Teorema - Theorem

El teorema de Pitágoras tiene al menos 370 pruebas conocidas

En matemáticas , un teorema es un enunciado que ha sido probado o puede probarse. La demostración de un teorema es un argumento lógico que usa las reglas de inferencia de un sistema deductivo para establecer que el teorema es una consecuencia lógica de los axiomas y teoremas previamente probados.

En la corriente principal de las matemáticas, los axiomas y las reglas de inferencia suelen dejarse implícitos y, en este caso, casi siempre son los de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección , o de una teoría menos poderosa, como Peano. aritmética . Una excepción notable es la prueba de Wiles del último teorema de Fermat , que involucra los universos de Grothendieck cuya existencia requiere agregar un nuevo axioma a la teoría de conjuntos. Generalmente, una afirmación que se llama explícitamente teorema es un resultado probado que no es una consecuencia inmediata de otros teoremas conocidos. Además, muchos autores califican como teoremas sólo los resultados más importantes y utilizan los términos lema , proposición y corolario para teoremas menos importantes.

En lógica matemática , los conceptos de teoremas y demostraciones se han formalizado para permitir el razonamiento matemático sobre ellos. En este contexto, los enunciados se convierten en fórmulas bien formadas de algún lenguaje formal . Una teoría consta de algunos enunciados básicos llamados axiomas y algunas reglas de deducción (a veces incluidas en los axiomas). Los teoremas de la teoría son los enunciados que pueden derivarse de los axiomas utilizando las reglas de deducción. Esta formalización condujo a la teoría de la prueba , que permite probar teoremas generales sobre teoremas y demostraciones. En particular, los teoremas de incompletitud de Gödel muestran que toda teoría consistente que contiene los números naturales tiene enunciados verdaderos sobre números naturales que no son teoremas de la teoría (es decir, no pueden probarse dentro de la teoría).

Como los axiomas son a menudo abstracciones de propiedades del mundo físico , los teoremas pueden considerarse como la expresión de alguna verdad, pero en contraste con la noción de ley científica , que es experimental , la justificación de la verdad de un teorema es puramente deductiva .

Teorema y verdad

Hasta finales del siglo XIX y la crisis fundamental de las matemáticas , todas las matemáticas se construyeron a partir de unas pocas propiedades básicas que se consideraban evidentes por sí mismas; por ejemplo, el hecho de que todo número natural tiene un sucesor, y que hay exactamente una línea que pasa por dos puntos distintos dados. Aquellas propiedades básicas que no se consideraron absolutamente evidentes se denominaron postulados ; por ejemplo, los postulados de Euclides . Todos los teoremas se probaron utilizando implícita o explícitamente estas propiedades básicas y, debido a la evidencia de estas propiedades básicas, un teorema probado se consideró como una verdad definitiva, a menos que hubiera un error en la demostración. Por ejemplo, la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180 °, y esto se consideró como un hecho indudable.

Un aspecto de la crisis fundacional de las matemáticas fue el descubrimiento de geometrías no euclidianas que no conducen a ninguna contradicción, aunque, en tales geometrías, la suma de los ángulos de un triángulo es diferente de 180 °. Entonces, la propiedad "la suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180 °" es verdadera o falsa, dependiendo de si se asumen los postulados de Euclides. De manera similar, el uso de propiedades básicas "evidentes" de conjuntos conduce a la contradicción de la paradoja de Russel . Esto se ha resuelto elaborando las reglas permitidas para manipular conjuntos.

Esta crisis se ha resuelto revisando los fundamentos de las matemáticas para hacerlas más rigurosas . En estos nuevos fundamentos, un teorema es una fórmula bien formada de una teoría matemática que puede demostrarse a partir de los axiomas y las reglas de inferencia de la teoría. Entonces, el teorema anterior sobre la suma de los ángulos de un triángulo se convierte en: Según los axiomas y las reglas de inferencia de la geometría euclidiana , la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180 ° . De manera similar, la paradoja de Russel desaparece porque, en una teoría de conjuntos axiomatizada, el conjunto de todos los conjuntos no se puede expresar con una fórmula bien formada. Más precisamente, si el conjunto de todos los conjuntos puede expresarse con una fórmula bien formada, esto implica que la teoría es inconsistente , y toda afirmación bien formada, así como su negación, es un teorema.

