Campo Jacobi - Jacobi field

En la geometría de Riemann , un campo de Jacobi es un campo vectorial a lo largo de una geodésica en una variedad de Riemann que describe la diferencia entre la geodésica y una geodésica "infinitesimalmente cercana". En otras palabras, los campos de Jacobi a lo largo de una geodésica forman el espacio tangente a la geodésica en el espacio de todas las geodésicas. Llevan el nombre de Carl Jacobi . ${\ Displaystyle \ gamma}$

Definiciones y propiedades

Los campos de Jacobi se pueden obtener de la siguiente manera: Tome una familia de geodésicas de un parámetro suave con , luego ${\ Displaystyle \ gamma _ {\ tau}}$${\ Displaystyle \ gamma _ {0} = \ gamma}$

${\ Displaystyle J (t) = \ izquierda. {\ frac {\ parcial \ gamma _ {\ tau} (t)} {\ parcial \ tau}} \ derecha | _ {\ tau = 0}}$

es un campo de Jacobi y describe el comportamiento de las geodésicas en una vecindad infinitesimal de una geodésica dada . ${\ Displaystyle \ gamma}$

Se dice que un campo vectorial J a lo largo de una geodésica es un campo de Jacobi si satisface la ecuación de Jacobi : ${\ Displaystyle \ gamma}$

${\ Displaystyle {\ frac {D ^ {2}} {dt ^ {2}}} J (t) + R (J (t), {\ dot {\ gamma}} (t)) {\ dot {\ gamma}} (t) = 0,}$

donde D denota la derivada covariante con respecto a la conexión Levi-Civita , R el tensor de curvatura de Riemann , el campo vectorial tangente yt es el parámetro de la geodésica. En una variedad Riemanniana completa , para cualquier campo de Jacobi hay una familia de geodésicas que describen el campo (como en el párrafo anterior). ${\ Displaystyle {\ dot {\ gamma}} (t) = d \ gamma (t) / dt}$${\ Displaystyle \ gamma _ {\ tau}}$

La ecuación de Jacobi es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden ; en particular, los valores de y en un punto de determinan de forma única el campo de Jacobi. Además, el conjunto de campos de Jacobi a lo largo de una geodésica determinada forma un espacio vectorial real de dimensión dos veces mayor que la variedad. ${\ Displaystyle J}$${\ Displaystyle {\ frac {D} {dt}} J}$${\ Displaystyle \ gamma}$

Como ejemplos triviales de los campos de Jacobi se pueden considerar y . Corresponden respectivamente a las siguientes familias de reparametrizaciones: y . ${\ Displaystyle {\ dot {\ gamma}} (t)}$${\ Displaystyle t {\ dot {\ gamma}} (t)}$${\ Displaystyle \ gamma _ {\ tau} (t) = \ gamma (\ tau + t)}$${\ Displaystyle \ gamma _ {\ tau} (t) = \ gamma ((1+ \ tau) t)}$

Cualquier campo de Jacobi se puede representar de forma única como una suma , donde es una combinación lineal de campos de Jacobi triviales y es ortogonal a , para todos . El campo corresponde entonces a la misma variación de geodésicas que , solo que con parametrizaciones modificadas. ${\ Displaystyle J}$${\ Displaystyle T + I}$${\ Displaystyle T = a {\ dot {\ gamma}} (t) + bt {\ dot {\ gamma}} (t)}$${\ Displaystyle I (t)}$${\ Displaystyle {\ dot {\ gamma}} (t)}$${\ Displaystyle t}$${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle J}$

Ejemplo motivador

En una esfera , las geodésicas a través del polo norte son grandes círculos . Considere dos geodésicas de este tipo y con parámetro natural , separadas por un ángulo . La distancia geodésica ${\ Displaystyle \ gamma _ {0}}$${\ Displaystyle \ gamma _ {\ tau}}$${\ Displaystyle t \ in [0, \ pi]}$${\ Displaystyle \ tau}$

${\ Displaystyle d (\ gamma _ {0} (t), \ gamma _ {\ tau} (t)) \,}$

es

${\ Displaystyle d (\ gamma _ {0} (t), \ gamma _ {\ tau} (t)) = \ sin ^ {- 1} {\ bigg (} \ sin t \ sin \ tau {\ sqrt { 1+ \ cos ^ {2} t \ tan ^ {2} (\ tau / 2)}} {\ bigg)}.}$

Calcular esto requiere conocer las geodésicas. La información más interesante es solo que

${\ Displaystyle d (\ gamma _ {0} (\ pi), \ gamma _ {\ tau} (\ pi)) = 0 \,}$, para cualquiera .${\ Displaystyle \ tau}$

En cambio, podemos considerar la derivada con respecto a en : ${\ Displaystyle \ tau}$${\ Displaystyle \ tau = 0}$

${\ displaystyle {\ frac {\ parcial} {\ parcial \ tau}} {\ bigg |} _ {\ tau = 0} d (\ gamma _ {0} (t), \ gamma _ {\ tau} (t )) = | J (t) | = \ sin t.}$

Observe que todavía detectamos la intersección de las geodésicas en . Observe además que para calcular esta derivada no necesitamos saber ${\ Displaystyle t = \ pi}$

${\ Displaystyle d (\ gamma _ {0} (t), \ gamma _ {\ tau} (t)) \,}$,

más bien, todo lo que necesitamos hacer es resolver la ecuación

${\ Displaystyle y '' + y = 0 \,}$,

para algunos datos iniciales dados.

