Óptica de Fourier - Fourier optics

La óptica de Fourier es el estudio de la óptica clásica utilizando transformadas de Fourier (FT), en las que la forma de onda considerada se considera formada por una combinación o superposición de ondas planas. Tiene algunos paralelos con el principio de Huygens-Fresnel , en el que se considera que el frente de onda está formado por una combinación de frentes de onda esféricos (también llamados frentes de fase) cuya suma es el frente de onda que se está estudiando. Una diferencia clave es que la óptica de Fourier considera que las ondas planas son modos naturales del medio de propagación, a diferencia de Huygens-Fresnel, donde las ondas esféricas se originan en el medio físico.

Un frente de fase curvo puede sintetizarse a partir de un número infinito de estos "modos naturales", es decir, a partir de frentes de fase de onda plana orientados en diferentes direcciones en el espacio. Lejos de sus fuentes, una onda esférica en expansión es localmente tangente a un frente de fase plana (una onda plana única fuera del espectro infinito), que es transversal a la dirección radial de propagación. En este caso, se crea un patrón de difracción de Fraunhofer , que emana de un único centro de fase de onda esférica. En el campo cercano, no existe un único centro de fase de onda esférica bien definido, por lo que el frente de onda no es localmente tangente a una bola esférica. En este caso, se crearía un patrón de difracción de Fresnel , que emana de una fuente extendida , que consiste en una distribución de fuentes de ondas esféricas (identificables físicamente) en el espacio. En el campo cercano, es necesario un espectro completo de ondas planas para representar la onda de campo cercano de Fresnel, incluso localmente . Una ola "ancha" que se mueve hacia adelante (como una ola del océano en expansión que se acerca a la costa) se puede considerar como un número infinito de " modos de onda plana ", todos los cuales podrían (cuando chocan con algo en el camino) dispersarse independientemente de uno. otro. Estas simplificaciones y cálculos matemáticos son el ámbito del análisis y la síntesis de Fourier ; juntos, pueden describir lo que sucede cuando la luz pasa a través de varias rendijas, lentes o espejos curvados de una forma u otra, o se refleja total o parcialmente.

La óptica de Fourier forma gran parte de la teoría detrás de las técnicas de procesamiento de imágenes , además de encontrar aplicaciones en las que es necesario extraer información de fuentes ópticas como la óptica cuántica . Para decirlo de una manera un poco más compleja, similar al concepto de frecuencia y tiempo utilizado en la teoría tradicional de la transformada de Fourier , la óptica de Fourier hace uso del dominio de frecuencia espacial ( k _x , k _y ) como el conjugado de lo espacial ( x , y ) dominio. Se utilizan comúnmente términos y conceptos como teoría de la transformación, espectro, ancho de banda, funciones de ventana y muestreo del procesamiento de señales unidimensionales .

Propagación de la luz en medios homogéneos y sin fuentes

La luz se puede describir como una forma de onda que se propaga a través de un espacio libre (vacío) o un medio material (como aire o vidrio). Matemáticamente, un componente de valor real de un campo vectorial que describe una onda está representado por una función de onda escalar u que depende tanto del espacio como del tiempo:

${\ Displaystyle u = u (\ mathbf {r}, t)}$

dónde

${\ Displaystyle \ mathbf {r} = (x, y, z)}$

representa una posición en un espacio tridimensional (en el sistema de coordenadas cartesiano aquí), y t representa el tiempo.

La ecuación de onda

La óptica de Fourier comienza con la ecuación de onda escalar homogénea (válida en regiones libres de fuente):

${\ Displaystyle \ left (\ nabla ^ {2} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial {t} ^ {2}}} \ right) u (\ mathbf {r}, t) = 0.}$

donde es la velocidad de la luz y u ( r , t ) es una de valor real componente cartesiana de una onda que se propaga electromagnética a través de un espacio libre (por ejemplo, u ( r , t ) = E _i ( r , t ) para i = x , y , oz donde E _i es el componente del eje i de un campo eléctrico E en el sistema de coordenadas cartesianas ). ${\ Displaystyle c}$

Estado estable sinusoidal

Si se asume luz de una frecuencia fija en tiempo / longitud de onda / color (como de un láser monomodo), entonces, con base en la convención de tiempo de ingeniería, que asume una dependencia del tiempo en las soluciones de onda a la frecuencia angular con donde es un tiempo período de las ondas, la forma armónica de tiempo del campo óptico se da como ${\ Displaystyle e ^ {i \ omega t}}$${\ Displaystyle \ omega = 2 \ pi f}$${\ Displaystyle f = 1 / \ tau}$${\ Displaystyle \ tau}$

${\ Displaystyle u (\ mathbf {r}, t) = \ mathrm {Re} \ left \ {\ psi (\ mathbf {r}) e ^ {i \ omega t} \ right \}}$.

donde es la unidad imaginaria , es el operador tomando la parte real de , ${\ Displaystyle i}$${\ Displaystyle \ mathrm {Re} \ left \ {x \ right \}}$${\ Displaystyle x}$

${\ Displaystyle \ omega = 2 \ pi f}$

es la frecuencia angular (en radianes por unidad de tiempo) de las ondas de luz, y

${\ Displaystyle \ psi (\ mathbf {r}) = a (\ mathbf {r}) e ^ {i \ phi (\ mathbf {r})}}$

es, en general, una cantidad compleja , con amplitud separada en número real no negativo y fase . ${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle \ phi}$

La ecuación de Helmholtz

La sustitución de esta expresión en la ecuación de onda escalar anterior produce la forma independiente del tiempo de la ecuación de onda,

${\ Displaystyle \ mathrm {Re} \ left \ {\ left (\ nabla ^ {2} + k ^ {2} \ right) \ psi (\ mathbf {r}) \ right \} = 0}$

dónde

${\ Displaystyle k = {\ omega \ over c} = {2 \ pi \ over \ lambda}}$

con la longitud de onda en el vacío, es el número de onda (también llamado constante de propagación), es la parte espacial de un componente cartesiano de valor complejo de una onda electromagnética. Tenga en cuenta que la constante de propagación y la frecuencia angular están relacionadas linealmente entre sí, una característica típica de las ondas electromagnéticas transversales (TEM) en medios homogéneos. ${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle \ psi (\ mathbf {r})}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle \ omega}$

Dado que la solución de valor real originalmente deseada de la ecuación de onda escalar se puede obtener simplemente tomando la parte real de , resolver la siguiente ecuación, conocida como la ecuación de Helmholtz , se refiere principalmente a que tratar una función de valor complejo es a menudo mucho más fácil que tratando la función de valor real correspondiente. ${\ Displaystyle u (\ mathbf {r}, t)}$${\ Displaystyle \ psi (\ mathbf {r}) e ^ {i \ omega t}}$

${\ Displaystyle \ left (\ nabla ^ {2} + k ^ {2} \ right) \ psi (\ mathbf {r}) = 0}$.

Resolver la ecuación de Helmholtz

Las soluciones a la ecuación de Helmholtz en el sistema de coordenadas cartesianas se pueden encontrar fácilmente mediante el principio de separación de variables para ecuaciones diferenciales parciales . Este principio dice que en coordenadas ortogonales separables , una solución de producto elemental para esta ecuación de onda puede construirse de la siguiente forma:

${\ Displaystyle \ psi (x, y, z) = f_ {x} (x) \ times f_ {y} (y) \ times f_ {z} (z)}$

es decir, como el producto de una función de x , por una función de y , por una función de z . Si esta solución de producto elemental se sustituye en la ecuación de onda, utilizando el laplaciano escalar en el sistema de coordenadas cartesianas

${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ psi = {\ frac {\ parcial ^ {2} \ psi} {\ parcial x ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} \ psi} { \ y parcial ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} \ psi} {\ parcial z ^ {2}}}}$

, entonces se obtiene la siguiente ecuación para las 3 funciones individuales

${\ Displaystyle f '' _ {x} (x) f_ {y} (y) f_ {z} (z) + f_ {x} (x) f '' _ {y} (y) f_ {z} ( z) + f_ {x} (x) f_ {y} (y) f '' _ {z} (z) + k ^ {2} f_ {x} (x) f_ {y} (y) f_ {z } (z) = 0 \,}$

que se reorganiza fácilmente en la forma:

${\ Displaystyle {\ frac {f '' _ {x} (x)} {f_ {x} (x)}} + {\ frac {f '' _ {y} (y)} {f_ {y} ( y)}} + {\ frac {f '' _ {z} (z)} {f_ {z} (z)}} + k ^ {2} = 0}$

Ahora se puede argumentar que cada cociente en la ecuación anterior debe, necesariamente, ser constante. Para justificar esto, digamos que el primer cociente no es una constante y es una función de x . Dado que ninguno de los otros términos de la ecuación tiene dependencia de la variable x , el primer término tampoco debe tener dependencia de x ; debe ser una constante. (Si el primer término es una función de x , entonces no hay forma de hacer que el lado izquierdo de esta ecuación sea cero). Esta constante se denota como - k _x ². Razonamiento de una manera similar para el y y z cocientes, tres ecuaciones diferenciales ordinarias se obtienen para el f _x , f _y y f _z , junto con una condición de separación :

${\ Displaystyle {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} f_ {x} (x) + k_ {x} ^ {2} f_ {x} (x) = 0}$

${\ Displaystyle {\ frac {d ^ {2}} {dy ^ {2}}} f_ {y} (y) + k_ {y} ^ {2} f_ {y} (y) = 0}$

${\ Displaystyle {\ frac {d ^ {2}} {dz ^ {2}}} f_ {z} (z) + k_ {z} ^ {2} f_ {z} (z) = 0}$

${\ Displaystyle k_ {x} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} + k_ {z} ^ {2} = k ^ {2}}$

Cada una de estas 3 ecuaciones diferenciales tiene la misma forma de solución: senos, cosenos o exponenciales complejas. Iremos con el exponencial complejo como si fuera una función compleja. Como resultado, la solución de producto elemental es ${\ Displaystyle \ psi (x, y, z)}$${\ Displaystyle \ psi (x, y, z)}$