En este contexto, la validez de un teorema depende únicamente de la exactitud de su demostración. Es independiente de la verdad, o incluso del significado de los axiomas. Esto no significa que el significado de los axiomas carezca de interés, sino solo que la validez (verdad) de un teorema es independiente del significado de los axiomas. Esta independencia puede ser útil al permitir el uso de resultados de alguna área de las matemáticas en áreas aparentemente no relacionadas.

Una consecuencia importante de esta forma de pensar las matemáticas es que permite definir teorías y teoremas matemáticos como objetos matemáticos , y probar teoremas sobre ellos. Algunos ejemplos son los teoremas de incompletitud de Gödel . En particular, hay afirmaciones bien formadas que pueden probarse que no son un teorema de la teoría ambiental, aunque pueden probarse en una teoría más amplia. Un ejemplo es el teorema de Goodstein , que puede enunciarse en la aritmética de Peano , pero se ha demostrado que no es demostrable en la aritmética de Peano. Sin embargo, se puede demostrar en algunas teorías más generales, como la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel .

Consideraciones epistemológicas

Muchos teoremas matemáticos son enunciados condicionales, cuyas demostraciones deducen conclusiones de condiciones conocidas como hipótesis o premisas . A la luz de la interpretación de la prueba como justificación de la verdad, la conclusión a menudo se considera una consecuencia necesaria de las hipótesis. Es decir, que la conclusión es verdadera en caso de que las hipótesis sean verdaderas, sin más suposiciones. Sin embargo, el condicional también podría interpretarse de manera diferente en ciertos sistemas deductivos , dependiendo de los significados asignados a las reglas de derivación y al símbolo condicional (por ejemplo, lógica no clásica ).

Aunque los teoremas se pueden escribir en una forma completamente simbólica (por ejemplo, como proposiciones en el cálculo proposicional ), a menudo se expresan de manera informal en un lenguaje natural como el inglés para una mejor legibilidad. Lo mismo ocurre con las demostraciones, que a menudo se expresan como argumentos informales organizados lógicamente y claramente redactados, destinados a convencer a los lectores de la verdad del enunciado del teorema más allá de toda duda, y a partir de los cuales, en principio, se puede construir una prueba simbólica formal.

Además de la mejor legibilidad, los argumentos informales suelen ser más fáciles de verificar que los puramente simbólicos; de hecho, muchos matemáticos expresarían una preferencia por una prueba que no solo demuestre la validez de un teorema, sino que también explique de alguna manera por qué es obviamente verdadero. En algunos casos, uno podría incluso fundamentar un teorema usando una imagen como demostración.

Dado que los teoremas se encuentran en el núcleo de las matemáticas, también son fundamentales para su estética . Los teoremas a menudo se describen como "triviales", "difíciles", "profundos" o incluso "hermosos". Estos juicios subjetivos varían no solo de persona a persona, sino también con el tiempo y la cultura: por ejemplo, a medida que se obtiene una demostración, se simplifica o se comprende mejor, un teorema que alguna vez fue difícil puede volverse trivial. Por otro lado, un teorema profundo puede enunciarse de manera simple, pero su demostración puede involucrar conexiones sorprendentes y sutiles entre áreas dispares de las matemáticas. El último teorema de Fermat es un ejemplo particularmente conocido de tal teorema.

Explicación informal de teoremas

Lógicamente , muchos teoremas son de la forma de un indicativo condicional : Si A, entonces B . Tal teorema no sí afirma B - solamente que B es una consecuencia necesaria de una . En este caso, A se denomina hipótesis del teorema ("hipótesis" aquí significa algo muy diferente de una conjetura ) y B la conclusión del teorema. Los dos juntos (sin la prueba) se denominan proposición o enunciado del teorema (por ejemplo, " Si A, entonces B " es la proposición ). Alternativamente, A y B también pueden denominarse antecedente y consecuente , respectivamente. El teorema "Si n es un número natural par , entonces n / 2 es un número natural" es un ejemplo típico en el que la hipótesis es " n es un número natural par", y la conclusión es " n / 2 también es un número natural". número".

