La Géométrie -La Géométrie
| Parte de una serie sobre |
| René Descartes |
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La Géométrie se publicó en 1637 como apéndice de Discours de la méthode ( Discurso sobre el método ), escrito por René Descartes . En el Discurso , presenta su método para obtener claridad sobre cualquier tema. La Géométrie y otros dos apéndices, también de Descartes, La Dioptrique ( Óptica ) y Les Météores ( Meteorología ), se publicaron con el Discurso para dar ejemplos de los tipos de éxitos que había logrado siguiendo su método (así como, quizás, considerando el clima social europeo contemporáneo de competitividad intelectual, para lucirse un poco ante un público más amplio).
El trabajo fue el primero en proponer la idea de unir álgebra y geometría en un solo tema e inventó una geometría algebraica llamada geometría analítica , que implica reducir la geometría a una forma de aritmética y álgebra y traducir formas geométricas en ecuaciones algebraicas. Para su época, esto fue innovador. También contribuyó a las ideas matemáticas de Leibniz y Newton y, por tanto, fue importante en el desarrollo del cálculo.
El texto
Este apéndice se divide en tres "libros".
El libro I se titula Problemas que pueden construirse mediante círculos y líneas rectas únicamente. En este libro, presenta la notación algebraica que todavía se usa en la actualidad. Las letras al final del alfabeto, es decir, x , y , z , etc. son para denotar variables desconocidas, mientras que las que están al comienzo del alfabeto, a , b , c , etc. denotan constantes. Introduce la notación exponencial moderna para las potencias (a excepción de los cuadrados, donde mantuvo la antigua tradición de escribir letras repetidas, como, por ejemplo, aa ). También rompe con la tradición griega de asociar potencias con referentes geométricos, un 2 con un área, un 3 con un volumen, etc., y los trata a todos como posibles longitudes de segmentos de línea. Estos dispositivos de notación le permiten describir una asociación de números con longitudes de segmentos de línea que podrían construirse con regla y compás . La mayor parte del resto de este libro está ocupada por la solución de Descartes a "los problemas de locus de Pappus ". Según Pappus, dadas tres o cuatro líneas en un plano, el problema es encontrar el lugar geométrico de un punto que se mueve de modo que el producto de las distancias desde dos de las líneas fijas (a lo largo de direcciones especificadas) sea proporcional al cuadrado de la distancia a la tercera línea (en el caso de tres líneas) o proporcional al producto de las distancias a las otras dos líneas (en el caso de cuatro líneas). Al resolver estos problemas y sus generalizaciones, Descartes toma dos segmentos de línea como desconocidos y los designa x e y . Los segmentos de línea conocidos se designan a , b , c , etc. La idea germinal de un sistema de coordenadas cartesiano se remonta a este trabajo.
En el segundo libro, titulado Sobre la naturaleza de las líneas curvas , Descartes describió dos tipos de curvas, llamadas por él geométricas y mecánicas . Las curvas geométricas son aquellas que ahora se describen mediante ecuaciones algebraicas en dos variables, sin embargo, Descartes las describió cinemáticamente y una característica esencial era que todos sus puntos podían obtenerse mediante la construcción de curvas de orden inferior. Esto representó una expansión más allá de lo que permitían las construcciones con regla y compás. Otras curvas como la cuadrícula y la espiral , donde solo algunos de cuyos puntos podían construirse, se denominaron mecánicas y no se consideraron aptas para el estudio matemático. Descartes también ideó un método algebraico para encontrar la normal en cualquier punto de una curva cuya ecuación se conoce. La construcción de las tangentes a la curva sigue fácilmente y Descartes aplicó este procedimiento algebraico para encontrar tangentes a varias curvas.