${\ Displaystyle \ psi (x, y, z) = Ae ^ {ik_ {x} x} e ^ {ik_ {y} y} e ^ {ik_ {z} z}}$

${\ Displaystyle = Ae ^ {i (k_ {x} x + k_ {y} y)} e ^ {ik_ {z} z}}$

${\ Displaystyle = Ae ^ {i (k_ {x} x + k_ {y} y)} e ^ {\ pm iz {\ sqrt {k ^ {2} -k_ {x} ^ {2} -k_ {y } ^ {2}}}}}$

con un número generalmente complejo . Esta solución es la parte espacial de un valor complejo componente cartesiano (por ejemplo, , , o como el componente de campo eléctrico a lo largo de cada eje en el sistema de coordenadas cartesianas ) de una onda plana que se propaga. ( ,, o ) es un número real aquí, ya que se ha supuesto que las ondas en un medio libre de fuente, por lo que cada onda plana no decae ni se amplifica a medida que se propaga en el medio. El signo negativo de ( , o ) en un vector de onda (donde ) significa que el vector de onda dirección de propagación tiene un efecto positivo ( , o ) componente z, mientras que el signo positivo de medios un negativo ( , o ) componente z de ese vector. ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle E_ {x}}$${\ Displaystyle E_ {y}}$${\ Displaystyle E_ {z}}$${\ Displaystyle k_ {i}}$${\ Displaystyle i = x}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle z}$${\ Displaystyle k_ {i}}$${\ Displaystyle i = x}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle z}$${\ Displaystyle {\ vec {k}} = k_ {x} {\ widehat {x}} + k_ {y} {\ widehat {y}} + k_ {z} {\ widehat {z}}}$${\ Displaystyle \ left \ vert {\ vec {k}} \ right \ vert = k = {\ omega \ over c} = {2 \ pi \ over \ lambda}}$${\ Displaystyle i}$${\ Displaystyle i = x}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle z}$${\ Displaystyle k_ {i}}$${\ Displaystyle i}$${\ Displaystyle i = x}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle z}$

Las soluciones de producto de la ecuación de Helmholtz también se obtienen fácilmente en coordenadas cilíndricas y esféricas , lo que produce armónicos cilíndricos y esféricos (y los sistemas de coordenadas separables restantes se utilizan con mucha menos frecuencia).

La solución completa: la integral de superposición

Una solución general a la ecuación de onda electromagnética homogénea a una frecuencia de tiempo fija en el sistema de coordenadas cartesianas puede formarse como una superposición ponderada de todas las posibles soluciones de onda del plano elemental como ${\ Displaystyle f}$

${\ Displaystyle \ psi (x, y, z) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ Psi _ {0} (k_ { x}, k_ {y}) ~ e ^ {i (k_ {x} x + k_ {y} y)} ~ e ^ {\ pm iz {\ sqrt {k ^ {2} -k_ {x} ^ { 2} -k_ {y} ^ {2}}}} ~ dk_ {x} dk_ {y} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (2.1)}$

con las limitaciones de , cada uno como un número real y dónde . ${\ Displaystyle k_ {x} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} + k_ {z} ^ {2} = k ^ {2}}$${\ Displaystyle k_ {i}}$${\ Displaystyle k = {\ omega \ over c} = {2 \ pi \ over \ lambda}}$${\ Displaystyle \ omega = 2 \ pi f}$

A continuación, deja

${\ Displaystyle \ psi _ {0} (x, y) = \ psi (x, y, z) | _ {z = 0}}$.

Luego:

${\ Displaystyle \ psi _ {0} (x, y) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ Psi _ {0} ( k_ {x}, k_ {y}) ~ e ^ {i (k_ {x} x + k_ {y} y)} ~ dk_ {x} dk_ {y}}$

Esta representación del espectro de ondas planas de un campo electromagnético general (por ejemplo, una onda esférica) es la base básica de la óptica de Fourier (este punto no se puede enfatizar lo suficiente), porque cuando z = 0, la ecuación anterior simplemente se convierte en una transformada de Fourier (FT ) relación entre el campo y su contenido de onda plana (de ahí el nombre, "óptica de Fourier").

Por lo tanto:

${\ Displaystyle \ Psi _ {0} (k_ {x}, k_ {y}) = {\ mathcal {F}} \ {\ psi _ {0} (x, y) \}}$

y

${\ Displaystyle \ psi _ {0} (x, y) = {\ mathcal {F}} ^ {- 1} \ {\ Psi _ {0} (k_ {x}, k_ {y}) \}}$

Toda la dependencia espacial de cada componente de onda plana se describe explícitamente mediante una función exponencial. El coeficiente de la exponencial es una función de solo dos componentes del vector de onda para cada onda plana (ya que el otro componente restante se puede determinar mediante las restricciones mencionadas anteriormente), por ejemplo y , al igual que en el análisis de Fourier ordinario y las transformadas de Fourier . ${\ Displaystyle k_ {x}}$${\ Displaystyle k_ {y}}$

Conexión entre la óptica de Fourier y la resolución de imágenes

Consideremos un sistema de imágenes en el que el eje z es el eje óptico del sistema y el plano del objeto (que se va a obtener en el plano de la imagen del sistema) es el plano en . En el plano del objeto, la parte espacial de un componente cartesiano de valor complejo de una onda es, como se muestra arriba, con las restricciones de , cada uno como un número real, y dónde . La imagen es la reconstrucción de una onda en el plano del objeto (que tiene información sobre un patrón en el plano del objeto que se va a crear la imagen) en el plano de la imagen a través de la propagación de onda adecuada desde el objeto a los planos de la imagen (p. Ej., Piense en la imagen de una imagen en un espacio aéreo.) y la onda en el plano del objeto, que sigue completamente el patrón que se va a representar, se describe en principio mediante la transformada inversa de Fourier sin restricciones, donde toma un rango infinito de números reales. Significa que, para una frecuencia de luz dada, sólo una parte de la característica completa del patrón se puede obtener como imagen debido a las restricciones mencionadas anteriormente sobre ; (1) una característica fina cuya representación en la transformada de Fourier inversa requiere frecuencias espaciales , donde los números de onda transversal son satisfactorios , no se puede obtener una imagen completa ya que las ondas con tales no existen para la luz dada de (Este fenómeno se conoce como el límite de difracción .), y (2) frecuencias espaciales con ángulos de salida de onda tan altos pero cercanos con respecto al eje óptico, requieren un sistema de imágenes de alta NA ( apertura numérica ) que es costoso y difícil de construir. Para (1), incluso si se permiten números de onda longitudinales con valores complejos (por una interacción desconocida entre la luz y el patrón del plano del objeto que generalmente es un material sólido), da lugar a la desintegración de la luz a lo largo del eje (la amplificación de la luz a lo largo del eje no lo hace). físicamente tiene sentido si no hay material de amplificación entre el objeto y los planos de la imagen, y este es un caso habitual), por lo que las ondas con tal pueden no alcanzar el plano de la imagen que suele estar lo suficientemente lejos del plano del objeto. ${\ Displaystyle \ Displaystyle z = 0}$${\ Displaystyle \ psi _ {0} (x, y) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ Psi _ {0} ( k_ {x}, k_ {y}) ~ e ^ {i (k_ {x} x + k_ {y} y)} ~ dk_ {x} dk_ {y}}$${\ Displaystyle k_ {x} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} + k_ {z} ^ {2} = k ^ {2}}$${\ Displaystyle k_ {i}}$${\ Displaystyle k = {\ omega \ over c} = {2 \ pi \ over \ lambda}}$${\ Displaystyle \ omega = 2 \ pi f}$${\ Displaystyle \ psi _ {0, unc} (x, y) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ Psi _ {0 } (k_ {x}, k_ {y}) ~ e ^ {i (k_ {x} x + k_ {y} y)} ~ dk_ {x} dk_ {y}}$${\ Displaystyle k_ {i}}$${\ Displaystyle k_ {i}}$${\ displaystyle {\ frac {\ displaystyle k_ {T}} {2 \ pi}}}$${\ Displaystyle \ Displaystyle k_ {T}}$${\ Displaystyle \ Displaystyle k_ {T} ^ {2} = k_ {x} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} \ geq k ^ {2}}$${\ Displaystyle \ Displaystyle k_ {T}}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle k_ {T} <k}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle k_ {z}}$${\ Displaystyle k_ {z}}$${\ Displaystyle z}$${\ Displaystyle z}$${\ Displaystyle k_ {z}}$

En relación con la fotolitografía de componentes electrónicos, estas (1) y (2) son las razones por las que se requiere luz de una frecuencia más alta (longitud de onda más pequeña, por lo tanto mayor magnitud de ) o un sistema de imágenes NA más alto para obtener imágenes de características más finas de circuitos integrados en un fotorresistente en una oblea. Como resultado, las máquinas que realizan tal litografía óptica se han vuelto cada vez más complejas y caras, aumentando significativamente el costo de producción de componentes electrónicos. ${\ Displaystyle k}$

La aproximación paraxial

Propagación de ondas paraxiales (eje óptico asumido como eje z)

Se supone que una solución a la ecuación de Helmholtz como la parte espacial de un componente cartesiano de valor complejo de una onda de frecuencia única toma la forma:

${\ Displaystyle \ psi (\ mathbf {r}) = A (\ mathbf {r}) e ^ {- i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}}}$

donde esta el vector de onda , y ${\ Displaystyle \ mathbf {k}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} = k_ {x} \ mathbf {x} + k_ {y} \ mathbf {y} + k_ {z} \ mathbf {z}}$

y

${\ Displaystyle k = \ | \ mathbf {k} \ | = {\ sqrt {k_ {x} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} + k_ {z} ^ {2}}} = {\ omega \ over c}}$

es el número de oleada. A continuación, use la aproximación paraxial , que es una aproximación de ángulo pequeño tal que

