Secuencia de Lucas - Lucas sequence

En matemáticas , las secuencias de Lucas y son ciertas secuencias enteras constantes-recursivas que satisfacen la relación de recurrencia${\ Displaystyle U_ {n} (P, Q)}$${\ Displaystyle V_ {n} (P, Q)}$

${\ Displaystyle x_ {n} = P \ cdot x_ {n-1} -Q \ cdot x_ {n-2}}$

donde y son enteros fijos. Cualquier secuencia que satisfaga esta relación de recurrencia se puede representar como una combinación lineal de las secuencias de Lucas y . ${\ Displaystyle P}$${\ displaystyle Q}$${\ Displaystyle U_ {n} (P, Q)}$${\ Displaystyle V_ {n} (P, Q)}$

De manera más general, Lucas secuencia y representa secuencias de polinomios en y con coeficientes enteros. ${\ Displaystyle U_ {n} (P, Q)}$${\ Displaystyle V_ {n} (P, Q)}$${\ Displaystyle P}$${\ displaystyle Q}$

Ejemplos famosos de secuencias de Lucas incluyen los números de Fibonacci , números de Mersenne , números de Pell , números de Lucas , números Jacobsthal , y un superconjunto de números de Fermat . Las secuencias de Lucas llevan el nombre del matemático francés Édouard Lucas .

Relaciones de recurrencia

Dados dos parámetros enteros P y Q , las secuencias de Lucas del primer tipo U _n ( P , Q ) y del segundo tipo V _n ( P , Q ) están definidas por las relaciones de recurrencia :

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} U_ {0} (P, Q) & = 0, \\ U_ {1} (P, Q) & = 1, \\ U_ {n} (P, Q) & = P \ cdot U_ {n-1} (P, Q) -Q \ cdot U_ {n-2} (P, Q) {\ mbox {para}} n> 1, \ end {alineado}}}$

y

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} V_ {0} (P, Q) & = 2, \\ V_ {1} (P, Q) & = P, \\ V_ {n} (P, Q) & = P \ cdot V_ {n-1} (P, Q) -Q \ cdot V_ {n-2} (P, Q) {\ mbox {para}} n> 1. \ end {alineado}}}$

No es difícil demostrar que para , ${\ Displaystyle n> 0}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} U_ {n} (P, Q) & = {\ frac {P \ cdot U_ {n-1} (P, Q) + V_ {n-1} (P, Q) } {2}}, \\ V_ {n} (P, Q) & = {\ frac {(P ^ {2} -4Q) \ cdot U_ {n-1} (P, Q) + P \ cdot V_ {n-1} (P, Q)} {2}}. \ end {alineado}}}$

Las relaciones anteriores se pueden establecer en forma de matriz de la siguiente manera:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} U_ {n} (P, Q) \\ U_ {n + 1} (P, Q) \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ - Q&P \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} U_ {n-1} (P, Q) \\ U_ {n} (P, Q) \ end {bmatrix}},}$

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} V_ {n} (P, Q) \\ V_ {n + 1} (P, Q) \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ - Q&P \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} V_ {n-1} (P, Q) \\ V_ {n} (P, Q) \ end {bmatrix}},}$

${\ Displaystyle {\ begin {bmatrix} U_ {n} (P, Q) \\ V_ {n} (P, Q) \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} P / 2 & 1/2 \\ ( P ^ {2} -4Q) / 2 & P / 2 \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} U_ {n-1} (P, Q) \\ V_ {n-1} (P, Q) \ end {bmatrix}}.}$

Ejemplos de

Los términos iniciales de las secuencias de Lucas U _n ( P , Q ) y V _n ( P , Q ) se dan en la tabla:

${\ Displaystyle {\ begin {array} {r | l | l} n & U_ {n} (P, Q) & V_ {n} (P, Q) \\\ hline 0 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & P \\ 2 & P & {P} ^ { 2} -2Q \\ 3 & {P} ^ {2} -Q & {P} ^ {3} -3PQ \\ 4 & {P} ^ {3} -2PQ & {P} ^ {4} -4 {P} ^ {2} Q + 2 {Q} ^ {2} \\ 5 & {P} ^ {4} -3 {P} ^ {2} Q + {Q} ^ {2} & {P} ^ {5} -5 {P} ^ {3} Q + 5P {Q} ^ {2} \\ 6 & {P} ^ {5} -4 {P} ^ {3} Q + 3P {Q} ^ {2} & {P} ^ {6} -6 {P} ^ {4} Q + 9 {P} ^ {2} {Q} ^ {2} -2 {Q} ^ {3} \ end {array}}}$