El tercer libro, Sobre la construcción de problemas sólidos y supersólidos , es más propiamente algebraico que geométrico y se refiere a la naturaleza de las ecuaciones y cómo pueden resolverse. Él recomienda que todos los términos de una ecuación se coloquen en un lado y se establezcan en 0 para facilitar la solución. Señala el teorema del factor para polinomios y da una prueba intuitiva de que un polinomio de grado n tiene n raíces. Discutió sistemáticamente las raíces imaginarias y negativas de las ecuaciones y usó explícitamente lo que ahora se conoce como la regla de los signos de Descartes .
Secuelas
Descartes escribió La Géométrie en francés en lugar del idioma utilizado para la mayoría de las publicaciones académicas en ese momento, el latín. Su estilo de exposición estaba lejos de ser claro, el material no estaba ordenado de manera sistemática y generalmente solo daba indicaciones de pruebas, dejando muchos de los detalles al lector. Su actitud hacia la escritura está indicada por declaraciones como "No me comprometí a decirlo todo" o "Ya me cansa escribir tanto sobre ello", que ocurren con frecuencia. Descartes justifica sus omisiones y oscuridades con la observación de que mucho se omitió deliberadamente "para dar a otros el placer de descubrirlo por sí mismos".
A Descartes se le atribuye a menudo la invención del plano de coordenadas porque tenía los conceptos relevantes en su libro, sin embargo, en ninguna parte de La Géométrie aparece el moderno sistema de coordenadas rectangulares. Esta y otras mejoras fueron agregadas por matemáticos que se encargaron de aclarar y explicar el trabajo de Descartes.
Esta mejora del trabajo de Descartes fue realizada principalmente por Frans van Schooten , profesor de matemáticas en Leiden y sus estudiantes. Van Schooten publicó una versión latina de La Géométrie en 1649 y esto fue seguido por otras tres ediciones en 1659-1661, 1683 y 1693. La edición de 1659-1661 fue una obra de dos volúmenes más del doble de la longitud del original llena de explicaciones y ejemplos proporcionados por van Schooten y estos estudiantes. Uno de estos estudiantes, Johannes Hudde, proporcionó un método conveniente para determinar las raíces dobles de un polinomio, conocido como regla de Hudde , que había sido un procedimiento difícil en el método de las tangentes de Descartes. Estas ediciones establecieron la geometría analítica en el siglo XVII.
Ver también
Notas
Referencias
- Boyer, Carl B. (2004) [1956], Historia de la geometría analítica , Dover, ISBN 978-0-486-43832-0
- Burton, David M. (2011), La Historia de las Matemáticas / Una Introducción (7a ed.), McGraw Hill, ISBN 978-0-07-338315-6
- Descartes, René (2006) [1637]. Un discurso sobre el método de conducir correctamente la propia razón y buscar la verdad en las ciencias . Traducido por Ian Maclean. Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0-19-282514-3.
Otras lecturas
- Grosholz, Emily (1998). "Capítulo 4: Método cartesiano y la geometría ". En Georges JD Moyal (ed.). René Descartes: valoraciones críticas . Routledge. ISBN 0-415-02358-0.
- Hawking, Stephen W. (2005). "René Descartes". Dios creó los números enteros: los avances matemáticos que cambiaron la historia . Ejecutando Press. págs. 285 y sigs . ISBN 0-7624-1922-9.
- Serfati, M. (2005). "Capítulo 1: René Descartes, Géométrie, edición latina (1649), edición francesa (1637)". En I. Grattan-Guinness; Roger Cooke (eds.). Escritos emblemáticos en las matemáticas occidentales 1640-1940 . Elsevier. ISBN 0-444-50871-6.
- Smith, David E .; Latham, ML (1954) [1925]. La geometría de René Descartes . Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-60068-8.
enlaces externos
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Citas relacionadas con La Géométrie en Wikiquote - Proyecto Gutenberg copia de La Géométrie
- Bad OCR: copia de La Géométrie de la Biblioteca de la Universidad de Cornell
- Archive.org: La geometría de Rene Descartes
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