Lista de grupos de mentiras simples - List of simple Lie groups

En matemáticas , los grupos de Lie simples fueron clasificados primero por Wilhelm Killing y luego perfeccionados por Élie Cartan . Esta clasificación a menudo se conoce como clasificación de Killing-Cartan.

La lista de grupos de Lie simples se puede usar para leer la lista de álgebras de Lie simples y espacios simétricos de Riemann . Consulte también la tabla de grupos de Lie para obtener una lista más pequeña de los grupos que ocurren comúnmente en la física teórica , y la clasificación de Bianchi para grupos de dimensión como máximo 3.

Grupos de Simple Lie

Desafortunadamente, no existe una definición universalmente aceptada de un grupo de mentira simple . En particular, no siempre se define como un grupo de Lie que es simple como grupo abstracto. Los autores difieren en cuanto a si un grupo de Lie simple debe estar conectado, o si se le permite tener un centro no trivial, o si R es un grupo de Lie simple.

La definición más común es que un grupo de Lie es simple si está conectado, no abeliano, y cada subgrupo normal conectado cerrado es la identidad o el grupo completo. En particular, a los grupos simples se les permite tener un centro no trivial, pero R no es simple.

En este artículo se enumeran los grupos de Lie simples conectados con centro trivial. Una vez que se conocen, los que tienen un centro no trivial son fáciles de enumerar de la siguiente manera. Cualquier grupo de Lie simple con centro trivial tiene una cobertura universal , cuyo centro es el grupo fundamental del grupo de Lie simple. Los correspondientes grupos de Lie simples con centro no trivial se pueden obtener como cocientes de esta cobertura universal por un subgrupo del centro.

Álgebras de mentira simples

El álgebra de Lie de un grupo de Lie simple es un álgebra de Lie simple. Esta es una correspondencia uno a uno entre grupos de Lie simples conectados con centro trivial y álgebras de Lie simples de dimensión mayor que 1. (Los autores difieren en si el álgebra de Lie unidimensional debe contarse como simple).

Sobre los números complejos, las álgebras de Lie semisimples se clasifican por sus diagramas de Dynkin , de tipo "ABCDEFG". Si L es un verdadero álgebra de Lie simple, su complejización es un simple álgebra de Lie complejo, a menos que L es ya la complejización de un álgebra de Lie, en cuyo caso la complejización de L es un producto de dos copias de L . Esto reduce el problema de clasificar las álgebras de Lie simples reales al de encontrar todas las formas reales de cada álgebra de Lie simple compleja (es decir, álgebras de Lie reales cuya complejidad es el álgebra de Lie compleja dada). Siempre hay al menos 2 formas de este tipo: una forma dividida y una forma compacta, y generalmente hay algunas otras. Las diferentes formas reales corresponden a las clases de automorfismos de orden como máximo 2 del álgebra de Lie compleja.

Espacios simétricos

Los espacios simétricos se clasifican de la siguiente manera.

Primero, la cobertura universal de un espacio simétrico sigue siendo simétrica, por lo que podemos reducir al caso de espacios simétricos simplemente conectados. (Por ejemplo, la cobertura universal de un plano proyectivo real es una esfera).

En segundo lugar, el producto de los espacios simétricos es simétrico, por lo que también podemos clasificar los irreductibles simplemente conectados (donde irreductibles significa que no pueden escribirse como un producto de espacios simétricos más pequeños).

Los espacios simétricos irreductibles simplemente conectados son la línea real, y exactamente dos espacios simétricos correspondientes a cada grupo de Lie simple no compacto G , uno compacto y otro no compacto. El uno no compacto es una cubierta del cociente de G por un subgrupo compacto maximal H , y el compacto es una cubierta del cociente de la forma compacta de G por el mismo subgrupo H . Esta dualidad entre espacios simétricos compactos y no compactos es una generalización de la bien conocida dualidad entre geometría esférica e hiperbólica.

Espacios simétricos hermitianos

Un espacio simétrico con una estructura compleja compatible se llama Hermitian. Los espacios simétricos hermitianos irreductibles compactos, simplemente conectados, se dividen en 4 familias infinitas con 2 excepcionales restantes, y cada una tiene un doble no compacto. Además, el plano complejo es también un espacio simétrico hermitiano; esto da la lista completa de espacios simétricos hermitianos irreductibles.

Las cuatro familias son los tipos A III, B I y D I para p = 2 , D III y C I, y las dos excepcionales son los tipos E III y E VII de dimensiones complejas 16 y 27.