${\ Displaystyle k_ {x} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} \ ll k_ {z} ^ {2}}$

entonces, hasta la aproximación de segundo orden de las funciones trigonométricas (es decir, tomando solo hasta el segundo término en la expansión de la serie de Taylor de cada función trigonométrica),

${\ Displaystyle \ sin \ theta \ approx \ theta}$

${\ Displaystyle \ tan \ theta \ approx \ theta}$

${\ Displaystyle \ cos \ theta \ approx 1- \ theta ^ {2} / 2}$

donde es el ángulo (en radianes) entre el vector de onda k y el eje z como el eje óptico de un sistema óptico en discusión. ${\ Displaystyle \ theta}$

Como resultado,

${\ Displaystyle k_ {z} = k \ cos \ theta \ approx k (1- \ theta ^ {2} / 2)}$

y

${\ Displaystyle \ psi (\ mathbf {r}) \ approx A (\ mathbf {r}) e ^ {- i (k_ {x} x + k_ {y} y)} e ^ {ikz \ theta ^ {2 } / 2} e ^ {- ikz}}$

La ecuación de onda paraxial

Sustituyendo esta expresión en la ecuación de Helmholtz, se deriva la ecuación de onda paraxial:

${\ Displaystyle \ nabla _ {T} ^ {2} A-2ik {\ parcial A \ sobre \ parcial z} = 0}$

dónde

${\ Displaystyle \ nabla _ {T} ^ {2} = \ nabla ^ {2} - {\ Particular ^ {2} \ over \ Partical z ^ {2}} = {\ Particular ^ {2} \ Over \ Particular x ^ {2}} + {\ parcial ^ {2} \ sobre \ parcial y ^ {2}}}$

es el operador transversal de Laplace en el sistema de coordenadas cartesianas . En la derivación de la ecuación de onda paraxial, se utilizan las siguientes aproximaciones.

• ${\ Displaystyle \ theta}$es pequeño ( ) por lo que se ignora un término con .${\ Displaystyle \ theta \ ll 1}$${\ Displaystyle \ theta ^ {2}}$
• Los términos con y son mucho más pequeños que un término con (o ), por lo que estos dos términos se ignoran.${\ Displaystyle 2k_ {x}}$${\ Displaystyle 2k_ {y}}$${\ displaystyle 2k}$${\ Displaystyle 2k_ {z}}$
• ${\ Displaystyle \ left \ vert {\ frac {{\ partial} ^ {2}} {\ partial {{z} ^ {2}}}} A (\ mathbf {r}) \ right \ vert \ ll \ left \ vert k {\ frac {\ parcial} {\ parcial {z}}} A (\ mathbf {r}) \ right \ vert}$por lo que se ignora un término con . Es la aproximación de envolvente que varía lentamente , lo que significa que la amplitud o envolvente de una onda varía lentamente en comparación con el período principal de la onda .${\ estilo de visualización {\ frac {{\ parcial} ^ {2}} {\ parcial {{z} ^ {2}}}} A (\ mathbf {r})}$${\ Displaystyle A (\ mathbf {r})}$${\ Displaystyle \ lambda = {\ frac {2 \ pi} {k}}}$

La aproximación de campo lejano

La ecuación anterior puede evaluarse asintóticamente en el campo lejano (utilizando el método de fase estacionaria ) para mostrar que el campo en el punto distante ( x , y , z ) se debe únicamente a la componente de onda plana ( k _x , k _y , k _z ) que se propaga en paralelo al vector ( x , y , z ), y cuyo plano es tangente al frente de fase en ( x , y , z ). Los detalles matemáticos de este proceso se pueden encontrar en Scott [1998] o Scott [1990]. El resultado de realizar una integración de fase estacionaria en la expresión anterior es la siguiente expresión,

${\ Displaystyle E_ {u} (r, \ theta, \ phi) ~ = ~ 2 \ pi i ~ (k ~ \ cos \ theta) ~ {\ frac {e ^ {- ikr}} {r}} ~ E_ {u} (k ~ \ sin \ theta ~ \ cos \ phi, k ~ \ sin \ theta ~ \ sin \ phi) ~~~~~~~~~~~~ (2.2)}$

lo que indica claramente que el campo en (x, y, z) es directamente proporcional al componente espectral en la dirección de (x, y, z), donde,

${\ Displaystyle x = r ~ \ sin \ theta ~ \ cos \ phi}$

${\ Displaystyle y = r ~ \ sin \ theta ~ \ sin \ phi}$

${\ Displaystyle z = r ~ \ cos \ theta ~}$

y

${\ Displaystyle k_ {x} = k ~ \ sin \ theta ~ \ cos \ phi}$

${\ Displaystyle k_ {y} = k ~ \ sin \ theta ~ \ sin \ phi}$

${\ Displaystyle k_ {z} = k ~ \ cos \ theta ~}$

Dicho de otra manera, el patrón de radiación de cualquier distribución de campo plana es el FT de esa distribución de fuente (ver el principio de Huygens-Fresnel , donde la misma ecuación se desarrolla usando un enfoque de función de Green ). Tenga en cuenta que esta NO es una onda plana. La dependencia radial es una onda esférica, tanto en magnitud como en fase, cuya amplitud local es la FT de la distribución del plano de la fuente en ese ángulo de campo lejano. El espectro de ondas planas no tiene nada que ver con decir que el campo se comporta como una onda plana para distancias lejanas. ${\ Displaystyle {\ frac {e ^ {- ikr}} {r}}}$

Ancho de banda espacial versus angular

La ecuación (2.2) anterior es fundamental para establecer la conexión entre el ancho de banda espacial (por un lado) y el ancho de banda angular (por otro lado), en el campo lejano. Tenga en cuenta que el término "campo lejano" generalmente significa que estamos hablando de una onda esférica convergente o divergente con un centro de fase bastante bien definido. La conexión entre el ancho de banda espacial y angular en el campo lejano es esencial para comprender la propiedad de filtrado de paso bajo de las lentes delgadas. Consulte la sección 5.1.3 para conocer la condición que define la región de campo lejano.

Una vez que se comprende el concepto de ancho de banda angular, el científico óptico puede "saltar de un lado a otro" entre los dominios espacial y espectral para obtener rápidamente conocimientos que normalmente no estarían tan fácilmente disponibles solo a través del dominio espacial o consideraciones de óptica de rayos. Por ejemplo, cualquier ancho de banda de la fuente que se encuentre más allá del ángulo de borde de la primera lente (este ángulo de borde establece el ancho de banda del sistema óptico) no será capturado por el sistema que se procesará.

Como nota al margen, los científicos electromagnéticos han ideado un medio alternativo para calcular el campo eléctrico de la zona lejana que no implica la integración de la fase estacionaria. Han ideado un concepto conocido como "corrientes magnéticas ficticias" generalmente denotado por M , y definido como

${\ Displaystyle ~~ \ mathbf {M} ~ = ~ 2 \ mathbf {E} ^ {aper} ~ \ times ~ \ mathbf {\ hat {z}}}$.

En esta ecuación, se supone que el vector unitario en la dirección z apunta hacia el medio espacio donde se realizarán los cálculos de campo lejano. Estas corrientes magnéticas equivalentes se obtienen utilizando principios de equivalencia que, en el caso de una interfaz plana infinita, permiten que cualquier corriente eléctrica, J sea ​​"captada" mientras que las corrientes magnéticas ficticias se obtienen a partir del doble del campo eléctrico de apertura (véase Scott [1998 ]). Luego, el campo eléctrico radiado se calcula a partir de las corrientes magnéticas usando una ecuación similar a la ecuación del campo magnético radiado por una corriente eléctrica. De esta manera, se obtiene una ecuación vectorial para el campo eléctrico radiado en términos del campo eléctrico de apertura y la derivación no requiere el uso de ideas de fase estacionaria.

El espectro de ondas planas: la base de la óptica de Fourier

La óptica de Fourier es algo diferente de la óptica de rayos ordinaria que se usa típicamente en el análisis y diseño de sistemas de imágenes enfocadas como cámaras, telescopios y microscopios. La óptica de rayos es el primer tipo de óptica que la mayoría de nosotros encontramos en nuestras vidas; es simple de conceptualizar y comprender, y funciona muy bien para obtener una comprensión básica de los dispositivos ópticos comunes. Desafortunadamente, la óptica de rayos no explica el funcionamiento de los sistemas ópticos de Fourier, que en general no son sistemas enfocados. La óptica de rayos es un subconjunto de la óptica de ondas (en la jerga, es "el límite asintótico de longitud de onda cero" de la óptica de ondas) y, por lo tanto, tiene una aplicabilidad limitada. Tenemos que saber cuándo es válido y cuándo no, y este es uno de esos momentos en los que no lo es. Para nuestra tarea actual, debemos ampliar nuestra comprensión de los fenómenos ópticos para abarcar la óptica de ondas, en la que el campo óptico se considera una solución a las ecuaciones de Maxwell. Esta óptica de ondas más general explica con precisión el funcionamiento de los dispositivos ópticos de Fourier.

En esta sección, no volveremos hasta las ecuaciones de Maxwell, sino que comenzaremos con la ecuación homogénea de Helmholtz (válida en medios libres de fuentes), que es un nivel de refinamiento por encima de las ecuaciones de Maxwell (Scott [1998]). ). A partir de esta ecuación, mostraremos cómo infinitas ondas planas uniformes comprenden una solución de campo (entre muchas posibles) en el espacio libre. Estas ondas planas uniformes forman la base para comprender la óptica de Fourier.

El concepto de espectro de onda plana es la base básica de la óptica de Fourier. El espectro de onda plana es un espectro continuo de ondas planas uniformes , y hay un componente de onda plana en el espectro para cada punto tangente en el frente de fase de campo lejano. La amplitud de ese componente de onda plana sería la amplitud del campo óptico en ese punto tangente. Nuevamente, esto es cierto solo en el campo lejano, definido como: Rango = 2 D ² / λ donde D es la extensión lineal máxima de las fuentes ópticas y λ es la longitud de onda (Scott [1998]). El espectro de onda plana a menudo se considera discreto para ciertos tipos de rejillas periódicas, aunque en realidad, los espectros de las rejillas también son continuos, ya que ningún dispositivo físico puede tener la extensión infinita necesaria para producir un espectro de línea verdadero.