Los campos de Jacobi dan una generalización natural de este fenómeno a las variedades riemannianas arbitrarias .

Resolver la ecuación de Jacobi

Deje y complete esto para obtener una base ortonormal en . En paralelo, transpórtelo para obtener una base todo el tiempo . Esto le da una base ortonormal con . El campo de Jacobi se puede escribir en coordenadas en términos de esta base como y por lo tanto ${\ Displaystyle e_ {1} (0) = {\ dot {\ gamma}} (0) / | {\ dot {\ gamma}} (0) |}$${\ Displaystyle {\ big \ {} e_ {i} (0) {\ big \}}}$${\ Displaystyle T _ {\ gamma (0)} M}$${\ Displaystyle \ {e_ {i} (t) \}}$${\ Displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle e_ {1} (t) = {\ dot {\ gamma}} (t) / | {\ dot {\ gamma}} (t) |}$${\ Displaystyle J (t) = y ^ {k} (t) e_ {k} (t)}$

${\ Displaystyle {\ frac {D} {dt}} J = \ sum _ {k} {\ frac {dy ^ {k}} {dt}} e_ {k} (t), \ quad {\ frac {D ^ {2}} {dt ^ {2}}} J = \ sum _ {k} {\ frac {d ^ {2} y ^ {k}} {dt ^ {2}}} e_ {k} (t ),}$

y la ecuación de Jacobi se puede reescribir como un sistema

${\ Displaystyle {\ frac {d ^ {2} y ^ {k}} {dt ^ {2}}} + | {\ dot {\ gamma}} | ^ {2} \ sum _ {j} y ^ { j} (t) \ langle R (e_ {j} (t), e_ {1} (t)) e_ {1} (t), e_ {k} (t) \ rangle = 0}$

para cada uno . De esta forma obtenemos una ecuación diferencial ordinaria lineal (EDO). Dado que esta EDO tiene coeficientes suaves , tenemos que las soluciones existen para todos y son únicas, dadas y , para todos . ${\ Displaystyle k}$ ${\ Displaystyle t}$${\ Displaystyle y ^ {k} (0)}$${\ Displaystyle {y ^ {k}} '(0)}$${\ Displaystyle k}$

Ejemplos

Considere un geodésica con marco ortonormal paralelo , , construido como anteriormente. ${\ Displaystyle \ gamma (t)}$${\ Displaystyle e_ {i} (t)}$${\ Displaystyle e_ {1} (t) = {\ dot {\ gamma}} (t) / | {\ dot {\ gamma}} |}$

• Los campos vectoriales a lo largo dados por y son campos de Jacobi.${\ Displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle {\ dot {\ gamma}} (t)}$${\ Displaystyle t {\ dot {\ gamma}} (t)}$
• En el espacio euclidiano (así como para espacios de curvatura de sección cero constante ), los campos de Jacobi son simplemente aquellos campos lineales en .${\ Displaystyle t}$
• Para variedades de Riemann de curvatura seccional negativa constante , cualquier campo de Jacobi es una combinación lineal de , y , donde .${\ Displaystyle -k ^ {2}}$${\ Displaystyle {\ dot {\ gamma}} (t)}$${\ Displaystyle t {\ dot {\ gamma}} (t)}$${\ Displaystyle \ exp (\ pm kt) e_ {i} (t)}$${\ Displaystyle i> 1}$
• Por variedades de Riemann de curvatura seccional positiva constante , cualquier campo de Jacobi es una combinación lineal de , , y , donde .${\ Displaystyle k ^ {2}}$${\ Displaystyle {\ dot {\ gamma}} (t)}$${\ Displaystyle t {\ dot {\ gamma}} (t)}$${\ Displaystyle \ sin (kt) e_ {i} (t)}$${\ Displaystyle \ cos (kt) e_ {i} (t)}$${\ Displaystyle i> 1}$
• La restricción de un campo vectorial Killing a una geodésica es un campo de Jacobi en cualquier variedad de Riemann.

Ver también

• Puntos conjugados
• Ecuación de desviación geodésica
• Teorema de comparación de Rauch
• Campo N-Jacobi

Referencias

• Manfredo Perdigão do Carmo . Geometría riemanniana. Traducido de la segunda edición portuguesa de Francis Flaherty. Matemáticas: teoría y aplicaciones. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1992. xiv + 300 págs. ISBN  0-8176-3490-8
• Jeff Cheeger y David G. Ebin . Teoremas de comparación en geometría riemanniana. Reimpresión revisada del original de 1975. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2008. x + 168 págs. ISBN  978-0-8218-4417-5
• Shoshichi Kobayashi y Katsumi Nomizu . Fundamentos de la geometría diferencial. Vol. II. Reimpresión del original de 1969. Biblioteca de clásicos de Wiley. Una publicación de Wiley-Interscience. John Wiley & Sons, Inc., Nueva York, 1996. xvi + 468 págs. ISBN  0-471-15732-5
• Barrett O'Neill . Geometría semi-riemanniana. Con aplicaciones a la relatividad. Matemáticas puras y aplicadas, 103. Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], Nueva York, 1983. xiii + 468 págs. ISBN  0-12-526740-1