Para que un teorema pueda demostrarse, debe ser, en principio, expresable como un enunciado formal y preciso. Sin embargo, los teoremas generalmente se expresan en lenguaje natural en lugar de en una forma completamente simbólica, con la presunción de que un enunciado formal puede derivarse del informal.

Es común en matemáticas elegir una serie de hipótesis dentro de un lenguaje dado y declarar que la teoría consiste en todos los enunciados demostrables a partir de estas hipótesis. Estas hipótesis forman la base fundamental de la teoría y se denominan axiomas o postulados. El campo de las matemáticas conocido como teoría de la prueba estudia los lenguajes formales, los axiomas y la estructura de las pruebas.

Un mapa plano con cinco colores de modo que no se encuentren dos regiones con el mismo color. De hecho, se puede colorear de esta manera con solo cuatro colores. El teorema de los cuatro colores establece que tales coloraciones son posibles para cualquier mapa plano, pero toda prueba conocida implica una búsqueda computacional que es demasiado larga para verificarla a mano.

Algunos teoremas son " triviales ", en el sentido de que se derivan de definiciones, axiomas y otros teoremas de manera obvia y no contienen ninguna comprensión sorprendente. Algunos, por otro lado, pueden llamarse "profundos", porque sus demostraciones pueden ser largas y difíciles, involucrar áreas de las matemáticas superficialmente distintas del enunciado del teorema mismo, o mostrar conexiones sorprendentes entre áreas dispares de las matemáticas. Un teorema puede ser simple de enunciar y, sin embargo, profundo. Un excelente ejemplo es el último teorema de Fermat , y hay muchos otros ejemplos de teoremas simples pero profundos en teoría de números y combinatoria , entre otras áreas.

Otros teoremas tienen una prueba conocida que no se puede escribir fácilmente. Los ejemplos más destacados son el teorema de los cuatro colores y la conjetura de Kepler . Se sabe que ambos teoremas son verdaderos reduciéndolos a una búsqueda computacional que luego es verificada por un programa de computadora. Inicialmente, muchos matemáticos no aceptaron esta forma de prueba, pero se ha vuelto más aceptada. El matemático Doron Zeilberger incluso ha llegado a afirmar que estos son posiblemente los únicos resultados no triviales que los matemáticos hayan probado jamás. Muchos teoremas matemáticos se pueden reducir a cálculos más sencillos, incluidas las identidades polinomiales, las identidades trigonométricas y las identidades hipergeométricas.

Relación con las teorías científicas

Los teoremas matemáticos y las teorías científicas son fundamentalmente diferentes en su epistemología . No se puede probar una teoría científica; su atributo clave es que es falsable , es decir, hace predicciones sobre el mundo natural que se pueden comprobar mediante experimentos . Cualquier desacuerdo entre la predicción y el experimento demuestra la incorrección de la teoría científica, o al menos limita su precisión o dominio de validez. Los teoremas matemáticos, por otro lado, son enunciados formales puramente abstractos: la prueba de un teorema no puede involucrar experimentos u otra evidencia empírica de la misma manera que dicha evidencia se usa para apoyar teorías científicas.

La conjetura de Collatz : una forma de ilustrar su complejidad es extender la iteración de los números naturales a los números complejos. El resultado es un fractal , que (de acuerdo con la universalidad ) se asemeja al conjunto de Mandelbrot .

No obstante, existe cierto grado de empirismo y recopilación de datos involucrados en el descubrimiento de teoremas matemáticos. Al establecer un patrón, a veces con el uso de una computadora poderosa, los matemáticos pueden tener una idea de qué probar y, en algunos casos, incluso un plan sobre cómo comenzar a hacer la prueba. También es posible encontrar un solo contraejemplo y así establecer la imposibilidad de una prueba para la proposición tal como está enunciada, y posiblemente sugerir formas restringidas de la proposición original que podrían tener pruebas factibles.