Notación

${\ Displaystyle \ mathbb {R, C, H, O}}$ representan los números reales, números complejos, cuaterniones y octoniones .

En los símbolos como E ₆⁻²⁶ para los grupos excepcionales, el exponente −26 es la firma de una forma bilineal simétrica invariante que es definida negativa en el subgrupo compacto máximo. Es igual a la dimensión del grupo menos el doble de la dimensión de un subgrupo compacto máximo.

El grupo fundamental listado en la tabla siguiente es el grupo fundamental del grupo simple con centro trivial. Otros grupos simples con el mismo álgebra de Lie corresponden a subgrupos de este grupo fundamental (módulo la acción del grupo de automorfismo externo).

Lista

Abeliano

	Dimensión	Grupo de automorfismo externo	Dimensión del espacio simétrico	Espacio simétrico	Observaciones
R (abeliano)	1	R ^∗	1	R

Compacto

	Dimensión	Grupo fundamental	Grupo de automorfismo externo	Otros nombres	Observaciones
Un _n ( n ≥ 1 ) compacto	n ( n + 2)	Cíclico, orden n + 1	1 si n = 1 , 2 si n > 1 .	PSU grupo unitario especial proyectivo ( n + 1)	A ₁ es lo mismo que B ₁ y C ₁
B _n ( n ≥ 2 ) compacto	n (2 n + 1)	2	1	grupo ortogonal especial SO_{2 n +1} ( R )	B ₁ es lo mismo que A ₁ y C ₁ . B ₂ es lo mismo que C ₂ .
C _n ( n ≥ 3 ) compacto	n (2 n + 1)	2	1	grupo proyectivo compacto simpléctico PSp ( n ), PSp (2 n ), PUSp ( n ), PUSp (2 n )	Hermitian. Estructuras complejas de H ⁿ . Copias de espacio proyectivo complejo en espacio proyectivo cuaterniónico.
D _n ( n ≥ 4 ) compacto	n (2 n - 1)	Orden 4 (cíclico cuando n es impar).	2 si n > 4 , S ₃ si n = 4	grupo ortogonal especial proyectivo PSO _{2 n} ( R )	D ₃ es lo mismo que A ₃ , D ₂ es lo mismo que A ₁² y D ₁ es abeliano.
E ₆⁻⁷⁸ compacto	78	3	2
E ₇⁻¹³³ compacto	133	2	1
E ₈⁻²⁴⁸ compacto	248	1	1
F ₄⁻⁵² compacto	52	1	1
G ₂^-14 compacto	14	1	1		Este es el grupo de automorfismos del álgebra de Cayley.

División

	Dimensión	Rango real	Subgrupo máximo compacto	Grupo fundamental	Grupo de automorfismo externo	Otros nombres	Dimensión del espacio simétrico	Espacio simétrico compacto	Espacio simétrico no compacto	Observaciones
Una división de _n I ( n ≥ 1)	n ( n + 2)	norte	D _{n / 2} o B _{( n −1) / 2}	Cíclico infinito si n = 1 2 si n ≥ 2	1 si n = 1 2 si n ≥ 2.	grupo lineal especial proyectivo PSL _{n +1} (R)	n ( n + 3) / 2	Estructuras reales en C ^{n +1} o conjunto de RP ⁿ en CP ⁿ . Hermitiano si n = 1 , en cuyo caso es la 2-esfera.	Estructuras euclidianas en R ^{n +1} . Hermitiano si n = 1 , cuando es el semiplano superior o disco complejo unitario.
B _n I ( n ≥ 2) dividir	n (2 n + 1)	norte	SO ( n ) SO ( n +1)	No cíclico, orden 4	1	componente de identidad del grupo ortogonal especial SO ( n , n +1)	n ( n + 1)			B ₁ es lo mismo que A ₁ .
C _n I ( n ≥ 3) dividido	n (2 n + 1)	norte	A _{n −1}S ¹	Cíclico infinito	1	grupo simpléctico proyectivo PSp _{2 n} ( R ), PSp (2 n , R ), PSp (2 n ), PSp ( n , R ), PSp ( n )	n ( n + 1)	Hermitian. Estructuras complejas de H ⁿ . Copias de espacio proyectivo complejo en espacio proyectivo cuaterniónico.	Hermitian. Estructuras complejas en R ^{2 n} compatibles con una forma simpléctica. Conjunto de espacios hiperbólicos complejos en espacio hiperbólico cuaterniónico. Espacio medio superior Siegel.	C ₂ es lo mismo que B ₂ y C ₁ es lo mismo que B ₁ y A ₁ .
D _n I ( n ≥ 4) dividir	n (2 n - 1)	norte	SO ( n ) SO ( n )	Ordene 4 si n impar, 8 si n par	2 si n > 4 , S ₃ si n = 4	componente de identidad del grupo ortogonal especial proyectivo PSO ( n , n )	n ²			D ₃ es lo mismo que A ₃ , D ₂ es lo mismo que A ₁² y D ₁ es abeliano.
E ₆⁶ Yo partí	78	6	C ₄	Orden 2	Orden 2	EI	42
E ₇⁷ V dividido	133	7	A ₇	Cíclico, orden 4	Orden 2		70
E ₈⁸ VIII split	248	8	D ₈	2	1	E VIII	128			@ E8
F ₄⁴ yo partí	52	4	C ₃ × A ₁	Orden 2	1	FI	28	Planos proyectivos cuaterniónicos en plano proyectivo Cayley.	Planos proyectivos cuaterniónicos hiperbólicos en plano proyectivo hiperbólico de Cayley.
G ₂² yo partí	14	2	A ₁ × A ₁	Orden 2	1	soldado americano	8	Subálgebras cuaterniónicas del álgebra de Cayley. Quaternion-Kähler.	Subálgebras cuaterniónicas sin división del álgebra de Cayley sin división. Quaternion-Kähler.