Como en el caso de las señales eléctricas, el ancho de banda es una medida de cuán finamente detallada es una imagen; cuanto más fino sea el detalle, mayor será el ancho de banda necesario para representarlo. Una señal eléctrica de CC es constante y no tiene oscilaciones; una onda plana que se propaga en paralelo al eje óptico ( ) tiene un valor constante en cualquier plano x - y , y por lo tanto es análoga a la componente CC (constante) de una señal eléctrica. El ancho de banda en las señales eléctricas se relaciona con la diferencia entre las frecuencias más altas y más bajas presentes en el espectro de la señal. Para los sistemas ópticos , el ancho de banda también se relaciona con el contenido de frecuencia espacial (ancho de banda espacial), pero también tiene un significado secundario. También mide qué tan lejos del eje óptico están inclinadas las ondas planas correspondientes, por lo que este tipo de ancho de banda a menudo se denomina también ancho de banda angular. Se necesita más ancho de banda de frecuencia para producir un pulso corto en un circuito eléctrico, y más ancho de banda angular (o frecuencia espacial) para producir un punto nítido en un sistema óptico (consulte la discusión relacionada con la función de dispersión de puntos ). ${\ Displaystyle z}$

El espectro de onda plana surge de forma natural como la función propia o la solución de "modo natural" de la ecuación de onda electromagnética homogénea en coordenadas rectangulares (véase también Radiación electromagnética , que deriva la ecuación de onda de las ecuaciones de Maxwell en medios libres de fuentes, o Scott [1998]). . En el dominio de la frecuencia , con una convención de tiempo asumida de , la ecuación de onda electromagnética homogénea se conoce como la ecuación de Helmholtz y toma la forma: ${\ Displaystyle e ^ {i \ omega t}}$

${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} E_ {u} + k ^ {2} E_ {u} = 0 ~~~~~~~~~~~~~~ (2.0)}$

donde u = x , y , z y k = 2π / λ es el número de onda del medio.

Soluciones de función propia (modo natural): antecedentes y descripción general

En el caso de las ecuaciones diferenciales, como en el caso de las ecuaciones matriciales, siempre que el lado derecho de una ecuación sea cero (es decir, la función de fuerza / vector de fuerza es cero), la ecuación aún puede admitir una solución no trivial, conocida en matemáticas aplicadas como una solución de función propia , en física como una solución de "modo natural" y en la teoría de circuitos eléctricos como la "respuesta de entrada cero". Este es un concepto que abarca una amplia gama de disciplinas físicas. Los ejemplos físicos comunes de modos naturales resonantes incluirían los modos vibratorios resonantes de instrumentos de cuerda (1D), instrumentos de percusión (2D) o el antiguo Puente Tacoma Narrows (3D). Los ejemplos de modos naturales de propagación incluirían modos de guía de ondas , modos de fibra óptica , solitones y ondas de Bloch . Los medios homogéneos infinitos admiten las soluciones armónicas rectangulares, circulares y esféricas de la ecuación de Helmholtz, dependiendo del sistema de coordenadas considerado. Las ondas planas de propagación que estudiaremos en este artículo son quizás el tipo más simple de ondas de propagación que se encuentran en cualquier tipo de medio.

Existe una sorprendente similitud entre la ecuación de Helmholtz (2.0) anterior, que puede escribirse

${\ Displaystyle (\ nabla ^ {2} + k ^ {2}) ~ f = 0,}$

y la ecuación habitual para los autovalores / autovectores de una matriz cuadrada, A ,

${\ Displaystyle (\ mathbf {A} - \ lambda \ mathbf {I}) ~ \ mathbf {x} = 0}$ ,

particularmente dado que tanto el laplaciano escalar como la matriz, A son operadores lineales en sus respectivos espacios de función / vector (el signo menos en la segunda ecuación es, para todos los efectos, inmaterial; sin embargo, el signo más en la primera ecuación es significativo ). Quizás valga la pena señalar que las soluciones de función propia y de vector propio para estas dos ecuaciones, respectivamente, a menudo producen un conjunto ortogonal de funciones / vectores que abarcan (es decir, forman un conjunto de bases para) los espacios de función / vector en consideración. El lector interesado puede investigar otros operadores lineales funcionales que dan lugar a diferentes tipos de funciones propias ortogonales, como los polinomios de Legendre , los polinomios de Chebyshev y los polinomios de Hermite . ${\ Displaystyle \ nabla ^ {2}}$

En el caso de la matriz, los valores propios se pueden encontrar estableciendo el determinante de la matriz igual a cero, es decir, encontrando donde la matriz no tiene inversa. Las matrices finitas tienen sólo un número finito de valores propios / vectores propios, mientras que los operadores lineales pueden tener un número infinito contable de valores propios / funciones propias (en regiones confinadas) o espectros de soluciones incontables (continuos) infinitos, como en regiones ilimitadas. ${\ Displaystyle \ lambda}$

En ciertas aplicaciones de la física, como en el cálculo de bandas en un volumen periódico , a menudo ocurre que los elementos de una matriz serán funciones muy complicadas de frecuencia y número de onda, y la matriz no será singular para la mayoría de las combinaciones de frecuencia. y número de onda, pero también será singular para ciertas combinaciones específicas. Al encontrar qué combinaciones de frecuencia y número de onda llevan el determinante de la matriz a cero, se pueden determinar las características de propagación del medio. Las relaciones de este tipo, entre frecuencia y número de onda, se conocen como relaciones de dispersión y algunos sistemas físicos pueden admitir muchos tipos diferentes de relaciones de dispersión. Un ejemplo de electromagnetismo es la guía de ondas ordinaria, que puede admitir numerosas relaciones de dispersión, cada una asociada con un modo único de la guía de ondas. Cada modo de propagación de la guía de ondas se conoce como una solución de función propia (o solución de modo propio) para las ecuaciones de Maxwell en la guía de ondas. El espacio libre también admite soluciones de modo propio (modo natural) (conocidas más comúnmente como ondas planas), pero con la distinción de que para cualquier frecuencia dada, el espacio libre admite un espectro modal continuo, mientras que las guías de ondas tienen un espectro de modo discreto. En este caso la relación de dispersión es lineal, como en la sección 1.2.

K-espacio

La condición de separación,

${\ Displaystyle k_ {x} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} + k_ {z} ^ {2} = k ^ {2}}$

que es idéntica a la ecuación para la métrica euclidiana en el espacio de configuración tridimensional, sugiere la noción de un vector k en un "espacio k" tridimensional, definido (para propagar ondas planas) en coordenadas rectangulares como:

${\ Displaystyle \ mathbf {k} ~ = ~ k_ {x} \ mathbf {\ hat {x}} + k_ {y} \ mathbf {\ hat {y}} + k_ {z} \ mathbf {\ hat {z }}}$

y en el sistema de coordenadas esféricas como

${\ Displaystyle k_ {x} = k ~ \ sin \ theta ~ \ cos \ phi}$

${\ Displaystyle k_ {y} = k ~ \ sin \ theta ~ \ sin \ phi}$

${\ Displaystyle k_ {z} = k ~ \ cos \ theta ~}$

Se utilizarán estas relaciones del sistema de coordenadas esféricas en la siguiente sección.

La noción de espacio k es fundamental para muchas disciplinas de la ingeniería y la física, especialmente en el estudio de volúmenes periódicos, como la cristalografía y la teoría de bandas de los materiales semiconductores.

La transformada bidimensional de Fourier

Ecuación de análisis (calculando el espectro de la función):

${\ Displaystyle U (k_ {x}, k_ {y}) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} u (x, y) e ^ {-i (k_ {x} x + k_ {y} y)} dxdy}$

Ecuación de síntesis (reconstruyendo la función a partir de su espectro):

${\ Displaystyle u (x, y) = {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {2}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} U (k_ {x}, k_ {y}) e ^ {i (k_ {x} x + k_ {y} y)} dk_ {x} dk_ {y}}$

Nota : el factor de normalización de: está presente siempre que se usa la frecuencia angular (radianes), pero no cuando se usa la frecuencia ordinaria (ciclos). ${\ Displaystyle {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {2}}}}$

Sistemas ópticos: descripción general y analogía con los sistemas de procesamiento de señales eléctricas

Un sistema óptico consta de un plano de entrada, un plano de salida y un conjunto de componentes que transforma la imagen f formada en la entrada en una imagen diferente g formada en la salida. La imagen de salida se relaciona con la imagen de entrada convolucionando la imagen de entrada con la respuesta de impulso óptico, h (conocida como función de dispersión de puntos , para sistemas ópticos enfocados). La respuesta al impulso define de forma única el comportamiento de entrada-salida del sistema óptico. Por convención, el eje óptico del sistema se toma como el eje z . Como resultado, las dos imágenes y la respuesta de impulso son todas las funciones de las coordenadas transversales, x y y .

${\ Displaystyle g (x, y) = h (x, y) * f (x, y)}$

La respuesta al impulso de un sistema de imágenes ópticas es el campo del plano de salida que se produce cuando se coloca una fuente de luz puntual matemática ideal en el plano de entrada (generalmente en el eje). En la práctica, no es necesario tener una fuente puntual ideal para determinar una respuesta de impulso exacta. Esto se debe a que cualquier ancho de banda de la fuente que se encuentre fuera del ancho de banda del sistema no importará de todos modos (ya que ni siquiera puede ser capturado por el sistema óptico), por lo que no es necesario para determinar la respuesta al impulso. La fuente solo necesita tener al menos tanto ancho de banda (angular) como el sistema óptico.