Por ejemplo, tanto la conjetura de Collatz como la hipótesis de Riemann son problemas sin resolver bien conocidos; se han estudiado extensamente a través de comprobaciones empíricas, pero siguen sin demostrarse. La conjetura de Collatz se ha verificado para valores iniciales de hasta aproximadamente 2,88 × 10 ¹⁸ . Se ha verificado que la hipótesis de Riemann es válida para los primeros 10 billones de ceros no triviales de la función zeta . Aunque la mayoría de los matemáticos pueden tolerar suponer que la conjetura y la hipótesis son verdaderas, ninguna de estas proposiciones se considera probada.

Tal evidencia no constituye prueba. Por ejemplo, la conjetura de Mertens es una afirmación sobre números naturales que ahora se sabe que es falsa, pero no un contraejemplo explícito (es decir, un número natural n para el cual la función de Mertens M ( n ) es igual o superior a la raíz cuadrada de n ) es conocido: todos los números menores que 10 ¹⁴ tienen la propiedad de Mertens, y el número más pequeño que no tiene esta propiedad solo se sabe que es menor que el exponencial de 1.59 × 10 ⁴⁰ , que es aproximadamente 10 elevado a la potencia 4.3 × 10 ³⁹ . Dado que el número de partículas en el universo generalmente se considera menos de 10 elevado a 100 (un googol ), no hay esperanza de encontrar un contraejemplo explícito mediante una búsqueda exhaustiva .

La palabra "teoría" también existe en matemáticas, para denotar un cuerpo de axiomas, definiciones y teoremas matemáticos, como en, por ejemplo, la teoría de grupos (ver teoría matemática ). También hay "teoremas" en la ciencia, en particular en la física, y en la ingeniería, pero a menudo tienen afirmaciones y pruebas en las que las suposiciones físicas y la intuición juegan un papel importante; los axiomas físicos en los que se basan tales "teoremas" son ellos mismos falsables.

Terminología

Existen varios términos diferentes para enunciados matemáticos; estos términos indican el papel que juegan las declaraciones en un tema en particular. La distinción entre diferentes términos es a veces bastante arbitraria y el uso de algunos términos ha evolucionado con el tiempo.

• Un axioma o postulado es un supuesto fundamental sobre el objeto de estudio, que se acepta sin prueba. Un concepto relacionado es el de una definición , que da el significado de una palabra o frase en términos de conceptos conocidos. La geometría clásica distingue entre axiomas, que son declaraciones generales; y postulados, que son enunciados sobre objetos geométricos. Históricamente, los axiomas se consideraban " evidentes por sí mismos "; hoy simplemente se asume que son verdaderas.
• Una conjetura es una afirmación no probada que se cree que es cierta. Las conjeturas generalmente se hacen en público y reciben el nombre de su creador (por ejemplo, la conjetura de Goldbach y la conjetura de Collatz ). El término hipótesis también se utiliza en este sentido (por ejemplo, hipótesis de Riemann ), que no debe confundirse con "hipótesis" como premisa de una prueba. En ocasiones, también se utilizan otros términos, por ejemplo, problema cuando las personas no están seguras de si se debe creer que la afirmación es cierta. Históricamente, el último teorema de Fermat se denominó teorema, aunque durante siglos fue solo una conjetura.
• Un teorema es un enunciado que se ha demostrado que es verdadero basándose en axiomas y otros teoremas.
• Una proposición es un teorema de menor importancia, o uno que se considera tan elemental o inmediatamente obvio, que puede enunciarse sin prueba. Esto no debe confundirse con "proposición" como se usa en lógica proposicional . En geometría clásica, el término "proposición" se usaba de manera diferente: en los Elementos de Euclides ( c.  300 a . C. ), todos los teoremas y construcciones geométricas se llamaban "proposiciones" independientemente de su importancia.
• Un lema es una "proposición accesoria", una proposición con poca aplicabilidad fuera de su uso en una prueba particular. Con el tiempo un lema puede ganar en importancia y se considera un teorema , aunque el término "lema" generalmente se mantiene como parte de su nombre (ej. El lema de Gauss , lema de Zorn , y el lema fundamental ).
• Un corolario es una proposición que se sigue inmediatamente de otro teorema o axioma, con poca o ninguna prueba requerida. Un corolario también puede ser una reformulación de un teorema en una forma más simple, o para un caso especial : por ejemplo, el teorema "todos los ángulos internos en un rectángulo son ángulos rectos " tiene como corolario que "todos los ángulos internos en un cuadrado son rectos ángulos "- un cuadrado es un caso especial de un rectángulo.
• Una generalización de un teorema es un teorema con un enunciado similar pero un alcance más amplio, del cual se puede deducir el teorema original como un caso especial (un corolario ).