Complejo

	Dimensión real	Rango real	Subgrupo máximo compacto	Grupo fundamental	Grupo de automorfismo externo	Otros nombres	Dimensión del espacio simétrico	Espacio simétrico compacto	Espacio simétrico no compacto
Un complejo _n ( n ≥ 1)	2 n ( n + 2)	norte	A _n	Cíclico, orden n + 1	2 si n = 1 , 4 (no cíclico) si n ≥ 2 .	grupo lineal especial complejo proyectivo PSL _{n +1} ( C )	n ( n + 2)	Grupo compacto A _n	Formas hermitianas en C ^{n +1} con volumen fijo.
Complejo B _n ( n ≥ 2)	2 n (2 n + 1)	norte	B _n	2	Orden 2 (conjugación compleja)	grupo ortogonal especial complejo SO _{2 n +1} ( C )	n (2 n + 1)	Grupo compacto B _n
Complejo C _n ( n ≥ 3)	2 n (2 n + 1)	norte	C _n	2	Orden 2 (conjugación compleja)	grupo simpléctico complejo proyectivo PSp _{2 n} ( C )	n (2 n + 1)	Grupo compacto C _n
Complejo D _n ( n ≥ 4)	2 n (2 n - 1)	norte	D _n	Orden 4 (cíclico cuando n es impar)	No cíclico de orden 4 para n > 4 , o el producto de un grupo de orden 2 y el grupo simétrico S ₃ cuando n = 4 .	grupo ortogonal especial complejo proyectivo PSO _{2 n} ( C )	n (2 n - 1)	Grupo compacto D _n
Complejo E ₆	156	6	E ₆	3	Orden 4 (no cíclico)		78	Grupo compacto E ₆
Complejo E ₇	266	7	E ₇	2	Orden 2 (conjugación compleja)		133	Grupo compacto E ₇
Complejo E ₈	496	8	E ₈	1	Orden 2 (conjugación compleja)		248	Grupo compacto E ₈
F ₄ complejo	104	4	F ₄	1	2		52	Grupo compacto F ₄
Complejo G ₂	28	2	G ₂	1	Orden 2 (conjugación compleja)		14	Grupo compacto G ₂