Los sistemas ópticos suelen caer en una de dos categorías diferentes. El primero es el sistema de formación de imágenes ópticas enfocadas ordinarias, en el que el plano de entrada se denomina plano del objeto y el plano de salida se denomina plano de la imagen. Se desea que el campo en el plano de la imagen sea una reproducción de alta calidad del campo en el plano del objeto. En este caso, se desea que la respuesta al impulso del sistema óptico se aproxime a una función delta 2D, en la misma ubicación (o una ubicación escalada linealmente) en el plano de salida correspondiente a la ubicación del impulso en el plano de entrada. La respuesta de impulso real generalmente se asemeja a una función de Airy , cuyo radio es del orden de la longitud de onda de la luz utilizada. En este caso, la respuesta al impulso se denomina típicamente una función de dispersión de puntos , ya que el punto matemático de luz en el plano del objeto se ha extendido en una función de Airy en el plano de la imagen.

El segundo tipo es el sistema de procesamiento de imágenes ópticas, en el que se debe ubicar y aislar una característica significativa en el campo del plano de entrada. En este caso, se desea que la respuesta al impulso del sistema sea una réplica cercana (imagen) de esa característica que se está buscando en el campo del plano de entrada, de modo que una convolución de la respuesta al impulso (una imagen de la característica deseada) contra el campo del plano de entrada producirá un punto brillante en la ubicación de la característica en el plano de salida. Este último tipo de sistema de procesamiento de imágenes ópticas es el tema de esta sección. La sección 5.2 presenta una implementación de hardware de las operaciones de procesamiento de imágenes ópticas descritas en esta sección.

Plano de entrada

El plano de entrada se define como el lugar geométrico de todos los puntos de manera que z = 0. Por tanto, la imagen de entrada f es

${\ Displaystyle f (x, y) = U (x, y, z) {\ big |} _ {z = 0}}$

Plano de salida

El plano de salida se define como el lugar geométrico de todos los puntos tales que z = d . Por tanto, la imagen de salida g es

${\ Displaystyle g (x, y) = U (x, y, z) {\ big |} _ {z = d}}$

La convolución 2D de la función de entrada contra la función de respuesta al impulso

${\ Displaystyle g (x, y) ~ = ~ h (x, y) * f (x, y)}$

es decir,

${\ Displaystyle g (x, y) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (x-x ', y-y') ~ f (x ', y') ~ dx'dy '~~~~~~ (4.1) ~}$

El lector alerta notará que la integral anterior asume tácitamente que la respuesta al impulso NO es una función de la posición (x ', y') del impulso de luz en el plano de entrada (si este no fuera el caso, este tipo de convolución no sería posible). Esta propiedad se conoce como invariancia de desplazamiento (Scott [1998]). Ningún sistema óptico es perfectamente invariante en los cambios: a medida que el punto de luz matemático ideal se escanea alejándose del eje óptico, las aberraciones eventualmente degradarán la respuesta al impulso (conocida como coma en los sistemas de imágenes enfocadas). Sin embargo, los sistemas ópticos de alta calidad a menudo son "lo suficientemente invariantes en el desplazamiento" en ciertas regiones del plano de entrada, por lo que podemos considerar que la respuesta al impulso es una función únicamente de la diferencia entre las coordenadas del plano de entrada y de salida y, por lo tanto, utilizar la ecuación anterior con impunidad. .

Además, esta ecuación asume una unidad de aumento. Si hay aumento, entonces la ecuación. (4.1) se convierte en

${\ Displaystyle g (x, y) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h_ {M} (x-Mx ', y-My' ) ~ f (x ', y') ~ dx'dy '~~~~~~ (4.2) ~}$

que básicamente traduce la función de respuesta al impulso, h _M (), de x 'ax = Mx'. En (4.2), h _M () será una versión ampliada de la función de respuesta al impulso h () de un sistema similar no ampliado, de modo que h _M (x, y) = h (x / M, y / M).

Derivación de la ecuación de convolución

La extensión a dos dimensiones es trivial, excepto por la diferencia de que la causalidad existe en el dominio del tiempo, pero no en el dominio espacial. La causalidad significa que la respuesta al impulso h ( t - t ') de un sistema eléctrico, debido a un impulso aplicado en el tiempo t', debe necesariamente ser cero para todos los tiempos t de manera que t - t '<0.

Obtener la representación de convolución de la respuesta del sistema requiere representar la señal de entrada como una superposición ponderada sobre un tren de funciones de impulso mediante el uso de la propiedad de desplazamiento de las funciones delta de Dirac .

${\ Displaystyle f (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t-t ') f (t') dt '}$

Entonces se presume que el sistema considerado es lineal , es decir, que la salida del sistema debida a dos entradas diferentes (posiblemente en dos momentos diferentes) es la suma de las salidas individuales del sistema a las dos entradas, cuando introducido individualmente. Por tanto, el sistema óptico no puede contener materiales no lineales ni dispositivos activos (excepto posiblemente, dispositivos activos extremadamente lineales). La salida del sistema, para una única entrada de función delta, se define como la respuesta al impulso del sistema, h (t - t '). Y, por nuestra suposición de linealidad (es decir, que la salida del sistema a una entrada de tren de pulsos es la suma de las salidas debido a cada pulso individual), ahora podemos decir que la función de entrada general f ( t ) produce la salida:

${\ Displaystyle g (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (t-t ') f (t') dt '}$

donde h (t - t ') es la respuesta (impulso) del sistema lineal a la entrada de la función delta δ (t - t'), aplicada en el tiempo t '. Aquí es de donde proviene la ecuación de convolución anterior. La ecuación de convolución es útil porque a menudo es mucho más fácil encontrar la respuesta de un sistema a una entrada de función delta - y luego realizar la convolución anterior para encontrar la respuesta a una entrada arbitraria - que tratar de encontrar la respuesta a la entrada arbitraria directamente. Además, la respuesta al impulso (ya sea en dominios de tiempo o frecuencia) generalmente arroja información sobre las cifras relevantes de mérito del sistema. En el caso de la mayoría de las lentes, la función de dispersión de puntos (PSF) es una figura de mérito bastante común para fines de evaluación.

La misma lógica se utiliza en relación con el principio de Huygens-Fresnel , o formulación de Stratton-Chu, en la que la "respuesta al impulso" se conoce como la función de Green del sistema. Por tanto, la operación en el dominio espacial de un sistema óptico lineal es análoga al principio de Huygens-Fresnel.

Función de transferencia del sistema

Si la última ecuación anterior es transformada de Fourier, se convierte en:

${\ Displaystyle G (\ omega) ~ = ~ H (\ omega) \ cdot F (\ omega)}$

dónde

${\ Displaystyle G (\ omega) ~}$ es el espectro de la señal de salida

${\ Displaystyle H (\ omega) ~}$ es la función de transferencia del sistema

${\ Displaystyle F (\ omega) ~}$ es el espectro de la señal de entrada

De manera similar, (4.1) puede transformarse de Fourier para producir:

${\ Displaystyle G (k_ {x}, k_ {y}) ~ = ~ H (k_ {x}, k_ {y}) \ cdot F (k_ {x}, k_ {y})}$

La función de transferencia del sistema, . En imágenes ópticas, esta función se conoce mejor como función de transferencia óptica (Goodman) . ${\ Displaystyle H (\ omega)}$

Una vez más, puede observarse a partir de la discusión sobre la condición del seno de Abbe , que esta ecuación asume una unidad de aumento.

Esta ecuación adquiere su significado real cuando la transformada de Fourier, se asocia con el coeficiente de la onda plana cuyos números de onda transversales son . Por tanto, el espectro de ondas del plano de entrada se transforma en el espectro de ondas del plano de salida mediante la acción multiplicativa de la función de transferencia del sistema. Es en esta etapa de comprensión que los antecedentes previos sobre el espectro de ondas planas se vuelven invaluables para la conceptualización de los sistemas ópticos de Fourier. ${\ Displaystyle ~ G (k_ {x}, k_ {y})}$${\ Displaystyle ~ (k_ {x}, k_ {y})}$

Aplicaciones de los principios de la óptica de Fourier

La óptica de Fourier se utiliza en el campo del procesamiento de información óptica, cuyo elemento básico es el procesador 4F clásico.

Las propiedades de la transformada de Fourier de una lente proporcionan numerosas aplicaciones en el procesamiento de señales ópticas , como el filtrado espacial , la correlación óptica y los hologramas generados por computadora .

La teoría óptica de Fourier se utiliza en interferometría , pinzas ópticas , trampas de átomos y computación cuántica . Los conceptos de óptica de Fourier se utilizan para reconstruir la fase de intensidad de la luz en el plano de frecuencia espacial (ver algoritmo adaptativo-aditivo ).

Propiedad de transformación de Fourier de las lentes

Si un objeto transmisivo se coloca a una distancia focal frente a una lente , entonces su transformada de Fourier se formará una distancia focal detrás de la lente. Considere la figura de la derecha (haga clic para agrandar)

En esta figura, se supone una onda plana incidente desde la izquierda. La función de transmitancia en el plano focal frontal (es decir, Plano 1) modula espacialmente la onda del plano incidente en magnitud y fase, como en el lado izquierdo de la ecuación. (2.1) (especificado az = 0), y al hacerlo, produce un espectro de ondas planas correspondientes a la FT de la función de transmitancia, como en el lado derecho de la ecuación. (2.1) (para z > 0). Los diversos componentes de onda plana se propagan en diferentes ángulos de inclinación con respecto al eje óptico de la lente (es decir, el eje horizontal). Cuanto más finas sean las características de la transparencia, más amplio será el ancho de banda angular del espectro de ondas planas. Consideraremos uno de esos componentes de onda plana, que se propaga en un ángulo θ con respecto al eje óptico. Se supone que θ es pequeño ( aproximación paraxial ), por lo que

${\ Displaystyle {\ frac {k_ {x}} {k}} = \ sin \ theta \ simeq \ theta}$

y

${\ Displaystyle {\ frac {k_ {z}} {k}} = \ cos \ theta \ simeq 1 - {\ frac {\ theta ^ {2}} {2}}}$

y

${\ Displaystyle {\ frac {1} {\ cos \ theta}} \ simeq {\ frac {1} {1 - {\ frac {\ theta ^ {2}} {2}}}} \ simeq 1 + {\ frac {\ theta ^ {2}} {2}}}$

En la figura, la fase de onda plana , que se mueve horizontalmente desde el plano focal frontal al plano de la lente, es

${\ Displaystyle e ^ {ikf \ cos \ theta} \,}$

y la fase de onda esférica desde la lente hasta el punto en el plano focal posterior es:

${\ Displaystyle e ^ {ikf / \ cos \ theta} \,}$

y la suma de las dos longitudes de trayectoria es f (1 + θ ² /2 + 1 - θ ² /2) = 2 f es decir, es un valor constante, independiente del ángulo de inclinación, θ, para ondas planas paraxiales. Cada componente de onda del plano paraxial del campo en el plano focal frontal aparece como un punto de función de dispersión de puntos en el plano focal posterior, con una intensidad y fase iguales a la intensidad y fase del componente de onda plana original en el plano focal frontal. En otras palabras, el campo en el plano focal posterior es la transformada de Fourier del campo en el plano focal frontal.