Expresiones explícitas

La ecuación característica de la relación de recurrencia para secuencias de Lucas y es: ${\ Displaystyle U_ {n} (P, Q)}$${\ Displaystyle V_ {n} (P, Q)}$

${\ Displaystyle x ^ {2} -Px + Q = 0 \,}$

Tiene el discriminante y las raíces: ${\ Displaystyle D = P ^ {2} -4Q}$

${\ Displaystyle a = {\ frac {P + {\ sqrt {D}}} {2}} \ quad {\ text {y}} \ quad b = {\ frac {P - {\ sqrt {D}}} { 2}}. \,}$

Por lo tanto:

${\ Displaystyle a + b = P \ ,,}$

${\ Displaystyle ab = {\ frac {1} {4}} (P ^ {2} -D) = Q \ ,,}$

${\ Displaystyle ab = {\ sqrt {D}} \ ,.}$

Tenga en cuenta que la secuencia y la secuencia también satisfacen la relación de recurrencia. Sin embargo, es posible que estas no sean secuencias de números enteros. ${\ Displaystyle a ^ {n}}$${\ Displaystyle b ^ {n}}$

Raíces distintas

Cuando , un y b son distintos y verifica que uno rápidamente ${\ Displaystyle D \ neq 0}$

${\ Displaystyle a ^ {n} = {\ frac {V_ {n} + U_ {n} {\ sqrt {D}}} {2}}}$

${\ Displaystyle b ^ {n} = {\ frac {V_ {n} -U_ {n} {\ sqrt {D}}} {2}}}$.

De ello se desprende que los términos de secuencias de Lucas se pueden expresar en términos de una y b de la siguiente

${\ Displaystyle U_ {n} = {\ frac {a ^ {n} -b ^ {n}} {ab}} = {\ frac {a ^ {n} -b ^ {n}} {\ sqrt {D }}}}$

${\ Displaystyle V_ {n} = a ^ {n} + b ^ {n} \,}$

Raíz repetida

El caso ocurre exactamente cuando para algún entero S de modo que . En este caso uno encuentra fácilmente que ${\ Displaystyle D = 0}$${\ Displaystyle P = 2S {\ text {y}} Q = S ^ {2}}$${\ Displaystyle a = b = S}$

${\ Displaystyle U_ {n} (P, Q) = U_ {n} (2S, S ^ {2}) = nS ^ {n-1} \,}$

${\ Displaystyle V_ {n} (P, Q) = V_ {n} (2S, S ^ {2}) = 2S ^ {n} \,}$.

Propiedades

Funciones generadoras

Las funciones generadoras ordinarias son

${\ Displaystyle \ sum _ {n \ geq 0} U_ {n} (P, Q) z ^ {n} = {\ frac {z} {1-Pz + Qz ^ {2}}};}$

${\ Displaystyle \ sum _ {n \ geq 0} V_ {n} (P, Q) z ^ {n} = {\ frac {2-Pz} {1-Pz + Qz ^ {2}}}.}$

Ecuaciones de Pell

Cuando , las secuencias de Lucas y satisfacen ciertas ecuaciones de Pell : ${\ Displaystyle Q = \ pm 1}$${\ Displaystyle U_ {n} (P, Q)}$${\ Displaystyle V_ {n} (P, Q)}$

${\ Displaystyle V_ {n} (P, 1) ^ {2} -D \ cdot U_ {n} (P, 1) ^ {2} = 4,}$

${\ Displaystyle V_ {2n} (P, -1) ^ {2} -D \ cdot U_ {2n} (P, -1) ^ {2} = 4,}$

${\ Displaystyle V_ {2n + 1} (P, -1) ^ {2} -D \ cdot U_ {2n + 1} (P, -1) ^ {2} = - 4.}$

Relaciones entre secuencias con diferentes parámetros

• Para cualquier número c , las secuencias y con${\ Displaystyle U_ {n} (P ', Q')}$${\ Displaystyle V_ {n} (P ', Q')}$

${\ Displaystyle P '= P + 2c}$

${\ Displaystyle Q '= cP + Q + c ^ {2}}$

tienen el mismo discriminante que y : ${\ Displaystyle U_ {n} (P, Q)}$${\ Displaystyle V_ {n} (P, Q)}$