Otros

	Dimensión	Rango real	Subgrupo máximo compacto	Grupo fundamental	Grupo de automorfismo externo	Otros nombres	Dimensión del espacio simétrico	Espacio simétrico compacto	Espacio simétrico no compacto	Observaciones
A _{2 n −1} II ( n ≥ 2)	(2 norte - 1) (2 norte + 1)	n - 1	C _n	Orden 2		SL _n ( H ), SU ^∗ (2 n )	( n - 1) (2 n + 1)	Estructuras cuaterniónicas en C ^{2 n} compatibles con la estructura hermitiana	Copias de espacio hiperbólico cuaterniónico (de dimensión n - 1 ) en espacio hiperbólico complejo (de dimensión 2 n - 1 ).
A _n III ( n ≥ 1) p + q = n + 1 (1 ≤ p ≤ q )	n ( n + 2)	pags	A _{p −1}A _{q −1}S ¹			SU ( p , q ), A III	2 pq	Hermitian . Grassmanniano de p subespacios de C ^{p + q} . Si p o q es 2; cuaternión-Kähler	Hermitian. Grassmanniano de subespacios definidos positivos máximos de C ^{p , q} . Si p o q es 2, quaternion-Kähler	Si p = q = 1, divida Si \| p - q \| ≤ 1, cuasi dividido
B _norte yo ( norte > 1) p + q = 2 norte +1	n (2 n + 1)	min ( p , q )	SO ( p ) SO ( q )			ASÍ ( p , q )	pq	Grassmanniano de R ^p s en R ^{p + q} . Si p o q es 1, espacio proyectivo Si p o q es 2; Hermitian Si p o q es 4, quaternion-Kähler	Grassmanniano de R ^p s definido positivo en R ^{p , q} . Si p o q es 1, espacio hiperbólico Si p o q es 2, Hermitiano Si p o q es 4, quaternion-Kähler	Si \| p - q \| ≤ 1, dividido.
C _n II ( n > 2) n = p + q (1 ≤ p ≤ q )	n (2 n + 1)	min ( p , q )	C _p C _q	Orden 2	1 si p ≠ q , 2 si p = q .	Sp _{2 p , 2 q} (R)	4 pq	Grassmanniano de H ^p s en H ^{p + q} . Si p o q es 1, espacio proyectivo cuaterniónico, en cuyo caso es quaternion-Kähler.	H ^p s en H ^{p , q} . Si p o q es 1, espacio hiperbólico cuaterniónico, en cuyo caso es quaternion-Kähler.
D _norte yo ( n ≥ 4) p + q = 2 norte	n (2 n - 1)	min ( p , q )	SO ( p ) SO ( q )		Si p y q ≥ 3, orden de 8.	ASÍ ( p , q )	pq	Grassmanniano de R ^p s en R ^{p + q} . Si p o q es 1, espacio proyectivo Si p o q es 2; Hermitian Si p o q es 4, quaternion-Kähler	Grassmanniano de R ^p s definido positivo en R ^{p , q} . Si p o q es 1, espacio hiperbólico Si p o q es 2, hermitiano Si p o q es 4, quaternion-Kähler	Si p = q , divida Si \| p - q \| ≤ 2, cuasi dividido
D _n III ( n ≥ 4)	n (2 n - 1)	⌊ n / 2⌋	A _{n −1}R ¹	Cíclico infinito	Orden 2	ASÍ ^* (2n)	n ( n - 1)	Hermitian. Estructuras complejas en R ^{2 n} compatibles con la estructura euclidiana.	Hermitian. Formas cuadráticas cuaterniónicas en R ^{2 n} .
E ₆² II (cuasi dividido)	78	4	A ₅A ₁	Cíclico, orden 6	Orden 2	E II	40	Quaternion-Kähler.	Quaternion-Kähler.	Cuasi dividido pero no dividido.
E ₆⁻¹⁴ III	78	2	D ₅S ¹	Cíclico infinito	Trivial	E III	32	Hermitian. Plano proyectivo elíptico de Rosenfeld sobre los números complejos de Cayley.	Hermitian. Plano proyectivo hiperbólico de Rosenfeld sobre los complejos números de Cayley.
E ₆⁻²⁶ IV	78	2	F ₄	Trivial	Orden 2	E IV	26	Conjunto de planos proyectivos Cayley en el plano proyectivo sobre los números Cayley complejos.	Conjunto de planos hiperbólicos de Cayley en el plano hiperbólico sobre los números complejos de Cayley.
E ₇⁻⁵ VI	133	4	D ₆A ₁	No cíclico, orden 4	Trivial	E VI	64	Quaternion-Kähler.	Quaternion-Kähler.
E ₇⁻²⁵ VII	133	3	E ₆S ¹	Cíclico infinito	Orden 2	E VII	54	Hermitian.	Hermitian.
E ₈⁻²⁴ IX	248	4	E ₇ × A ₁	Orden 2	1	E IX	112	Quaternion-Kähler.	Quaternion-Kähler.
F ₄⁻²⁰ II	52	1	B ₄ (Giro ₉ ( R ))	Orden 2	1	F II	dieciséis	Plano proyectivo Cayley. Quaternion-Kähler.	Plano proyectivo hiperbólico de Cayley. Quaternion-Kähler.

Grupos de Lie simples de pequeña dimensión

La siguiente tabla enumera algunos grupos de Lie con álgebras de Lie simples de pequeña dimensión. Todos los grupos de una línea dada tienen el mismo álgebra de Lie. En el caso de la dimensión 1, los grupos son abelianos y no simples.