Todos los componentes de FT se calculan simultáneamente, en paralelo, a la velocidad de la luz. Por ejemplo, la luz viaja a una velocidad de aproximadamente 1 pie (0,30 m). / ns, por lo que si una lente tiene 1 pie (0,30 m). distancia focal, se puede calcular un FT 2D completo en aproximadamente 2 ns (2 x 10 ⁻⁹ segundos). Si la distancia focal es de 1 pulgada, entonces el tiempo es inferior a 200 ps. Ninguna computadora electrónica puede competir con este tipo de números o tal vez alguna vez lo haya esperado, aunque las supercomputadoras en realidad pueden resultar más rápidas que la óptica, por improbable que parezca. Sin embargo, su velocidad se obtiene combinando numerosos ordenadores que, individualmente, siguen siendo más lentos que la óptica. La desventaja de la FT óptica es que, como muestra la derivación, la relación FT solo se cumple para ondas planas paraxiales, por lo que esta "computadora" FT está intrínsecamente limitada en banda. Por otro lado, dado que la longitud de onda de la luz visible es tan diminuta en relación incluso con las dimensiones de las características visibles más pequeñas en la imagen, es decir,

${\ Displaystyle k ^ {2} \ gg k_ {x} ^ {2} + k_ {y} ^ {2}}$

(para todo k _x , k _y dentro del ancho de banda espacial de la imagen, de modo que k _z es casi igual a k ), la aproximación paraxial no es terriblemente limitante en la práctica. Y, por supuesto, esta es una computadora analógica, no digital, por lo que la precisión es limitada. Además, la fase puede ser difícil de extraer; a menudo se infiere interferométricamente.

El procesamiento óptico es especialmente útil en aplicaciones en tiempo real donde se requiere un procesamiento rápido de cantidades masivas de datos 2D, particularmente en relación con el reconocimiento de patrones.

Truncamiento de objetos y fenómeno de Gibbs

El campo eléctrico modulado espacialmente, que se muestra en el lado izquierdo de la ecuación. (2.1), normalmente solo ocupa una abertura finita (normalmente rectangular) en el plano x, y. La función de apertura rectangular actúa como un filtro superior cuadrado 2D, donde se supone que el campo es cero fuera de este rectángulo 2D. Las integrales de dominio espacial para calcular los coeficientes FT en el lado derecho de la ecuación. (2.1) están truncados en el límite de esta apertura. Este truncamiento de pasos puede introducir inexactitudes tanto en los cálculos teóricos como en los valores medidos de los coeficientes de onda plana en el RHS de la ecuación. (2,1).

Siempre que una función se trunca de forma discontinua en un dominio FT, se introducen la ampliación y la ondulación en el otro dominio FT. Un ejemplo perfecto de la óptica está en conexión con la función de dispersión de puntos, que para la iluminación de onda plana en el eje de una lente cuadrática (con apertura circular), es una función Airy, J ₁ ( x ) / x . Literalmente, la fuente puntual se ha "extendido" (con ondas agregadas), para formar la función de dispersión puntual de Airy (como resultado del truncamiento del espectro de ondas planas por la apertura finita de la lente). Esta fuente de error se conoce como fenómeno de Gibbs y puede mitigarse simplemente asegurándose de que todo el contenido significativo se encuentre cerca del centro de la transparencia, o mediante el uso de funciones de ventana que reducen suavemente el campo a cero en los límites del marco. Según el teorema de convolución, la FT de una función de transparencia arbitraria, multiplicada (o truncada) por una función de apertura, es igual a la FT de la función de transparencia no truncada convolucionada contra la FT de la función de apertura, que en este caso se convierte en una tipo de "función verde" o "función de respuesta al impulso" en el dominio espectral. Por lo tanto, la imagen de una lente circular es igual a la función del plano del objeto convolucionada con la función Airy (la FT de una función de apertura circular es J ₁ ( x ) / x y la FT de una función de apertura rectangular es un producto de funciones sinc , sen x / x ).

Análisis de Fourier y descomposición funcional

Aunque la transparencia de entrada solo ocupa una porción finita del plano x - y (Plano 1), las ondas planas uniformes que comprenden el espectro de ondas planas ocupan todo el plano x - y , por lo que (para este propósito) solo el plano longitudinal Se debe considerar la fase de onda (en la dirección z , desde el plano 1 al plano 2), y no la fase transversal a la dirección z . Por supuesto, es muy tentador pensar que si una onda plana que emana de la apertura finita de la transparencia se inclina demasiado lejos de la horizontal, de alguna manera "perderá" la lente por completo, pero nuevamente, ya que la onda plana uniforme se extiende infinitamente lejos en todas las direcciones en el plano transversal ( x - y ), los componentes de onda plana no pueden pasar por alto la lente.

Este problema plantea quizás la dificultad predominante con el análisis de Fourier, a saber, que la función del plano de entrada, definida sobre un soporte finito (es decir, sobre su propia apertura finita), se aproxima con otras funciones (sinusoides) que tienen soporte infinito ( i . e ., se definen sobre toda la infinita x - y avión). Esto es increíblemente ineficiente computacionalmente, y es la razón principal por la que se concibieron las ondículas , es decir, para representar una función (definida en un intervalo o área finita) en términos de funciones oscilatorias que también se definen sobre áreas o intervalos finitos. Por lo tanto, en lugar de obtener el contenido de frecuencia de toda la imagen de una vez (junto con el contenido de frecuencia del resto completo del plano x - y , sobre el cual la imagen tiene valor cero), el resultado es el contenido de frecuencia de diferentes partes de la imagen, que suele ser mucho más simple. Desafortunadamente, las ondículas en el plano x - y no corresponden a ningún tipo conocido de función de onda de propagación, de la misma manera que las sinusoides de Fourier (en el plano x - y ) corresponden a funciones de onda planas en tres dimensiones. Sin embargo, las FT de la mayoría de las ondículas son bien conocidas y posiblemente se pueda demostrar que son equivalentes a algún tipo útil de campo de propagación.

Por otro lado, las funciones de Sinc y funciones de Airy - que son no sólo las funciones de dispersión de punto de aberturas rectangulares y circulares, respectivamente, pero son también funciones cardinales comúnmente utilizados para la descomposición funcional en la interpolación / teoría de muestreo [de Scott 1990] - hacer corresponden a ondas esféricas convergentes o divergentes y, por lo tanto, podría implementarse potencialmente como una descomposición funcional completamente nueva de la función del plano del objeto, lo que conduce a otro punto de vista similar en naturaleza a la óptica de Fourier. Esto sería básicamente lo mismo que la óptica de rayos convencional, pero con efectos de difracción incluidos. En este caso, cada función de dispersión de puntos sería un tipo de "píxel suave", de la misma manera que un solitón en una fibra es un "pulso suave".

Quizás una figura de mérito de la lente en este punto de vista de la "función de dispersión de puntos" sería preguntar qué tan bien una lente transforma una función Airy en el plano del objeto en una función Airy en el plano de la imagen, en función de la distancia radial desde la óptica. eje, o en función del tamaño del plano del objeto Función Airy. Esto es algo así como la función de dispersión de puntos, excepto que ahora realmente la estamos viendo como una especie de función de transferencia de plano de entrada a salida (como MTF), y no tanto en términos absolutos, en relación con un punto perfecto. De manera similar, las ondas gaussianas, que corresponderían a la cintura de un haz gaussiano en propagación, también podrían usarse potencialmente en otra descomposición funcional del campo del plano del objeto.

Rango de campo lejano y criterio 2D ² / λ

En la figura anterior, que ilustra la propiedad de transformación de Fourier de las lentes, la lente está en el campo cercano de la transparencia del plano del objeto, por lo tanto, el campo del plano del objeto en la lente puede considerarse como una superposición de ondas planas, cada una de las cuales se propaga en algún ángulo con respecto al eje z. En este sentido, el criterio de campo lejano se define vagamente como: Rango = 2 D ² / λ donde D es la extensión lineal máxima de las fuentes ópticas y λ es la longitud de onda (Scott [1998]). La D de la transparencia es del orden de cm (10 ^-2 m) y la longitud de onda de la luz es del orden de 10 ^-6 m, por lo tanto, D / λ para toda la transparencia es del orden de 10 ⁴ . Este multiplicado por D es del orden de 10 ² m, o cientos de metros. Por otro lado, la distancia de campo lejano desde un punto de PSF es del orden de λ. Esto se debe a que D para la mancha está en el orden de λ, de modo que D / λ está en el orden de la unidad; esto multiplicado por D (es decir, λ) es del orden de λ (10 ⁻⁶ m).