${\ displaystyle P '^ {2} -4Q' = (P + 2c) ^ {2} -4 (cP + Q + c ^ {2}) = P ^ {2} -4Q = D.}$

• Para cualquier número c , también tenemos

${\ Displaystyle U_ {n} (cP, c ^ {2} Q) = c ^ {n-1} \ cdot U_ {n} (P, Q),}$

${\ Displaystyle V_ {n} (cP, c ^ {2} Q) = c ^ {n} \ cdot V_ {n} (P, Q).}$

Otras relaciones

Los términos de las secuencias de Lucas satisfacen relaciones que son generalizaciones de aquellas entre números de Fibonacci y números de Lucas . Por ejemplo: ${\ Displaystyle F_ {n} = U_ {n} (1, -1)}$ ${\ Displaystyle L_ {n} = V_ {n} (1, -1)}$

${\ Displaystyle {\ begin {array} {r | l} {\ text {Caso general}} & (P, Q) = (1, -1) \\\ hline (P ^ {2} -4Q) U_ { n} = {V_ {n + 1} -QV_ {n-1}} = 2V_ {n + 1} -PV_ {n} & 5F_ {n} = {L_ {n + 1} + L_ {n-1}} = 2L_ {n + 1} -L_ {n} \\ V_ {n} = U_ {n + 1} -QU_ {n-1} = 2U_ {n + 1} -PU_ {n} & L_ {n} = F_ {n + 1} + F_ {n-1} = 2F_ {n + 1} -F_ {n} \\ U_ {2n} = U_ {n} V_ {n} & F_ {2n} = F_ {n} L_ { n} \\ V_ {2n} = V_ {n} ^ {2} -2Q ^ {n} & L_ {2n} = L_ {n} ^ {2} -2 (-1) ^ {n} \\ U_ { m + n} = U_ {n} U_ {m + 1} -QU_ {m} U_ {n-1} = {\ frac {U_ {m} V_ {n} + U_ {n} V_ {m}} { 2}} & F_ {m + n} = F_ {n} F_ {m + 1} + F_ {m} F_ {n-1} = {\ frac {F_ {m} L_ {n} + F_ {n} L_ {m}} {2}} \\ V_ {m + n} = V_ {m} V_ {n} -Q ^ {n} V_ {mn} = DU_ {m} U_ {n} + Q ^ {n} V_ {mn} & L_ {m + n} = L_ {m} L_ {n} - (- 1) ^ {n} L_ {mn} = 5F_ {m} F_ {n} + (- 1) ^ {n} L_ {mn} \\ V_ {n} ^ {2} -DU_ {n} ^ {2} = 4Q ^ {n} & L_ {n} ^ {2} -5F_ {n} ^ {2} = 4 (- 1) ^ {n} \\ U_ {n} ^ {2} -U_ {n-1} U_ {n + 1} = Q ^ {n-1} & F_ {n} ^ {2} -F_ {n- 1} F_ {n + 1} = (- 1) ^ {n-1} \\ V_ {n} ^ {2} -V_ {n-1} V_ {n + 1} = DQ ^ {n-1} & L_ {n} ^ {2} -L_ {n-1} L_ {n + 1} = 5 (-1) ^ {n-1} \\ DU_ {n} = V_ {n + 1} -QV_ {n -1} & F_ {n} = {\ frac {L_ {n + 1} + L_ {n-1}} {5}} \\ V_ {m + n} = {\ frac {V_ {m} V_ {n } + DU_ {m} U_ {n}} {2}} & L_ {m + n} = {\ frac {L_ {m} L_ {n} + 5F_ {m} F_ {n}} {2}} \\ U_ {m + n} = U_ {m} V_ {n} -Q ^ {n} U_ {mn} & F_ {n + m} = F_ {m} L_ {n} - (- 1) ^ {n } F_ {mn} \\ 2 ^ {n-1} U_ {n} = {n \ elija 1} P ^ {n-1} + {n \ elija 3} P ^ {n-3} D + \ cdots & 2 ^ {n-1} F_ {n} = {n \ elija 1} +5 {n \ elija 3} + \ cdots \\ 2 ^ {n-1} V_ {n} = P ^ {n} + {n \ elija 2} P ^ {n-2} D + {n \ elija 4} P ^ {n-4} D ^ {2} + \ cdots & 2 ^ {n-1} L_ {n} = 1 + 5 {n \ elija 2} + 5 ^ {2} {n \ elija 4} + \ cdots \ end {matriz}}}$