También se pueden usar otros términos por razones históricas o habituales, por ejemplo:

• Una identidad es un teorema que indica una igualdad entre dos expresiones, que se cumple para cualquier valor dentro de su dominio (por ejemplo. La identidad de Bézout y la identidad de Vandermonde ).
• Una regla es un teorema que establece una fórmula útil (por ejemplo , la regla de Bayes y la regla de Cramer ).
• Una ley o principio es un teorema con amplia aplicabilidad (por ejemplo, la ley de los grandes números , la ley de los cosenos , la ley cero-uno de Kolmogorov , el principio de Harnack , el principio del límite mínimo superior y el principio del casillero ).

Algunos teoremas bien conocidos tienen nombres aún más idiosincrásicos, por ejemplo, el algoritmo de división , la fórmula de Euler y la paradoja de Banach-Tarski .

Diseño

Un teorema y su demostración se presentan típicamente de la siguiente manera:

Teorema (nombre de la persona que lo probó, junto con el año del descubrimiento o publicación de la prueba)

Enunciado del teorema (a veces llamado proposición )

Prueba

Descripción de la prueba

Fin

El final de la prueba puede ser señalado por las letras QED ( quod erat demonstrandum ) o por una de las marcas de lápida , como "□" o "∎", que significa "fin de la prueba", introducido por Paul Halmos después de su uso en revistas para marcar el final de un artículo.

El estilo exacto depende del autor o la publicación. Muchas publicaciones proporcionan instrucciones o macros para la composición tipográfica en el estilo de la casa .

Es común que un teorema esté precedido por definiciones que describen el significado exacto de los términos utilizados en el teorema. También es común que un teorema esté precedido por una serie de proposiciones o lemas que luego se usan en la demostración. Sin embargo, los lemas a veces se incluyen en la demostración de un teorema, ya sea con demostraciones anidadas o con sus demostraciones presentadas después de la demostración del teorema.

Los corolarios de un teorema se presentan entre el teorema y la prueba, o directamente después de la prueba. A veces, los corolarios tienen sus propias pruebas que explican por qué se siguen del teorema.

Ciencia

Se ha estimado que cada año se prueban más de un cuarto de millón de teoremas.

El conocido aforismo , "Un matemático es un dispositivo para convertir el café en teoremas" , probablemente se deba a Alfréd Rényi , aunque a menudo se atribuye al colega de Rényi Paul Erdős (y Rényi puede haber estado pensando en Erdős), quien era famoso por los muchos teoremas que produjo, el número de sus colaboraciones y su consumo de café.

La clasificación de los grupos simples finitos es considerada por algunos como la prueba más larga de un teorema. Comprende decenas de miles de páginas en 500 artículos de revistas de unos 100 autores. Se cree que estos documentos juntos dan una prueba completa, y varios proyectos en curso esperan acortar y simplificar esta prueba. Otro teorema de este tipo es el teorema de los cuatro colores, cuya prueba generada por computadora es demasiado larga para que la lea un humano. Es una de las demostraciones más largas conocidas de un teorema cuyo enunciado puede ser fácilmente entendido por un profano.

