, 18251, 106187, 201653, ... | A057173 |
7 | −2 | 2 * , 5, 23, 73, 101, 401, 419, 457, 811, 1163, 1511, 8011, ... | A125955 |
7 | −3 | 3, 13, 31, 313, 3709, 7933, 14797, 30689, 38333, ... | A128067 |
7 | −4 | 2 * , 3, 5, 19, 41, 47, 8231, 33931, 43781, 50833, 53719, 67211, ... | A218373 |
7 | −5 | 2 * , 11, 31, 173, 271, 547, 1823, 2111, 5519, 7793, 22963, 41077, 49739, ... | A128337 |
7 | −6 | 3, 53, 83, 487, 743, ... | A187805 |
8 | 7 | 7, 11, 17, 29, 31, 79, 113, 131, 139, 4357, 44029, 76213, 83663, 173687, 336419, 615997, ... | A062574 |
8 | 5 | 2, 19, 1021, 5077, 34031, 46099, 65707, ... | A128345 |
8 | 3 | 2, 3, 7, 19, 31, 67, 89, 9227, 43891, ... | A128025 |
8 | 1 | 3 (no otros) | |
8 | −1 | 2 * (no otros) | |
8 | −3 | 2 * , 5, 163, 191, 229, 271, 733, 21059, 25237, ... | A128068 |
8 | −5 | 2 * , 7, 19, 167, 173, 223, 281, 21647, ... | A128338 |
8 | −7 | 4 * , 7, 13, 31, 43, 269, 353, 383, 619, 829, 877, 4957, 5711, 8317, 21739, 24029, 38299, ... | A181141 |
9 | 8 | 2, 7, 29, 31, 67, 149, 401, 2531, 19913, 30773, 53857, 170099, ... | A059803 |
9 | 7 | 3, 5, 7, 4703, 30113, ... | A273010 |
9 | 5 | 3, 11, 17, 173, 839, 971, 40867, 45821, ... | A128346 |
9 | 4 | 2 (no otros) | |
9 | 2 | 2, 3, 5, 13, 29, 37, 1021, 1399, 2137, 4493, 5521, ... | A173718 |
9 | 1 | (ninguna) | |
9 | −1 | 3, 59, 223, 547, 773, 1009, 1823, 3803, 49223, 193247, 703393, ... | A057175 |
9 | −2 | 2 * , 3, 7, 127, 283, 883, 1523, 4001, ... | A125956 |
9 | −4 | 2 * , 3, 5, 7, 11, 17, 19, 41, 53, 109, 167, 2207, 3623, 5059, 5471, 7949, 21211, 32993, 60251, ... | A211409 |
9 | −5 | 3, 5, 13, 17, 43, 127, 229, 277, 6043, 11131, 11821, ... | A128339 |
9 | −7 | 2 * , 3, 107, 197, 2843, 3571, 4451, ..., 31517, ... | A301369 |
9 | −8 | 3, 7, 13, 19, 307, 619, 2089, 7297, 75571, 76103, 98897, ... | A187819 |
10 | 9 | 2, 3, 7, 11, 19, 29, 401, 709, 2531, 15787, 66949, 282493, ... | A062576 |
10 | 7 | 2, 31, 103, 617, 10253, 10691, ... | A273403 |
10 | 3 | 2, 3, 5, 37, 599, 38393, 51431, ... | A128026 |
10 | 1 | 2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343, ... | A004023 |
10 | −1 | 5, 7, 19, 31, 53, 67, 293, 641, 2137, 3011, 268207, ... | A001562 |
10 | −3 | 2 * , 3, 19, 31, 101, 139, 167, 1097, 43151, 60703, 90499, ... | A128069 |
10 | −7 | 2 * , 3, 5, 11, 19, 1259, 1399, 2539, 2843, 5857, 10589, ... | |
10 | −9 | 4 * , 7, 67, 73, 1091, 1483, 10937, ... | A217095 |
11 | 10 | 3, 5, 19, 311, 317, 1129, 4253, 7699, 18199, 35153, 206081, ... | A062577 |
11 | 9 | 5, 31, 271, 929, 2789, 4153, ... | A273601 |
11 | 8 | 2, 7, 11, 17, 37, 521, 877, 2423, ... | A273600 |
11 | 7 | 5, 19, 67, 107, 593, 757, 1801, 2243, 2383, 6043, 10181, 11383, 15629, ... | A273599 |
11 | 6 | 2, 3, 11, 163, 191, 269, 1381, 1493, ... | A273598 |
11 | 5 | 5, 41, 149, 229, 263, 739, 3457, 20269, 98221, ... | A128347 |
11 | 4 | 3, 5, 11, 17, 71, 89, 827, 22307, 45893, 63521, ... | A216181 |
11 | 3 | 3, 5, 19, 31, 367, 389, 431, 2179, 10667, 13103, 90397, ... | A128027 |
11 | 2 | 2, 5, 11, 13, 331, 599, 18839, 23747, 24371, 29339, 32141, 67421, ... | A210506 |
