Teorema de Looman-Menchoff - Looman–Menchoff theorem
En el campo matemático del análisis complejo , el teorema de Looman-Menchoff establece que una función continua de valor complejo definida en un conjunto abierto del plano complejo es holomórfica si y solo si satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann . Por tanto, es una generalización de un teorema de Édouard Goursat , que en lugar de asumir la continuidad de f , asume su diferenciabilidad de Fréchet cuando se considera una función de un subconjunto de R 2 a R 2 .
Un enunciado completo del teorema es el siguiente:
- Deje Ω sea un conjunto abierto en C y F : Ω → C una función continua. Suponga que las derivadas parciales y existen en todas partes excepto en un conjunto contable en Ω. Entonces f es holomórfica si y solo si satisface la ecuación de Cauchy-Riemann:
Ejemplos
Looman señaló que la función dada por f ( z ) = exp (- z −4 ) para z ≠ 0, f (0) = 0 satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en todas partes pero no es analítica (ni siquiera continua) en z = 0. Esto muestra que la función f debe asumirse como continua en el teorema.
La función dada por f ( z ) = z 5 / | z | 4 para z ≠ 0, f (0) = 0 es continua en todas partes y satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en z = 0, pero no es analítica en z = 0 (o en cualquier otro lugar). Esto muestra que una generalización ingenua del teorema de Looman-Menchoff a un solo punto es falsa :
- Sea f continua en una vecindad de un punto z , y tal que y exista en z . Entonces f es holomórfica en z si y sólo si satisface la ecuación de Cauchy-Riemann en z .
Referencias
- Gray, JD; Morris, SA (1978), "When is a Function that Satisfies the Cauchy-Riemann Equations Analytic?", The American Mathematical Monthly (publicado en abril de 1978), 85 (4): 246–256, doi : 10.2307 / 2321164 , JSTOR 2321164.
- Looman, H. (1923), "Über die Cauchy – Riemannschen Differentialgleichungen", Göttinger Nachrichten : 97–108.
- Menchoff, D. (1936), Les conditions de monogénéité , París.
- Montel, P. (1913), "Sur les différentielles totales et les fonctions monogènes", CR Acad. Sci. París , 156 : 1820–1822.
- Narasimhan, Raghavan (2001), Análisis complejo en una variable , Birkhäuser, ISBN 0-8176-4164-5.
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