Teoremas de lógica

En lógica matemática , una teoría formal es un conjunto de oraciones dentro de un lenguaje formal . Una oración es una fórmula bien formada sin variables libres. Una oración que es miembro de una teoría es uno de sus teoremas y la teoría es el conjunto de sus teoremas. Por lo general, se entiende que una teoría está cerrada bajo la relación de consecuencia lógica . Algunas explicaciones definen una teoría como cerrada bajo la relación de consecuencia semántica ( ), mientras que otras la definen como cerrada bajo la consecuencia sintáctica o relación de derivabilidad ( ). ${\ Displaystyle \ models}$${\ Displaystyle \ vdash}$

Este diagrama muestra las entidades sintácticas que se pueden construir a partir de lenguajes formales . Los símbolos y las cadenas de símbolos pueden dividirse en términos generales en fórmulas sin sentido y bien formadas . Se puede pensar que un lenguaje formal es idéntico al conjunto de sus fórmulas bien formadas. El conjunto de fórmulas bien formadas se puede dividir en términos generales en teoremas y no teoremas.

Para que una teoría se cierre bajo una relación de derivabilidad, debe estar asociada con un sistema deductivo que especifique cómo se derivan los teoremas. El sistema deductivo puede enunciarse explícitamente o puede resultar claro a partir del contexto. El cierre del conjunto vacío bajo la relación de consecuencia lógica produce el conjunto que contiene solo aquellas oraciones que son los teoremas del sistema deductivo.

En el sentido amplio en el que se usa el término dentro de la lógica, un teorema no tiene por qué ser verdadero, ya que la teoría que lo contiene puede ser errónea en relación con una semántica dada, o en relación con la interpretación estándar del lenguaje subyacente. Una teoría que es inconsistente tiene todas las oraciones como teoremas.

La definición de teoremas como oraciones de un lenguaje formal es útil dentro de la teoría de la prueba , que es una rama de las matemáticas que estudia la estructura de las pruebas formales y la estructura de las fórmulas demostrables. También es importante en la teoría de modelos , que se ocupa de la relación entre las teorías formales y las estructuras que pueden proporcionarles una semántica a través de la interpretación .

Aunque los teoremas pueden ser oraciones no interpretadas, en la práctica los matemáticos están más interesados ​​en los significados de las oraciones, es decir, en las proposiciones que expresan. Lo que hace que los teoremas formales sean útiles e interesantes es que pueden interpretarse como proposiciones verdaderas y sus derivaciones pueden interpretarse como una prueba de su verdad. Un teorema cuya interpretación es un enunciado verdadero sobre un sistema formal (a diferencia de dentro de un sistema formal) se denomina metateorema .

Algunos teoremas importantes en lógica matemática son:

• Compacidad de la lógica de primer orden
• Completitud de la lógica de primer orden
• Teoremas de incompletitud de Gödel de la aritmética de primer orden
• Consistencia de la aritmética de primer orden
• Teorema de indefinibilidad de Tarski
• Teorema de indecidibilidad de Church-Turing
• Teorema de Löb
• Teorema de Löwenheim-Skolem
• Teorema de Lindström
• Teorema de craig
• Teorema de eliminación de cortes

Sintaxis y semántica

El concepto de teorema formal es fundamentalmente sintáctico, en contraste con la noción de proposición verdadera, que introduce la semántica . Los diferentes sistemas deductivos pueden producir otras interpretaciones, dependiendo de las presunciones de las reglas de derivación (es decir , creencia , justificación u otras modalidades ). La solidez de un sistema formal depende de si todos sus teoremas son también válidos o no . Una validez es una fórmula que es verdadera bajo cualquier interpretación posible (por ejemplo, en la lógica proposicional clásica, las validez son tautologías ). Un sistema formal se considera semánticamente completo cuando todos sus teoremas son también tautologías.

Interpretación de un teorema formal

Teoremas y teorías

Ver también

• Lista de teoremas
• Teorema fundamental
• Fórmula
• Inferencia
• Teorema del juguete

Notas

Referencias

Referencias

• Boolos, George; Burgess, John; Jeffrey, Richard (2007). Computabilidad y lógica (5ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge.
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• van Dalen, Dirk (1994). Lógica y estructura (3ª ed.). Springer-Verlag.

enlaces externos

• Medios relacionados con los teoremas en Wikimedia Commons
• Weisstein, Eric W. "Teorema" . MathWorld .
• Teorema del día