Grupo de mentiras complejo - Complex Lie group

En geometría , un grupo de Lie complejo es un grupo de Lie sobre los números complejos; es decir, es una variedad analítica compleja que también es un grupo de tal manera que es holomórfica . Los ejemplos básicos son los grupos lineales generales sobre los números complejos . Un grupo de Lie complejo compacto conectado es precisamente un toro complejo (que no debe confundirse con el grupo de Lie complejo ). A cualquier grupo finito se le puede dar la estructura de un grupo de Lie complejo. Un grupo de Lie semisimple complejo es un grupo algebraico lineal . ${\ Displaystyle G \ times G \ to G, (x, y) \ mapsto xy ^ {- 1}}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {GL} _ {n} (\ mathbb {C})}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {*}}$

El álgebra de Lie de un grupo de Lie complejo es un álgebra de Lie compleja .

Ejemplos

Un espacio vectorial de dimensión finita sobre los números complejos (en particular, el álgebra de Lie compleja) es un grupo de Lie complejo de una manera obvia.
Un grupo de Lie complejo compacto conectado A de dimensión g tiene la forma donde L es un subgrupo discreto. De hecho, se puede demostrar que su álgebra de Lie es abeliana y luego es un morfismo sobreyectivo de grupos de Lie complejos, lo que muestra que A tiene la forma descrita. ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {g} / L}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {a}}}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {exp}: {\ mathfrak {a}} \ to A}$
${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C} ^ {*}, z \ mapsto e ^ {z}}$ es un ejemplo de un morfismo de grupos de Lie complejos que no proviene de un morfismo de grupos algebraicos. Dado que , este también es un ejemplo de una representación de un grupo de Lie complejo que no es algebraico. ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {*} = \ operatorname {GL} _ {1} (\ mathbb {C})}$
Sea X una variedad compleja compacta. Entonces, como en el caso real, es un grupo de Lie complejo cuya álgebra de Lie es . ${\ Displaystyle \ operatorname {Aut} (X)}$ ${\ Displaystyle \ Gamma (X, TX)}$
Sea K un grupo de Lie compacto conectado . Entonces existe un grupo único conectado complejo Lie G tal que (i) , y (ii) K es un subgrupo compacto maximal de G . Se llama la complejización de K . Por ejemplo, es la complejificación del grupo unitario . Si K está actuando en un compacto Kähler colector de X , entonces la acción de K se extiende a la de G . ${\ Displaystyle \ operatorname {Lie} (G) = \ operatorname {Lie} (K) \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {GL} _ {n} (\ mathbb {C})}$

Grupo algebraico lineal asociado a un grupo de Lie semisimple complejo

Sea G un grupo de Lie semisimple complejo. Entonces G admite una estructura natural de un grupo algebraico lineal como sigue: Sea ser el anillo de funciones holomorfas f en G tal que se extiende por un espacio vectorial de dimensión finita dentro del anillo de funciones holomorfas en G (aquí G actúa por la traducción de la izquierda: ) . Luego está el grupo algebraico lineal que, cuando se ve como una variedad compleja, es el G original . Más concretamente, elija una fiel representación de G . Entonces Zariski se cierra . ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle G \ cdot f}$ ${\ Displaystyle g \ cdot f (h) = f (g ^ {- 1} h)}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} (A)}$ ${\ Displaystyle \ rho: G \ to GL (V)}$ ${\ Displaystyle \ rho (G)}$ ${\ Displaystyle GL (V)}$