Propiedades de divisibilidad

Entre las consecuencias está que es un múltiplo de , es decir, la secuencia es una secuencia de divisibilidad . Esto implica, en particular, que puede ser primo solo cuando n es primo. Otra consecuencia es un análogo de exponenciación por cuadratura que permite el cálculo rápido de valores grandes de n . Además, si , entonces es una secuencia de divisibilidad fuerte. ${\ Displaystyle U_ {km} (P, Q)}$${\ Displaystyle U_ {m} (P, Q)}$${\ Displaystyle (U_ {m} (P, Q)) _ {m \ geq 1}}$${\ Displaystyle U_ {n} (P, Q)}$${\ Displaystyle U_ {n} (P, Q)}$${\ Displaystyle \ gcd (P, Q) = 1}$${\ Displaystyle (U_ {m} (P, Q)) _ {m \ geq 1}}$

Otras propiedades de divisibilidad son las siguientes:

• Si n / m es impar, se divide .${\ Displaystyle V_ {m}}$${\ Displaystyle V_ {n}}$
• Deje que N sea un número entero primo con 2 Q . Si existe el menor entero positivo r para el que N se divide , entonces el conjunto de n para el que N se divide es exactamente el conjunto de múltiplos de r .${\ Displaystyle U_ {r}}$${\ Displaystyle U_ {n}}$
• Si P y Q son pares, entonces siempre son pares excepto .${\ Displaystyle U_ {n}, V_ {n}}$${\ Displaystyle U_ {1}}$
• Si P es par y Q es impar, entonces la paridad de es la misma que n y siempre es par.${\ Displaystyle U_ {n}}$${\ Displaystyle V_ {n}}$
• Si P es impar y Q es par, entonces siempre son impares .${\ Displaystyle U_ {n}, V_ {n}}$${\ Displaystyle n = 1,2, \ ldots}$
• Si P y Q son impares, entonces son pares si y solo si n es un múltiplo de 3.${\ Displaystyle U_ {n}, V_ {n}}$
• Si p es un primo impar, entonces (ver símbolo de Legendre ).${\ Displaystyle U_ {p} \ equiv \ left ({\ tfrac {D} {p}} \ right), V_ {p} \ equiv P {\ pmod {p}}}$
• Si p es un primo impar y divide a P y Q , entonces p se divide por cada .${\ Displaystyle U_ {n}}$${\ Displaystyle n> 1}$
• Si p es un primo impar y divide a P pero no a Q , entonces p divide si y solo si n es par.${\ Displaystyle U_ {n}}$
• Si p es un primo impar y no divide a P sino a Q , entonces p nunca divide por .${\ Displaystyle U_ {n}}$${\ Displaystyle n = 1,2, \ ldots}$
• Si p es un primo impar y no divide a PQ sino a D , entonces p divide si y solo si p divide a n .${\ Displaystyle U_ {n}}$
• Si p es un primo impar y no divide PQD , entonces p divide , donde .${\ Displaystyle U_ {l}}$${\ Displaystyle l = p- \ left ({\ tfrac {D} {p}} \ right)}$

El último hecho generaliza el pequeño teorema de Fermat . Estos hechos se utilizan en la prueba de primalidad de Lucas-Lehmer . Lo contrario del último hecho no es válido, como tampoco lo es el inverso del pequeño teorema de Fermat. Existe un compuesto n primo relativo a D y dividiendo , donde . Este compuesto se llama pseudoprime de Lucas . ${\ Displaystyle U_ {l}}$${\ Displaystyle l = n- \ left ({\ tfrac {D} {n}} \ right)}$

Un factor primo de un término en una secuencia de Lucas que no divide ningún término anterior en la secuencia se llama primitivo . El teorema de Carmichael establece que todos los términos de una secuencia de Lucas, salvo un número finito, tienen un factor primo primitivo . De hecho, Carmichael (1913) demostró que si D es positivo y n no es 1, 2 o 6, entonces tiene un factor primo primitivo. En el caso de que D sea ​​negativo, un resultado profundo de Bilu, Hanrot, Voutier y Mignotte muestra que si n > 30, entonces tiene un factor primo primitivo y determina que todos los casos no tienen factor primo primitivo. ${\ Displaystyle U_ {n}}$${\ Displaystyle U_ {n}}$${\ Displaystyle U_ {n}}$

Nombres específicos

Las secuencias de Lucas para algunos valores de P y Q tienen nombres específicos:

U _n (1, −1)  : números de Fibonacci

V _n (1, −1)  : números de Lucas

U _n (2, −1)  : números de Pell

V _n (2, −1)  : números Pell – Lucas (números Pell complementarios)

U _n (1, −2)  : números de Jacobsthal

V _n (1, −2)  : números de Jacobsthal – Lucas

U _n (3, 2)  : números de Mersenne 2 ⁿ  - 1

V _n (3, 2)  : Números de la forma 2 ⁿ  + 1, que incluyen los números de Fermat.