11 | 1 | 17, 19, 73, 139, 907, 1907, 2029, 4801, 5153, 10867, 20161, 293831, ... | A005808 |
11 | −1 | 5, 7, 179, 229, 439, 557, 6113, 223999, 327001, ... | A057177 |
11 | −2 | 3, 5, 17, 67, 83, 101, 1373, 6101, 12119, 61781, ... | A125957 |
11 | −3 | 3, 103, 271, 523, 23087, 69833, ... | A128070 |
11 | −4 | 2 * , 7, 53, 67, 71, 443, 26497, ... | A224501 |
11 | −5 | 7, 11, 181, 421, 2297, 2797, 4129, 4139, 7151, 29033, ... | A128340 |
11 | −6 | 2 * , 5, 7, 107, 383, 17359, 21929, 26393, ... | |
11 | −7 | 7, 1163, 4007, 10159, ... | |
11 | −8 | 2 * , 3, 13, 31, 59, 131, 223, 227, 1523, ... | |
11 | −9 | 2 * , 3, 17, 41, 43, 59, 83, ... | |
11 | −10 | 53, 421, 647, 1601, 35527, ... | A185239 |
12 | 11 | 2, 3, 7, 89, 101, 293, 4463, 70067, ... | A062578 |
12 | 7 | 2, 3, 7, 13, 47, 89, 139, 523, 1051, ... | A273814 |
12 | 5 | 2, 3, 31, 41, 53, 101, 421, 1259, 4721, 45259, ... | A128348 |
12 | 1 | 2, 3, 5, 19, 97, 109, 317, 353, 701, 9739, 14951, 37573, 46889, 769543, ... | A004064 |
12 | −1 | 2 * , 5, 11, 109, 193, 1483, 11353, 21419, 21911, 24071, 106859, 139739, ... | A057178 |
12 | −5 | 2 * , 3, 5, 13, 347, 977, 1091, 4861, 4967, 34679, ... | A128341 |
12 | −7 | 2 * , 3, 7, 67, 79, 167, 953, 1493, 3389, 4871, ... | |
12 | −11 | 47, 401, 509, 8609, ... | A213216 |
* Nota: si b <0 y n es par, los números n no se incluyen en la secuencia OEIS correspondiente.
Una conjetura relacionada con los primos generalizados de Mersenne: (la conjetura predice dónde está el siguiente primo generalizado de Mersenne, si la conjetura es verdadera, entonces hay infinitos números primos para todos esos pares ( a , b ) )
Para cualquier enteros una y b que satisfacen las condiciones:
- a > 1 , - a < b < a .
- un y b son primos entre sí . (por lo tanto, b no puede ser 0)
- Para cada número natural r > 1 , una y B no son ambos perfecta r º poderes. (dado que cuando a y b son ambas potencias r- ésimas perfectas , se puede demostrar que hay como máximo dos valores n tales quea n - b n/a - bes primo, y estos n valores son r en sí mismo o una raíz de r , o 2)
- −4 ab no es una cuarta potencia perfecta (si es así, entonces el número tiene una factorización aurifeuilleana ).
tiene números primos de la forma
para primo p , los números primos se distribuirán cerca de la línea de mejor ajuste
donde
y hay sobre
números primos de esta forma menos de N .
- e es la base del logaritmo natural .
- γ es la constante de Euler-Mascheroni .
- log a es el logaritmo en base a .
- R ( a , b ) ( n ) es el n- ésimo número primo de la formaa p - b p/a - bpara prima p .
- C es una constante de datos de ajuste que varía con una y b .
- δ es una constante de datos de ajuste que varía con una y b .
- m es el mayor número natural tal que una y - b son ambos perfecta 2 m - 1 º poderes.
También tenemos las siguientes tres propiedades:
- El número de números primos de la forma a p - b p/a - b(con prima p ) menor o igual an es aproximadamente e γ log a (log a ( n )) .
- El número esperado de números primos de la forma a p - b p/a - bcon el primer p entre n y una es aproximadamente e γ .