Dado que la lente está en el campo lejano de cualquier punto de PSF, el campo que incide en la lente desde el punto puede considerarse como una onda esférica, como en la ecuación. (2.2), no como un espectro de onda plana, como en la ecuación. (2,1). Por otro lado, la lente está en el campo cercano de toda la transparencia del plano de entrada, por lo tanto, eqn. (2.1) - el espectro de onda plano completo - representa con precisión el campo incidente en la lente desde esa fuente más grande y extendida.

Lente como filtro de paso bajo

Una lente es básicamente un filtro de onda plana de paso bajo (consulte Filtro de paso bajo ). Considere una fuente de luz "pequeña" ubicada en el eje en el plano del objeto de la lente. Se supone que la fuente es lo suficientemente pequeña como para que, según el criterio de campo lejano, la lente esté en el campo lejano de la fuente "pequeña". Entonces, el campo irradiado por la fuente pequeña es una onda esférica modulada por la FT de la distribución de la fuente, como en la ecuación. (2.2), Luego, la lente pasa, desde el plano del objeto al plano de la imagen, solo la parte de la onda esférica radiada que se encuentra dentro del ángulo del borde de la lente. En este caso de campo lejano, el truncamiento de la onda esférica radiada es equivalente al truncamiento del espectro de onda plana de la fuente pequeña. Por lo tanto, los componentes de la onda plana en esta onda esférica de campo lejano, que se encuentran más allá del ángulo del borde de la lente, no son capturados por la lente y no se transfieren al plano de la imagen. Nota: esta lógica es válida solo para fuentes pequeñas, de manera que la lente esté en la región de campo lejano de la fuente, de acuerdo con el criterio 2 D ² / λ mencionado anteriormente. Si la transparencia del plano de un objeto se imagina como una suma de fuentes pequeñas (como en la fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon , Scott [1990]), cada una de las cuales tiene su espectro truncado de esta manera, entonces cada punto de la transparencia del plano del objeto completo sufre los mismos efectos de este filtrado de paso bajo.

La pérdida del contenido de alta frecuencia (espacial) provoca borrosidad y pérdida de nitidez (consulte la discusión relacionada con la función de dispersión de puntos ). El truncamiento del ancho de banda hace que una fuente puntual (ficticia, matemática, ideal) en el plano del objeto se difumine (o se extienda) en el plano de la imagen, dando lugar al término "función de dispersión de puntos". Siempre que el ancho de banda se expande o contrae, el tamaño de la imagen generalmente se contrae o expande en consecuencia, de tal manera que el producto espacio-ancho de banda permanece constante, según el principio de Heisenberg (Scott [1998] y condición sinusoidal de Abbe ).

Coherencia y transformación de Fourier

Mientras se trabaja en el dominio de la frecuencia, con una supuesta dependencia del tiempo e ^jωt (ingeniería), se asume implícitamente la luz coherente (láser), que tiene una dependencia de la función delta en el dominio de la frecuencia. La luz en diferentes frecuencias (función delta) "rociará" el espectro de la onda plana en diferentes ángulos y, como resultado, estos componentes de la onda plana se enfocarán en diferentes lugares en el plano de salida. La propiedad de transformación de Fourier de las lentes funciona mejor con luz coherente, a menos que exista alguna razón especial para combinar luz de diferentes frecuencias, para lograr algún propósito especial.

Implementación de hardware de la función de transferencia del sistema: el correlador 4F

La teoría sobre las funciones de transferencia óptica presentada en la sección 4 es algo abstracta. Sin embargo, hay un dispositivo muy conocido que implementa la función de transferencia del sistema H en hardware usando solo 2 lentes idénticas y una placa de transparencia: el correlador 4F. Aunque una aplicación importante de este dispositivo sería sin duda implementar las operaciones matemáticas de correlación cruzada y convolución , este dispositivo, de 4 longitudes focales de longitud, en realidad sirve para una amplia variedad de operaciones de procesamiento de imágenes que van mucho más allá de lo que su nombre implica. En la siguiente figura se muestra un diagrama de un correlador 4F típico (haga clic para ampliar). Este dispositivo puede entenderse fácilmente combinando la representación del espectro de ondas planas del campo eléctrico ( sección 2 ) con la propiedad de transformación de Fourier de las lentes cuadráticas ( sección 5.1 ) para producir las operaciones de procesamiento de imágenes ópticas descritas en la sección 4.

El correlador 4F se basa en el teorema de convolución de la teoría de la transformada de Fourier , que establece que la convolución en el dominio espacial ( x , y ) es equivalente a la multiplicación directa en el dominio de frecuencia espacial ( k _x , k _y ) (también conocido como dominio espectral ) . Una vez más, se asume una onda plana incidente desde la izquierda y una transparencia que contiene una función 2D, f ( x , y ), se coloca en el plano de entrada del correlador, ubicado a una distancia focal frente a la primera lente. La transparencia modula espacialmente la onda del plano incidente en magnitud y fase, como en el lado izquierdo de la ecuación. (2.1), y al hacerlo, produce un espectro de ondas planas correspondientes a la FT de la función de transmitancia, como en el lado derecho de la ecuación. (2,1). Luego, ese espectro se forma como una "imagen" una distancia focal detrás de la primera lente, como se muestra. Una máscara de transmisión que contiene el FT de la segunda función, g ( x , y ), se coloca en este mismo plano, una distancia focal detrás de la primera lente, haciendo que la transmisión a través de la máscara sea igual al producto, F ( k _x , k _y ) × G ( k _x , k _y ). Este producto ahora se encuentra en el "plano de entrada" de la segunda lente (una distancia focal al frente), de modo que la FT de este producto (es decir, la convolución de f ( x , y ) yg ( x , y )), se forma en el plano focal posterior de la segunda lente.

Si se coloca una fuente de luz puntual matemática ideal sobre el eje en el plano de entrada de la primera lente, se producirá un campo colimado uniforme en el plano de salida de la primera lente. Cuando este campo colimado uniforme se multiplica por la máscara del plano FT, y luego se transforma Fourier por la segunda lente, el campo del plano de salida (que en este caso es la respuesta al impulso del correlador) es solo nuestra función de correlación, g ( x , y ). En aplicaciones prácticas, g ( x , y ) será algún tipo de característica que debe identificarse y ubicarse dentro del campo del plano de entrada (ver Scott [1998]). En aplicaciones militares, esta característica puede ser un tanque, barco o avión que debe identificarse rápidamente dentro de una escena más compleja.

El correlacionador 4F es un dispositivo excelente para ilustrar los aspectos de "sistemas" de los instrumentos ópticos, a los que se alude en la sección 4 anterior. La función de máscara del plano FT, G ( k _x , k _y ) es la función de transferencia del sistema del correlador, que en general denotaríamos como H ( k _x , k _y ), y es la FT de la función de respuesta al impulso del correlacionador, h ( x , y ) que es solo nuestra función de correlación g ( x , y ). Y, como se mencionó anteriormente, la respuesta al impulso del correlador es solo una imagen de la característica que estamos tratando de encontrar en la imagen de entrada. En el correlador 4F, la función de transferencia del sistema H ( k _x , k _y ) se multiplica directamente contra el espectro F ( k _x , k _y ) de la función de entrada, para producir el espectro de la función de salida. Así es como los sistemas de procesamiento de señales eléctricas operan en señales temporales 1D.

Restauración de imagen

El desenfoque de la imagen mediante una función de dispersión de puntos se estudia ampliamente en el procesamiento de información óptica, una forma de aliviar el desenfoque es adoptar el filtro Wiener. Por ejemplo, suponga que es la distribución de intensidad de un objeto incoherente, es la distribución de intensidad de su imagen que se ve borrosa por una función de dispersión de puntos invariante en el espacio y un ruido introducido en el proceso de detección: ${\ Displaystyle o (x, y)}$${\ Displaystyle i (x, y)}$${\ Displaystyle s (x, y)}$${\ Displaystyle n (x, y)}$

${\ Displaystyle i (x, y) = o (x, y) \ a veces s (x, y) + n (x, y)}$

El objetivo de la restauración de imágenes es encontrar un filtro de restauración lineal que minimice el error cuadrático medio entre la distribución real y la estimación . Es decir, para minimizar ${\ Displaystyle {\ hat {o}} (x, y)}$

${\ Displaystyle \ epsilon ^ {2} = | o - {\ hat {o}} | ^ {2}}$

La solución de este problema de optimización es el filtro Wiener :

${\ Displaystyle H \ left (f_ {X}, f_ {Y} \ right) = {\ frac {S ^ {*} \ left (f_ {X}, f_ {Y} \ right)} {\ left | S \ left (f_ {X}, f_ {Y} \ right) \ right | ^ {2} + {\ frac {\ Phi _ {n} \ left (f_ {X}, f_ {Y} \ right)} { \ Phi _ {o} \ left (f_ {X}, f_ {Y} \ right)}}}}}$,

donde están las densidades espectrales de potencia de la función de dispersión de puntos, el objeto y el ruido. ${\ Displaystyle S \ left (f_ {X}, f_ {Y} \ right), \ Phi _ {o} \ left (f_ {X}, f_ {Y} \ right), \ Phi _ {n} \ left (f_ {X}, f_ {Y} \ right)}$

Ragnarsson propuso un método para realizar filtros de restauración Wiener ópticamente mediante una técnica holográfica como la configuración que se muestra en la figura. La derivación de la función de la configuración se describe a continuación.