U _n (6, 1)  : Las raíces cuadradas de los números triangulares cuadrados .

U _n ( x , −1)  : polinomios de Fibonacci

V _n ( x , −1)  : polinomios de Lucas

U _n (2 x , 1)  : polinomios de Chebyshev de segundo tipo

V _n (2 x , 1)  : polinomios de Chebyshev de primer tipo multiplicados por 2

U _n ( x +1, x )  : Repunifica la base x

V _n ( x +1, x )  : x ⁿ + 1

Algunas secuencias de Lucas tienen entradas en la Enciclopedia en línea de secuencias de enteros :

${\ Displaystyle P \,}$	${\ Displaystyle Q \,}$	${\ Displaystyle U_ {n} (P, Q) \,}$	${\ Displaystyle V_ {n} (P, Q) \,}$
−1	3	OEIS :  A214733
1	−1	OEIS :  A000045	OEIS :  A000032
1	1	OEIS :  A128834	OEIS :  A087204
1	2	OEIS :  A107920	OEIS :  A002249
2	−1	OEIS :  A000129	OEIS :  A002203
2	1	OEIS :  A001477
2	2	OEIS :  A009545	OEIS :  A007395
2	3	OEIS :  A088137
2	4	OEIS :  A088138
2	5	OEIS :  A045873
3	−5	OEIS :  A015523	OEIS :  A072263
3	−4	OEIS :  A015521	OEIS :  A201455
3	−3	OEIS :  A030195	OEIS :  A172012
3	−2	OEIS :  A007482	OEIS :  A206776
3	−1	OEIS :  A006190	OEIS :  A006497
3	1	OEIS :  A001906	OEIS :  A005248
3	2	OEIS :  A000225	OEIS :  A000051
3	5	OEIS :  A190959
4	−3	OEIS :  A015530	OEIS :  A080042
4	−2	OEIS :  A090017
4	−1	OEIS :  A001076	OEIS :  A014448
4	1	OEIS :  A001353	OEIS :  A003500
4	2	OEIS :  A007070	OEIS :  A056236
4	3	OEIS :  A003462	OEIS :  A034472
4	4	OEIS :  A001787
5	−3	OEIS :  A015536
5	−2	OEIS :  A015535
5	−1	OEIS :  A052918	OEIS :  A087130
5	1	OEIS :  A004254	OEIS :  A003501
5	4	OEIS :  A002450	OEIS :  A052539
6	1	OEIS :  A001109	OEIS :  A003499

Aplicaciones

• Las secuencias de Lucas se utilizan en las pruebas probabilísticas de pseudoprime de Lucas , que forman parte de la prueba de primalidad de Baillie-PSW de uso común .
• Las secuencias de Lucas se utilizan en algunos métodos de prueba de primalidad, incluida la prueba de Lucas-Lehmer-Riesel y los métodos N + 1 e híbridos N-1 / N + 1 como los de Brillhart-Lehmer-Selfridge 1975
• LUC es un criptosistema de clave pública basado en secuencias de Lucas que implementa los análogos de ElGamal (LUCELG), Diffie-Hellman (LUCDIF) y RSA (LUCRSA). El cifrado del mensaje en LUC se calcula como un término de cierta secuencia de Lucas, en lugar de utilizar la exponenciación modular como en RSA o Diffie-Hellman. Sin embargo, un artículo de Bleichenbacher et al. muestra que muchas de las supuestas ventajas de seguridad de LUC sobre los criptosistemas basados ​​en la potenciación modular no están presentes o no son tan sustanciales como se afirma.

Ver también

• Lucas pseudoprime
• Pseudoprime de Frobenius
• Pseudoprime de Somer-Lucas

Notas

Referencias

• Carmichael, RD (1913), "Sobre los factores numéricos de las formas aritméticas α ⁿ ± β ⁿ ", Annals of Mathematics , 15 (1/4): 30–70, doi : 10.2307 / 1967797 , JSTOR  1967797
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