Oscuro	Grupos		Espacio simétrico	Compacto dual	Rango	Oscuro
1	R , S ¹ = U (1) = SO ₂ ( R ) = Girar (2)	Abeliano	Linea real		0	1
3	S ³ = Sp (1) = SU (2) = Spin (3), SO ₃ ( R ) = PSU (2)	Compacto
3	SL ₂ ( R ) = Sp ₂ ( R ), SO _2,1 ( R )	Split, hermitiano, hiperbólico	Plano hiperbólico H ²	Esfera S ²	1	2
6	SL ₂ ( C ) = Sp ₂ ( C ), SO _3,1 ( R ), SO ₃ ( C )	Complejo	Espacio hiperbólico H ³	Esfera S ³	1	3
8	SL ₃ ( R )	División	Estructuras euclidianas en R ³	Estructuras reales en C ³	2	5
8	SU (3)	Compacto
8	SU (1,2)	Hermitiana, cuasi dividida, cuaterniónica	Plano hiperbólico complejo	Plano proyectivo complejo	1	4
10	Sp (2) = Spin (5), SO ₅ ( R )	Compacto
10	SO _4,1 ( R ), Sp _2,2 ( R )	Hiperbólico, cuaterniónico	Espacio hiperbólico H ⁴	Esfera S ⁴	1	4
10	SO _3,2 ( R ), Sp ₄ ( R )	Split, Hermitian	Espacio medio superior Siegel	Estructuras complejas en H ²	2	6
14	G ₂	Compacto
14	G ₂	Split, cuaterniónico	Subálgebras cuaterniónicas sin división de octoniones sin división	Subálgebras cuaterniónicas de octoniones	2	8
15	SU (4) = Centrifugar (6), SO ₆ ( R )	Compacto
15	SL ₄ ( R ), SO _3,3 ( R )	División	R ³ en R ^3,3	Grassmanniano G (3,3)	3	9
15	SU (3,1)	Ermitaño	Espacio hiperbólico complejo	Espacio proyectivo complejo	1	6
15	SU (2,2), SO _4,2 ( R )	Hermitiana, cuasi dividida, cuaterniónica	R ² en R ^2,4	Grassmanniano G (2,4)	2	8
15	SL ₂ (H), SO _5,1 ( R )	Hiperbólico	Espacio hiperbólico H ⁵	Esfera S ⁵	1	5
dieciséis	SL ₃ ( C )	Complejo		SU (3)	2	8
20	SO ₅ ( C ), Sp ₄ ( C )	Complejo		Giro ₅ ( R )	2	10
21	TAN ₇ ( R )	Compacto
21	SO _6,1 ( R )	Hiperbólico	Espacio hiperbólico H ⁶	Esfera S ⁶
21	SO _5,2 ( R )	Ermitaño
21	SO _4,3 ( R )	Split, cuaterniónico
21	Es (3)	Compacto
21	Sp ₆ ( R )	Split, ermitaño
21	Sp _4,2 ( R )	Cuaterniónico
24	SU (5)	Compacto
24	SL ₅ ( R )	División
24	SU _4,1	Ermitaño
24	SU _3,2	Hermitian, cuaterniónico
28	SO ₈ ( R )	Compacto
28	SO _7,1 ( R )	Hiperbólico	Espacio hiperbólico H ⁷	Esfera S ⁷
28	SO _6,2 ( R )	Ermitaño
28	SO _5,3 ( R )	Cuasi dividido
28	SO _4,4 ( R )	Split, cuaterniónico
28	TAN ^∗₈ ( R )	Ermitaño
28	G ₂ ( C )	Complejo
30	SL ₄ ( C )	Complejo

Notas

^ † El grupoRno es simple como grupo abstracto y, según la mayoría (pero no todas) las definiciones, este no es un grupo de Lie simple. La mayoría de los autores no cuentan su álgebra de Lie como un álgebra de Lie simple. Se enumera aquí para que la lista de espacios simétricos irreductibles simplemente conectados esté completa. Tenga en cuenta queRes el único espacio simétrico no compacto de este tipo sin un doble compacto (aunque tiene un cociente compactoS¹).

Otras lecturas

Besse, colectores de Einstein ISBN 0-387-15279-2
Helgason, geometría diferencial, grupos de Lie y espacios simétricos . ISBN 0-8218-2848-7
Fuchs y Schweigert, simetrías, álgebras de Lie y representaciones: un curso de posgrado para físicos. Cambridge University Press, 2003. ISBN 0-521-54119-0

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