Suponga que hay una transparencia como el plano de registro y un impulso emitido desde una fuente puntual S. La onda de impulso es colimada por la lente L1 , formando una distribución igual a la respuesta al impulso . Luego, la distribución se divide en dos partes: ${\ Displaystyle h}$${\ Displaystyle h}$

1. La parte superior se enfoca primero (es decir, transformada de Fourier) por una lente L2 a un punto en el plano focal frontal de la lente L3 , formando una fuente puntual virtual que genera una onda esférica. Luego, la onda es colimada por la lente L3 y produce una onda plana inclinada con la forma en el plano de grabación.${\ Displaystyle r_ {0} e ^ {- j2 \ pi \ alpha y}}$
2. La parte inferior está colimada directamente por la lente L3 , produciendo una distribución de amplitud .${\ displaystyle {\ frac {1} {\ lambda f}} H ({\ frac {x_ {2}} {\ lambda f}}, {\ frac {y_ {2}} {\ lambda f}})}$

Por lo tanto, la distribución de intensidad total es

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ mathcal {I}} \ left (x_ {2}, y_ {2} \ right) = & \ left | r_ {o} \ exp \ left (-j2 \ pi \ alfa y_ {2} \ derecha) + {\ frac {1} {\ lambda f}} H \ izquierda ({\ frac {x_ {2}} {\ lambda f}}, {\ frac {y_ {2}} {\ lambda f}} \ right) \ right | ^ {2} \\ = & r_ {o} ^ {2} + {\ frac {1} {\ lambda ^ {2} f ^ {2}}} \ left | H \ left ({\ frac {x_ {2}} {\ lambda f}}, {\ frac {y_ {2}} {\ lambda f}} \ right) \ right | ^ {2} + {\ frac {r_ {o}} {\ lambda f}} H \ left ({\ frac {x_ {2}} {\ lambda f}}, {\ frac {y_ {2}} {\ lambda f}} \ right) \ exp \ left (j2 \ pi \ alpha y_ {2} \ right) + {\ frac {r_ {o}} {\ lambda f}} H ^ {*} \ left ({\ frac {x_ {2}} {\ lambda f}}, {\ frac {y_ {2}} {\ lambda f}} \ right) \ exp \ left (-j2 \ pi \ alpha y_ {2} \ right) \ end {alineado}}}$

Suponga que tiene una distribución de amplitud y una distribución de fase tal que ${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ psi}$

${\ Displaystyle H \ left ({\ frac {x_ {2}} {\ lambda f}}, {\ frac {y_ {2}} {\ lambda f}} \ right) = S \ left ({\ frac { x_ {2}} {\ lambda f}}, {\ frac {y_ {2}} {\ lambda f}} \ right) \ exp \ left [j \ psi \ left ({\ frac {x_ {2}} {\ lambda f}}, {\ frac {y_ {2}} {\ lambda f}} \ right) \ right]}$,

entonces podemos reescribir la intensidad de la siguiente manera:

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} I \ left (x_ {2}, y_ {2} \ right) = & r_ {o} ^ {2} + {\ frac {1} {\ lambda ^ {2} f ^ {2}}} S ^ {2} \ left ({\ frac {x_ {2}} {\ lambda f}}, {\ frac {y_ {2}} {\ lambda f}} \ right) + {\ frac {2r_ {o}} {\ lambda f}} S \ left ({\ frac {x_ {2}} {\ lambda f}}, {\ frac {y_ {2}} {\ lambda f}} \ right ) \ cos \ left [2 \ pi \ alpha y_ {2} + \ psi \ left ({\ frac {x_ {2}} {\ lambda f}}, {\ frac {y_ {2}} {\ lambda f }} \ right) \ right]. \ end {alineado}}}$

Tenga en cuenta que para el punto en el origen del plano de la película ( ), la onda registrada de la parte inferior debe ser mucho más fuerte que la de la parte superior porque la onda que pasa por la trayectoria inferior está enfocada, lo que conduce a la relación . ${\ Displaystyle (x_ {2}, y_ {2}) = \ mathbf {0}}$${\ displaystyle r_ {0} << {\ frac {1} {\ lambda f}}}$

En el trabajo de Ragnarsson, este método se basa en los siguientes postulados:

1. Suponga que hay una transparencia, con su transmitancia de amplitud proporcional a , que ha registrado la respuesta de impulso conocida del sistema borroso.${\ Displaystyle t}$${\ Displaystyle s (x, y)}$
2. El desplazamiento de fase máximo introducido por el filtro es mucho menor que los radianes, de modo que .${\ Displaystyle \ phi}$${\ Displaystyle 2 \ pi}$${\ Displaystyle e ^ {j \ phi} \ approx 1 + j \ phi}$
3. El cambio de fase de la transparencia después del blanqueo es linealmente proporcional a la densidad de plata presente antes del blanqueo.${\ Displaystyle D}$
4. La densidad es linealmente proporcional al logaritmo de exposición .${\ Displaystyle {\ begin {alineado} I = r_ {o} ^ {2} + {\ frac {1} {\ lambda ^ {2} f ^ {2}}} S ^ {2} \ end {alineado} }}$
5. La exposición promedio es mucho más fuerte que la exposición variable .${\ Displaystyle {\ bar {I}}}$${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ Delta I \ left ({\ frac {x_ {2}} {\ lambda f}}, {\ frac {y_ {2}} {\ lambda f}} \ right) = {\ frac {2r_ {o}} {\ lambda f}} S \ left ({\ frac {x_ {2}} {\ lambda f}}, {\ frac {y_ {2}} {\ lambda f}} \ right) \ cos \ left [2 \ pi \ alpha y_ {2} + \ psi \ left ({\ frac {x_ {2}} {\ lambda f}}, {\ frac {y_ {2}} {\ lambda f}} \ derecha) \ derecha]. \ end {alineado}}}$

Según estos postulados, tenemos la siguiente relación:

${\ Displaystyle \ Delta t \ propto \ Delta \ phi \ propto \ Delta D \ propto \ Delta (logI) \ approx {\ frac {\ Delta I} {I}}}$.

Finalmente, obtenemos una transmitancia de amplitud con la forma de un filtro Wiener:

${\ Displaystyle \ Delta t \ propto {\ frac {S ^ {\ ast}} {r_ {0} ^ {2} \ lambda ^ {2} f ^ {2} + \ left \ vert S \ right \ vert ^ {2}}}}$.

Epílogo: Espectro de ondas planas dentro del contexto más amplio de la descomposición funcional

Los campos eléctricos se pueden representar matemáticamente de muchas formas diferentes. En los puntos de vista de Huygens-Fresnel o Stratton -Chu, el campo eléctrico se representa como una superposición de fuentes puntuales, cada una de las cuales da lugar a un campo de función de Green . El campo total es entonces la suma ponderada de todos los campos de función de Green individuales. Esa parece ser la forma más natural de ver el campo eléctrico para la mayoría de las personas, sin duda porque la mayoría de nosotros, en un momento u otro, hemos dibujado los círculos con un transportador y papel, de la misma manera que lo hizo Thomas Young en su clásico artículo sobre el experimento de la doble rendija . Sin embargo, de ninguna manera es la única forma de representar el campo eléctrico, que también puede representarse como un espectro de ondas planas que varían sinusoidalmente. Además, Frits Zernike propuso otra descomposición funcional basada en sus polinomios de Zernike , definidos en el disco unitario. Los polinomios de Zernike de tercer orden (e inferiores) corresponden a las aberraciones normales de la lente. Y aún se podría hacer otra descomposición funcional en términos de funciones Sinc y funciones de Airy, como en la fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon y el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon . Todas estas descomposiciones funcionales tienen utilidad en diferentes circunstancias. El científico óptico que tiene acceso a estas diversas formas de representación tiene disponible una visión más rica de la naturaleza de estos maravillosos campos y sus propiedades. Estas diferentes formas de ver el campo no son conflictivas ni contradictorias, más bien, al explorar sus conexiones, a menudo se puede obtener una visión más profunda de la naturaleza de los campos de ondas.

Descomposición funcional y funciones propias

Los temas gemelos de las expansiones de las funciones propias y la descomposición funcional , ambos brevemente aludidos aquí, no son completamente independientes. Las expansiones de funciones propias a ciertos operadores lineales definidos sobre un dominio dado, a menudo producirán un conjunto infinito numerable de funciones ortogonales que abarcarán ese dominio. Dependiendo del operador y la dimensionalidad (y forma, y ​​condiciones de contorno) de su dominio, son posibles, en principio, muchos tipos diferentes de descomposiciones funcionales.

Ver también

• Condición del seno de Abbe
• Algoritmo adaptativo-aditivo
• Principio de Huygens-Fresnel
• Función de dispersión de puntos
• Contraste microscopico
• Difracción de Fraunhofer
• Difracción de Fresnel
• Óptica geométrica
• Espacio Hilbert
• Correlador óptico
• Transformada óptica de Hartley

Referencias

• Duffieux, Pierre-Michel (1983). La transformada de Fourier y sus aplicaciones a la óptica . Nueva York, Estados Unidos: John Wiley & Sons .
• Goodman, Joseph (2005). Introducción a la óptica de Fourier (3 ed.). Editores de Roberts & Company. ISBN 0-9747077-2-4. Consultado el 28 de octubre de 2017 .
• Hecht, Eugene (1987). Óptica (2 ed.). Addison Wesley . ISBN 0-201-11609-X.
• Wilson, Raymond (1995). Serie de Fourier y técnicas de transformación óptica en óptica contemporánea . John Wiley e hijos . ISBN 0-471-30357-7.
• Scott, Craig (1998). Introducción a la óptica y la imagen óptica . John Wiley e hijos . ISBN 0-7803-3440-X.
• Scott, Craig (1990). Métodos modernos de análisis y diseño de antenas reflectoras . Casa Artech . ISBN 0-89006-419-9.
• Scott, Craig (1989). El método del dominio espectral en electromagnetismo . Casa Artech . ISBN 0-89006-349-4.
• Introducción a la óptica de Fourier y el correlador 4F

enlaces externos

• Embajadores, Pierre (2010). "Computación óptica: una aventura de 60 años" . Avances en tecnologías ópticas . Hindawi Limited. 2010 : 1-15. doi : 10.1155 / 2010/372652 . ISSN  1687-6393 .
• Stratton, JA; Chu, LJ (1 de julio de 1939). "Teoría de la difracción de ondas electromagnéticas" (PDF) . Revisión física . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 56 (1): 99–107. doi : 10.1103 / physrev.56.99 . ISSN  0031-899X .