- La probabilidad de que el número de la forma a p - b p/a - bes primo (para primo p ) es aproximadamentee γ/p log e ( a ).
Si esta conjetura es cierta, entonces para todos esos pares ( a , b ) , sea q el n- ésimo primo de la formaa p - b p/a - b, la gráfica de log a (log a ( q )) versus n es casi lineal. (Ver )
Cuando a = b + 1 , es ( b + 1) n - b n , una diferencia de dos n- ésimas potencias perfectas consecutivas , y si a n - b n es primo, entonces a debe ser b + 1 , porque es divisible por a - b .
Al menos n tales que ( b + 1) n - b n es primo son
- 2, 2, 2, 3, 2, 2, 7, 2, 2, 3, 2, 17, 3, 2, 2, 5, 3, 2, 5, 2, 2, 229, 2, 3, 3, 2, 3, 3, 2, 2, 5, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 2, 7, 2, 3, 37, 2, 3, 5, 58543, 2, 3, 2, 2, 3, 2, 2, 3, 2, 5, 3, 4663, 54517, 17, 3, 2, 5, 2, 3, 3, 2, 2, 47, 61, 19, ... (secuencia A058013 en la OEIS )
Al menos b tal que ( b + 1) primo ( n ) - b primo ( n ) es primo son
- 1, 1, 1, 1, 5, 1, 1, 1, 5, 2, 1, 39, 6, 4, 12, 2, 2, 1, 6, 17, 46, 7, 5, 1, 25, 2, 41, 1, 12, 7, 1, 7, 327, 7, 8, 44, 26, 12, 75, 14, 51, 110, 4, 14, 49, 286, 15, 4, 39, 22, 109, 367, 22, 67, 27, 95, 80, 149, 2, 142, 3, 11, ... (secuencia A222119 en la OEIS )
Ver también
- Repunit
- Fermat prime
- Poder de dos
- Constante de Erdős-Borwein
- Conjeturas de Mersenne
- Tornado de Mersenne
- Número doble de Mersenne
- Prime95 / MPrime
- Gran búsqueda de Internet Mersenne Prime (GIMPS)
- Número primo más grande conocido
- Titanic prime
- Prime gigantesco
- Megaprime
- Wieferich prime
- Wagstaff prime
- Cullen prime
- Woodall prime
- Proth prime
- Solinas prime
- Conjetura de Gillies
- Número de Williams
Referencias
enlaces externos
- "Número de Mersenne" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Página de inicio de GIMPS
- Informe de hitos de GIMPS : la página de estado brinda varias estadísticas sobre el progreso de la búsqueda, que generalmente se actualizan cada semana, incluido el progreso para probar el pedido de los principales primos de Mersenne conocidos
- GIMPS, factores conocidos de los números de Mersenne
- M q = (8 x ) 2 - (3 qy ) 2 Propiedad de los números de Mersenne con exponente primo que son compuestos (PDF)
- M q = x 2 + d · y 2 tesis de matemáticas (PS)
- Grime, James. "31 y Mersenne Primes" . Numberphile . Brady Haran . Archivado desde el original el 31 de mayo de 2013 . Consultado el 6 de abril de 2013 .
- Bibliografía principal de Mersenne con hipervínculos a publicaciones originales
- informe sobre los números primos de Mersenne - detección en detalle (en alemán)
- Wiki GIMPS
- Página de Mersenne de Will Edgington : contiene factores para números pequeños de Mersenne
- Factores conocidos de los números de Mersenne
- Dígitos decimales y nombres en inglés de los números primos de Mersenne
- Prime curiosidades: 2305843009213693951
- http://www.leyland.vispa.com/numth/factorization/cunningham/2-.txt Archivado el 5 de noviembre de 2014 en la Wayback Machine.
- http://www.leyland.vispa.com/numth/factorization/cunningham/2+.txt Archivado el 2 de mayo de 2013 en la Wayback Machine.
- Secuencia OEIS A250197 (Números n tales que la parte primitiva Aurifeuillian izquierda de 2 ^ n + 1 es prima) - Factorización de números de Mersenne M n ( n hasta 1280)
- Factorización de números de Mersenne completamente factorizados
- El proyecto Cunningham, factorización de b n ± 1, b = 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12
- http://www.leyland.vispa.com/numth/factorization/cunningham/main.htm Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine
- http://www.leyland.vispa.com/numth/factorization/anbn/main.htm Archivado el 2 de febrero de 2016 en la Wayback Machine.